CAS PARTICULIERS

Freuier oas. Le poi^/ix^ f éiçijA ^tué star (fi cercle q/ant le yoînt C pour centre.

La courbe ne coaserve plus {fi^. iO) que k braqohe infime ayaal un poîat aultiple au point ,9» P.

Cette courbe a pour aaymytote une droite FCLperpendioukÂre à la droite fix^ P€ et à une diatanoe PR s= P€ du point fixe P.

Cette eourbe jouit de la pr<^iété suivante :

Si Ton mène un rayon veeteur CK qualcanq^y eoupi^H » i"" b langepte PT, menée au point P du cercle, eu le pcûnt K, et 2"" la courbe en lea deux pft^nts X et X\ on aura :

KX=:KX' = KP.

On peut facilement démontrer cette propriété , et en effet :

IfenoBS !• le rayon secteur PX coupant le cercle en B^ et 2* le layoji vecteur PX' coupant le même cercle en B'. ""^

Les triangfes XCB et X'CB' sont tous deux rectangles en G , on a donc :

CXB=5lOO« — CBX.

XPK ==: iOO^ — XPR = lOO* ~ CPB.

Mais le triangle CPB est isocèle , on a donc :

d*où

ÇPB = CBXî

XPK = 100* ~ CBX = CXB-

Le triangle XKP est donc isocèle , et Ton a ;

KX = KP*

Ce qu'il fallait démontrer.

Deuxième cas. Le point fixe P est situé à f infini , alors le rayon de lumière est horizontal y et dans ce cas ^ la courbe de séparation (t ombre et de lumière n^est autre que te contour apparent de la vis.

La construction de la tangente en un point X de la coQrbe reste la même que celle que nous avons exposé à la fin du § 2. Voyez la fig. 11.

Troisième cas. Le point fia^ f étant dans l'intérieur du cercle*

La courbe est fermée ; elle a la forme indiquée {fig. 12).

Elle a un point multiple au point fixe P.

Elle a une tangente commune en C, laquelle est perpendiculaire a la droite PC.

Elle est tangente au cercle en les points N et M', en lesquels le cercle est coupé par la droite menée par le point fixe P perpendiculairement à la droite PC. .

Les tangentes au point multiple P passent respectivement par les points B et B", en lesquels le cercle est coupé par son diamètre perpendiculaire à PC.

Pour construire la tangente en un point quelconque X de la courbe, on mènera ex coupant le cercle en D ; la tangente en D au cercle coupera la droite PC en d.

On mènera PX coupant le cercle en T ; on mènera en T la tangente au cercle , et r on prendra sur cette tangente TQ' = Dd. La droite Q'X sera la tangente demandée.

CONSTMinS tk LIGNE DE SÉPARATION d' OMBRE ET DE LUMIÈRE ' SUR UN PAîtABOLOÎDE BrrPERBOLIQURt

Nous nous proposons de déterminer la ligne de séparation d*onibre et de lumière sur un paraboloîde hyperbolique supposé éclairé par un faisceau de rdyôns lumineux parallèles entre eux.

Nous savons ce qui suit :

1* La courbe de contact d'un paraboloide hyperbolique et d'un cylhidre est une parabole (*}.

2"" Tout cylindre qui a pour directrice une parabole est coupé par un plan, et quelle que soit sa direction , suivant une parabole*

Si Ton a un foil dont les divers chevrons soient les génératrices droites do premier système d'un paraboloide hyperbolique , et que Ton cherche sur ce toit (supposé recouvert eff zinc, par exemple^ auquel cas on a une surface unie) « la ligne de séparation d'ombre et de lumière, en supposant que le système^est éclairé par un ra^on lumineux y nous saurons d'avance que cette courbe sera une parabole , et que lom^^re portée sur le plan horizontal , ou sur le plan vertical de projection , ou sur tout autre plan, sera /imitée par une parabole.

Cherchons maintenant les divers points l*.de la parabole ligne de séparation él ombre et de lumière; 2** de la parabole ombré portée ^ en simplifiant autant que possible les constructions graphiques à employer.

Supposons que Ton ait un paraboloide hyperbolique rectangulaire ayant pour plans directeurs, les plans horizontal et vertical de projection, et que ce paraboloide soit engendré {fig. A) par une droite G se mouvant horizontalement en s'appuyant sur deux droites A et A' : Tune A perpendiculaire au plan horizontal ,i<et l'autre A' située dans le plan vertical de projection.

r (*) VoYez46 Cour$ ie Géométrie descriptive , 2* parlie, chap. XII , p. 336.

