AVANT-PROPOS

Dès le premier établissement de l'École du génie à Mézières, on s'est attaché & donner aux jeunes officiers les prin(.'i|>es du dessin, et à le faire avec méthodes- La facilité de l'expression avec le crayon et Vintelligence du dessin donnent celle

(*) Ce mémoire fait partie de la collection des manuscrits de la bibliothèque de l*École d'application de Tartillerie et du génie à Metz.

11 est coté pièce n* 42 , carton n* 4, et provient du fonds de Tancienne École du génie qui fut transférée de Mézières è Metz en 4793. *

On ignore le nom de Tauteur de ce petit traité , ainsi que sa date précise. Cependant, on a lien de croire qu'il a été écrit à l'École de Mézières pour l'instruction des jeunes officiers du génie, vers l'an 4775 à 47S0.

Les dessins qui accompagnent ce petit traité sont évidemment de la même main que deux dessins qui existent encore dans les collections de l'École d'application de Metz , et qui portent le millésime 4774.

On sait que ce fut en 4775 ' que Monge écrivit un mémoire sur les ombres , et dans lequel il employa VarnUyge. Dix ans plus tard, il écrivit quelques pages ( que nous donnons ci-après ) sur les ombres , mais alors il employa la méthode des projections , la géométrie descriptive.

G^est d'après le petit traité que nous publions ici pour la première fois que fut exécutée Vépure de l'ombre des cheminées qui existe dans la collection des épures gravées de l'École polytechnique , épures gravées qui datent presqwe toutes de la fondation de l'École polytechnique en 4796. T. 0.

> Voyei ce que Hachette dit au sv^et ûm ce mémoire de M<me dans la Correspondance sur l'Ëcole polytechnique, TOI. 1", pag. 299. T. O.

de la ixfllw ^e<mstructioi|^e8 ouvragés des places , da tracé et réli«f 4e h, fwti-* fication et en général de tout ce qui y a rapport,. celle dos ouvrages relatifs à la giterre de campagne et de siège; forofe le coup d'œil pour la recosnaissance des places ; c'est le dessin , en un mot , «mtindu et appliqué à tous les objets, qui cd« ^ctérise eu partie les ingénieurs. * .

. On n'a rien trouvé de plus propre pour leur procurer cette con&aissaBce4>ai^«» laite du dessin, que de leur faire suivre des cours découpe des pierre^ et de6 boi^,et on a pris soin à cet effet de développer la partie de la coupe des boi^ ^ qm nû l'avait point été jusqu'à présent. Indépendamment des avantages qui résultent de cette étude, relativement aux constructions dont les officiers du génie ont la direction , on conçoit facilement que quand on fait développer toutes les faces et connaître tous les angles, plans ou solides, d'une pierre quelconque employée dans une voûte, une trompe, etc., ou d'une pièce de charpente employée dans un comble, un dôme, un escalier, etc. , qu'on a bien de la facilité à développer un bastion, une demi-lune , un cavalier de tranchée , une batterie , etc. ; que quand on sait bien former la représentation de toutes ces choses pour les faire entendre aux autres , on est en état de se les représenter comme si elles étaient d^à exécutées, et d'en combiner les différentes constructions pour les rendre autant par«faites qu'elles peuvent Têtre.

Mais jusque-là l'étude du dessin a été bornée aux simples traits ; l'art du lavis , )es dégradations des teintes et des ombres sont nécessaires poUr lui donner Feffejt du relief convenable ; et souvent sans ces secours, le dessin ne pourrait ètr^ que difficilement entendu. L'art du lavis s'acquierE par rexercice, les ^éf rlld«(ion9 des teintes doivent être tirées des lois de la nature , et retendue des ombres portées par les corps devant être proportionnelle aux distances , doit être traitée .avec le secours de la géométrie.

