XX

Application analytique de la méihode dile. des coordonnées , lorsque le point m

est hors du plan horizontal de projecUM*

Les coordonnées du point m,* seront : x, =e«=s: rm/'et : y,=ei =: et' = rm^ (fg.x).

Or supposons que Ton ait uiie«érie ie points m, m\ m!'y... déterminant une courbe C dans l'espace.

Les équations de cette courbe seront :

L'équation (1) sera celle de la prorjeetîon de la courhe G sur le plan horizontal do projection , et Féquation (2) sera celle de la projection de cette même courbe C sur le second plan vertical de projection L'T'. ^ Cela posé :

Désignant par a, 6, y les coordonnées du point o, on aura :

•^J^j «=FfV 7=7^ JEt Isa d«iHt^iaog^M«Aiid)labies m^um!' elntgtf doDnaroai ;

n^fi: icmr i:.ga ^mr;

en

d'où'encore :

d'où enfin :

mir—x: y ;: (m—x) : (6+j)

HfafaB ^ ,

ffLes deuxltriangles semblables {wT'u'm,''^ ) et {tvP'g'd") donneront :

ou:

d*où:

d*où encore

d*où enfin :

On aura donc les quatre équations :

■f(y,j;) = (aj

El en éliminant a;» y, z entre ces quatre équations, on aura une équation finale :

qui sera celle de la courbe C,% lieu des points m,% et cette courbe G,' sera identique (superposable) à la courbe C., section faite par le plan T dans le cône 2 ayant le point o pouri^mmet et la courbe C pour directrice.

S XXI

Si l'on airait une série de points m, m% m" situés hors du plan horizonial

de projection et distants de ce plan respectireiloent des quantités A, h! y h"^ on

pourrait appliquer à chacun d'eux Tune des trois méthodes , ou directe , ou par te$ pointe de cancawrs , ou par les coordonnées 9 et Ton déterminerait les divers points m, jfn.y m ,

Ainsi étant donnée une courbe C par sa projection G^, et connaissant la hauteur de chacun de ses points au-dessus du plan horizontal do projection , on pourra facilement déterminer les divers points de la courbe G/.

L'une ou l'autre des trois méthodes peut donc s'appliquer facilement lorsque la courbe G sera donnée : i"" par sa projection G^ et les cotes de hauteur de chacun de ses points (plans cotés et nivelés) , ou lorsque la courbe G sera donnée; 2* par sa projection G^ et sa projection verticale G*' sur un plan vertical quelconque (projections orthogonales).

L'on doit remarquer que si la courbe G était donnée par ses projections C* et G*, la courbe G" étant tracée sur le plan vertical LT, pian sur lequel on doit

construire les divers points m* de la courbe cherchée G,% il pourrait arriver

dans beaucoup de cas que les courbes G* et G^ s' enclievêtreraient l'une dans l'autre, et que dès lors il y aurait confusion dans V épure.

C'est pourquoi on doit préférer, lorsque l'on veut déterminer la courbe G,* par la méthode cKrecle ou la méthode des points de concours , de se donner la projection verticale de la courbe G, non sur le plan LT, mais à part, sur un autre plan vertical»

Aussi voit-on de suite que la méthode des coordonnées satisfait {^einement à cette exigence graphique , car les courbes G^, G*"' et G.*" sont toujours tracées sur des parties distinctes et séparées de la feuille de dessin , en sorte que Vépure est parfaitement lisiole.

§ XXIL

Si Ton avait une surface A ^ et que l'on voulût construire la section faite par le plan T dans le cône 1 tangent à la surface A et ayant le point o pour sommet , on voit de suite qn^il faut au préalable construire la courbe C , contact du c6ne 1 et de la surface A.

La construction des projections de la courbe C exige deux plans de projection y qui existent en effet , puisque Ton a le plan horizontal de projection et le plan

Tertical LT« Hais la courbe G* é:ant f ar le plan LT, plan vertical sur lequel on devra construire lacouibe C,% ilj aucavCOiifusion sur ïépure.

Pour éviter celle confusion il faut donc nécessairement employer un second plan vertical de projection ^ et ainsi par exemple, le pian: L'T' perpeodicuiairo au plan LT.