Cela posé : .

On se donne la direction L du rayon de lumière ; pour construire la parabole contact du cylindre lumineux A et chi pi^boloide 2, nous ferons passer par chacune des génératrices droites horizontales G , G. , G,,... de la surface 1 des plans T, T. 9 T, ,»..,^araJi^èb3 à^kd^te^^ ^m)h3 cbei^b^i^oç^ ^^i¥M^^M^ contact x, x,fX,... de chacun de.c^;^^lan^;iY^(;ettew$lOQ<su^^q^»2- Le lieu des points x, x,, X, .... sera une parabole g, qui sera la ligne de séparation d'ombre et de Uimière .4iir .It .aur&cei2* t t.

Pour exé(Uiteih^€^taiQ^strjMatioi} .iie.4>hiu^i«î^^ possible, il faudra procéder ainsi qu'il suit :

On divisera la droite verticale À en parties égales , à partir de sa trace horizontale o^; on aura donc des points a^, à^'ii'y a\ a,... également espacés entre eux. Par chacun de ces points on mènera des parallèles 411 9^}KW» ^phnMécO' L , les* . quelles'vieadrûnt.percer |e pfon. honît^iilal .««jcIm fxmlft a ,> «^>î flu^ <i\.. également espacés entre eux et tous situés sur L^.

.. Par jQspoiiiteâ^,.a]|.4i'^p;^0^»«. en p>ièt»f»\tesT(pfai^S«jatq^ €^9 G^

G% G% G... du paraboloïdeJS.

Et cela fait :

Si Uon mène par le point a/ «nei droite B^^ parailéleàiG,^» OB«ura bttraoe horizontale du plan Ti j^ralièle a4i rayon L et pa^^nt pat la> ^épéralrksciG, <)e la facôX

Oo co«sti;uip»de.la méine.i»anî^re. les droite 'H%^H7sfl%..4 la ti^aee hoi^izomale G'^ deia.suriace 2^>Mpera les diverses traces horiaootales dcsplani T,, T,/T., T..» en les points.!,, (., t,^ t.. ^ et si psur ces p^nts^iiiiBèttede0>p«ifçiHiUeià la ifgne de terre, elles viendront. couper les droites G,*, G^'^,.G,*^ G*,... et reapeciivament en les points a;,*, a:,*, a;,*, a:*..- qui, étant unis par une courbe, nous donneront la parabole g\ projection horizontale de la paraboles, ligne de séparation d'ombre

et de lumière.

Si ensuite nous menons par les divers points a^.««.des perpejji^i^qlûrej^ à la ligne de terre, elles viendront couper les droites G/, G,!, &,%.(?'.♦ ^ ^ep.,4t$i,p^nts ^1% ^,% ^.% ^%-» qui détermineront la parabole 6", .prtg^tion n^tjtçtd^ d^ la parabole 6.

î^PRP^/?^ *

A ; par conséquent les traces horizontales 11% U\.. de ces diver s pla ns seront les enveloppées de la parabole d, trace horizontal du cylindre^A., La courbe d,^ ombre

portée par la surface paraboloide 2 , sera ^Sic facilement déterminée , puisqu'elle a pour tangentes les diverses droites iV^f H^*..;. Mais il sera facile de construire le poiii^d^icaotMti de Qetie p9nMa.d^»v6Q:oliabBiie4d0;9e6'itâiigenles'H^^^^ El eli effet ; sfrf on coAsidère ^impotoia:^ dëia/paraholft d<)igii^-de «sépaHHitidil d'Smbre et dft Juiv^ière >) Q»,ateDaùt par-ce point or, medbïiie L;para)lèl)&>à ta' direction 1 du vQj^oB 4^ •lumjûèr^ > oa^urato^génératrk&dvoîieAii^cyiiiiMlre A stiivâmt faqnetle cetçj^iidBe est touché pat le pfeti T^; ù/èésm^m mèn6>pai)4e^poHit'^Atine droite' - L.^|$pa)lèle à> L^oUe viMdf'à;(itiufier ladratefi'reiP^ poim'j/; «qui sera le point ' de contact de la parabole d avec sa tangente H""'.

De ce qui précède on peut déduire les (Aéarém^^ suivants (fy^ A^);.

!♦ THÉÔRtSTE.