C'est de l'harmonie de ces différentes parties bien entendues que dépendent la correction et l'expression du dessin. La partie de la fixation proportionnelle des ombres n'ayant point été traitée jusqu'à présent relativement au dessin géométrai dont les ingénieurs font usage, nous avons cherché des pratiques fmiiém dans la géométrie , commodes et expéditives pour les déterminer, en n'employant néanmoins sur les dessins que le moins de lignes possibles^ parce qu'elles ne pourraient qu'altérer la propreté qui leur est nécessaire. Mais ces pratiques et les principes sur lesquels elles sont fondées n'ayant pas été mis en ordre jusqu'à présent, et n'ayant été enseignées que par intervalles, suivant le besoin de différents cas , ne pouvaient rester, ni s'arranger dans la tête ; ce qui a engagé à les rassembler et expliquer dans ce petit traité , que l'on donne ici en forme de leçon pour Tusage de l'école, »•

Après avoir établi des notiona générales sor les dessins , noos indiquerons la manière de disposer ceux des ingénieurs. *

Nous donnerons ensuite la méthode popr déterminer les ombres sur toutes sortes de surfaces, en l'appliquant à des exemples ; et nous finirons par dét^Her, les principes suivant lesquels les ombres et les teintes se dégradent et s'affaiblissent, en mettant aussi sous les yeux les exemples nécessaires pour en facilitée Tintelligence.

^ NoU(m$ gên^raleu $Ur te dessin.

1» Le dessin est Tart de représenter les objets sur des surfaces quelconques; ces surfaces sont ordinairement planes. Les peintres se semsnt de toiles;* et donnent à leurs ouvrages le nom de tableau. Nous ne nous servirons que du papier, auquel on donnera le nom en général de dessin ; celui de la figure ^ de for^ nement^ du paysage ne s'acquiert que par les leçons d'un bon maître et par un exercice suivi pendant uft certain temps. Le dessin de l^rchitecture civile et militaire, de la fortification, etc., prend ses principes dans les arts et dans la géométrie, et Vexécute avec la règle et le compas.

2. On distingue deux espèces principales et primitives de ce genre de dessin ; Tun est le dessin en perspecti\e, et Tautre est le dessin géométral.

3. Le dessin en perspective représente les objets tels qu'ils paraissent d'un point fixe pris à volonté parmi tous ceux d'où ils peuvent être vus, c'est-à-dire qu*on suppose que de l'oail du spectateur partent autant de rayons^u'ii y a dé pointfijdans l'objet qu'on représente, lesquels, par leur intersection avec le tableau ou la feuille de papier qu'on suppose placée entre l'œil et l'objet , y représentent ie0 mêmes points qui , étant joints par des lignes correspondantes à celles de l'objet, les rendent en perspective* Celte manière de dessiner est l'imitation de la nature, et pei^ être très*utiie en plusieurs occasions, surtout lorsqu'on doit rendre compte d'un objet et de la position respective de se3 parties pour un même point de vue; mais elle a Tinconvénient que les dimensions de l'objet y sont pour l'ordinaire tellement défigurées qu'il est difficile d'en connaître avec exactitude les proportions fl'après la seute représentation en perspective.

Quoiqu'on ne soit pas dans l'usage de se servir de ce genre de dessin dans les projets de construction, néanmoins il est très-utile qu'on ingénieur en ait connaissance pour se former le coup d'œil si nécessaire dans la guerre en général, et particulièrement dans la reconnaissance des places, qui souvent peuvent être vues de qudques éminences ou clochers; il ne lui servira pas moins ppur le lever des plans et des cartes où il est obligé de représenter géométralement

Ceqae^eBt qoetedeMku

primttiTaB te

NotkmB

da deMin

CD peT8peettT6.

Notions da deisln géométraL

De la projection borliontale

- on dn plan et de ses usages.

PL I, /Iff. 1*

les pbjeu qil'il ne voit qu'en perspectiTeg^ car il a acquis T usage de mettre atec facilité un plan géomctral en perspective » réciproquement il lui sera foeile de ramener la perspective au géométral ; mais différents auteurs ayant écrit sur ce genr« de dessin y il ne fera point partie de ce traité.