Dès lors la courbe C sera déterminée par ses deux projeciions C* et C", que Ton construira psxrpoinis et en se servant des méibodes exposées dans. le Coucsde géométrie descriptive (*).

Et de suite Ton voit que l'on pourra employer avec avantage la métbode des coordonnées pour déterminer la ccuibo C,% tandis que Temploi de la méthode directe^ ei surtout celle des poiiîi# de concours ^ serait inadmissible ,. vu la multiplicité des constructions à elTectuer (**}.

CVst sans nulle doute parce que la mélhode des coordonnées est applicable i tous les cas et à tous les problèmes^ qu'il s^agissode points, de droites, de courbas ou de surfaces , que Monge, qui a\aii une tendaBce si heureuse à généraliser Us méthodes, s'est contenté, dans son Mémoire inédit de ,1785^ d'exposer la settl^ méthode des coordonnées , vue sa généralité (***) .

DKOXlKME PARTIE.

Appli ot io M dcf mMboàtm ^e îm géométrie dcsoRptîve.à U pcnpactir*.

*9Mis*la première partie de ce mémoire, nous avww résolu le problème : Trouver le point de rencontre d'une droite ou d'un plan avec un plan vertical T, paraiiéie ouftmtverÉicalée ft^ttim. Nous avons employé, pour lé solution de ce pro- Uéne les méthodes de la géométrie descriptive fondées sar les projections :OTtlK)gdnaies. Montrons iminienant que toutes les constructions que nous avons exécutées sont identiquement les mêmes que celles employées en perspective par les divers auteurs (et même les anciens) qui ont écrit sur ce sujet ; nous

(*) Voyez le Cours de géométrie descriptive y 4" partie, page 407, et 2» partie, page 200,

in s» i*«n jeua ios ▼eus sur la coFteclion dts épures gravées de rÉcOte polytedmîque, Ton verra

(avecui^pwjd'iipUeiHiiOfOqiw répufedeJa per^pedire dn > pîddo«cli« qui a ôl* exécutée parOirwrg,

sous la direction deir<KîA«lH,a»ci£n.pcrfeiàeur^l!ÉB«lapolyieoh^ tfitooQStfttiiaparlaiN^lAo^tf d$s coordonnées. w .# -t. r

(*^) L*on doit faire remarquer avec quelle ticililéron peut passer de la solulidn par la méthode des mmdûunéuA ta Bf^l\klkn,mmsHyiifm- d*»» problèni» depeispesllve» et tins» iMum' facôemen* ^ie la laague graphique en la tangue a{géhrifu$..

diiroQS dès lors démoatsé que la pter^p^ciia^-^st ime-^es ^pplUations de la gé^ méirie descriptive*

§ II

Ëtant donné : i® un point m silué derrière un plan verlical auquel on donne le nom de idMeau, et Situé à une hauteur z au-dessus d'un plan horizontal auquel on donne le nom de plan géométral, et 2** un point o silué en avant do tableau et distant da tabltau d'une quantité égale à /, et du plan géomélral d'une quantité égaie à fc, on appelle perspective du point m ki traee de la iWokeom sur le tableau. Or si Ton recouchait le tableau sur le plan géomélral, la perspective des divers points m.,, donnés dans l'espace se confondrait, se brouillerait avec -le* projections orthogonales de ces divers poîi^ m... sur le plan géoméiraL C'esVpoitr éviter cette confusion, que l*on suppose que le tableau est transpott^ p^iratioiemenl à luiniéme et derriâre la projection sur le pian ^^om^ira/ des divers points fit..., de manière à ce qu étant recouché sur ce plan gcométral , la figure qui se trouvai tracée^ur tni^nie'sVîntbrooîlle pas avec la figure tracée sur le plan géoméiraL

Les donnéesd'une perspective sont donc les projections m\.. des divers points m,., de Tospace sur le plan géomélral {fig. a). On donne à celte figure le nom de figure géométralej et Ton dit : les poinls,les droites, les hgnes du géomélral ou qui sont au géomitral:

La droite or^, qui est iracéè^n géoméfral, et en avant de tous les points du géomélral , est le pied du tableau sur lequel doit être tracée la perspective des divers points w^.* . Ënrsorte q^'^ agissant d'un point f>i* du géométral une perpendiculaire m^p sur la droite xy, on a en m^p la distance dtSi point m ao tableau.

