J XV

Méthode direcU*

Soit donné un point m situé sur le plan horixonlal {fig. o); on construira les projections G\ G* de la droile G qui unit les points o et m.

Le point m^ sera donné immédiatement , puisque le plan T est vertical , et Ton en conclura le point m,".

Pour employer la méthode directe ^ il faut évidemment connaître les deux projections o* et €^ du point o, oii pouvoir, en vertu des données, construire (au préthtable) ces deux projection^.

S XVI

Méthode des points de concours.

Première construction. Soit donné un point m sur le plan horizontal {fig. p) par le point et le point m , nous ferons passer deux plans P et Q , et sans construire la droite G , intersection de ces deux plans P et Q , nous allons construire le point m. en lequel le plank T coupe cette droite G.

Pour cela, nous tracerons sur le plan horizontal deux droites H^et H^ se coupant au point m , et nous construirons les droites A. et B. , suivant lesquelles le plan T coupe respectivement les deux plans P et Q, ces deux plans P et Q se trouvent déterminés l'un et l'autre par le point o, et respectivement par leur trace horizontale H' et H*. Pour déterminer les droites A, et B. , qui sont les traces des plans P et Q sur le plan T ( ou en é^ autres termes les intersections du plan T ave» chacun des plans P et' Q), nous mènerons par le point o deux droites A' et B', respectivement parallèles aux traces W et H*. Nous construirons les points a,b, a'j b'y en lesquelles chacune des qùafre droites horizontales A ou H% B ou B^, A' et B' perce le plan T.

En jofijus^ les.fMiM^ a 9tift\ <»arWr? b4n»(^ A^i

En unissant led points b et 6\ on aura ia dcQÎ^ 9« i

Et les lignes droites A/ et 5,' se CQ|ipçi;(uit ein W |«)Wt ^.% fl^ a^a 4e pplnt demandé.

Par cette méthode on consbt^HJiejpQJiAtjm.'' den^oflé» j^ans airaîjr besoîo de (déterminer d'abord le pyp^ m!".

Montrons maintenant pourquoi cette méthode a reçu le nom de méthode des pamis de concours.

Si , au lieu d'avoir un seul point m , Oà ^ait une série de points m, m\ m" y... situés sur le plan horizontal, on ferait jpasser, par chacun d'eux , deux droites parallèles respectivement aux droites A ou H*, et B ou H^ ; on aura donc , sur le plan horizontal, deux faisceaux de droites parallèles, que je désignerai par (A) et<ÎB).

L'on devra d'abord fkire passer par le point o et par chacmie des droites du* ftftceau (A) un plan, et Ton anra ainsi une série de plans P, P', P",:.. qui se couperont suivant la même droite A^ et dont les traces sur le plan T formeront uniSBisoeau (A,) de droites concourant en te' point à'.

^L'on devra ensuite faire passer par le point o et p2(r fchacune des droites du faisceau (B) un plan , et l'on aura ainsi une série de plans Q, 0\ Q")-«* qui se couperont suivant la même droite h\ et Aonf, les traces sur le plan T formeront un faisceau (B,) de droites concourant en le point b\

Dès lors les droites A,*"... concourront au point .<i^j elles droites B.""... concour* ront au point 6'*".

Et les droites A.*'... «et B/... se çoyperont.dou^ à deux et ^spe(;tixen)ônt ^n les points m,*, m/% m/'",,.* qui ^eroi^t les points demandés. '

On voit donc que les .points a"" et b'" étant délerminés pour les droites A," et B,*" le seront pour toutes les autres droites du faisceau (A,*) .et ^u faisceau ^B,") , et qu'il suffira dès lofs de déterminer les divers points a".*, et b""... appartenant s^jx diverses droites A/... du.fai^ce^u (A/) etaux diverses droites B/.-. dufaisceau 0*J.

C'est à cause de l'en^iploi.des poipts ^''^ et 6'' que c^tte méthode a reçu le nom de méthode des points de coucous^.

Deuaième construction. Au lieu de mener. par le point m deux 'dmt^es horizontales de dii;ection arbitraire, on pe,ut pe mener (Jg. q) qw'nne. seule. droite A de direction iariùtràire , l'autre drqile D ayant une direction déterrfinée de la manière suivante^ .

Du j>oint cucionune çepti;e,çMY<^<^^^ur,rasaR9 oAdèci^ra un cer^^le C ciqo*pant la trace H^ en un point c/ , et la droite D sera celle qui une 1 1«8 points t» et ^.

Dés lors f du point a"' (point de concours de la droite A/) comme centre et atee

un rayon égal à 0*0'*, on tracera un arc de cercle coupant la droite X ( menée par le point cl" parallèlement ft^ M If^M ié*td)¥e Vt) en un point cf*' qui sera le point de concours de la droite D,^ Le point m/ sera Fintersection des droites A/ et D/.