4. Le dessin géométral diffère principalement du dessin en perspective en ce qu'au lieu de supposer que les rayons qui parlent de tousies points de Tobjet concourent à un même point (qui est Tœil du spectateur) placé à une distance finie y on imagine que tous ces rayons concourent à une dislance infinie ^ et sont par conséquent parallèles entre eux ; de sorte que, pour que le spectateur puisse les voir d'une distance finie comme ils sont représenlés par un œil infiniment éloigné, il est nécessaire que le spectateur change de lieu à chaque instant, et se place successivea|6at sur les directions de chaque rayon en particulier. On sent bien que ce dernier genre de dessin n'altère point les dimensions des objets qui se trouvent dans une situation parallèle au plan du papier, mais aussi qu'il ne peut en représenter qu'une seule face à la fois, et qu'il ne serait pas possible de prendre une idée complète du tout, si le spectateur était censé considérer toujours la même face. On a donc pris le parti d'imaginer différents plans qui traversent Tobjet ou qui lui sont extérieurs, et l'on suppose que sur cesplatmse peignent, comme on l'a dit , les parties des objets qui leur sont directement opposées ; c'est de cet art, que Tétude de la coupe des pierres et des bois donne rintelligence la pla% exacte et qui ne laisse rien & désirer, si l'on en excepte les omises et les teintes*

5. Sur u%plan horizontal mené à travers, au-dessus, ou au-dessous de l'objet^ on conçoit que de tous les points de l'objet partent des droites verticales ^ui for-^ ment par leurs extrémités sur un plan une figure qu'on nomme la projection horizontale de l'objet ou simplement son plan. Soit, par exemple, la droite AB inclinée d'une manière quelconque à J'horizon. Si sur le plan horizontal DE on abaisse de tous les points de AB des perpendiculaires MM, OIP^BC , la droite AC que ces perpendiculaires formeront par leur rencontre avec le plan horizontal, sera la projection horizontale ou le plan de AB, et par conséquent aussi sa représentation sur le plan horizontal proposé.

Les perpendiculaires NM, OP, BG sont les rayote suivant lesquels l'oeil regarde successivement tous les points de AB. Souvent, dans le discours ordinaire, on dit que AG est la grandeur de AB au plan (*)•

(*) Loraqu'H s'agit de la perspective , lés auteurs disent : au géométral , au liea de dire t m pl<m.

6. De même, si sur un plan vertical FE mené par un point de l'objet ou liera De la p^ieiibA de Tobjel, on tire de tous les points de ce même objet des perpendiculaires au J*^^i ^ plan vertical, leur rencontre avec lui y forme une figure qu'on nomme profil éiéTauons^et lorsque le plan de repésenlation coupe Tobjet, et élévation lorsqu'il lui est ^ !«<"* w>s«i* " externe , et cette figure en est la représentation sur le plan vertical ; si , par

exemple, de tous les points A, N et de la droite AB on mène au plan vertical FE des perpendiculaires AC, NQ, OR dont les extrémités forment sur ce pko vertical la droite BG, cett^ droite BG est le profil ou élévation de AB, et sa représentation sur le plan vertical dont il s'agit« C'est un usage assez ordinaire de dire que BG est la grandeur de AB au profil ou à l'élévation. ,

7. Les plans de représentations dont nous avons parlé (art 41) ne sont Hautes nanond^re dans la théorie^ ni quant à l'espèce, ni quant au nombre; mais dans la pratique» teproiitoat on n'en emploie que deux espèces, savoir : les plans horizontaux etlap plana Déoeisaires poar verticaux: mais, pour faire connaître l'objet , le nombre des uns et des autres , connaiu«

-, l'<Aj6t à fond*

n'est pas toujours le même; souvent, sur un même plan, s élèvent plusieurs profils et élévations.

On sent assez qu'il y a de l'art dans le choix et la disposition des plans, pro* Choix et fils et élévations qu'on veuf employer afin de représenter l'objet le plus pariai- ^ï^'^^^fl,? tement qu'il est possible, avec des figures les moins nombreuses et les moins et éiévauoos. chargées; mais cet art ne peut être soumis à des règles générales : de bons modèles et la j^ratique sont les meilleurs maîtres qu'on puisse consulter.