Le géométral étantdonné, ainsi que la position de la droite xg par rapport au géoiuétral, on a la position du tableau par rapport aux divers points m... de Tespaee , qu'il fànt mettre en perspective.

On transporte la droite xy en une droite x'y' qui lui est parallèle k'qtri se trouve derrière tous les points du géomélral ; cela fait, on se donne la position du pied de la perpendiculaire abaissée da point o sur le tableau ; le point o prend le nom de point de fme, et le pied de la perpendiculaire prend le nom de point principal de la perspective.

Pour fixer le point principal I^ on mène une droite H parallèle à x'y et à une distance égale i k, hauteur -du point de vue au-dessus du géantétral , et Ton i>iiiee un point P sur cette droite H , qui prend le nom de ligne d'/iortxon.

Cela fait, on porte, i partir du point P, à droite el à gauche de ce point et sur la droite H , une ouverture decompas égale à la distance / du point de vue au ta^ bleau , et Ton fixe ainsi deux points d etd'v qui prennent le noin de points de <fli-

kmce. Cda fiiit, on a écrit graphiquement toutes les données de la perspective , et il s'agit de construire la perspective des divers points m....

Avant de conslruire la perspective des points m..., faisons remarquer que toutes les lignes que nous avons tracées et que tous les points que nous avons placés jusqu'ici sont identiquement les mêmes que ceux que nous avons employés lorsque nous résolvions le même problème par les méthodes de la géométrie descriptive ; seulement , lorsque l'on fait une épure de perspective , ces lignes et ces points sont autrement désignés.

Ainsi : la ligne ay , pied du tableau , n'est autre que la droite H* (fig. v) ;

la ligne x'y' n'est autre que la ligne de terre LT ;

la droite H , ligne d'horizon , n'est autre que la droite X ;

le point principal P n'est autre que o^ ;

et les points de distance d et d' ne sont autres que les points cf*' et b'^. .

§ IV

Pour mettre un point m en*^ perspective, Ton emploie, habituellement ^ deui méthodes, l'une dite : méthode des poinis de concours^ et l'autre dite : méthode des échelles.

Nous allons exposer suecessivemcnt ces deux méthodes, mais auparavant il faut dire ce qu'on entend par perspective d'une droite.

Étant donnée une droite D dans l'espace, on ap^lle perspective de cette droite la trace , sur le tableau^ du plan qui passe par cette droite D et le point de vue o.

Pour déterminer la perspective de la droite D , il suffît d'avoir deux de ses points ; l'un est la trace de la droite D sur le tableau^ et l'autre le point en lequel le tablegu est percé par une droite D' qui sera menée par le point de vue o parallèlement à la droite D ; ce second point prend le nom de|)oint de concâkrs de la droite D. Ainsi la perspective d^une droite D est déterminée par la trace d de cette droite et son point de concours c.

On donne au point c le nom de point de concours , parce que si l'on a un faisceau (D) de droites parallèles entre elles , les perspectives de ces diverses droites passent toutes par le même point c.

Le point de concours d'un faisceau de droites parallèles prend le nom de point de fuite , lorsque le faisceau est horizontal ; et il prend le nom de point acddentelf lorsque le faisceau est incliné à l'horizon.

— ifib'^

Le point defiiUe d'un faisceau horizontal est toujours placé sur la ligne d'Aorwon Le point acàdentei d'un faisceau incliné est placé hors de h ligne d'horizon audessus ou au-dessous de cette ligne , suivant la direction du faisceau.

On a donné le nom de point def/dte au point de concours des droites parallèles et horiaontales , parce que ces droites ne se coupent qu'à l'inÛni sur le plan horizontal passant par le point de vue; efles tendent donc à se couper en un point qui fuit toujours devant elles et jusqu'à l'horizon, qui est considéré comme une ligne srtuée à l'infini par rapport au point de vue.

Le poillt de fidte d'un faisceau horizontal et perpendiculaire au tableau n'est autr»que le point principal P.

Le point de >te d'un faisceau horizontal et incliné de 45' sur le tableau n'est autre que l'un ou l'autre des points de distance i et d', suivant que ce faisceau est incliné à droite ou incliné à gauche sur le tableau.

MéOwde des points de concours {ou de fuite).

