QUATRIÈME PARTIE

CtfBitrvelîoii de lâ ligne de téparetâon d*ombre et de lamîére d'une f arfeoe héUcoIde générale t

en fiippOMUt cette turfeoe éoleirée per iin point Inmmeiiz.

Tout ce qui a été dit dans la première partie, au sujet des paraboloîdes , trouve encore son application , dans le cas où la surface hélicoîde est éclairée par un point lumineux.

Les constructions auxquelles nous serons conduit , pour déterminer les divers points de la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, sont déduites des mêmes principes qui nous ont servi lorsque nous supposions la surface éclairée par un rayon lumineux.

Supposons que le point lumineux / soit projeté en /^. (fig. G) et que nous voulions déterminer la projection a/" d'un point x de la ligne de séparation d'ombre ' et de lumière, ce point x étant situé sur une génératrice droite A de la surface hélicoîde. Il est évident que toutes les considéralions géométriques qui ont con* duit à la fig. c (deuxième parlie), alors que Ton supposait un fayon lumineux, apparaissent de nouveau ici dan^ le cas d'un point lumineux. Seulement la trace Hp du plan P assujettie à passer par la génératrice droite A , ne sera plus déterminée par la trace horizontale du ragm lumineux passant par le point m , mais devra être déterminée par la condition de passer par l^ point lumineux U

On mènera donc (fig. G) par le point /une droite parallèle à la génératrice A , laquelle coupera le plan horizontal mené au-dessous du point m à la distance GOniiue: z=R tang a, en un point y; et en joignant les points y et z Ton aura la trace H p. Et le reste de la construction sera identiquement la même que celle de la fig. c ( deuxième partie).

Dans le cas où la surface était éclairée par un rayon 'Qe lumière, nous avons pu simplifier les constructions graphiques et arriver i l'invention de divers compas propres à tracer d'un mouvement continu la projection horizontale de l.)

ligne de fiéparadoiv d^ombre et de lumière; p<mrron6-no«i6 obtenir des réstAttits analogues dans le cas où la surface héiicoide est éclairée par un point Iqmiiieuz^ e'eAt ce que nous iiUoiis exatminer.

Si nous concerons diverses génératrioes droites A^ A\ A"^ de la surfooe ké*

licoîde, nous aurons une suite de plans P, P', P'^, passant respectivement par

ces génératrices droites de la &ur£9M)ehétÂc<Hde et lesquels seront parallèles à une droite (ixe L dans le cas d'un rayon lumineux, ou une suite de plans P, , P^ , P'^ ^.. . passant respectivement par les mêmes génératrices droites de la surface héiicoide et par un point fixe /, dans le cas d'un point lumineux.

Or, dans le premier cas, par le point m nous peurroots mener dans leplam P •we droite K parallèle à la droite L ; par le point m' nous -pourrons naeotr dans le plan P' une droite K' parallèle a la droite L, aiiiai de suite (les ùiy^s points Wf m', ... étant situés siir Ibéiice H décrite par le pied de la plus courte dis- ($U2ce existant entre Taxe O delà surface héiicoide et sa génératrice droite A).

Mais dans le deuxîècne cas, si par le point m on mène dans le plan.P, une droite K, faisant avec le plan horizontaljoo angle g; si par le point ni on mène dans le plan P\ une droite K\ faisant avec le plan horizontal le même angle 6, et ainsi de suite, on voit sans peine que toutes les droites K, K^*»* seront parallèles entre elles, et que toutes les droites K,,K^,..«. ne seront pas parallèles entre elles.

Or c'est précisément parce que les droites K, K',..»- étaient parallèles entre elles, que nous avons pu (§ X. 3* partie) simplifier la construction graphique donnée par la solution directe du problème, puisque nous avons été conduit à trouver que le point pétait fixe; et comme il est évident partout ce qui a été dit dans la troisième partie que ce point p ne peut être fixe que lorsque les diverses.droites K, KV--** sont parallèles, on voit de suite que lorsque T^n aura des droites K,, K',,.... non parallèles entre elie^, le point p se mouvra sur un^cerde C ayant le" point o* pour centre.

