XIII
Des diverses /ormes que peut affecter la projection kc^zontale de la ligne de sépara^ tiou d ombre et de lumière d'une surface hétismde générale , dont la génératrice drokê est horizontale, suivant CincUnaison du rayon lumineux*
Lorsque la génératrice droite A de la surface hélicoide est horizontale , le cercle D n'existe pas , ou mieux son rayon est infini.
Dès lors, le point fixe p est toujours dans l'inférieur du cercle D ; par consé^ qiftnt , tant <}ue ce point fixe p sera situé à une distance finiedu centre c/", c'est • à-dire tant que le rayon de lumière ne sera pas horizontal , la projection de la séparation d'ombre et de lumière sera une courbe fermée.
Premier cas. Le point fixe "p étant, situé hors du cercle M,
La courbe offrira un nœud au point p, ainsi que l'indique la fig. XYI.
Deuxième ca$.. Le pwut fixe pMmitsiùêé sur lecerMe M. La courbe offrira un point de rebroussement au point p, ainsi que l'indique la Ig. XVII.
Troisième cas. Le point fixe p étant situé dans l'intérieur duoercU'H. Lacourbe ne passera pas par lepoioti»; elle^era tangeate en les points s et s. a« cercle M , et elle offrira laXbune iadkyiéepftr la. fig. .XVIH. Quatrième cas. Le point fixe p étant situé cai centre du cercle M. La courbe ne 'sera autre que le cercle V léinnème. Remarque. Dans les 1*% 2* et 3* cas , le rayon lumineux est plus ou moinB incliiîi
à rborizon, il fait un angle pibs ou moins aigu ayec le plan horizontal ; niais disins le quatrième cas , le rayon lumineux est vertical , il fait un angle droit atec le plan horizontal.
Cinquième cas. Le point fixe p étant situé à C infini.
Dans ce cas « la divergente pi est toujours perpendiculaire à la projection du rayon lumineux; le point l est situé à Tinfini ; dès lors , le^ rayon oH est parallèle & pi; la ligne de séparation d'ombre et de lumière est donc tout entière-sitiiée à Tinfini.
S XIV
Construction (Cun compas propre à tracer (Tun mouvement continu la courbe i y suivant
les formes qu^elle affecte dans les fig. XVI , XVII et XVIII.
Pendant que la branche A, dont une des extrémités peut tourner librement autour du centre fixe o^, fig. XIX , se meut autour du centre, il faut que la branche E y dont la rainure glisse sur le pivot fixé d'une manière invariable en p, reste toujours parallèle à A.
On obtiendra ce résultat en fixant la branche à rainure E à la règle A, au moyen Hl'mi parallélogramme ayant trois de ses articulations eno*, en p et en s (point situé sur le cercle M); la règle B portant une rainure sera fixée en s et perpendiculairement à la règle A.
' Le crayon x, en glissant entre les rainures des branches £ et fi, décrira la courbe d.
Dans te cas où Ton considère une surface faélicoîde dont la génératrice droite est horizontale , on remarque que la projection de la ligne de séparation d'ombre et de lumière affecte des formes analogues à celles que Ton obtient pour la surface hélicoîde dont la génératrice droite est inclinée à Thorizon. Il suflit pour s'en convaincre de jeter les yeux sur les fig. IX et XVI , X et XVII, XI et XVIII.
Mais il est bien évident que ces courbes , analogues de forme , n'ont pas la même équation , puisque la construction de leurs divers points est difi*érente pour les unes et pour les autres.
' Dans te cas où la génératrice droite A est horizontale , la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière est une épicycloîde.
Ainsi , on a :
1* Une épicycloîde parfiiite (fig. XVII), lorsque le point fixe p est sur le cercle M;
- T Une épicycloïde rallongée {fig. XVI) , lorsque le point fixe p est liors du cercle M ;
Et S"* enfin uneépicycloide racccwrùie {fig. XYIII}, lorsque le point fixe p est dans rintérieup du cercle M.
Il^st facile de reconnaître que cela a lieu en effet :
i'' Rappelons-nous que pour construire un point x de la courbe d. , lorsque le point p est situé sur le cercle M , on exécute la construction suivante (^^. XX)*
On mène par le point p une divergente ; par le centre o*, on mène un rayon parallèle à cette divergente et coupant le cercle M au point s ; par le point s , on mène une perpendiculaire au rayon o*$ , laquelle coupe la divergente en un point X , qui appartient à la courbe S.
Pour obtenir le point x, on peut exécuter une autre construction.