Pour mettre un point m en perspective, on fait passer par ce point deux droites quelconques A et B , et l'on construit les perspectives A" et B' de ces deux droites , lesquelles se coupent en un point nfy qui est la perspective du point m.

Pour construire les perspectives A' et B^, on est obligé de construire le point de concours de chacune d'elles ; or, on ignore à priori la position que ce point de concours prendra au-dessus ou au-dessous de la ligne d'horizon. C'est pourquoi , au lieu de mener par le point m deux droites quelconques , on mène deux droites horizontales , parce que l'on sait que le point de concours de leurs perspectives est situé, pour chacune d'elles, sur la ligne d'horizon.

Mais, si l'on prend des droites quelconques, tout en les assujettissant à être horizontales, il faudra toujours construire le point de concours de chacune de leurs perspectives. Il serait donc préférable d'employer deux droites horizontales, de direction donnée et telle que l'on sache à priori où sera situé le point de concours de leurs perspectives; c'est ce qui arrive lorsque l'on fait passer par le point donné m trois droites horizontales , l'une perpendiculaire au tableau , et les deux autres inclinées à 45'* sur le tableau; car l'on sait que le point de concours des perspectives de ces droites est le point principal P pour la perspective de la première droite, et l'un et l'autre des points de distance « et ^ (Jig. a) pour les perspectives des deux droites inclinées à 45* sur le tableau, *

D'après ce qui précède, pour construire la perspective d'un point m dont on

connaîtra la haalear ;t au-dessus du p!an géométral et la projeciion m^all féomé^ 'trat\ on exécutera {fyf. a) ie$ conslructioBfi avivantes^

On abaissera du point m^ une perpendiculaire m^p sui» la drosie ^j/b, pidddu tableau.

On tracera une droite x'y" parallèfe à la îlroite ary' et distante d'elle d'uue 'quantité z égale à la hauteur du point m au-dessus du plan géoméiraL

Sur la droite x'y', «^ ^ partir du point p en lequel la perpendiculaire 4iVpi*<>- Tongce vient couper celte droite, on portera à gauche et à droite une ouverture de

compas égale à m'^p, et Ton fixera les deux points 6' et a.. *

Gela fait, les droites ad y è'i'f pP se couperont en qa aièiBe jKHat iif {ipÊimn la perspeetive du point m.

Si Ton compare la %. (a) aveo la fi^ {v)^ oa voit de S4»î|eqiie lesûûtiêtmielîoM que nous venons d'exécuter pour déiermloxir le point nf sont identi^u^Hueot les mêmes que celles au moyen desquelles nous avions construit le point m.''; Et qu'ainsi : le point p' ^g. oc) n'est autre que le point m" {fig. v) ;

les points a et 6' ne sont autres que les points 6*" et <f ; le point nf n'est antre que le point w,*' j et que la droite x*y" n'est autre que la droite V\ Nous pouvons donc en conclure que ce que Ton désig^ne par perspective d'un système de points m... n'est autre chose que la projection verticale de la section fuite dans la pyramide (ayant pour base la figure formée par tous les points m...) par un plan vertical parallèle au plan vertical de projection, et vice versa.

Comme les corps dont on a à s'occuper en perspective y Torsqué Ton applique la perspective à ^architecture, sont terminés par des surfaces qui ne sont autres que des cylindres, des cônes ou d( s sphères, et que la plupart de ces corps sont composés de faces planes , cylindriques ou coniques ou sphériques » a' entre-coupant suivant dès lignes droites ou suivant des lignes courbes qui se croisent elles-mêmes en des points qui sont des points remarquables du corps considéré , ifs'ensuit que, sachant mettre en perspective un point, on sait tout ce qui est nécessaire. Ainsi ,' avec les principes exposés ci-dessus, nous pouvons affirmer que nous savons la perspective^ puisque nous avons à nôtre disposition une méthode, celle des points de concours ou. dé fuite , qui nous permet de mettre en perspective un point , et pai^ suite, u^e ligne droite ou courbe.