Et comme la position du point p sur le cèrde € dépendra de la position que

prendfa chacun des plans P,, P^,, il s'en suit que, tout bien considéré, la

construction à eflTectuer serait aussi longue que la «onstruocion directe que nous avons expejiée ci-dessus (fig. C ).

Nous n'irons pas plus avant sur ce sujet ; peut-être un jour pourra-4-on , par queques considérations nouvelles, construire mécaniquement la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière d'une surface hélicoïde éclairée par un point lumineux, ainsi que nou^ avons pu le faire dans le cas où cette surfoceèst éclairée par un rayon lumineux.

Étant données deux droites À e/ R, sitr la première un point a et sut ta seconde un point b , constrmre nn cylindre de révoluihn tangent aux droites A et B, et respectivement en les points a et h.

Nous plaçons ce problème après le mémoire n* 4, l'une de ses solutions nous ramenant à la propriété de la parabole dont il a été question dans te première partie do mémoire n* 4 précédent; et quoique ce problème n'ait aucun rapporta la théorie des ombres, nous avons cru pouvoir le placer ici , parce qu'if n'est p« sans intérêt en géométrie descrip6ve^

Soient données deux droites A et R; menons pjr la droite A un plan P parallèle à la droite B, et par la droite B un plan Q parallèle à la droite A.

Cela fait , prenons la plus courle distance D existait entre l6$ droites A et B et coupant la droite A au point p et la droite B au point q^

Nous pouvons sur la droUâ pq, comuie diamètre, construire une sphère S, qui aéra évidemment tangente en p eiq aux plans P et Q«

Tom les cylindres tangents à la spbère S seront de révolution et seront tangents aux droites A et B en 1^ points p^lq.

Les axes de révolution de ces divers cylindres sont tous situés sur un plan R peipendicu laine à la plus courte di^tanoe B, et passant p^r son milieu d.

Ainsl^ lorsque les poinls a et j^ ne sont autres que les pieds p et q dè-la j:^

cQiirte distanee^xiatunt entreles droites données A et B^ le problème a une inO* AÎtédesolutiofls^

§ II

Prenons sur chacune des droites A ét'B, savoir : un point a sur A et un point b sur B \ ces points a et 6. n'étant plus les pieds de 1^ plus courte distance p exiat^nt entre les droites A et B.

Par le point o milieu de ab nous pourrons mener un plan R parallèle aux^pl^ns P et Q détermyiés aînj^ <Iu'îU. été dit ci-dessus | L

Par le point o nous mènerons une droite K perpendiculaire au plan R et cou-* pant le pli^n P en un point a! et le plan Q en un point 6^

IjCS droites aa et bb' seront parallèles.

Nous pourrons mener par la droite E un plan perpendiculaire aux droites aa' et bb' et tracer dans ce plan un cercle G ayant a'b' pour diamètre et le point o pour centre.

Le cercle G sera évidemment langent ena^ au plan P et en 6' au plan Q.

Dés lors il est évident que le cylindre 1, qui aura le cercle G pour courbe directrice et ses génératrices droites parallèles aux droites parallèles aa! et bb\ sera de révolution et atira son axe de rotation situé dans laplan R; cet axe passera par le point o et sera parallèle aux génératrices droites diamétrales aa et bb' de ce cylindre I. Et à mesure que l'on fera varier la position des points a et 6 sur les droites données A et B, le cylindre 1 changera de position et de rayon; mais son axe de rotation restera toujours dans le plan R. Et pour chaque position particulière des points a et 6 il n'y aura qu'un cylindre, et ainsi le problème n'aura qu'une solution.

Étant donnés un point a sur la droite A et un point b sur la droite R, menons

par le point o milieu de ab un plan Z perpendiculaire à cette droite ab.

Ce plan Z coupera la droite A au point x et la droite B au point y. .

En joignant les points o; et y nous aurons une droite L , et de telle sorte que les droites L et A détermineront un plan P. et que les droites L et R détermineront un plan Q,; ces deux plans P. et Q, se coupant suivant la droite L.

