IL

De la tangente à la prtyectian horizontale de la comrbe dé ^tpamthn d'oiféee ei de lumière enr la Wirfàùe de la vta> par la méêbode de Ri^fiRVAU

Rappelons d'abord la génération de la courbe.

(kl donne l"* le cercle BDE (fig* 6 ) ; 2'' Tangle droit BCD dont le sommet reste toujours au oentre C ; 3^ te. point P, poinl fixe ou pdle«

Pour ooostruîfe tes divers pointe de la courbe , on exécute les opérations gra* phiques suivantes.

Soit Vhiigle droit BCO (fig. 6) dans une position quelconque ; le c6té Gfi «oupe le. cerole donné au point B; tracez la droite PB ^ le point X en lequel le rajrfoi

irecteur PB coupe le second cdié CD proIon|;é« est un jHÛat dfiJd £o.acbe demandée.

Cela posé : r

Le point générateur X a deux mouvements de rotation relatifs : l'un -autour du centre C , Tautre autour du pôle P- Il ne reste donc qu'à trouver les vitesses qui en résultent.

La vitesse de rotation du point X autour du pôle P et celle du point B autour du même pôle , sont proportionnelles aux rayons vecteurs PX et PB. Mais le point B est animé d'une vitesse dirigée suivant la tangente B6 au cercle BDE, laquelle peut se décomposer en deux, Tune de translation suivant B6, (sur le rayon vecteur PB), et l'autre de rotation autour du pôle P suivant la perpendiculaire Bé'à PB.

Prenant donc à volonté la résultante B6, on aura le parallélogramme B&'éfr, , qui donnera en B6' la vitesse de rolalîoii B6' du point B.

Passons du point B au point X , lequel est situé sur le rayon vecteur PH.

Tirons la droite Pb\ et marquons sa rencontre x' avec la perpendiculaire Xx* à PB , nous aurons en Xx la vitesse de rotation du point X autour du pôle P.

Reste 5. trouver la vitesse de rotation du point X autour du centre C.

On la déduit de la vitesse de rotation du point D autour du centre €, on employant la même méthode que précédemment.

Ainsi : ia vitesse de rotation du point D autour du centre C étant évidemment la même que celle du point B autour du même centre , Ton prendra sur la tangente en D au cercle BDE , une longueur Dd= Bfr , et Ton aura en Dd la vitesse de rotation du point D , et l'on en déduira la vitesse de rotation Xx, du point X autour du centre C.

Mais il faut remarquer que les vitesses de rotation Xx' et Xx^ , que T^n vient de trouver ne sont pas réellement les vitesses composantes de la vitesse absolue du point générateur X (*).

n Le principe posé par Roberval n'a jamais été ambigu pour les géomètres qui «a ont Jm^ compris resprit.

Ainsi un point générateur d'une courbe plane ne peut se mouvoir sur un plan que de trois manières différentes ;

Ou 4* il est sollicité en ligne droite , à chaque instantide son mouvement , par deux forces de diroctiop constante, dites forces de translation , et alors la tangente est la résultante des vitesse^ imprimées séparément par chacune des deux forces , suivant la direction de chacune d'elles. Alors la.tintgente est la diagonale du parallélogramme construit , les droites représentant les vitesses. >

Ou ir il «8t sollicité y à chaque instant de son mouvement , par deux forces de rotation , chacune d'elles agissant autour d'un centre pariiouiier ; et alors on point de la tangente se détermine par l'intersection des

En effet : eu combinant la vitesse de rotation Tix' du point X autour du pôle P, avec la vitesse de translation Xy' de ce même point X sur le rayon vecteur PX^

^ta

deux rayons vecteurs transportés , parallèlement à eux-mêmes , à une distance finie du point considéré sur ja courbe , les deux distances finies étant entre elles dans le même rapport que les arcs infiniment petits décrits dans le même temps par le point de la courbe » et respectivement autour de chacun des, centres fixes. La tangente est alors la diagonale d'on quadrilatère bi-rectangle.