Dans laptemièfefifiptie du Oiur» de Géométrie dèscripiwey nous avons donné^^ par Jt «létbode.do^ points de eencours et dé fùUe, h perspective d*un polygone quakanqûe^^ltté Mit lepl«»;géëtnétral, et d*un prhme dont les arèles éi»ient vertkûles 9 aÎMÎ que <Fui»epyi*MD}de'et d'un tront; de pyramide. Dans hï deuxiénae partie dii miAmecoupS', b^m avens dt^^né ia perspecfdre d^Un cercle situé sur le plan horizontal ou dans un plan parallèle au plan hôriAonlal y ainsi que d'un cône complet el d'un tronc conique. Nous savons donc déjà mettre en perspective tous les corps composés de prismes verticaux et de troncs cylindriques et coniijues à bases horizontales^ ainsi que de irgncs p^r.gLWclAU^ ^ 1u^M$m bQpi;iôi4a(wL Ut comaie la perspective ne doit (si l'on y réOi^cliit^ biiSQ) n'i^M^ ^Aif^uyée ^nk repré* senter, par son moyen, des constructions aj^çUUfK^ii.ui^ala9),WP^iOMKiUrasaaa^ peine que tout ce que aous avons donjié.d^.ns la. preopicre el la deuiiièina:psirliîe du Cotir^ (/e Géorfiétfie descriptive ^ au sujet de la .p^r^jpiçp/tu^^ M^\k a«0f«tfikaiH: arc|(ilectes.

Mais i(ne f^ut pas seulement avoir démontré ($i je puis emplojter cetla ex^f^a«i ^ion) qu'en effet il sutDt , pour les architectes, de sayotr mettrq.eu pei^eciive d^s prismes, des troncs dé pyramides et des pyramides, des tropçs cylii¥lrîq^es ^ d^ troncs coniqyes et des cônes ; H f^iil encore démontrer que la perspective ,ne,diMt. être employée, par les ingénieurs^ que lorsqu'il s'agijLde coastruçtiouç architecturales, et non de machines ou autres objets de constructions et,d'iqdu§tf:iç^.

Cestcc que je- vais faire en peu de mots.

La perspective déforme tes objets, puisque deô droite^ parq/Zè/^*. enjl,re ellçs, nous apparaissent comme dès droites concourantes y et qu'ainsi.UQ pdrs]Jlélogramfl40 nous apparaît comme étant tàn quadrilatère.

Sît'on veut donc avoir une idée neiieet exacte d'un conps, di^ sa forme^ de ses. dimensions, il ne faut pas avoir recours à \^ perspectiue.\f(^yiv le> représenter.»

La méthode graphique à employer daAS ce cas est la jwétjtode dp^prpjectiops

orthogonales. Deux projections du corps, Tune sur le plan horizontal^ et.|'autr,e

"Sur le plan vertical , non-seulement sullisent pour nous faire connaître p«')rfaite-

ment le corps donné et en toutes ses parties, mais seules elles permottent de bien

connaître ce corps.

C'est donc, lorsqu'il s'agit de* construire en reliefs la. seule. otôtbQde' def prgjections orthogonales que I on doive employer pour représenter uu cQrps\ au^si les constructeurs ne se servent-îlar (et c'est qu'ils ne peuvent et .ne"doj.yent oas faire autrement, souis peine (terreur) ^^4es plans ^ coupéi et élévation^ d^ cqrps qu'ils veulent exécuter. Toutefois lajperspective est une «ciencç, utile aux archi-. tectes, et dont îfs font sans cesse on emploi convenabreet utile; car lorsqu'ils. imt^tnent un nouvel édifice , il faut qu'il soit en harmonie avec les constructions

environnâmes ; et comme le spectateur ne verra pas les oonstruetbas anciennes et nouvelles autrement que par ses yeux j et dès lors sous la fovme^perspeciive^ il e&t bon que rarchitecte fasse une perspective^ pour que Ton puisse tout' d'abord juger de V effet j et aussi de la manière dont les détails drchitectoniques de la nouvelle construction s* harmoniseront avec ceux des anciennes constructions qui doi* vent environner Y édifice projeté.

§ vm.

Quoique nous puissions , à la rigueur , mettre en perspective toutes les* Ugnes droites ou courbes d'un édifice ^ en sachant mettre en perspective ùvr point ^^ il ne sera pas cependant inutile d'indiquer comment on met en perspective une courbe située dans un plan vertical P, lequel est : i"" perpendiculaire au tableau, ou 2' in- • cliné à À5Uur le tableau, ou 3* incliné d'un angle arbitraire sur le tableau.