8. Ces principes établis, il est aisé de concevoir qu'en combinant ensemble les u eombinaiton plans, profils et élévations, on connaîtra toutes les dimensions des parties de ^eu^' Tobjet au moyen des échelles en toises , pieds et pouces ou autres mesures , car âévauoiu bit las plans donnant toutes les mesures horizontales , les profils et élévations donnent ]^ Subies toutes les mesures verticales, même les mesures inclinées à l'horizon et parai- dimenstom lèles au plan vertical du papier; en sorte que la difficulté se réduit tout au plus

pour celles non comprises au plan vertical parallèle au papier, à trouver l'hypoténuse d^un triangle rectangle dont on a les deux côtés , l'un au plan et Tautre « au profil. Ainsi, dans l'exemple (PI. l,fig* i) allégué ci-dessus, il est visible qujayant AB au pian et au profil , on a cette ligne elle-même en nature* Il en sera de même dans tous les cas; c'est de celte espèce de dessin qu'on se sert dans les projets des ouvrages proposés à la cour et pour leur construction.

9. Nous avons insinué (art. 2) qu'il y a d'autres genres de dessin que celui en Eq^èee mixte perspective et celui géométral, mais ils sont tous divisés o^^ composés de Tune dedessm ou de l'autre de ces deux espéc-es primitives; celui d entre eux dont on fait le plus

d'usage s'appelle perspective cavalière (comme qui dirait perspective où les règles de l'art ne sont pas scrupuleusement observées); par exemple, on s'en est

ferti pÊfÊt Mpréienier (Jlf. 4) les toiives auxquelles appartiennent lé plan horiiimaal DB et le vertical FE: On Fa aussi employé avec succès pour expliquer les àasemblages de charpente , dans le supplément qui en a été fait et donné à réeole du génie pour rinteitigence des coupei^ pour Ies4>ois (*). Dans cette espèce de deasin on peut toujours 'conserver à une des surfaces planes qui enveloppé un corps et a sa parall^e (lorsqu'elle en a une) leur figure, sans altération, ni dans leurs angles, ni dans la longueur des lignes qui le forment.

A regard des autres surfaces qui enveloppent le corps , les ouvertures des angles seront nécessairement altérées, mais les lignes conserveront leurs véritables longueurs , ce qui rend celte sorte de dessin susceptible de dimensions qu'on peut connaître au moyen de Féchelle. Ce dernier genre de dessin est si iacile à entendre d'après ce qu'on en voit {fig. 1) et ce qu'on en a vu dans le supplément à Fart de la charpenterie , que nous n'entrerons pas à ce sujet dans un plus grand détail.

Nécessité 10. Si l'ou n'avait qu'à mettre aux simples traits les plans , profils , et élévations

^i^jjjjQj des différents objets que l'on veut représenter, on n'aurait besoin que des projectîon( horizontales et verticafes expliquées ci-dessus (art. 5 et 6), et ce sont les ^ seules dont on s'est servi dans la coupe des pierres et des bois; mais, pour donner de la grâce au dessin et faire apercevoir du premier coup d'œil les diffi&rents reliefs de toutes les parties de l'objet qu'il représente, il est nécessaire d'observer les dégradations des teintes* et d'y marquer les ombres portées par le soleil , en suivant à cet égard ce qui se passe dans la nature

Nous parierons à la suite {de ce traité ) de la dégradation des teintes ; nous aitons expliquer la manière de déterminer la figure, l'étendue des ombres relativement aux différentes surfaces qui les reçoivent, lesquelles surfaces sont toujour"^ projetées sur la feuille horizontale et verticale du dessin. Us rayons da **• Nous admettrons pour principe fondamental que différents rayons du *^^tTC^*^^*^^ soleil sont parallèles. Si en mécanique on a supposé les directions de la pe- • santeur parallèles , à plus forte raison admettra-t-on la même hypothèse pour

les rayons du soleil, qui est plus éloigné de nous que le centre de la terre. Les plans *2. Si par utt rayon du soleil on fait passer un plan vertical, Tintersection

^i^iTaù^" de ce plan avec la feuille horizontale du dessin y déterminera (art. 5) la projecparaUèies. tion de la direction du rayon du soleil au plan] cette direction sera ensuite projetée sur les profils et élévations, ainsi qu'il est expliqué (art. 6).

