AL
Ce que nous avons dit ci-avant (n^émoire n* 7), sur la ligne de séparation d*ombre et de lumière d'un paraboloîde hyperbolique, nous montre la marche que Ton doit suivre lorsque l'on aura une surface gauche quelconque.
Mais si la surface réglée , au lieu d'être une surface gauche,. était une surSaice développable , éclairée par un ray<m.dQ lumièi^e,' le mode de solution changeraiti du tout au tout. Et en effet : si Ton a une surfoce développable D ayant une courbe S pour arête de rebroussement, et que celte surface soit éclairée par. un raxfon de lumière L, la ligne de séparation, d'ombre et de lumière, si elle existe^ ne pourra être qu'une génératrice droite G de cette surface D, et le plan T langent à la surface D suivant la génératrice G et parallèle au rayon lumineux L sera un plan osculateur de la courbe d et il seraosoalatiwr au-^int g en lequel la géné« ratrice 6 touche celle courbe i.
Le mode de recherche doit ddnc évidemment changer lorsque l'on a une sur^y .face réglée développable et n^a^une sûrfaM réglée' gaflohe.
«Pour uae .j»tf£iiea\<iÀVebi|iflaUe> on deiira empkrfer le mode de lK>IiAioii suivant:
On .cogpef^ la suff^e .dévelc^K^UeiD^^ar-tiui^piftiv^I^ de
prpjection par ej^empla), oo auratun^ courbe C (\Jig. 1).
On considérera la courbe C comme la base d'«u çyUodre^' 4oDt les génératnces droites seront parallèles ou rayon lomioeux- L;
Cela fait:
On* coasidér^a TarÂteide rebrôassefnent d> de ia sàrfeK$e développabie I), .comiQe\iadii?eiDt«oe d'^in second c;^luidra ^ajanl tes ^éaérirlrices' droites 'parallèles au rayon lumineux L, et Ton cherchera sa trace S sur le plèfif P.
On aura donc deux cylindres A et 2 parallèles entre eux et au rayon de lumière L et lei]r&4raees et $ sur mb iBème plan P (le plan horizcMibl par exemple); dès lors, un «plan* T tai^genl à la (oiB eux deux ëylindrâs A et 2 serk pat^attëléà la droite L et sa trace H'' sur le plan* P sera une tangente commune aux Aeux courbes C et S.
Ce plan T touchera la courbe C en un poînt c et la courbe S en un point ê , et Ton mènera, par ce poinu, nne parallèle i la droite L^ laquelle ira èeuper la courbe $ en un point d; la «droite (c, dy eera une génératrice droite de la surface développable D^ elle sera la génératrice droite suivant laquelle le plan T touche cette surface D; cette droite cd sera donc la ligne de séparation d'ombre et de lumière chepehée.
On voit de sukoique sî la surlace développable D était éclairée par un point lumineux l, il faudrait considérer ce point / comme le sommet commun à deux cônes ayant pour directrices l'un la courbe G et l'autre la cou)rbe i (fig. 2).
Le cône (/, d) serait coupé par le plan P suivant une courbe B et le pian T aurait pour trace sur le plan P la tangente commune aux deux courbes C et B.
Cette tangente commune toucherait la courbe G en tin.point c et la courbe B en un point 6; la droite Ib couperait la courbe d en un point d et la droite cd serait la génératrice de contact de la surface développable D et du plan T passant par le point lumineux /; cette droite td serait donc la ligne de séparation d'ombre et de lumière demandée»
Une surface développable n'est pas teu|ours donnée par son arête de rebroussèment, souvent on se donne deux directrices sur lesquelles doit rouler le plan qui doit déterminer la surface développable comme enveloppe de l'espace parcouru par ce plan.
La solution du problème : consirucûon de la ligne de séparathn (Tombre et de lumière , s'effectue alors , ainsi qu'il suit :
pREvrER CAS ) la surface développable étant éclairée par un rayon de lumière.
Soient C et C les deux courbes (fig: 3) sur lesquelles doit rouler tangentiellement le plan qui sera en chacune de ses positions, l'enveloppée Ae la surface développable D ; soit L la direction du rayon de lumière.
On regardera les deux courbes C et C comme les directrices ^àe deux cylindres dont les génératrices droites seront respectivement parallèles à la droite L.
On aura donc un cylindre A passant par la courbe G et un cylindre A' passant par la courbe C
Cela posé :
On coupera les deux cylindres A et A' par un plan P (le plan horizontal de projection par exemple), et Ton obtiendra deux courbes planes B et B^ •
La tangente commune H^ à ces deux courbes B et B' sera la trace sur le plan P d'un plan T tangent à la fois aux deux cylindres A et A\
H* touchera la courbe B au point 6 et la courbe B' an point b\
On mènera par ces points b et b' deux parallèles à la droite L, la première coupant la courbe C au point c et la seconde coupant la courbe C au point c\
Il est évident que la droite ce' ne sera autre qu'une génératrice droite G de la surface développable D et que cette droite G (ou ce') sera la droite de contact de la surface D avec le plan T, lequel sera parallèle au rayon Lde lumière. Cette droite G (ou ce) sera donc la ligne de séparation d'ombre et de lumière cher€hée«
Deuxième cas. La surface développable étant éclairée par un point lumineux.