Premier cas. Soit donné un plan P vertical et perpendiculaire au tableau et uiie courbe E tracée dans ce plan P (fig. 6 )•

La trace H' sera perpendiculaire à la droite xy^ pied du tableau.

Cette trace H' sera en même temps E^, ou la projection sur le plan géoinétralde 3a courbe E.

lies données étant telles , la courbe E ne pourra être connue qu'autant que l'on •connaîtra la hauteur de chacun de ses points m.^ au-dessus du géométrcU, connaissant la projection m*... (me géométral) de chacun de ces mêmes points m«... Or la tnanière la plus simple de se donner la hauteur de chacun des points m... -est de scanner le rabatlement de la courbe E sur le tableau. Ainsi, faisant tourner le plan P autour de la droite Z , suivant laquelle il coupe le tableau, et recouchant ce plan P sur le tableau , la courbe E viendra en E, , et après le transport -de la droite xy en x'y, on aura la courbe E/ identique et superposable à la courbe j: , la droite Z étant venue se placer en Z\

Cela fait :

Soit un point «i^ projection au géométral à' un point m de la courbe E, et pro*

posons-nous de mettre en perspecti ve ce point m.

Si du point iJ" comme centre avec Z'*m* ppur rayon , nous décrivons un cercle y, le point m* viendra en m,* sur la droite iy ; et en transportant le tableau, et ainsi la droite xy en xy', on aura en m/ sur E/ le point m rabattu et transporté, et dès lors on aura en mjqh hauteur d u poin t m au-dessus du plan géométral.

Et si l'on remarque que la corde m '^m/' du cercle y est inclinée à 45* sur la droite xy, et que 'dès lors on a : Z^m*ç=Z*m.*, on verra de suite qu'il suffit do faire les constructions suivantes :

^ Unir le point m/ avec le point de distance t) ;

Mener par le point m/ une parallèle à la droite xV et coupant la droite Z' au point m'' ;

Unir le point m'' au point principal P.

Les droites m/d et tn'P se couperont en un point nf qui s^*a la perspective du point m.

Deuxième cas. Supposons toujours que le plan P est vertical , mais qu'il fasse avec le tableau un angle de AS" y alors sa trace H' fera un angle de A& avec la droite xy, pied du tableau (Jig. y).

Concevons une courbe C dans le plan P, sa projection C* sur le plan géométral ne sera autre que la droite H', et sa projection orthogonale sur le tableau nous permettra de connaître la hauteur de chacun de ses points m... au^iessus du géométraL

Lorsque le Ia6/eiitt sera transporté parallèlement à lui-même, et qu'ainsi la droite xy sera transportée en x'y', on aura en C la projection verticale de la courbe G.

Gela fait :

Pour déterminer la perspective d'un point m de la courbe G il suffira d'exécuter les constructions suivantes :

Étant donné m\ élever par ce point m* une perpendiculaire à la droite xy\ jusqu'à sa rencontre en nf^ avec la courbe G*.

Élever par lepointZ* en lequel se coupent les droites H' et xy une perpendicu-* laire Z' à la droite x'y'.

Mener par le point m" une parallèle à la droite a^y et coupant la droite Z' en un point m.«

Les droites nC'P et m^ se couperont en un point m' qui sera la perspective du point nu

Troisième cas. Le plan P étant toujours vertical fait avec le tableau un angle arbitraire X.

Dans ce cas {fig. d) là courbe C est donnée comme dans le deuxième cas (ci* dessus), mais il ne faut plus unir le point m, avec le point de distance 9, il faut déterminer le point de fuite f des droites.borizontales parallèles au plan P; pour cela on abaisse du point principal P une perpendiculaire à la ligne dt horizon H et du point P comme centre , et avec Pd pour rayon on décrit un quart de cercle qui détermine le point p.

Cela fait, on mène par le point p une parallèle à H' qui coupe la ligne d'horizon H en un point/, qui est le point de /vile demandé.