On voFt donc que par cette méthode , qui n'est qu'un cas particulier de la méthode générale dite des points de concours , on n'a qu'à tracer, au moyen de là règle et de l'équerre , une droite A'^ parallèle à la droite A , et que le reste de là construction s'eitectue au moyen du compas et de la règle seulement.

Cette méthode spéciale, que nous venons d'exposer, est dite : méthode par h

carde de Carcy parce que la droite D est la corde prolongée indde Tare C.

Tromème comiructiQn. L'on peut > au lieu de mener par le point m deux droites de direction arbitraire B et A et dont il faut construire les points de concoun^^ mener trois droites de direction spéciale et telle que Ton connaisse, d'avance et en vertu des données , leurs points de concours*

£t en effet ;

Nous savons i"" que si par le point m nous menons, {fig. r) une droite boriiontaie A perpendiculaire au tableau T, la droite A.^ passera par le point o" ; 2"* qiie si par le point m nous menons deux droites horizontales et inclinées à 45*" sur le plan T ( rinclinaison de l'une étant à gauche, et l'inclinaison de l^autre étant à droite] , les points de concours de ces deux droites B et D seront faciles à construire avec le compas seulement, puisque l'on n'aura qu'à porter sur la droite 1^,

Ifl distance 4fa''' s=x ô^s=s cfp = la distance du poin^ o au, plaa T.

£n sorte que les points b" et d" étant déterminés, les droites D/, A,'', B/ le seront, et il suffira de la règle pour les tracer *#

Or, remarquons que l'on peut se dispenser de tracer les droites B et D ; car ce qu'il faut déterminer, ce sont les points b"" et cT, pour pouvoir tracer les droites B,*"

et D<* y et il est évident que l'en a ma :szab:=^a''b' et ma= adi=PaV.

On voit donc qu'il suiSt, le poitit m étant donné p^r ses dieux. prq)e«tions m ^t m**, de porter de a*' en b" et en (f une ouverture de compas ég^le à kt disUmae^ dii point mtmplan f.

Par cette construction , il suffît du compas et de la.ré^ pour construire le point m/, et la construction est indiquée dans toute sa simplicité dans la Hg. (i).

Cfn doit encoire réuMar^erq^ cette constructtoM , qui est tr ès^rilmple et t^èsexpéditive , donne uw moyen âe vérkk^tion , puisquisl'ote eo^étniit tr(M's*dN>Jlïb qui doivent se couper en un même point ««^."^(quî^ertrtepofair demandé).

§ XVIU Méthode de$ coordonnées.

Soit donné un point m &ur le plan horizontal de projection et un plan T parallèle au plan vertical LT, et un point o par ses projections 0^ et 0% on demande de construire la projection 9)1*" du point m, en lequel le plan T coupe la droite G qui unit les deux points et m.

Construisons un second plan vertical de projection L'T' perpendiculaire au premier plan vertical de projection LT {fig. 9).

Projetons sur ce nouveau plan les points o et m.

Imagiiions deux droites passant par le point m, Tune verticale, l'autre parallèle à LT (ou 9 CY) d'autres termes , Tune perpendiculaire au plan horizontal de projection, et Tautre perpendiculaire au second plan vertical de projection L'T').

Si, par chacune de ces droites et le point 0, nous faisons passer un plan , nous auront deux plans qui couperont le pYan T, le premier suivant une perpendiculaire à H^, et le second suivant une parallèle à H*; et ces deux droites se couperont en le point m, demandé ; et les projections , sur le plan vertical LT, de ces deux droites se couperont en le point m/.

' D'après ce qui précède , la construction à effectuer est donc la suivante :

V Mener la droite mo^j laquelle coupera la droite H* en un point m,^, et mener par ce point m^ une perpendiculaire à LT (laquelle perpendiculaire devra passer par le point m.*).

2* Mener la droite o'^m*'ffequelle coupera V* (qui n'esta autre que la trace W

prolongée) en un point m,*^; porter rmT^de e en t sur L'T', et mener par le point î une parallèle à LT (laquelle parallèle devra passer par le point m,'').

Le point m/ sera donc très-Facilement déterminé.

Et si Ton examine de près celte construction , on verra pourquoi elle a reçu le nom de méthode des coordonnées. Et en effet, il suffit, pour déterminer le point m/ ( que Ton cherche), de regarder LTet LT comme les axes d^ coordonnées, le point e étant Forigine*

Et il est évident que et etêîsont les coordonnées du point m.'« Or, es est égal à : rm/" et ri est égal i : rm^^'.