Si l'on fait passer des plans verticaux par plusieurs rayons du soleil, il suit de

^^T"SF^^ ■ P H I ■ ■ — —W^— ■ ■ I ■ I ■ ■ 111 — ^-^^i^»M1^— — — M^»^

(*} L'àuleiir entend parler de Tapplication du trait sur une pièce de charpente. T. 0.

l'article précédent, qu'ils seront parallèles entre eux, et on les nomme planf ver^ .ticauK du soleil.

43. Gela posé, si de tous les points d'un objet on imagine des parallèles (ati rayon dû soleil) tirées jusqu'à la rencontre d'une surface quelconque, elles j l^eindront une figure qui sera la projection de l'ombre portée do l'objet sur cette surface; sur quoi on observera que, pour trouver l'ombre d'un corps quelconque, il suffira de projeter les lignes de son contour, qui sont rasées par les rayons du soleil.

14. Mais pour déterminer cette projection, il faudra premièrement établir la direction ou l'élévation d'un rayon du soleil. Soit, par exemple, SL la directioi^ 4'un rayon du soleil, et l'angle ALS celui de son élévation; soient aussi les lignes DE, EF, DF, qui .doivent se projeter sur un plan quelconque horizontal^ vertical ou incliné , représenté par AL, CL ou MN. Si pour les points D, E,F on tire parallèlement à SL les lignes D(/, Ee, F/ jusqu'à la rencontre d'un plan sur lequel on veut projeter les lignes DE , EF, DF, on aura la projection de ces lignes déterminées par leurs correspondantes de , a/, df.

Il est aisé de voir que cette projection ne diffère de celles expliquées (art. 6 et 6} qu'en ce que les lignes qui les produisent sont inclinées à l'horizoo ; pair cette raison on peut l'appeler projection oblique ; elle suit d'ailieurs les mêmes lois, c'est-à-*dire que toutes les lignes parallèles aux plans sur lesquels elles soq( projetées, conserveront sur ces plans leurs longueurs sans altération; ce qui est évident, puisque, dans tous les cas^ elles seront les côtés opposés d'un parallélogramme..

Avant d'entrer dans un plus grand détail sur ce sujet , il est bon de faire con-» naître les différentes dispositions les plus convenables aux plans ^ profils et élé* vations (ce qu'on peut appeler un système de dessin) et les différentes hypothèses qu'on peut suivre pour les ombres, et aussi examiner celles qui paraissent mé« riler la préférence, relativement aux usages auxquels les dessins des ingénieurs sont destinés.

15. Les architectes observent , lorsque leurs dessins peuvent être ooiUenus dans une même feuille , de placer en bas de la feuille le plan des caves e't souter* rains^ celui du rez-de-chaussée au-dessus , pujs celui du premier étage, etc, ; et d'arranger» dans \m places du papier que ces plans laissent vides, les difSéreuls profils et élévations , sans avoir égard à leur position relativement aux plans auxquels ils appartiennent; ils ne sont pas dans l'usage ordinaire de faire porter ombre sur les aires des cours, jardins, escaliers et place d'intérieur, par les ditlérents .murs qui forment les plans , se contentant de marquer les ombrer par de^ gros traits sur lea arrêtes off^osées au jour qu'il fopt venir du coin 4

Ombre projetée.

Pfdjeclion

obliqae«ervant

à déterminer

rétendue des ombres.

l^ifpMitiQiif et «rmogemeiÉi

dés dessins assez ordinaires aux architectes.