Gela posé ,

Il est évident que chacun des points du plan Z est également distant des points a et b. Par conséquent, si Ton prend sur la droite L an point /, les droites la et i& seront égales; dès lors, aussi, si du point a on abaisse une perpendiculaire am sur la droite L, et si du point b on abaissé une perpendiculaire bn sur la même droite L (les points m et n étant sur la droite L les pieds des perpendiculaires abaissées), on aura :

am = bn.

Et si du point o, milieu de aby on* abaisse une perpendiculaire sur la droite L, son pied t et les points m et n se confondront en un seul et mènfie point. Gela posé , * .

"Menons par les points a et 6 deux droites A' et B' parallèles à la droite L, le»

droites A et Â^ seront dans le plan P, et les droites B et B' seront dans le plan Q,.^ Si par le point o nous menons un plan Y perpendiculaire à la droite L, il coupera le plan P, suivant une droite T et le plan Q, suivant une droite 0.

Ce plan Y coupera la droite L précisément au point i, ei la droite A' au point a, et la droite B' au point b.

Et il est évident que les drorles T et ne seront autre que les droites ta et i^;

et nous savons que l'on a : ta = i6.

Nous pourrons donc tracer dans le plan T un cercle C tangent en a et 6 aux droites T et 0, et le regarder comme la section droite d'un cylindre de révolution A ayant son axe de rotation parallèle à la droite L.

Ce cylindre A sera évidemment tangent en a et 6 aux droites données A et B,

Et Ton voit de suite que, poyr le cylindre 2 déterminé § 2 , le plan oxibV est un plan diaméiralj tandis que pour le cylindre A, que nous venons de déterminer § 3 , le plan aÀ!bh^ est un plan corde.

Ou, en d'autres termes , pour le q/lindre 1 la droite aob' est un diamèPre de la section droite et circulaire G, et pour le cylindre A, la droite aob est une cord'i de la section droite et circulaire G'. *

§ IV

Étant donné un point fixe a sur la droite A, on peut se demander de chercher le lieu des axes des cylindres de révolution qui seraient tous tangents en a à la droite A, et respectivement tangents à la droite B en ses divers points 6, é., 6^,... Pour résoudre cette question y faisons passer par le f)oint a et la droite B un plan que nous prendrons pour plan horizontal de projection.

La droite A se projettera sur ce plan suivant A'^ {fig. M ).

Cela posé :

Les axes des cylindres de révolution A, A., A,... cherchés, seront r^qp^ectivement situés dans les plans Z, Z,, Z«,.«. menés perpendiculairement aux droites a^, ab.^ ab^y.,. et respectivement par les milieux o, o^, o,».. de ces droites.

Or ces plans Z, Z,, Z,,... sont tous verticaux, tous perpendiculaires au plan horizontal de projection. *

En sorte que si, par les milieux Oy o,, o,,... des divergentes a6, a6., âfr.,... nous menons des perpendiculaires H', H% H'",.«. à ces droites, nous aurons les traces horizontales des divers plans Z, Z. , Z, .... Mais les points o, o., o, ... sont sur une droite I parallèle à la droite B ; et dès lors, en vertu de ce qui a été dft dans le méihoire n"" &, les droites H% H^', H'*... sont les tangentes d'une parabole i ayant le point a pour foyer et la droite B pour directrice. Les axes des cylindres

derôvolulfoa sont donc 4i&tribaés sur les diviên plans Z^ Z^r Z, ...UiagenU à ub cyiinclre vertical ayant.Iaparabolaà.pou£âectiûn. droite.

il sera facile de construire les projections de Taxé U, de Fun de ces cylindres de révolution; et, en efiet : „.

Prenons pour plan vertiéal de projection un plan parallèle & la droite A. hës lors la ligne de terre (fig. M) sera parallèle à A*; et projetant le point â en a* sur la ligne de terre LT, et traçant la droite A* faisant avec LT Fangie que la droite A fait avec le plan horizontal (angle qui est connu, qui est donné, pmsqn'îi est àgdi à l^angîe que font entre elles les droites données A et B*) , on aura la projection verticale de la droite At

Cela ferit :

Par le milieu o, de la droite ab, roenant la droite B* perpendiculaire à aé., cette droite H*' sera ttingente à la parabole 9 et coupera fe droite B au point y et la droite A* au point x* (x* sera sur A').

