XVII

La surface hélicoîde, filet de vis trifingulaire, peut se déformer en un cône de révolution ; il sufiit pmir cela de supposer que les divers points m, m\ m"... de la émit gjèf^rmno^ hXl^wWa opup» Vn^ Q au point m) décrivent des héli^^e» |I , ll\ W\.. 4'un iNP fiul* Clés hélipe« saront alors 4w P^^ 4ont les planf seront p^^pepdioulaires à Tax^ CL

ft en cbaeun d«i poinU (fig. i) m, m\ m'',... de cee cerclés horizontaux H> ll> H'V«« ^1^ mèoe d» tangentes 0, 9\ 8"... à ces cercles, ces diferses tangentes for^ nieront un plan qui remplaoera pour le cône lé paraboloide 4^ tangent à la surfoce MUeoide (filet de vis triangulaire) tout le long de la droite A. >

La pro|>riélé des sous-tangentes existera encore pour Je cAne^ et, en efT^t, en prenant sttr les tangentes 6, 9'i ^\... et à partir des points m, m', pi\ des distances égalés aQi disiinées de ces |K>ints m, m'> m"... à Taxe O^ on aura les points m^ f'» 9 '9««« M^i seront en ligne droite B ; et le plati X des deux droites A et B sefi^ cne^e perpendiculaire au plan Yortieal de projfeotidni

THOISi£H£ PARIIE.

êm !• «ëriMW h é U pS H ^ t<^*>»l> Sf gMè» é«Mt«« |iàr m fféf «H tattSttttM.

Lorsque nous avons cherché les divers points^, ^.N«*« de la projection horiiontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, nous avons, pour faciliter les constructions graphiques et les abrégea, supposé que la droite A étant passée en une position A', on ramenait la droite A' sur la droite Aj au moyen de deux mouvements, Tun de rotation autour de Taxe et l'autre de translation et parallèlement à cet axe 0«

Pour les recherches subséqueuies , il est préférable de construire le pointer, , situé sur la djroile A', en opérant un changement de plan wrtical de projection^ ainsi x quand on considérait la droite A, on prenait un plan Vertical de projection, passant par l'axe et parallèle à cette droite A , lorsque nous considérerons un« nouvelle position A' de la droite A, nous prendrons un nouveau plan vertical de projection , passant toujours par Taxe 0, mais alors parallèle à la droite A'.

Le plan horizontal de projection était situé au*dessous du point m (contact de la droite A et du cylindre A ayant pour axe la droite 0), d'une quantité égale à : 2=R tang. a ; lorsque nous considérerons la nouvelle position A' de la droite A, nous emploierons un nouveau plan horizontal de projection, toujours perpendiculaire à Taxe 0, mais situé au*dessous du point m (contact de la droite A' et du cylindre A) d'une quantité qui sera encore égale à : a=R tang. «.

Cela posé, effectuons les constructions graphiques qui doivent nous conduire à la détermination des divers points a!^, ic,*,#-- de la -projection horizontale de la tigne de séparation d^ombre et de lumière.

Reprenons la fig. c, et sur lafl^. î construisons le point V,. situé sur A\ Cela fait , concevons la droite A dn la position A'; pour trouver le pointa?*, il faudra:

4^ preiMke siV^=^^f »^' ''^ ^^^^^ I^ P<>^^' 9'* l^omologue du poim ç; S"" prendre mV =:mV, et Too aura le point r', homologue du point r; 3^ miener par m'^ une droite parallèle à la projection horizontale du rayon de lumière^ et prendre m'^a^=mi'a et l'on. aura le point cl^ liomologue do point a; 4* mener par q' la droite U^', perpendiculaire à Jl^^ et Ton aura la droite homologue de la droite H'^; &• mener par le point q' la droite B'*, perpendiculaire à la divergente ijf'q^ et Ton aura Y homologue de la droite B^; &* unir les pointa / et a\ et Fon aura la droite H' > homologue de la droite H' ; 7"" les droites H'' et H*' se couperont en un point b' qui sera V homologue du point 6; 8' mener par le point b' une droite A/'* pa-^ rallèle à la droite A'\ et l'on aura V homologue de la droite A'""; 9* les droites A/'* et B'^se couperont en un point d'^qui sera ï homologue du point d^; iO* enfin , en construisant sur oV^, comme hypoténuse , un triangle rectangle dont le sommet soit situé sur la droite A'^^ on aura en ce sommet xj" le point demandé.