Igducbe de la feuille qui contient le dessin ; il est vraisemblable qu'ils ne sont détournés d'ombrer les plans que parce que les ombres se confondraient avec les teintes d'encre de la Chine qui expriment les maçonneries coupées par leurs plans qu'ils représentent, d'autant qu'ils ne manquent pas d'ombrer les arbres et même les arbustcà des jardins qui se trouvent dans leurs dessins, et qu'on ne peut disconvenir que les ombres contribuent beaucoup à faire entendre du premier coup d'œil les différents reliefs dans les plans, lorsque toutes leurs parties ne sont pas assujetties à un même niveau.

Les architectes observent d'ailleurs d'ombrer les profils et élévations qui ont lin indispensable besoin de ce secours pour être entendus; ils supposent, comme font ordinairement les peintres, que le jour vient de derrière leur épaule gauche, c'est-à-dire du coin à gauche du haut de la feuille qui contient le dessin; et ils suivent les mêmes lois, lorsque les pians, profils et élévations, se trouvent sur des feuilles séparées. Pour que les ombres, dans les profils, ne se confondent pas avec les teintes à l'encre de la Chine des maçonneries coupées, ils laissent les maçonneries en blanc, ou se contentent de les pointillery ce qui dans le même dessin fait une contradiction qui n'est pas raisonnable; les niaçotineries* doivent être traitées de même dans les plans et dans les profils. Mais ce n'est pas la seule contradiction que leurs plans et profils représentent; le jour venant aux uns comme aux «autres, du coin à gauche en haut de la feuille du dessin, suppose aux plans et aux profils une situation verticale qui à l'égard des premiers est contre leur nature. Les architectes sont trop éclairés pour admettre cette supposition. On doit croire qu ils regardent les dessins comme étant copiés d'à-* prcs^ un relief éclairé par un même soleil , où les plans; profils et élévatiohs sont appliques sur la même table verticale , ce qui d'ailleurs s'accorde avec l'usage ordinaire qu'on fait de leurs dessins. Quelqu'un qui fait bâtir une maison orne assez volontiers son cabinet des dessins qui lui ont été fournis.

Disposiiions 16. Il n'en est pas de même des dessins des ingénieurs; lout ce qui concerne qn^wn^eniMm '^^ p'^ces de guerre et qui pourrait donner aux ennemis des éclaircissements

ftitxâesdnt doit être caché au public. Destinés à paraître sous les yeux du roi et des minisdM ingénieoii. ^^^^ jj ç^jjyjçm ^j^ j^g disposer de manière qu'ils puissent commodément les

examiner; et l'arrangement le plus propre à remplir cet objet est de placer autour des plans , les profils et élévations parallèlement aux li|nes sur lesquelles on les suppose relevés. Ces dessins ainsi disposés et arrangés sur une table, les ^lans se trouvent avoir leur situation horizontale et naturelle , et les parties de la feuille qui représentent les profils et élévations , sont relevés de la main par celui qui les présente pour faire sentir plus aisément leur situation verticale; c'est cette disposition et ces arrangements des profils et élévations autour des plant

qui iaciliteni rexamen de la relation des mêmes parties sur les plans et profils , ks font entendre avec moins de tention d'esprit } et le premier profil ou élévation étant examiné , on tournera le dessin pour en présenter un autre qui relevé de la nain comme le premier se trouve également accompagné*' du plan, et ainsi de tous les autres. Cet usage fait, ces dessins sont repliés dans les porte-feuilles des bureaux pour y avoir recours au besoin.

i7. Les ingénieurs ne doivent pas perdre de vue y dans rarrangemeht de leurs Les lignes det dessins, le principal usage auquel ils sont destinés; d'ailleurs, les teintes de etéiéYations maçonneries coupées pour les ouvrages faits étant lavées en rouge , et celles des doivent être "^ ouvrages proposés l'étant en jaune, tant aux profils et élévations qu'aux plans, ^^nsT^^^i»^ rien n'enâpèche d'ombrer les uns et les autres pour en faire sentir les reliefs et en ^snes des plans fiiciliter l'intelligence* Il est nécessaire, à cet effet, de marquer iur les plans , les «ar les profils lignes par lesquelles passent les profite et élévations; ces lignes sont appelées*^ etéiévauons. lignes de profil ou d'élévation ; on indiquera aussi par des horizontales, menées à travers les profils et élévations, les hauteurs auxquelles on fait passer les plans ; ces ligo«8 se nommeront les lignes des plans.