Dès lors les droites m/etm'P se çg^fiefiA^tjfi,UTKfCJ9lm\i^>»Uiz^fèeaipmli9e du iMvnt,^

§IX

gi/métrol n^l^in que Jç ph^ da Qais^M6 4e« cteux doiiolkft cyiôjMLri^ipaft» faisanl ainsi abstraction des pic(ls*droit5 qui soutiennent ia !(Ci|(ft^ {^» fx)»

X^ covrbe 3 arc de iêt^ du jp^t ^yjjiuliie sera jio dâipi^tCArcl^ paraUàle au t4lt>l^$^u^ Q9 coQiiaiira «ia prqjâaUon au fffyunéimL^ 9<iî $^;iia traita B\ m sa pro^ jeç^ion veilicale, qui jiçpa le 4en^-cercie J}*" Uhmif^ ^n^dem-^ow^ M.

Dès lors la perspective du cercle B sera un cercle d'un rayon plus petit .^t qu il e%i ^cUe de déieriaÎD^.

M coMrbe £ arc de U^O du gn»»4 £jliq4i*e .aora.. UQA demi«^lipsd ayant son

grand axe en il et dont le demi-petit axe, qui sera vertical, sera égal au rayon du cercle B.

4rt» cowke X? i^^r^ecMW'd^ ^ew^Uod^^ea de<s<tottoito cera iém deni^etlipae ayant ab pour grand axe et ayant son demi-petit axe, vMtiual, égal as iidjFon du cerç^ fi»

Pour mettre TçUipse E en perspectif m ^ idonnMCA.stNl gahaitentant fi\ ; tpome msiim l'aUipsc^ C. (u^ pQnpefl^.OQ i|e dwwPiwa m ^pfM^jeMioa MPlîp«feX", jqtii ne sera autre que le demi -cercle B*.

jQeli S!èii^ ou c^ii^Miera lea x^auUwoftiQPi mUqfièm (imàm»m (pomi&r et troisième cas) pour mettre en perspective une série de points de chacuM de oea cqiirbctd J^&lQ^ ^ Tou sw^a f^w r<é^tALU4ie tkm« 4e jMr^Mdii^. (ji^* f»)*

SX.. „ .

ÇoncQvojitç. va .pajm «i dans J'espace (/^ n) |>Iaaé «kitîèiMi le iaMaw • la (^o- JQctiftn de ce RpiflJ ip ^ g^QW^l iXWt^n*,,.

Traçons daps iç pl^ji x^ow^tjcal uoe dcoj^ Y {^r^eadkulaîKe au jpM «t^ 4\i

tableau et désignons cette ligne xij par X.

Conce^ns p^r la d^pjte Y na plau, jpferpfflUiwIaîr^ Q aafilau ^ÉmUralf il ooupera le tableau suivant une droî^;^.

& m*p pour le tableau et à m*^ pour le plan Q,

Transportons le tabtectu parsrllètémene à îtii-niêrhe^ la (froite xy ou X se'lraufrportera en ^ry on» X', et la ârohe t se placera* en ï' perpendiculaire à X'.

Nous pourrons nous donner sur fa droite Z' la disiance du point m au plan

géomélralj supposons qu'elle soit é^ale à aa

Nous connaissons donc les trois coordonnées rectangulaires du point m ou ses distances aux trois plans rectangulaires de$ coordonnées j ces plans étant : X Y OQ Te plan géométral^ YZ ou le plan 0, XZ ou le tableau.

Cela dit : •

Donnons la ligne à^horizon \l, le point principal P et les points de distance d et J', et construisons la perspective m" du point m.

Trois droites passent par le point m : L'^^rdonnée x qui se projette au géométral en m*ç, Tordonnée y qui se projette au géométral en m*p et Tordonnée x qui est

égale à aa\ et qui est vef ticale.

Cherchons les perspectives de ces trois coordonnées x^y, 2; ces perspectives se couperont au point m' demandé.

Et d\')bord la drj^iie X a pour perspective X\ la droite Z a pour perspective Z\ et la droite Y a pour perspective la droite Y', dont le point défaite est le poial principal P.

Cela poisé :

Portant sur X' Touveriure de compas a'p^=zqp^ sur Z' TouVêrture de compas a a* égale à la hauteur z du point m au-dessus du gj^ométrai, on j(Hûdra le point principal P avec les points p' el a".