Avant d'aller plus loin, rappelonsrnous bien les diverses relations de positi<m' qui existent entre les lignes qui servent à construire le point a^ {Jig. l).

V Le triangle o^m^q est rectangle en m^; il est isocèle; ainsi Ton a o^m^s=m''q

et Tangle tJ'qm^ = 45« ;

2« La droite B* est perpendiculaire sur d'q, parce qu'elle est la projection de Tune des génératrices du second système du paraboloîde tangent, lequel est formé par les tangentes aux hélices de même pa$ décrites par les divers points de la droite A ; parce qu'elle est la projection de la tangente à l'hélice décrite par le point 9 de la droite A ; parce qu'elle est tangente à la parabole enveloppe des projections des tangentes aux hélices, parabole qui a le point o* pour foger ;

3* Le triangle qb(t est rectangle eu b et il est isocèle ; on a :

bqi=sM^ et l'angle bqét =r 45% 4' Le triangle t^tta^ est rectangle en a^ et il est isocèle ; on a donc :

TFssaTî? étrangle wà^Bsj46».

Dt M qifi précéda . oo en conclut que :

g ni.

D*après ce qui vient d'être rappelé , on peut eo conclure que si Ton avait {fig. I ) ramené les points <f^y d^ ... en les points dS d,^ ... en faisant faire un mouvement de rotation de AS^ autour du point o* à la courbe lieu des points d^ ...j ces divers points d/" ... seraient venus se placer respectivement sur l^s rayons vecteurs cf'a^^... de la courbe lieu des points x^,... et que les deux courbes , Tune lien des points x^,... et Tautré lieu des points dj'y... seraient deut courbes polaires semblables et semblablement placées et ayant le point c^ pour pâte commun.

Si donc on calcule Téquation polaire de la courbe lieu des points tt^ on aura une équation de la forme /(p,.a}) = 0, et en remplaçant dans cette équation û*

par (» + 45*) et p par — =,on aura en :/ (c«)+45*),— 7= 1 =0, l'équation de

la courbe 9 projection horizontale de la ligne de séparation d ambre et de lu-' mière.

§ IV

Ce qui précède nous montre donc que si l'on connaît la courbe lieu des points if ... on connaîtra de suite la courbe lieu des points a^ ... Voyons donc si l'on ne pourrait pas parvenir , par une construction plus simple que celle que nous avons employée jusqu'ici, à la détermination des points d^,

Les trois points r, 6 et a sont en ligne droite. Si donc nous faisons tourner autour du point q la droite H" qui les contient , et cela d'un angle égal à un demidroit, le point reviendra en r, sur la droitero*<7, le point fr viendra en b, sur la droHe B*, et cela parce que la droite 0^9 fait un angle demi-droit avec la droite A* , et que la droite B^ fait un angle demi-droit avec la droite H"" (^fig. II).

Enfin le point m^ viendra en m, sur la droite o'^q.

Cela posé, si Ton unit les deux points r, et 6„ on aura la position que la droite H' doit prendre après le mouvement de rotation ; et si par le point m, on mène une droite m^a, faisant avec la droite 0^9 le même angie que la projection horizontale wf'a du rayon de lumière fait avec la droite A'^ , cette droite m,a^ viendra couper en a, la droite r.6. , et ce point a^ sera la position que le point a viendra prenéta après le mouvement de rotation d'un demi-cadran autour du point 9 ; et comme les droites o^q et A* font entre elles un angle égal à un demi-droit , il est évident

que les droites nfa et fit,a, font aussi entre elles un angle égal à un demi-droit.

Cela posé :

Comme qb^ =qb^ et que q(t = qb.l/'2, il s'ensuit que si par le point d^ on mène une droite parallèle à la droite r^b^a^j cette nouvelle droite viendra couper la

droite cf'q en un point t^ et l'on aura r^<y= r]ç. y 2 ; il suffira donc d'élever par le point r une perpendiculaire à la droit^ A*, et de la prolonger jusqu'en r, sur la droite o^q pour avoir un point de la parallèle menée par le point d^.