On considérera les courbes C et C comme les directrices de deux cônes A et A' ayant le point lumineux / pour sommet commun {fig. i).
On coupera ces deux cônes par un plan P^ et la tangente commune aux deux courbes de section B et B' sera la trace H^ sur le plan P d'un plan T tangent à la fois aux deux cônes A et A'.
On unira les points de contact b et b' des courbes B et B' et de la tangente commune H^ a\ec le point /; les droites Ib et Ib^ couperont, la première la courbe C au point c, la seconde la courbe G' au point c\ et la droite ce' sera la ligne de séparation d'ombre et de lumière demandée.
La surface développable D peut être engendrée par un plan roulant tangenliellement à deux -surfaces données 2 et 1\ Il faut savoir, dès lors, construire la
ligne de séparation d*oinbrc et de lumière appartenant à cette surface D, suivant que cette surface D est éclairée par un rayon lumineux ou un point lumineux. Dans ce cas la solution sera la même que celle employée lorsque la surface déve* loppable était donnée par deux courbes directrices. Et en effet :
Premier cas. Surface dévehppable D donnée par deux surfacei directrices 2 et £' ei éclairée par un rayon de lumiêre.h.
On construira deux cylindres à et A' tangents perspeclivement aux deux sur*faces directrices données 1 et 2', et ayant Tun et l'autre leurs génératrices droites l^arallèles au rayon de lumière L. Le cylindre A touchera la surface 2 suivant une courbe l, le cylindre A' touchera la surfece 2' suivant une courbe ^'.
On coupera les deux cylindres A et A' par un plan P, et l'on obtiendra pour section deux courioes B et h\ La tangente commune Û^ à ces deux courbes sera y sur le plan P, la trace d'un plan T tangent à la fois aux deux cylindres A et A', et aussi aux deux surfaces 2 et 2'; ce plan T touchera la surface 2 en un point i situé sur la courbe l^ et touchera la surface 2' en un point i' situé sur la courbe l'. La droite it sera une génératrice droite de la surface développable D, et elle sera la ligne de séparation d'ombre et de lumière demandée.
Deuxième cas. Surface développable D donnée par deux surfaces directrices 2 et 2' et éclairée par un point lumineux L
Les cylindres A et A' employés dans le premier cas deviendront deux cônes ayant le point / pour sommet commun, et ils seront tangents perspectivemeni aux surfaces directrices 2 et 2' suivant des courbes l et Ç^ La construction s'achèvera comme pour le premier cas.
§ IV
Supposons que la surface développable est une surface hélicoîde l\ ayant dés lors pour arête de rebroussement une hélice H tracée sur un cylindre de révolution K ayant pour axe de rotation une droite A, l'hélice H coupera toutes les gêné* ratrices droites du cylindre K sous un angle «. Supposons en outre que le rayon de lumière L est parallèle à Tune des génératrices droites de la surfj^ce développable 2.
Il est évident que la droite L devra faire avec un plan P perpendiculaire à Taxe À un angle 6 complémentaire de l'angle a.
Cela posé :
Prenons le plan P pour plan horizontal de projection , il coupera le cylindre K
suivant un cercle C, et la surface 2 suivant une développante i de ce cercle G.
— Ul —
L'kéiice H sb pnjéomra avUMjgDBalwicni sm ie ptao P'mivMl le ewcfe C, €t tamm Ke» tang^nia? 6 à ¥'iwtiG& B se proj^ttemnt sur le pfeu P am^imt difty tim^ gMlws an cercle C.
Dès lors, ayant donné les prof eoiions dit vajNNi ië hinriâro L^ en anm L^ pwillële à une cerlaine tangente (j'{fig. 5) au cercle C, et les droites L et G feront avec k plan ImriioeU^l S^ le«iéBM'^ttg|â &^ «l U €$t éindMtt ^«e la» éroitei» seta k lifne de séparation d'ombre et de lumière demandât. Mltt» tiïom vMiUît < M » o i titri i8è lu ^«tt G d'ai^ès b •olutîoii' donnée oi-destus. ($ 2)^ on devait eOMidéofr la développante 'i camme U Aosed'nn cylindre agrant sas gèiftènirîaaa pafaUèlaaa« rajeade lumièra L , et aonaîdàrer t'kéliee H comnMrla dîivolrinr^'unfC^Undia^ ayant aussi aea géoératricea pataUèlea au même rayon ée àanbére X». H faatàsmà chercker la traça l du cylindve A snr le. planbamnntal: P^ at la tam^enla aammnne aux courbes S et d sotaû la iraee, aor la plaa P, du-ptan ttngnt àla aarinea 2 suivant la «génératrice droite , qiu serait lali^ne dd:94paraiîoii d'onèm et da lumière.
