VII

Construction (C un compas propre à tracer les branches deti,.

Concevons une règle A portant à l'une de ses extrémités une pointe que l'on fixera au point o^ centre des cercles M et D, et portant à son autre extrémité un axe, dont le centre sera en un point / du cerple D, et sur lequel sera montée une règle E i irainure. Fixons perpendiculairement sur la règle A , une seconde règle à rainure B, tangente» au cercle M en le point s y fig. VL ^

Plaçons au point fixe p un pivot isolé, dans lequel s'engagera la rainure de la régie E et enfin plaçons un crayon ou une pointe à tracer en le point x, c'est-àdire entre les rainurUBdes règles B et E. En faisant mouvoir la règle A autour du point o\ le point /lAécrivant le cercle D, la règle E glissera le long du pivot pet le crayon x décrira la branche à de la courbe tracée dans It fig. Y.

On conçoit sans peine que Ton peut disposer |a règle A de t^le manière qu'elle puisse s'allonger ou se raccourcir, et qu'ainsi, Ton puisse placer le point ^ à telle distance que Ton voudra du point o'^; Ton voit aussi que comme le pivot p e§t une pointe isolée, on pourra la piquer dans le papier à telle dislance que VQ^ voudra du point o\ On conçoit sans peine aussi que Ton peut monter la règle p sur la règle A, de toile manière que tout en lui Restant perpendiculaire, elle puisse glisser sur elle, de manière à ce que le point s s'approche ou s'éloigne dq centre o*.

Ainsi, ce compas satisfera aux divers tracés de la branche de courl)e 3, suivant les variations de grandeur, des rayons des cercles M et D et de la distancç existant entre le centre o* et le point fixe p.

Avec ce compas on pourra tracer d'un mouvement continu, tout le nœud pfz dç ]a branche d.

Le même compas peut servir à tracer la branche 3., mais il faut lui faire subir une légère modification.

Le point /, au lieu d'être placé , comme fig. VI , au delà des points p et a;, devra être placé, comme fig. Vil , entre ces points p et x.

Nous devons faire remarquer que lorsque Ton construit la projection de b ligne de séparation d'ombre et de lumière, comme étant une cour|)e géométrique plane, on est conduit aux deux branches 3 et 3. (Jig. V), et que cependa&l il n'y a que la branche 3 qui soit réellement la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumièpc sur la surface héiicoîde.

C'est qu'ici il se présente une chose analogue à celle qui se présente dans plusieurs problèmes de t'espace..

Ainsi, par exemple, lorsque.l'on suppose une sphère éclairée par un point lumineux, le cdne de lumière tangent à la sphère peut être coupé par le plan horizontal suivant une hyperbole, et il n'y a cependaïf qu'une des branches de cette courbe qui détermine l'ombre portée.

De même, lorsque l'on cherche l'intersection do deux surfaces, la courba d'intersection 4)eut être une courbe à double courbure fermée,«et se projetant horizontalement suivant un arc seulement de courbe plane fermée ou infinie, comme lorsque Ton considère deux surfaces de révolution du second ordre dont les axes se coupent, et que l'on projette la courbe à doutfe courbure sur un plan parallèle à celui des deux axes de rotation. ^

Dès lors, si Ton peutTonsidérer la projection comine une courbe planai ee qui

e6t permis, si l'on est conduit par la solution du problème de Tespace à l'emploi d'une certaine méthode graphique qui permette de construire les divers points de cette courbe, en la considérant comme courbe géométrique plane et non comme projection d'une courbe à double courbure situéa dans l'espace, on voit bien <|ue l'on doit nécessairement pouvoir, par cette méthode graphique, construire 16 courbe plane complète^ et non pas seulement une de ses branches, ou seulement les points d'un arc de celte courbe.

Si nous considérons une surface hélicoîde générale dont la génératrice droite A soit oblique au plan horizontal, les cercles D et M existeront toujours, mais le point fixe p pourra varier de position par rapport aux cercles D et M, suivant l'inclinaison du rayon de lumière, et ainsi le point p pourra être :

1* Situé hors du cercle D comme dans la fig. V, et nous avons examiné ce cas dans tous ses détails ;

2* Situé sur le cercle D;

3"" Situé dans Tintérieur du cercle D. mais hors du cercle M ;

4* Situé sur le cercle M;

6* Situé dans l'intérieur du cercle M , et dans ce cas on aura ;

6* Gomme cas particulier^ celui ou le rayon de lumière étant vertical, le point p sera précisément le centre o* commun aux cercles concentriques M et D;

Enfin V le point p pourra être situé à i'inliui, auquel cas le rayon de lumière serait horizontal. «

Nous allons examiner successivement la forme que doit affecter, dans chacun de ces cas particuliers , la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière; mais nous ne devons pas oublier que la ligne o^p est toujours, dans nos constructions graphiques, perpendiculaire à la projection horixontale du rayon de lumière, quelle que soit d'ailleurs l'inclinaison sur le plan horizontal de ce rayon de lumière.