La droite È qui unit les points a; et y sera parallèle à Faxe O, cherché.

Donc U,* sera parallèle à II'', qui n'est autre que L,'^ et U,* sera parallèle à L,* (celte droite L,' est facile à construire^ puisque Fon connaît les points x et y qui la déterminent).

Le centre p, de la section droite et circulaire du cylindre A, ( cylindre ayant U, pour axe) sera sur le plan Z.; donc le point p,*sera sur la droite H'*; et comme le cylindre A, doit être tangent en a au plan (C., A ) , ce point p. s'obtiendra par rinterseciion du plan Z^ et dt) la normale R. menée au point a au pian (L,, A).

Désignant ce plan (L. , A ) par P, , la droite ay ne sera autre que H**, et dès lors la droite R*, menée par le point a perpendiculairement à la trace H**' sera laf projection horizontale du rayon d'un cercle qui sera la section droite du cylindre A,.

Cette droite R * coupera la droite H'' en un point p!" qui sera la projection horisontale du centre du cercle^eciion droite du cylindre A,.

Il sera facile de déterminer p,'' ; et les droites U,* et U,'' menéeapar les points p.* etp.*" respeetivement parallèles aux droites L,*" et L/ seront les projections de •Faxe U. du cylindre de révolution A, tangent, en a à la droite A et en ^. à la droite B»

8 VI

* Mais 9 en vert» de la constructioo cfiedttée pour trQuv^, sur le plan horizontal de projection ,. le point p.Voâ seconnait que ce point est situé sur U parabole i, et qu'U n'est autre que le eoittact de celte parabole d etde sa tai^ente U'*.

9m Qon^écpÊêni , le lieudes diTers centres p., p,, p, .«^ des .sectiow cireiUaires des diyers cylindres A,, A, ^ A3 ... sera une courbe 6 qui se projet^ra horizontor lement suivant la parabole i»

Mais comme , quel que smt le point b.yb^j b^,.. que T^n conndère sur la droite ByOn aura toujours les traces V% y^% M^^ ••• parallèles à A", il s'ensuit que les points p,", p,% p,' ... seront lous situés sur la droite R,'' menée par le point a!" perpendiculairement à la projection verticale Â^ de la droite Â«

Dès lors Û2I doit en conclure que la courbe g est une courbe plane, et qu'elle Mi Ja parabole section faite dans le cylindre vertical et parabolique ayant la ooiirbe $ pour trace horizontale , par un plan mené par le point a perpendiculai^ rement à la droite A.

* (iféliOlRB oiébitJ.

CONSTRUCTION DE LA TANGENTE EN UN POUST 1*" DU CONTOUJl APPARENT DE LA SURFACE B£ LA VIS TRIANaULAlRE J ^ DE LA PROJECTION HORIZONTALE DE LA COURBE DE SÉPARATION d'ombre ET DE LUMIÈRE BE LA SURFACE DE LA VIS TRIANGULAIRE (i)*

De la tangente en tin point du contour apparent de la surface de la vis par la tnéthode

de ROBERVAL.

Il s'agit de construire :

1* La tangente à la projection horizontale de la courbe en qai99tion ; 2* la tangente à la projection verticale de la même courbe. ( Cette seconde tangente se déduit de fa première au moyen du plan tangent. )

■ ■■■'■■ ■ ■ t ■ ■ Il 1 1 ■ ■■■■—1*—^— ■—■—■■ ■ ,

{%) Ii0 recherches géomé||ique8 consignées dans ce mémoire eont àe M. PoiiaD.Er ; la védaclioa ast de M* ftuuiN , répétiteur des travaiK graphiqnesâ l'École polytechnique.

in 4tt7» if. PwcBLBT , qui é^ail alors professeur de mécanique à TËcole d'application de Uetz^ commaniqua à M. Bardin , qui était à celte époque professeur à l'École régimentaire d'arlilierie de la même vtfle, îes Mies ^m ie publia m «n» le bi» 6y at ^i é^neat déjà anciennes , puisqu'eQee daCaieiU de i'Ëoole polylaofanique.