Ou 3* il est sollicité , à chaque instant de son mouvement , en ligne droite d'abord , par une force de translation dirigée daas le sens du rayon vecteur, et ensuite circulairement autour d'un centre fixe par une force do rotation , et la tangente s'obtient alors en combinant les deux principes ci*dessus* La tan* gente est alors la diagonale d'un rectangle.

La solution donnée par M. Poivcslst est conforme ( et cela devait être ) à ces préceptes » qui n'étaient et ne sont ignorés d'aucun des géomètres qui ont eu et qui ont l'occasion d'appliquer le principe remarquable

de ROBERVAL.

Tout le monde savait ^ et depuis longtemps , qu'un illustre savant avait commis une erreur en constnii*sant la tangente à Tellipse par la méthode de Robbrtal (la direction de la tangente était exacte , quoiqu*i1 eût mal appliqué la méthode) ; nmis on n'avait pas cru , par respect, devoir relever cette erreur, parce qu'on la' regardait, et je crois avec raison], comme une inadvertance qui ne pouvait tirer à conséquence.

Il ne'.faut pas cependant croire que le principe de Bùherval puisse toujours être appliqué immédiatement en géométrie descriptive (en d'autres termes lorsque l'on se sert de la langue graphique) ; et, en effet , pour pouvoir appliquer graphiquement le principe de Boberval , il faut :

Dans le premier mode de génération de ia courbe, désignant par j; et y la direction des deux forces qui

sollicitent son point m , il faut connaître la valeur finie du rapport-^, et cela par la seule construction graphique de la courbe et sans avoir besoin de recourir à Véquaiion*de la courbe qui fera /(a?, y)^ (eâ coordonnées rectangulaires ou obliques) , et ainsi sans avoir besoin de recourir à Vanalyêe.

Dans le deuxième mode de génération de la courbe , désignant par r et f les deux rayons vecteurs partant des points ou centred de rotation pour aboutir à nu point m de la courbe , il faut connaître , en désignant par m et a*' les cercles des rayons r et r\ la valeur finie du rapport ^ , et cela par ia seule censtriuv-

tien graphique de la courbe , et ainsi sans avoir besoin de recourir à Vanalyte, et par conséquent sans avoir besoin do recourir à l'équation /" ( r, r' ) «= de la courbe. -

Dans le troi-ièmc modo de génération de la courbe , désignant j)ar r la direction de la force recliiigne appliquée au point m de la courbe, et par » le cercle que ce point m tend à décrire autour du point fixe (ce

* dr ' '

cercle o» ayant son rayon égal à r), il faut connaître la valeur finie du rapport---, par la seule construction

graphique de la courbe et sans avoir besoin de recourir à son équation , qui sera dans ce cas /*( r, /» ) = 0.

Car si pour trouver la valeur finie de l'un de ces rapports il est nécessaire de recourir à l'équation de la courbe , et dès lors s'il est nécessaire d'exécuter des calculs analytiques , on ne fera autre chose que chercher l'équation de la tangente au point m; car, si l'on y* regarde de près, on verra bien vite qu'en calculant par Vanalyse l'un quelconque de ces rapports , on calcule précisément ce qu'il faut pour obtenir Véquation de la tangente.

Si la méthode de Roherval s'applique si utilement à la construction de la tangente en un point d'une section conique , c'est précisément parce que l'on voit de suite, par la construction graphique seule de la courbe , et en vertu des propriétés géométriques^ ui se déduisent tout naturellement de cette construction ^

que le rapport -p7 est égal à la l'unité.

an • \

Et en effet : -

Soit donnée une ellipse ou une hyperbole ( fig. 43) ayant les points felf* pour foyers, en supposant que le point m' est infiniment voisin du point m, l'arc mn sera d» et l'arc mn' sera d»\

on obtiendrait la vitesse réelle Xx du point X sur ]a courbe décrite par ce point X ; en sorte que Xx' n'est qu'une'^des vitesses composantes de TLx par rapport aol

Or en verta deFéquation r±r'*^cûe la courbe, on yoitqueronadr=q:dr', et qu'aussi m'ns=mV.