Or, pour déterminer laioonabe-g» iaiaotwtrueikm'sera èndaoMtml Is sarvan*a : Ayant pris un point m'^sur le cercla C (ou H^ prefection de rhélkeH aràte de rebroussement \ on mènera la tangente m^a à* ce cercle G , lamelle ceupara la développante 3 en un point m Du point m* comme centre ^ et ai^c nl^n pear rayon, on décrira un cercle qui sera coupé en un point p par la droite L.^^ menée par le point m^ parallèlemem à la droite L'^, le point p sera un point de la courbe \* Si l'on prolonge La droite L,% elle coupera le cercle C ea un second point W\ et ai l'on mène cjq ce point m^ une tangente au cercle C , elle cot>pera la déveloffrante i en un point v!j et si du point m^ comme centre, et avec niV peur rayon» on décrit un cercle, il coupera la droite L,^ en un point q qui appartiendra encore à la courbe ^.
Or il est évident que le point p est intérieur à la développante d , et que le point H est exîérieurip^v rapport à cette même eanrbe d.
De plus il est évident qne lorsque la droite L,^sera tangente au cercle C^ etavra pris dès lors la position G\ le point r, en lequel G^ coupe la courbe d, appartiendra à la courbe ^.
Lacourfai^ l est donc une courbe présentant au point r un point de rebroussement , et devant avoir en ce point , même tangente H^ que la développante 9.
La droite G , qui est la ligne de séparation d'ombre* et de lumière , et qui se trouve, dans ce cas particulier, immédiatement construite (sans avoir besoin de recourir -à la courbe $), détermine le point de contact r commun aux deux courbes d et 5. Dwns ce cas pariiculier les deux courbes d et Ç ont uon-seutement une tangente commune H% mais encore elles sent tangentes l'une à Taotre.
Il e%l encore ivûieni ^ ve la eoQiA^e % ae pett oflrîr jm point de rebrontaernent » gB'aulâBt qu'il y aiim uae 4m tengeMe» «de raoète de MkiousanieDt qti i soil focailèle au rayon 4e kuniéw.
Afràs «toîr exposé la ttiéorie qui nous donne d'une manière générale ta solution du problème : déterminer la ligne de séparation d ombre et de lumière sur un 9ronç9n ée smfaee développcdfle , ce tronçon étant intercepté par deux plans parallèles entre eux ou non parallèles entre eux^ la surface étant éclairée par un rayon de hmière ou par un point lumineux , appiliquons cette théorie à quelques exemples «impies, ce qvi nous permettra de reconnaître l'avantage (pie Ton trouve à Texposition préalable d'une théorie générale , de laquellcwon déduit sans peine 1a solution de tous les cas qui peuvent se présenter dans la pratique, et sans avoir besoin, dès lors, de multiplier les exemples,
§ VI
i" EXEMPLE. Onére tfuH'CÔne éi^iîéctairê fcmm reigmî ée ImMêre.
Nous supposerons {fig. 6) que le cône a son axe A , de rotation , vertical ; sa base sur le plan horizontal sera le cerde B; et son sommet sera le point s ayant pour projection «• sur k^ et «^ au centre du cercle B.
Ceta posé :
Supposons que le èône est écfairé par un rayon de lumière L, et cherchons la ligne de séparation d'embre et de lumière sur ce cône.
Lorsque Ton conmatt (e sommet d'un cône et sa b^se , on peut considérer cette surface développable comme étant donnée par son arête de rebroussement , qui , ici, sera un point qui n'est autre que lé sommet du cône.
La base d« oône sera la section faite dans cette surface développable par le plan horizontal.
Cela posé, appliquons la théorie générale.
Il faudra , par Tarêle de rebroussement , faire passer un cylindre A parallèle au rayon de lumière L, et chercher son^ntei^ection avec le plan de la base B.
Or, Farâte de rebroussement étant le sommet s y ce cylindre A se réduira à une droite D menée du sommet et parallèlement au rayon lumineux L, et son iBterseetîoii <f, p«r lefAan horisontat de [projection , sera la courbe de section faite par ce plan dans le cylindre A*
Il faudra mener une tangente commune aux courbes B et d; or, la courbe d n'étant qu'un point, cela revient à mener par le point dune tangente an cercle B.
— lie —
On aura donc deux tangentes H* et H^ , qui seront les traces de deux plans T et 6 tangents à la fois et respectivement au premier cylindre ^ et à un second cylindre, qui aurait la base B pour directrice, et dont les génératrices seraient parallèles à la droite L.
Le plan T touchera la courbe B au point p, ce même plan T touchera Tarète de rebroussement en le point s , donc la droite sp sera ia ligne de réparation d'ombre et de lumière demandée*
Il existera une seconde ligne de séparation d'ombre et de lumière qui sera rs et qui sera donnée par le plan0.
Mais en même temps que celte construction donne la ligne de séparation d'ombre et de lumière^ elle donne Tombre portée du cône sur le plan horizontal de projection. . *