Si ronpcend une droite V" et. sur oe£te dn>U!kt d^8>points.iéq«itdist{int& a^ , a/^ ' a/, a/, a\... ; si Ton trace une ligne LT non parallèle à la droite L*, et'si To-n divise cette droite LT. e& parties: éljales par les* poiiMs B^^b^^ h^^ b,, 6,./. et que d'un, point a^ de la dr^Mte U'ooL^mboA des diysrgSDtes Q\ G.t^ jQ^^„.. aux dtvcnrr points 6,6,, 6^,...; puis que^ par les divers points a'^^a,', aj^.^^- on mène- des. parallèles H**, W\ H%... et respjectiveineni aux .droites divergentes G^\ G,\G.*,m • ces dioites îT... envelopperont une parabole^,, .

Si i^n trace une parabole 4 et une droite L* de pasition- arhitriiire par rapport à la courbe , si Ton divise ta droite L^ «n parUea égales -par les points a/, n/, £z,^.*^ et que par ces points on mène les tangentes H*<, H'», H^%... à la par«rbole J; si ensuite, par un des points de division , g^^ par exemple, de la droite L'' on mène des divergentes G,*, G.*,... respectivement parallèles aux tangentes H^s H*% H%... cesdivergonloseQnperont en parties égalés unecertâitie droite dont la côostruclioa s'efiectuera de la mamôrei suivante.

ftir le point y, contact de ia pwabole â donnéeavecf une dé ses tangentes H*' (par exemi^e), on mènera «ne droite L.* pavailèle à L*^et o^pânt la drvergente G* parallèle à H*« ep un point a;,*, on unira lé point x/ avec le point t en lequel Ja tangente H*- cou^ la tangente iî^iJa4iaEabûle^^ l'on remarqueraripi^G.^fl'est> autre que H's n'est autre que la tangente à la parabole 3, qui coupe la droite U en le point a^, d'où Ton a fait diverger les droites G,\.r. e4 l'on aum en «.*!, ladirection de la drdttfcfaefckée. . -

£i le rayon L de lumière était parallèle au plan vertical de projection et faisait , avec le ^tan horizontal, un angle a > il arriverait que sur la surface paraboloîde 2, iLexisterait une certaine génératrice droite K (du second système et ayant pour plan directeur le plan vertical de projection) qui serait parallèle au rayon L, car Ton sait que les génératrices du second système foot chacune un angle différent avec le plan horizontal , et que cet angle varie depuis l'angle droit jusqu'à Tangle nul.

Dès lors la génératrice K , parallèle au rayon de lumière L, serait la ligne de séparation d'ombre et de lumière su( la surface 2.

Cela est évident.

On peut d'ailleurs le démontrer d'une manière sitnple et nouvelle.

Supposons {fig. B) que la droite K se trouve parallèle au rayon L, en effectuant les constructions de la fig. A, il arrivera que les points a, a/, a/, a,',.-* seront équidis tanls sur la droite L\ laquelle sera parallèle à la ligne de terre LT et aussi à K'^.

Or les divergentes G, G/, G,*, G,*,... menées du point a couperont la droite K* en les points p, <7. , 7., ?,,... qui seront équidistants, et l'on aura évidemment :

Dès lors, les quadrilatères {qpala) et {qjpa'a) et {q,pa!a)... seront des parallélogrammes ; dès lors les droites pa.'y paj, pa^... ne seront autres que les traces horizontales des plans T ,T., T, ... menées parallèlement à la droite L ou K, et respectivement par les génératrices droites du premier système (de la. surface 2), savoir : G,, G,, G, .... Ces divers plans T,, T, , T, ... seront donc tangents à lasurface 1 suivant les divers points de la droite K , donc , etc.

§ VI

Cette propriété.) savoir , que lorsque le rayon L de lumière est parallèle à une génératrice droite D d'un paraboloîde hyperbolique, la ligne de séparation d'ombre et de lumière n'^t autre que cette droite D , n'appartient pas seulement au paraboloîdo hyperbolique-, elfe exi^e pour toute surface gauche, quelle que soit sa forifte . quel que soit son mode de génération (*).

H I I I > ) >l ■ \^»mmm^**^k^i^m^m*^mÊm-^m^imiméi^

(•) Je donne , 4ai\s la fig. 3 , Tépure de l'ombre d'un toit paraboloîde , en supposant que le rayon de lumière est paralièJe à Totie dés géoératriceà drtxtles de ia surface. Dans Tatlas je donne aussi Tépure du problème d*ombre qui fut proposé en 4643 aux élèves (de pre-

§ YII.