De« diverses formes que peut affecter ^ suivant C inclinaison du rayon de lumière ^ ta pro^ jection horizontale de la ligne de Réparation d'ombre et de lumière dune surface liélicoxde générale dont la génératrice droite est inclinée à l horizon.

• La surface hélicoide peut être considérée comme composée de deux liappes.

Car si Ton examine la génératrice droite A, son point m pied de la plus courte

distance R avec Taxe , décrit une hélice H ayant le cercle M pour projectkAl horizontale, ei celle droite A est divisée en deux parlies, l'une supérieure, l'autre inférieure par Thélice H en ce point m.

La nappe supérieure de la surface hélicoide sera formée par les parties supérieures de toutes les généralrices droiles A, A', A",... et la nappe inférieure de cette surface sera formée par les parties inférieures de toutes les mêmes génératrices droiles A , A', A"....

Les deux nappes sont réunies Tune à l'autre par l'hélice H qui est une ligne de gorge sur la surface hélicoîde; cette hélice ne donnant une ar^ie de rebroussement que dans le cas où la surface hélicoîde serait une surface déve^ loppable.

Ceh dit, examinons les diverses formes que peut présenter la projection horizonlale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, suivant Tinclinaison du rayon lumineux.

Premier cas. Le point fixe p étant situé hors du cercle D.

La forme que l'on obtient dans ce cas, est celle représentée iig. V, mais en la seule branche 9 (ainsi qu'il a élé remarqué au § 8).

Si la surface hélicoîde rampe de gauche à drojte, comme cela a lieu dans l'épure, alors c'est l'arc zxp de la courbe 9 qui appartient à la ligne de séparation d'ombre et de lumière située sur la nappe supérieure de la surface hélicoîde.

L'autre arc, situé à gauche de la droite po^, appartient à la ligne de séparation d'ombre et de lumière située sur la nappe inférieure de la surface hélicoîde.

Ce serait l'inverse si la. surface hélicoîde rampait de droite à gauche.

Deuxième cas. Le point fixe p étant situé sur le cercle D.

La forme de la courbe esl celle indiquée fig. YllI. Elle oiTre un nœud au point fixe p; elle est infinie, mais ses deux arcs infinis n'ont pas pour asymplote commune la tangente au cercle I) en le point p\ Tasymplote est parallèle à cette tangente (*).

Cette courbe est unique; aucune autre branche, parasite , quant au problème d'ombre, n'existe dans ce cas.

Troisième cas. Le point fixe p étant situé dans l'intérieur du cercle D et en de^ liors du cercle M.

La forme de la courbe offre un nœud (fig. IX) au poinl fixep; elle est fermée et ses cféux boucles sont tangentes respectivement aux points a et z, , en lesquels le cercle M est coupée par la droite po*.

(*) C'est ce dont il est facile de s'assurer en employant la méthode de Roberval. Voyez le mémoire n* 6,

ti-après.

— SI

Quatrième cas. Le point fixe p étant situé sur le cercle M. .. La courbe est fermée (fig. X), et elle offre un point de rebroussement au ppini fixe p.

Cinquième cas. Le point fixe p étant situé dans l'intérieur du cercle H.

La courbe offre la forme indiquée fig. XI; elle est composée d'une seule branche fermée^ laquelle est tangente en les points 2 et s, , suivant lesquels le cercle M crst coupé par la droite po^«

Sixième cas. Le pohufixe p étant sUué au centre du cercle M.

Dans ce cas, la ligne de séparation d'ombre de lumière n'est autre que Fbélice H , et la projection horizontale est dès lors {fig. XII) le cercle H luimême.

. Remarque. Dans le premercas, le rayon de lumière est moins incliné à T horizon que la génératrice droite de l'hélicoide ; ainsi , désignant par a l'angle d'inclinaison de la génératrice sur le plan horizontal , et par 6 l'angle d'inclinaison du rayon lumineux sur le même plan horizontal, on a: € <x*

Dans les 2% y^ 4% 5"^ cas , le rayon de lumière est plus incliné que la généraratrice , et l'on a : 6 > a.

Dans le sixième cas, le rayon de lumière est vertical; il est perpendiculaire au plan horizontal de projection. . .

Septième cas. Le point fixe p étant situé à (infini.