i8. On conçoit aisément que l'arrangement et l'usage des plans, profils et Nécessité de élévations dont nous venons de parler (art. 17) nécessitent la disposition d'une <Ure écitirer par même incidence et direction des rayons du soleil qui éclaire tout le système, afin tout un système

que dans la comparaison des parties d'un profil ou d'une élévation avec celles du ^^ plan auxquelles elles répondent, on y remarque par différentes directions et hauteurs du soleil , cet arrangement placé dans l'ombre, des élévations et profils entiers qui ne reçoivent de lumière que par réflexion (comme on le verra dans i«8 exemples suivants que nous apporterons).

Une même direction et hauteur du soleil sera également nécessaire quand les profils , plans et élévations se trouvent placés sur des feuilles différentes ; cette manière d'ombrer les dessins, qui est l'imitation de la nature, et qui les rend plus faciles i entendre, est également gracieuse, exige plus d'art et de combinaison que pour le faire par la méthoile que suivent les architectes, qui ne supposent également qu'un même soleil, mais porté sur un seul et même plan vertical, et d'autant que leur système d'ombre se trouve renfermé dans celui que l'on propose et dont il fait partie^ on n'aura point d'instruction particulière à en donner.

19. La nécessité d'éclairer un système par un même soleil étant reconnue , on iHrcetton sera maître de donner au ravon solaire telles directions et telles élévations que l'on ^ «Kérsuon du

^ , ^ , rayon solaire

jugera les plus convenables pour faire du dessin un tableau gracieux. L'expérience pour un système » fait voir qu'en général les direction et élévation d'un rayon solaire à 45** rem- ^<*"^* plissaient mieux ce but que tout autre ; c'esl en effet la supposition la plus ordinaire des peintres et dessinateurs*, c'est-à-dire qu'ils imaginent que le plan

vertical do soleil fait avec le plan du tableau ou de la feuille de dessin un angle de 45'' » tandis que le rayon solaire venant du derrière de leur épaule gauche est élevé au-dessus de l'horizon de 45**.

On fera bien d'admettre la même supposition , à moins qu'on n'ait des raispn«

particulières pour s'en écarter.

Nécessité 20, Ce qui a été dit précédemment sur la nécessité d'ombrer les plans eo gé-»

i^r^M^wcs ^^^^ • P^^^ ^^ ^^^^^ connaître les différents reliefs, doit s'appliquer aux plans des

deguemet placcs de guerre, à l'égard desquels nous observerons qu'ils doivent toujours

jchr dtopositien. g^^^^ supposés VUS de l'intérieur du royaume , ce qui détermine leur position sur

la feuille de papier. On ne doit pas omettre d'y marquer les ombres produites pat les revêtements des remparts^ églises, bâtiments militaires et civils» etc. , même par les maisons des bourgeois; et, comme on est dans l'usage de marquer les combles des églises, bâtiments militaires et civils, et de supposer toutes les maisons des bourgeois coupées à 4 ou 6 pieds de haut, il en résulte ^des cascades d'ombres qui, bien ménagées et entendues, contribuent à donner aui: plan9 Tapparence du relief qu'ont dans la nature les objets qu'ils représentenL lAais^ pour faire avec quelque précision , il est nécessaire d'avoir un plan de niveau qui fasse connaître les hauteurs dos différents points qui portent ombre au-dessus des surfaces exposées à les recevoir.