D'après ce qui précède, il est évident que, lorsque ron aura un paraboloide . hyperbolique, rectangulaire ou oblique, la ligne de séparation d'ombre et de lumiére ne sera une parabole qu'autant que le rayon L de lumière ne sera pas parallèle à Tun ou à Tautre des deux plans directeurs de la surface ; et lorsque ce rayon L sera parallèle à l'un ou à l'autre des deux plans directeurs de la surface, la ligne de séparation d'ombre et de lumière sera toujours une droite , qui sera une génératrice droite de la surface , laquelle devf a être cherchée parmi celles qui ont pour plan directeur celui qui est parallèle au rayon L de lumière.

§ VIIL

La (ig. A nous donne la parabole d située à gauche de la trace horizontale du paraboloide Z ; cela nous apprend que la partie externe de la surface (celle qui est vue d'un point situé à l'inûni et au-dessus du plan horizontal) sera tout entière dans l'ombre.

Si cette parabole d était à droite de la trace horizontale du paraboloide, alors la surface externe serait en partie éclairée et en partie dans Tombre.

Mais si Ton remarque que lorsque le rayon L de lumière est parallèle à la génératrice droite K (fig, B ) de la surface paraboloide , alors la parabole $ se réduit à un point qui n'est antre que la trace horizontale p de cette droite K, laquelle ,

mière année) de TÉcoIe polytechnique; on donna un tait paraboîoïde et une cheminée cylindrique. Je n*ai fait que décalquer l'épure que j*ai exécutée à celle é|>oquo, d*uprès la solution que j'avais donnée à ma salle , alors que j*élâiâ élève à rÉcole polytechnique.

À ce sujcl je crois devoir entrer dans quelques détails.

Depuis la fondution de rÉcole polytechnique, jusqu'à sa réorganisation effectuée parla restauration après le licenciement de 4SI 6 , les élèves de première année d'éludés avaient à résoudre, pendant la durée du cours de géométrie descriptive, trois problèmes. Le premier problème était une question théorique; le second problème était une question d'ombre ; le troisième problème était une question de coupe des pierres.

Chacun d(* ces problèmes était résolu par les élèves à iâ fin de chaque partie de cours y relatif.

Le problème était le même pour tous les élèves , on leur donnait six heures pour chercher la solution et eKéculer Tépure.

On comprend que , dans chaque salle , il arrivait qu'un élève parvenait plus vite que ses camarades à la solution demandée. Alors il payait au tableau et expliquait sa solution ; après discussion , elle était adoptée et quelquefois modifiée. Xous les élèves de la même salle se mettaient alors à l'ouvrage et exécutalent Tépure.

Souvent il arrivait que la solution d'une salle passait de salle en salle et était généralemenfadoplée.

Souvent aussi il y avait plusieurs solutions en présence.

Ces travaux étaient très-utiles : ils furent supprimés depuis 4S46. Pourquoi?

— iwt —

dans ce cas , est la ligne de séparation d'ombre et de lumière , on doit de suite en conclure que si la projection L^, étan t inclidée^du bas du dessin vers la gauche pour aller couper vers la droite la ligne de terre LJj nous donqe iine p^rahole jtâUoée i gauche de la trace horizontale de la surface 2>^en incjinant cejlle droite L* e<^ sens contraire (le rayon I^ f^is^nt toujours le mèiQe angle avec le pl^a horizontal);i ou obtiendra une parabole ^^ située à droite delà qiême trpce -horizontale deli^ surface 2.

On voit donc comment Ton peut reconnaître si une surface paraholoîde étant projetée sur le plan horizontal , la surlace externe de cette, surface ( pu une partie limitée de cette surface) sera éclairée ou non, et sera ainsi, qu toute dans Fombre, ou toute dans la lumière , ou si elle sera en partie dans Fombre et en partie éclairée.

CONSTRUCTION DE LA LIGNE Dfi SÉRAHAdlON d'0HB11£ £T B8 LUMIÈRE D*UNE SUR- FACE DÉVfiLOPPABLB éCLAlRÉE BAtt UN /BATON LUHINBUX ET DE L'OtffiRE PORTÉE AAlft UN'T^^NÇON DB CETTE . S€AF AGE SIUl LB PLAN HORIZONTAL.