Portant sur X' Touverture de compas ar=^aq et joignant le point r' au point de distance 3', cette droite ôV coupera la droite Y' en un point q\ «

Gela fait on mènera par le point q dettx droites y Tune parallèle à X'et coupant la droite p'P au point m y l'autre parallèle à Z' et coupant la droite a"P au point q\

On achèvera le rectangle q!mq"m* et Ton aura en son sommet m' opposé au sommet q\ la perspective du point donné nu

Si par te point p on menait une parallèle à Z\ et si par le point a 'on menait une parallèle à X, anaurait en {app'a!'mm^q'q)là pers|)uective du parallélipipède rectangle construit sur les trois coordonnées «, y^ %j du point m (ce parallélipipède ayant Tune de ses faces dans le tableau et une autre face dans le plan Q).

Les perspectives des trois distances a:, y, 2» au tableau ^ au plan Q et au pbn

yéoméinUfSetouiràon€if ref^pectivenent , m^ ', mV, mW.

Ces perspnimes M 9Mt point é^ales^ au* coordonnéta dUi point m\ atMai leur

(lonneot-Oii le nom de dUtances ftégradées da point m aux troiâ plans , Q , uMem et gécmétral. - -

En examinant avec attention la fig. (tt) on voit sans peine que le point p" est la perspective de la projection du point m sur le tableau , que le point q^' est la perspective de la projection du point m sur le plan Q, et que le point m' est la perspective de la projection du point m sur le géométral.

On voit aussi : •*

V Que Ton a fn^m'=:^\ et qu'ainsi la distance dégradée du point m au géo^ métrai est égale à la distance dégradée de sa projection sur le plan Q , au même plan géométral.

2"" Que l'on a m*q" = fiJq' et qu'ainsi la distance dégradée dfu point m au plan Q est égale à la distance dégradée de sa projection sur le plan géométral an même plan Q.

3" Que l'on n'a pas , en général, m*p"=:nlp' et qu'ainsi la distance dégradée du point m au tableau n'est pas égale , en général , à la distance dégradée de ^ projection sur le géométral au tableau.

Si Ton a une suite de points m... situés dans un plan Y parallèle au tableau^ les distances dégradées de ces divers points au tableau seront, en général, inégales entre elles ; mais si ces points m... sont sur une horizontale B située dans le plan V, les distances dégradées de ces mêmes points m... au géométral seront égales entre eiles^ et si ces points m... sont sur une verticale A située dans le plan V, les distances dégradées de ces mêmes points m... au plan Q seront égales entre elles.

Comme pour effectuer la perspective d'un point m on porte sur la droite X' les distances a; et y de ce point m, et que l'on porte sur la droite Z' la distance z de ce même point m, on a donné à ces deux droites X' etrZ' le nom à^ échelles.

§ XL

Les peintres se servent principalement de la méthode des échelles pour mettre en perspective les divers groupes de personnages et d'objets de toute sorte qui entrent dans la composition de la scène qu'ils veulent représenter sur la toile.

Ayant disposé sur le plan géométral les diverses choses qui doivent être mîseâ en perspective, ayant fixé le pied xy du tableau par rapport à ces choses y la hauteur du point de vue au^essus du géométral o\i plan de la scène à représenter, la distance de ce point de vue au tableau , de manière à ce que l'ai/ de l'observateur embrasse d'un coup d'œl l'ensemble de la scène; et ayant, de plus, fixé la position du point prmctpa/et par conséquent la position que le qiectateur doit avoir par rap-

port à la tcène^ le peinlre enveloppe chaque objet d'un parallélipîpède rectangle ëont les faces latérales sont telles que deux d'entre elles sont parallèles aU laUeauy et les deux autres perpendiculaires au tableau. Les deux dernières faces sont horizontales > Tune d elles étant placée sur te plan géométral.

Il met ensuite en perspective ce parallélipîpède {fig. f), et il dessine, sur sa knk^ Vobjei qu'il veut représenter, de manière à ce qu'il soit renfermé«dans la perspective {q'V'm"n"q'r'm'n') du parallélipipëde rectangle.

C'est ainsi que le peintre place sur sa toile les divers personnages qui doivent composer la scène.

Quant aux objets matériels et inanimés, composés de lignes droites ou de lignes courbes géométriques , en un mot, terminés par des lignes dont le tracé est rigoureux , il achève de les mettre exactement et complètement en perspective par la méthode des points de concours j après en avoir fixé préalablement la position sur sa toile par la méthode des édieUes.