Cela pesé,

Si Ton joint les points q et d, par une droite, elle ira couper là droite rj/" en un point 0.} u^àissoDs les points o^ et a.; je dis que cette droite «^a. est parallèle à la droite m,ar*

Et en effet :

Dans les deux triangles qm^a, et qo\, on a : a*ijf = cm, . k 2 et qa^^=:sqa,. K 2 ; ces deux triangles sont donc semblables; dpnc^-les deux droites m,ai 6t o\sont

parallèles, et de plus oh z: cha^ = m,a, . V/2.

La construction (}de nous venons d'effectuer sera la même que hous considérions la droite M" ou la droite A'^ (fig. l). Par conséquent le point a, est un point fixe j puisqu'il est l'extrémité d'une droite, d'une longueur conslante, menée par un point fixe et dans une direction invariable, attendu que cette droite o\ fait un angle égal à un dem'i-droit avec la projection horizontale du rayon lumineux.

Or, si l'on, se rappelle qu'en faisant tourner le point d!" d'un atigledemi-^roit on l'amène en d,^ sur le rayon vecteur de la eourbc lieu des points 4;^, alors le point a, viendra en a, (fig. III ) , et dès lors la droite o\ sera perpendiculaire à la projection horizontale du rayon de lumière.

Ce point a« étant un point fixe, on auraà exécuter la construction suivante pour construire le point d/, en lequel vient se placer le point cf^ après la révolution d'un demi-cidran autour du point o^.

1* Du point 0^ , comme centre et avec of^q pour rayon (fig. III ) , on décrira u* cercle Q ;

2** Du point 0* comme centre et avec oV, pour rayon , on décrira un cercle R ;

S^ Par le point 0^ on mènera une droite o\ perpendiculaire à la direction nfa de la pro/ection horizontale du rayon lumineux ; et le point a étant la trace borîxontale du rayon de lumière passant par le point m > le plan horizontal de pM^ jection étant mené au-dessous du point m d'une cfuantilé 2=:R langa (<x étàftt I^Angle que la droite A fait avec le pian horizontal et H le rayon du cercle M , pfd-

|6etioû de l'hélice décrite par le point m), on prendra ?^:=:n?a. i/2, et l'on «urà Je point fijtè â, ;

4? On mènera par le point o^ une droite quelconque coupant le cercla Q ^ y^n point <7 et le cercle R en un point r, , on unira le point variable r, avec le |WÎOt fixe a,;*

5*" Au point q on mènera une tangente au cercle Q;

6'' La tangente ap cercle Q coupera la droite a/, en jin point d/" qui^eral^ point demandé ; et en prenant sur le rayon vecteur o*d,* une longueur à^ tell#

que 7?= o*d,* . 7-7-- , on aura en a^ un point de la projection horizontale de

1^ liffi^ de séparation d'ombre et 4e (umière.

Voyons s'il ne serait pas possible de déterminer le point a^ sans avoir beijom de passer par le point d/.

Il est d*abord évident qu'en menant au point s (fig, II!), en lequel le cercle M est coupé par la droitép*(7, une tangente à ce cercIeM, elle viendra couper la droite o*d,*ei^

le'poînt a^ demandé ; car Ton ^ : o''q = o*« . |/^2 ; ensuite , si 119QS mcQpps p^jr le point ocf" une parallèle à la droite rji^y elle coupera la droTte o^a,en un point p^

et l'on aura évidemment o\=,o*'p • k 2 , par conséquent le point p sera up point fixe, et de plus o*p se trouve précisémeni égal à ni'a (Jg. III). / 'j >

De plus , la droite pjc!' coupera la droite o'^g en ]xn point t; , 6( l'on aii^ :

o^r,:s:zo''v . |/2?

Par conséquent o^t? = m^r»

D'après ce qui précède pour construire directement les divers points a^ de la projection horizwilale de la ligne de séparation (tombre et de lumière y oà aevra .exécuter la construction suivante (fig. IV) : •

1^ Du point o'^ comme centre on décrira un cercle M ayant pour rayon la plus ceurte distance R existant entre Taxe O et la génératrice droite À de la surface bélicokle générale ;

2"* On mènera par le centre 0^ une droite perpendiculaire à la projection hori* zontale du rayon lumineux , et l'on prendra une ouverture de compas Vp égale à la sous-tangenle de Tinclinaison du rayon de lumière passant par un point m de rbélice H (décrite par le pied de la plus courte distance qui existe entre les droites A et O) sur un plan horizontal l situé au-dessous de ce point m deb * quantité connue, s = fi tapg a.