Dans ce cas , le rayon de lumière est horizontal , et le point fixe p est situé k l'infini sur la droite menée par le centre o. perpendiculairement à la projection horizontale du rayon lumineux.

Les diverses divergentes émanant du point p seront donc, dans ce cas, parallèles entre elles et perpendiculaires à la projection horizontale du rayon lumineux.

La fig. XIII donnelafQrme de la cousbe, maisdansce septième cas , comme dans le premier cas, la courbe est composée de deux branches infinies d et d« , symétriques par rapport à la droite o^p , et identiques ou superposables.

Toutefois , ces deux branches n'existent ensemble qu'autant que l'ovi considère la courbe comme courbe géométrique plane; la branche d existe seule comme projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sftr Thélicoide; si cette surface rampe : 1* de gauche à droite, ou 2* en senft contraire et ainsi de droite à gauche^ce sera toujours la brpnche 9 qui sera la projection horizontale delà ligne de séparation d'ombre et de lumière ; mais il faut bien ebserver que l'arc zxde la branche d^sera la projection de la ligne de séparation d'ombi« et de lumière , située sur la nappe supérieure de Thélfcoîde dans le premier cas, et située sur la nappe inférieure de l'hélicoide daps le deuxième cas.

■•►.ta»

Il est éfideùt, par la confitructioa mème^e» deux branchead.dt j. ^git'âlles ont pour asymptotes commuses deux iaugantefi au cercle D, quii 30At caMed |)iisq;)endiculaires à la projection horizontale du rayon de lumière.

Construction dun compas propre à tracer la projectUm hm'hmiale: de ht Rytwé^ eéparaûon 4'ambre ei de lumière dam le cas qù le raym hmmeux esihariiumiaL

La droite &i étant perpendiculaire à la projection du ro^on lumineux, il faudra ÇJig, XIY ) que la branche E du compas reste parallèle à cette droite A^ pour cela on formera un parallélo^amme articulé sur la branche A. et sur la direction oM et qui soit fixé à la branche E.

Les deux axeso* et 1 seront fixes, et pendant quel^ points s et /décriront', Tun le cercle H et Tautre le cercle D , la r^le £ m mouvra parayièlement i la règle fixe K.

Dans tout ce qui précède, nous avons^ supposé que la génératrice droite À diQ rhélicoide était inclinée à Thorizon et dans le même sens que Thélice H décrite par le poînt m.

Hais il est nécessaire d'examiner le cas où Ja. génécatrice A serait iadiiaéd^n sens inverse.

Supposons que l'hélice rampe de gauche à droite comme l'iniUque la fig. SY , la droite génératrice de rhélicoide pourra avoir la position A. ou la position A..

Dans le premier cas , la génératrice droite ^ est inclinée dans le même sens que l'hélice H ;

Dans le deuxième cas , la génératrice droite A. est inclioé^ ^ aens inverse par rapport à l'hélice H.

Dans le deuxième cas , la ligne de séparation d'ombre et de iujiiîère aura pour projection horizontale, dans le premier et le septième cas exanÛDés ci^dessua^ § X, les .branches d, des 6g» Y et XIIU Ainsi, la courbe en projection hori«o«tale doit être complète , c^r rien n'indique lorsqu'on la construit sur son plan (sans s'inquiéter du problème d'ombre), si la génératrice droite de Thélicoide est dirigée dans le sens du' rampant de l'hélice H ou eo^sens contraire ; la construction gr»* phique sur le plan doit donc satisfaire à touteiles reiationa de position de Tespaoe que le problème d'ombre ^ut ofirir« Et c'est ce qui a lieu en effe^U

. £n îrésumé :

L'hélice H ^ ligne de gorge de la surftoe hélicoide, peut ramper de gauélie ^ droite ou de droite à gauche sur la partie antérieure du cyljndre A sur lequel cette hélice H est tracée , et dans l'un et Tautre csiSy la génératrice droite A de oMte suriaee hélicoide peut être inolmée 4 rhor-izon , dans le même sens ou en sens eontraire , par rapport à cette iiélioe B.

' Si rinclinaison de la gdaérairice droite 4 est dans le même sens que le rampant de rhélice H , que cette hélice rampe de droite à gauche ou de gauche à droite 9 la branche 9 (Jig. V et^III ) sera la projection horizontale de la ligne' de séparation d'ombre et de tumière.

^i f au otfntrftire^ rindioason de ia générafriee droite A est en sens contraire au rampant deFhélieeH, que celte faéKce rara^ de droite àigraelie ou de gauche à droite, la branche d, {fig. V et XIII ) sera la projection horizontale de la ligne de lôparatioA d'ombre et de lumière.