H suffit donc de tracer les droites G^ (ou m?) et G''' (ou o'W) pour détermi ner les points m,^ et m/\ et la construction s'achève avec U compas C).

n 11 a*est pas difficile, maiotenant , de reconnaître dans ce qui précède la méUiode de psrspseiwe «ipoeée par MoDge dans eoo mémeire inédil de 4785.

§ XVIIL

ApplicatUm amalttiqde de ta méthode des cooRBOHNtBs, torique le point m est siiMé

nar le plan horizontal de projection*

Soit donnée sur le plan horizontal une courbe G, lieu des points m; les équatiens de cette courbe seront : /(x, y)=:0 et x==Oy en prenant les droites H* pour >axe des â?, et LT pour axe des y, et V* pour axe des 2, le pointer étant l'origine des coordonnées (jig. s).

Considérons le point o comme le sommet d'un cône 2 ayant h courbe C pour base , et proposonfr-nous de trouver l'équation de la courbe G, , lieu des points m, (ou en d autres termes , on demande Véquaiion de la section faite dans le cône 1 par le plan T \ *

Comme la courbe C. se projettera sur le plan yertioal LT suivant une courbe identique C,* (qui sera le lieu des points mi*') , il suffira de donner l'équation de cette courbe G/ pour que le problème soit résolu.

Désignons les trois coordonnées du point par «> 6» y; ainsi l'on aura:

Szzzqc^, oL^szrq^ y = o'^'p'. Il faut calculer rnit""* et rm^^. Or les deux triangles semblables m'^'m^'r et m^Vp' nous donnent :

ou :

m,'V:y::7:(€+y) d'où:

fïi, f ^

Cela posé :

Les deux triangles semblables mumt^ et mgo^ nous donnent :

m,*u: vm :{g^:fng

eu :

'm^r^xiy :: (« — a:): («+y)

d'où :

4'où enfin :

(e+ï) Désignant m,*V par' y, et mj'r par x, , on aura les qaatre équations

•quatMDft de la courbe Ç.

f(x;y)=sO (2)

ar(6+y)4-y(<«— g) gg+y« ...

*•- H=ll = ^hT ^^

Et en âiminanl x^ y^ % entre ces quatre équatioiM, on aura TéqipMÎM f («. > yi > «j 6, y ) = , qui sera celle de la courbe C/»

iVote. OuToit^e suUe qu'il suffit d'éliiainer x^ely.entns les tPMi^quaisoos (2, 3^ 4), puisque la pr^xsière équaiios CBlztsiO'^ ei qoe-ieftiiKiBtMirpg BeMat fi)nclions que de ^eidey^

Effectuons Télimination.

De réquatîoa (3) on tice :

if'^ — — (5)

Substituant la valeur y dbnnée gar Téquation (5) dans l'équation (4), oa obtient , après les réductions :

6D sorte que Féquation :

Ac-'i^y ij^i]-'

sera Féquation de la courbe G/ ; car il est évident qu'il suffira de substituer dans l'équation (2)^ à la place de x et de tf , les valeurs données par les éqmtÎDM (6) et (5) ^ pour avoir l'équatiofi do la courbe G/.

S XIX

Si le point m était situé à une dislance li du plan horizontal de projection , on mènerait par ce point m un plan horizonlal R, qui aurait pour trace verticale sur le plan LT, une droite V* parallèleà LT et distante de cette droite de la quantité fc, et on devrait considérer ce plan R comme un nouveau plan horiiontaV déprojection y la droite Y* étanlila JCiottxeHe.ligm^-de lêrre; dès lors il est évident que:

V Si Ton enfiMa.la.fliéihode de&^ wtnuu de.cçnçouti$ {fi§^ v%.on devfit

porter à dcoite et à gauche du point m" sur V* le s ouvertures de com|taB m*a = m"*" = wM", el à droite et à gsKiche^ dir pornt o* sur la droite X, les ouvertures po*=o''6'*'=o'(i'% en sotleque lesdrûiles mV et V^y" et cPd''^ se couperont au point m/ demandé ; ' '"-

2* Si Ton "emploie la métliode directe ^ la considération du plan R <»t tiHrfîle, car la fig. (ii) nous montre qw le point m^ se dédntrdu point m,* de la même manière que lorsque le point m était situé le plan horizontal de projection (^fig. o);

3* Si Ton emploie la méthode des coordonné€8^ la fig. {x) nous montre que les constructions sont identiquement les m è merqiie celles employées dans la fig. («), alors que le poiht m était situé sur le plan horizontal de projection ; seulement le point nC^'y au lieiid'ètre placésur la ligne de tepfèLT^Mtny^Tedislantdecette droite d^ine quantité égale à /i, hauteur du poi nt m au-dessus du plan horizontal de projection.