Ûi . iWiiiiiiT et 6«iu.noN étaient élèves à l'École polytechnique en 4 S09 , et ce fut cette année qu'ils trouvèrent une construction très-simple de la prqieottan horizontale de la lifûe de séparation d'omt^ne et

Rappelons <Fabopd la construction graphique de la projection homontade de la

courbe* , -

AP et AB {jig. 1 ) sont deux droites perpendiculaires entre elles ;

P est un point fixe ou pdfe (c'est le pied de l'axe de la vis sur le plan herizontal) ;

PB rayon vecteur tournant autour du point P, en s'appuyant sur la droite AB.

Cela posé :

Si l'on prend PX = AB, le point X appartient à la courbe. , .

Le point générateur X peut être censé animé de deux mouvements : Tun angulaire autour du pôle P, mouvement qui peut se mesurer sur la perpendiculaire en X au rayon vecteur; l'autre de translation vers le point B, en suivant le rayon vecleur.

Or, d'après le principe de Roberval , la résultante de ces deux mouvements a pour direclion la tangente à la courbe au point X.

La solution du problème se réduit donc à la détermination des vitesses comp'osantes.

En comparant le mouvement du point X à celui du point B le long de la droite AB , on voit :

V Que la vitesse de translation du premier point (qui est le point X), le long du rayon vecteur PX, est la même que celle du point B le long de la droite AB, car leurs accroissements sont sans cesse égaux.

Or ce que l'on appelle, ici, vitesses ou fluxions n'est pas autre chose que le rapport des accroissements infiniment petits de deux quantités variables ; c'est-àdire le rapport de leurs différentielles.

Soit donc Bb {fig. î2 ) la vitesse du point B , celle du point X sera Xx, égale à hb.

de lumière , et du contour apparent de la vis triangulaire. Leur solution était très-différente de celle donnée par Hachette, A celle époque, la solution de M. Persy n'était point connue à l'École polytechnique, ni celle de M. Français, puisque celte dernière ne fut publiée dans la Correspondance de TÉcole polytechnique qu'en 1840.

La conslruclion graphique de la projection horizontale des deux courbes , que rappelle^M. PoNCEtw dans Ips notes que je publie ici , est précisément celle sur laquelle je sois retombé en i 84 9 ,*en passant de rhélicoïde générale à une surface plus simple , celle de la vis triangulaire. II est évident que MM. Poncelbt et GtJiLLEBON avaient, en 4809, trouvé, pour la vis triangulaire, précisément la méthode à laquelle je fus conduit , sans connaître leur travail sur la vis à Ûlet triangulaire , et qpe j'ai appliqué à l'hélicoide générale ; car on doit le faire remarquer , celte méthode est la seule , entre toutes celles exposées jusqu'à préfient , qui conduise à la découverte du point fUce qui sert à simplifier d'une manière si élégant» la conduction y par points , de la <;ourbe cherchée»

La priorité de cette méthode appartient donc à MM. PomiBLET et GoatEBON. Il est à regretter que les reclierches de MM. Poncelet et Gcillebon n'aient point été immédiatement publiées dans la Correspondance de l'École polytechnique: M. Guillebon était, à l'époque de sa mort arrivée en décembrô.4844^ ingénieur en chef et professeur à l'École des ponts et dhaussées. - T. 0. .

2* Qae les points X et B, situés sur le même rayon vecteur, ont la même tit6m angulaire; el les arcs circulaires infiniment petits parcourus par chacun d'eux ^ sont proportionnels à leurs distances PX et PB du centre P.

Donc , la vitesse de rotation de l'un conduira à celle de l'autre.

Or, si l'on décompose la vitesse de translation du point B sur la droite AB, en deux y l'une suivant PB et l'autre suivant hb' perpendiculaire à PB , la dernière sera évidemment la vitesse de rotation du point B autour du point P. En vertu eu parallélogramme B6,66', Bb' sera la vitesse élémentaire du point B sur W. En effet, soit B6 infiniment petit , ta ligne W est sensiblement la direction du rayon vec^ teur correspondant , et B6' est un arc circulaire infiniment petit , décrit du poitti P comme centre. Or, Bb étant bien l'accroissement de AB, bb' est l'accroissement du rayon vecteur correspondant, et Bb' (arc circulaire infiniment petit décrit par le point B) est Taccroissement élémentaire de l'arc total BC.