En effet :
Sur oV comme diamètre décrivons ^ cercle G ; menons par le point t , milieu
de 0^ et centre du cercle G, une droite parallèle aux droites pairalléies entre
elles o^B et px , cette droite coupera le cercle G au point n; prenons itt's: ni , et 4u point t comme centre décrivons le cercle G' ; les deux cercleiT G et G' seront tangents en n, puisque leurs centres t et V et le point n sont en ligne droite ; de
plus ces deux cercles auront même rayon ^ puisque Ton a pris m'=nt*
Cela posé :
Je dis que le cercle G passe par le point x. Gela est évident sur la figure*
Maintenant les arcs de cercle nk'x et nkp sont égaux ; par conséquent si je fais
rouler le cercle G' sur le cercle G , le point x engendrera la courbe 3. Donc la
courbe 9 est une épicycloïde parfaite à une seule involution*
9/^ Lorsque le point p est hors du cercle M, on construira sur o^p comme diamètre un cercle G ; le point t , milieu de o% sera le centre de ce cercle (fig. XXI). En menant par le point t une parallèle n' aux droites parallèles entre elles
px ei cf'Sy elle sera équidistantede ces deux droites.
Menons par le point s une parallèle à o^p, elle coupera la droite iî' en un point t';
et si de ce 'point t", comme centre et avec un rayon égal à oH , on décrit un cercle G', ce cercle passera par le point x , et de plus les deux cercles G et G' auront par construction des rayons égaux. ^
Gela fait : * - Partageras la distance iT en deux parties égales pair le point q^ et décrivons
des points t et t' comme centres et avec un rayon égal à la moitié de n', deux
cercles C, et Ç^^Msàmx Mes(^ seront Jtjfigeatfl W/^r.;^ 4i pbiot^ awà etténeur au cercle C/.
Or il est évident, ))ar la figure 6lle^>nième« que si 4e cerde G/ roule sur le cercle C,, le point x engendrera la courbe 3.
La courbe d est donc dans .ce -cas une é()icjc]pide rallongée et à une seule învolution.
S* Lorsque le poirit p est dans rinïérîeùr du cercle M, on peut faire les mêmes cbnstr actions (fig. ICXXf) et les mômes raisonnements que ci-dessus, et on voit que hr uotirbe 8 est dan^ ce cas une épïcycloïde raccourcie et à une seule involution(*),
SXVt." Ligne deg^^ationil'Wiére ^ 4e éaiààre mer l€ ^mixfobc» éufikt 4k 9k.
Il est évident que pour passer de la surface hélicoîde générale à la smHTace de IkH^, soit t|U^ette soit àfilet triangulaire, Ibîl qu*elle soit à filet carré, il suffit de supposer ; 4ai» ce «qui i^récècte, qm le rstyon du cercle S se réduise à zéro , et de supposer kmsiy ^ang toutes les eetstructions grapUqttes prèêédeMei, ^eld^ poÎAtSvf^ Vj«., ie eonfond^M ea un seul point, en se superposant sur le centre c^
— - - 5 XVH.
Tis truaigukàTtt
ikiSk kM^ 4ii|«i|a'41 ^\t^ dilIBIet trtongulaîre, lecerde B existera, et le point ike^^uirft^iKMr 5 peskions semftrquaMes.
Premier cas. Le point pétant horê du cercle D (rayen lumineux incliné). iM^p iU f Mk m Bédiu 4igM de ^paralioû ^k^mlyre et de lumière aura la forme iffdi<9«ée ég. XXJIU
«DsuHtaiK: cà8« LepaiMfpÉêaM^ur le'e»ri[>kt){v9fion linineQx hiclitté), La courbe d aura la forme ittdîquée 6$% XSIV.
Troisième ca. JLe point p étant dam Tintémur du ^erele U i4^<m Iubûiimx incliné), lia courbe 3 aura la forme indiquée fig» XXV. QuATRi&ME cas. Le point p étant le ceniTje o^ (rayon lumineux vWtical)* La courbe d se réduit au centre o^. **
— gl —
(^.OUiÈMi: CAS. Is psini p.étmU à tit^fini (rayon l^mioeu» horisBontaiy.
La courbe d. aura la foçittaindiquée fig. XXYI.
Remarque^ Nou6 pouwaa Êdre siir. ces^ eomrbeft le» mêibes ebMmrtion» ^pi^
pour rbélîcoïde générale., car oa voit q^e àaiif \m V ^ $i^ cm y h «âiifb^osjk
composée de deux branches infinies d et d,.
8 XVUI.
f^û carrée.