^^ On décrira un cercle D du point <^ conme eentM el aiee un rftyon ^|

à mV , qui est la sous-tangente de rinclinaison de la génératrice A, par rapport au même plan horizontal l;

4*'^'0n mènera du point fixe p une série do divergentes p/', ... coupant le cercle P, en les points /',...

&" On unira le centre o'' avec les divers points Cy... par des divergentes qui couperont le cercle M en des points s...

&" On mènera en les ^vers pointa ^ ... des tangentes au cercle M , lesquelles

couperont respectivement les divergentes p/', ... en des points a:% ... , qui détermineront la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface hélicoîde générale.

§ VI

D'après ce qui précède Ion voit que Ton peut construire la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, en la considérant comme une courbe géométrique plane et sans s'inquiéter de la courbe à double courbure de Tespace dont elle est la projection; sans s'inquiéter dès lors du problème d'om<bre qui conduit à cetys courbe plane.

' Examinons maintenant en détail cette courbe et voyons quelle forme elle doit affecter.

Si Ton joint le point fixe p {fig. V) avec le centre cf" des cercles M et D, on voit de suite que la courbe doit être symétrique par rapport à cette droite po^.

ÂjSl droite po^ coupe le cercle M en deux points z et %, qui appartiendront à la courbe; et comme tous les points de la courbe sont situés hors du cercle M excepté ces deux points 2 etz., on voit de suite que la courbe sera tangente au cercle M en chacun de ces points % et z.. •

Pour construire un point courant de la courbe , nous menons d'abord la divergente pi, coupant le cercle D en les deux points / et /, et nous aurons deux rayons

WetoV, coupant le cercle M respectivement en les points sets/^ nous mènerons ensuite en s et s, des tangentes au cercle M lesquelles couperont la divergente p/eo les points a; et x,] nous obtenons donc deux points de la courbe cherchée pour chaque divergente telle que pi.

Cela doit déjà nous faire penser que la courbe est composée de deux branches* Voyons si la courbe passe par le point fixep; et pour reconnaître^ si cela a lieui me* nons par le point p une tangente au cercle M, nous aurons lé. point de contact «.;

'menons o\ coupant le cercle D au point /, ; joignons les points /, et p, nous aurons la divergente p/, qui coupera le cercle D en un second point l* et si pour ce point // nous faisons la construction nécessaire, nous aurons le point x^^ en sorte que

les points p et a;/ appartiennent à la courbe et sont conjugués entre eux, comme Tétaient les points x et x,.

La courbe sera donc composée de deux branches, Tune i tangente en z au cercle Bl et venant passer par le point p; Tautre d. tangente en z, au cercle M et venant passer par le point x^\

Si au lieu de mener une divergente coupant le cercle D, on mène une tangente p/, à' ce cercle, le point de la branche i, qui est situé à l'infini, sera sur cette tangente, et même chose aura lieu pour le point de la branche $,. Car ce point sera donné par Tîntersection de la droite p/, tangente en /, au cercle D et de la tangente en 8^ au cercle M ; or il est évident par la construction que ces deux tangentes sont parallèles.

La droite p/, sera donc une asymptote commune aux deux branches i et $,.

Par suite l'on voit que la courbe sera composée de deux branches d et d, ayant la forme indiquée par la fig. V ; ces branches ont pour asymptotes les deux tangentes menées du point p au cercle D; la branche 5, n'offre aucun point remarquable; la branche S offre un nœud au point fixe p et de plus chacun de ses arcs infinis offre un point d'inflexion, car tournant sa concavité après le point^p par rapport à l'asymptote, il faut de toute nécessité , que cet arc vienne à tourner, en cheminant, sa convexité vers son asymptote.

On voit aussi que ce seront les divers points de l'arc /,/, du cercle I) qui donneroniles points de l'arc infini de la branche 9 (et cela à partir du point p) et que ce sont les points de l'arc /,/,' du même cercle D qui donneront les points de l'arc infini de la branche d. (et cela à partir du pointa;/).