- Le quadrilatère bi-rectangle mnm'n' est donc inscriptible dans un cercle ayant mm' pour diamètre. Or Ton sait que dans un tel quadrilatère , lorsque les côtés tn'n et mV sont égaux , les autres côtés mm

et mn' sont aussi égaux , et ainsi l'on a : *t^ « 4 , tout comme Ton a : 7-; *= 4 .

dm at

L'on peut tlonc appliquer graphiquement le principe de Roberval , et Ton voit aussi que pour les sections coniques , peu importe , pour obtenir la tangente , d» construire 4^ on parallélogramme sur m'n et mV (ou sur dr et dr'), ou T un quadrilatère bi-rectangle sur tnn et mn' (ou sur dm et d»), ou 3<* un quadrilatère bi-rectangle sur dr compté sur le rayon vecteur r à partir du point m, et sur dr' compté sur le rayon vecteur r' et aussi à partir du point m.

Il n'en serait pas de même si la courbe à deux foyers avait pour équation ^(r,r')=0; il faudrait de toute nécessité recourir à Vanalyse^ car il faudrait différencier l'équation de la courbe, pour obtenir le

dr

rapport — .

Si l'équation de la courbe était r«* db r'** « c (4 ), on aurait en différentiant

D'où Ton tire :

mr('^-*) ^

w(»-*) ^dr'

On porterait donc sur le rayon vecteur r, à partir du point m , la longueur nr'^^ - *>, et sur le rayon vecteur /, à partir du point m, la longueur fnr^^-^\ et cela de la manière suivante : en sens contraire si Ton prend le signe (4-) dans l'équation (4), et dans le même sens si l'on prend le signe (*) dans l'équation (4).

Et en construisant un quadrilatère bi-rectangle sur ces longueurs , la diagonale de ce quadrilatère don- -nera la direction de la tangente au point m de la courbe ; et Ton voit de suite que l'on ne peut pas construire un parallélogramme sur dr et dr', car la diagonale de ce parallélogramme ne se confondra avec celle du quadrilatère bi-rectangle que dans le cas tout particulier où l'on a : dr=dr^.

Mais l'équation : ^{r^ r') =û 0, de la courbe ne permettra pas toujours, quoique l'on en déduise

d'avoir séparémeiit et de suite le rapport de dr à une quantité finie , et le rapport de dr' à une autre quantité finie, ce qnî est nécessaire pour pouvoir appliquer graphiquement le principe de Roberval; alors on

attribuera à dr une longueur finie et arbitraire A, et l'on aura pour dr' une longueur finie B= ,, ,

que l'on sera obligé de construire ou de calculer.

Et l'on opérera graphiquement sur les longueurs A et B , portées, la première sur le rayon vecteur r, et la seconde sur le rayon vecteur r*, comme nous l'avons dit ci-dessus , en aytfnt égard au signe de A et de B , et ainsi nous construirons sur A ^t B un quadrilatère bi-rectangle dont la diagonale sera la tangente demandée.

Cette discussion nous fait bien voir que remploi du principe de Roberval , en géométrie d&^cripliv . n'est pas toujours imméd%<itefhent applicable, son application.é^nt considérée aous le point de Mi^ graphique.

Voyez encore , à ce sujet , ce que nous avons dit dans les développements de géométrie descriptive , touchant la construction de îa tangente en un point de l'épicycloïde annulaira. T. 0. «

direction» particulières 1f^ ti liai» Même choee^ lieu povr k tiiette derotatioD Jje^ Donc la résidtaateéss deuiL YÎieaaee XafelJbp, ne doaiifirarpaa^ia léMese réelle du point X. - ^ ■ — - -

-Ain», dans le cas particulier qui nous occupe en ce moment» U diagonale du parallélogramme eonsiruit sur Xx^ et Xx, ne donnera pais la tangente au point X de la coui'be.