Cela dit, reportons^nous au point X ; l'arc qu'il décrit, dans le même mouve* ment , devant ë^^e proportioqnel à l'arc Bb', sera obtenu en traçant la droite Pé, qui coupe la droite Xo;' (menée perpendiculairement à la droite PB) au point «# L'arc Xx' sera la vitesse de rotation do point X.

Connaissant la vitesse de translation Xx, du point X et sa vitesse de rotation Xx'j on aura celle de son mouvement réel à l'aide de la diagonale Xx du parallé* logramme Xo^'xa:,,

Or Xx est l'élément prolongé de la courbe que décrit le point X , cette droite Xx est donc la tangente à la courbe décrite par le point X et en ce point X. On peut objecter que le| vitesses ou accroissements qu'on considère sont censés infiniment petits, et que cependant on opère dans le tracé sur des longueurs finies.

Mais il faut remarquer qu'on n'a considéré que les rapports des accroissements des quantités variables, en sorte que la longueur Bby qui représente l'accroissement de AB est tout à fait arbitraire ; car la direction de la droite Xx, qui ne dépend que du rapport existant entre Xx et Xx, , restera toujours la même ; en sorte que si l'accroissement Xx de la courbe change, néanmoins son rapport avec Taccroissement hb n'aura pas changé. '^

Au surplus , la considération des deux mouvements du point X et des vitesses qui en résultent n'est pas indispensable pour trouver la direction de la tangente en ce point X de la courbe.

Le parallélogramme des vitesses ne sert, dans la construction précédente, qu'à faire trouver Taccroissement'de l'arc de la courbe, au moyen des accroissements des coordonnées (du point X) qui lui correspondent. Aussi peut-on simplifier la construction précédente en remplaçant les auxiliaires B6, B6', B6,,*«« ^^*^ P^i* '^ données de la figure elle-même.

iB,BB'. Dès lors, PX égal 4 4B repré^aMeva la vî«eâ»«^u pMi X k kMi^ du rayon vecteur PB.

La vitesse de fouilos XX' du pM&l X «utoup du |)iowt P si^bà&uàn en tirani (adroite PB' ei en élsvMàt XX' perp^ioubire 4 PB. Lacbagooale X;r du parallék|;ra0Hne.PXX'a;Mra la dûûction de la tan§Mteau poiai X d« la eowbQ.

A«i|iflrq«tB6 q«e le c6té;»X' duk parallôlftgranimâ XX'P^ leaeofifavela^dcatte PA en un point K» et la dvoite XK esA faraUèLai la dvoit&AB^ nar laatoiM^a iB'B ft KX'X sont semblables ei ont feurs eôtéa parallèle»^

BÊtaième Afnpt^œa&aiu La rqnwrqnff poéoédeâteiMttdâdta ano eo^a t ma ttptt pfais sinipie de fat laogente Xj; y et eatÉet ()l^« 4 ) «o pevi oblattir tnmédsaAeneBt le point K en menant par le point X one^nrallèle.è àJà. Gela faâk^, meaûiia par le paîat K imedrohe Hx paraUè&eaa caym vecteur PX , ei par ht point P Me droite Rr perpeodieubîrç è ce raymi 'leeteor FX; les doMles Kx et ^ se couperont ei^ on point j: qui appattiendr» i la innfiirtti Xj? a mener à la oourW et au point X.

Trtmème rintpl^caAon. La constraetion précédente conduit à ime constraclion

phrs smple encore. .

Sur AP comme diamètre {fig. 5), tracez la demi-circonférenee AQP; menés la corde AQ para^èle an rayon vecteur PX ; tracez la droite BQ , elle sera une paraifèle a la tangente demandée.

Et en effet : d'après la|constrnction , les figures PQAB et PfriCX sont semMaMea et semblablement placées ; les diagonales BQ et Xx wat donc parallèlea.

Les dernières constructions montrent de suite i* que la droite AB est une asymptote de^ courbe lieu des points X..., et 2" que cette courbe touche la droite AP au point P.