Pouf* la surface du filet de vis carrée , la génératrice droite A est horizontale ; le
awcte D a doiftc un vayon inffni , et le cercle Ma un rayon nuh
Le .point p ne pourra donc avoir que trois positions remarquables.
PnBmeii ca«. Le pemt p étant à distance finie du centre &" («rayon tumineu:);
inclitté).
La cQBfiSruction du poînt x de la eourbe d {fig. XXYII ) nous montre de suite
que cette courbe est un cercle tracé sur o*p comme diamètre :
La Kgne de séparation d^ombre et de lumière sur la surface du âfet de vi; carrée sera donc une hélice (*).
Deuxième càs^ Le point p ékint le cenire e^ (rayon lumineux rertical).
La cauffbe i so réduit dans oe^oas-au. eentre cf^.
TROISIÈME CAS. te p^fp étant situé à t infini (i*ayoii himineux horizontal);
La ligne de séparation d'ombre et dejumière.est située- tout entière à Tinfini.
s XIX.
Mais au lieu de déduire le tracé et 1% forme 4e la projeclioa horizontale d^ ]a ligne de séparation d'ombre et de lumière de la vis triangulaire , d^ ceiqqe nous avons dit par rapport à rhélicoîdr géuérale y "et cela en supposant que le rayon du cercle M se réduise à zéro , nous pouvons chercher directement la solution de la question posée d^une nsânièro spéciale pour la vi» tnangulam*
Reprenant donc la fig. e , oii nous avons construit le point o^y qui* appartient i la courbe ^ nous devons voir s'il ne serait* paa possible de prouver que cette courbe jouit aussi de la propriété d'avoir un point fixe.
(*) Voyez dans les déeelcfemenU âe géométrie descriptive ce que j*ai dit au sujet delà propriété [dont jpnit la surface du filet de vis carrée , sayofir : d'être coupée $iiivaAt «a^ bélioe ppc V)utcyiiiMke;4(9'r6- Tolatîon passant par raie de la Tis ; ou > i» â^autres UrmeSy a^ant l^a^ç d^ la vis pour que de se$ g^néct:^ Iriiaa droites
Et dès lors reprenant la ûg.e (2* partie) pour en composer la fig. A, nous toyons qu'en faisant tourner la droite H' autour du Centre (/ et d'on angle droit , le point a viendra en a\ le point r en r\ et le point if en a/" ; et cela parce ijœ Ton
9^. ^= bitj puisque la droite B^ fait un angle demi-*droit avec la ligne A^.
Le point a' sera donc un point fixe^ - -
Dès lors on en conclut que la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière de la vis triangulaire doit bien être construite ainsi que nous l'avons dit ci-dessus , § 16«
Lorsque le point fixe a' est supposé à Tinfini , alors le rayon de lumière est horizontal ; dans ce cas , la ligne de séparation d'ombre et de lumière peut être considérée comme le contour apparent de la vis triangulaire , en supposant Tœil du spectateur situé à l'infini sur le rayon lumineuf ; la projection horizontale de ce contour apparent se construit facilement , ainsi que nous l'avons dit , § 16. * Mais cette construction peut être simplifiée et de la manière suivante : La fig. XXYI nous donne la fig. B; le point x est un point de la courbe ;
Fangle lox est droit.
Si nous menons par le centre o du cercle D Une droite G perpendiculaire à la droite aa\ qui contient à l'infini le point yîxe a', cette droite G coupera le cercle D en 9 ; et si nous menons en q une tangente K au cercle B , cette tangente K coupera le rayon ox au point y.
Or, je dis que l^on a toujours iox^=qy.
Et en effet :
Les deux triangles rectangles yqo et xla sont semblables , puisque les angles
Ixo.ei qyo sont égaux comme angles correspondants. On a donc :
ol : oq :: ox : qy
Or"o?= oq comme rayons dîun même cercle, donc on a : oxx=iqy^ ce qu'il ftiUait démontrer,
% XXL
Omêtmctian des campas propres à tracer la projection harizcntale de la ligne de sépa- *" ration d'ombre et de lumière (tune vis à filet triangulaire.
Ces compas seront identiquement les mêmes que ceux qui nous ont sefvi pour tracer la projection de la; ligne de séparation d'ombre et de lumière pour rhéli-*
coïde générale. Il su ffira de faire glisser la branche B, de manière à ce que le points . se superpose sur le centre o^.
Les fig. XXVIIÏ, XXIX et XXX donnent une idée suffisamment exacte de la forme et de la position des branches E, B et A, les unes par rapport aux autres.