On se rend parraitemeni raison de ce qui précède, en remarquant que l^ ¥i« tesses Xa:'et Xx, ne sont que des quantités proportionnelles aux arcs infiniment petits quo le point X tend à décrire réciproquement autour des pûks P et G« En sorte que les positions des nouveaux rayons vecteurs sont tes droites xx et x^x, parallèles aux rayons vecteurs primitifs PX et CX. Dès lors , llntersection x de ces rayons vecteurs x'x et x,x représente la nouvelle position du point X*

Si les quantités Xx' et Xx, étaient réellement infiniment petits , Xx serait aussi infiniment petit et serait dès lors l'élémei^t de la courbe décrite par le point X»

Mais comme on a augmenté ces quantitéa proportionnellement, la droite Xx devient une quantité fmie prolongement de l'élément de la courbe ^ et par suite la tangente à la courbe.

Première simplification. Rien n'empêche de prendre hb égale à la tangente Dd ifiS* 7 ) arrêtée a la droite fixe PC.

Alors, si Ton prolonge 6'6, qui est parallèle au rayon vecteur PB, jusqu'à sa rencontre Q avec Tautre rayon vecteur CX , le quadrilatère Chb'Q aura ses côtés parallèles et sera semblable au quadrilatère ci -dessus (^fig. 6)x'XxjCi dont la diagonale est la tangente demandée. En sorte que la diagonale BQ du quadrilatère ÇBé'Q sera parallèle à la tangente au point X de la courbe.

La construction à exécuter sera donc la suivante.

Tracez (fig. 7) les tangentes Bb et Dd au cercle EBD et aux extrémités de ses rayons CB et CD ;

Prenez B6=Dd5

Tracez bQ parallèle au rayon vecteur PX, et marquez sa rencontre Q avec le rayon vecteur CX ;

BQ sera une parallèle à la tangente au point X de la courbe.

Deuxième simplification. Gomme la tangente B6 est parallèle au rayon vecteur CX (puisque le triangle XCB est rectangle en C), il s'ensuit (yï^. 7) que la figure B6QX est un parallélogramme, et que dés iors':o» a : QX c=îB6 = Drf.

Il suffit donc, pour avoir la tangente au point X, d'effectuer la construction suivante :

Portez Drf sur le rayon vecteur CX , prolongé, de X en Q (fig. 8 ); la droite bQ sera parallèle à la tangente demandée. ^

Tromème êwnptificaSiott.On peut.se dispenser de eoutruire Id droiteiOporaflèle à «la tangente demandée, car on peut exécuter la cdiistratiiottsm vante :

Tracez la tam^ntarBÔ^' M j^nH B ixt c^ttie EBB (fi^^ 8 ) ;

Portez sur cette tangente j BQ' = Dd ;

Portez sur le rayon vecteur CX ppolongé, îQ sâDcf.

Le point Q^ sera évidemment un point de !a tangente à mener au point X de la courbe.

DUcussUm de la courbe projection de la ligne de'^éparaiion d* ombre et de lumière de la

vis' triangulaire .

Le mode de constructiou^aM.mayottsduquel on détermine les divers points de la courbe, montre qu'elle est composée de deux branches infinies passant, F une par le point fix^ P, et Tune et Tautre par le centre G du cercle (fig. 9).

En cherchant les tangentes pour les points situés à Tinfini sur ces branches, on trouvera , par la méthode des tangentes exposées ci-dç&sus :

i^ Que ces asymptotes. sont au npmj)re de deux, se croisant au point fixe P et tangentes Tune et Tautre au cercle ayant le point C pour centre.

2'' Que la tangente en G aux deux branches est perpendiculaire à la droite fixe PC (ce qui est d'ailleprs évident en vertu de la symétrie des courbes par rapport i cette droite PC).

3"* Que les tangentes au point P passent par les extréuiités du diamètre W per^ pendiculaire à la droite fixe PG , etc., etc.