DirecUoii 21 « Le plus souvent on se bornait à faire porter des ombres aux arbres et haies

dnroieii" des jardins, et' on n'avait aucun égard à la situation du soleil sur le plan de la pour les plans place, OU en faisait venir le jour du coin à gauchç du haut du dessin. Ce soleil^

placé au hasard, éclairait souvent des côtés de montagnes, fonds de fossés, etQ*^ qui ne voient jamais le soleil à midi; le paysage d'une place, éclairé avec sa lu** mière naturelle, en est plus reconnaissabic. Ainsi , ce que l'on peut pratiquer de mieux est de faire venir la lumière du soleil de midi <, en choisissant son élévation

auHlessus du plan horizontal, sous un angle qui convienne à la place que Ton dessine* Si, par des raisons particulières, on trouvait plus d'avantages à faire venir la lumière d'un autre point quedu midi, on serait mattre de le faire, pourvu que néaomoins l'on choisisse une direotion et élévation du soleil qiii soit dans la nature et convenable au lieu. Par exemple «a Hézières, située à 50 degrés euiviron de latitude, on a choisi (Pl. II) une direction du soleil faisaat avec It ligne du midi un angle de 40 degrés du sud à l'est , qui tépond à peu près à ciBlle de 8 heures du matin , heure à laquelle le soleil se trouve élevé de 45 degrés veiy le solstice d'été. Si les fossés se trouvaient élevés ef étroits , on pourrait ebobiir une plus grande élévation du soleiU de même une oinîndre s'ils étaient plui larges et moins profonds, et de manière à ce que dailleuts la grande étendue d'ombre ne se trouvât pas occuper l'espace entier des rqeav.

Sàn^iious étendre davantage sur cette matière, nous allons passer à Tapplication des principes établis à différents cas et qui sont les plus ordinaires.

^é/ht^ de ptrojêier $ur les feuilles dé dessms les ombres produites par les corps sisar

lottlei sortes de surfaces.

LEHHE.

22. Projeter sur les profils et élévations quelconques un rayon du soleil dont pli, /i^. s, 4, on a la direction au plan et dont l'élévation est connue. '

Soit {fig. 3) un plan dont les iig. 4, 5, 6 représentent les profils ou élévations, ftoit ays$i sur le plan la projection de la direction d'un rayto solaire exprimé par SL dont Tangle TLX {fig. 9) représente l'élévation au-dessus de l'horizon. . On prendra sur la ligne SL (/i^. 3) une partie à volonté telle que TL que Ton projettera (art* 6) aux élévations ou profils sur les lignes YZ prolongées s'il est nécessaire, et ayant sur ces profils et élévations tiré parole point T les verti* cales TX égales chacune à celle TX {fig. 6) toutes correspondSmtes au point T du plai). Par les poinjt3 X on mènera {fig. 5 et 7) les lignes SL qui seront sur les profils ou élévations y la projection du rayou solaire représenté au plan par SL.

« 23. Projeter sur une feuille de dessin les ombres portées sur une surface horizontale par des lignes quelconques droites ou courbes.

Soit {fig. 8) le plan d'un mur d'appui au-dessus d'un mur de terrasse, au défunt duquel est une lanterne suspendue et une barrière avec tourniquet.

Que les fig. 9 et 10 en soient les profils et élévations , on mènera (d'après Tart. 24 ci-après) sur les plans, profils et élévations les lignes SL projection d'un rayon Polaire. ' * ^

Par les extrémités A d'une ligne telle que AA qui -porte ombre {fig. S)^tï tirera les lignes Aa parallèles à SL, l'ombre des points A sera nécessairement dans ces lignes. Pour les points A du profil {fig. 9) correspondant à ceux du plan , on iiter^L pareUletnent une parallèle à SL jusqu'à ce qu'elle rencontre au point a la ligne YZ qui représente lé plan horizontal , sur lequel les ombres seront portées.

n Lm plaoched II , III» IV, Y, X et XI maaqueat dans le manuscrit. Ces six planches sont perdues. Nous donnons dans l'atlas , et fiêilemérU , leâ planches I, VI, VII, VIII, IX, XII et XIII qui aant les seul» que l'École d'application de Met« possède. T. 0.

Le poiot A 7 délermine en a et a l'ombre des extrémités A de la jigne AA et par conséquent si Ton tire aa elle sera lombre de la ligne AA.

On projettera de la même façon lombre de toute autre ligne droite sur u« plan horizontal, et c'est par cette méthode qu'on a marqué celle de la barrière et de son tourniquet y et de la lanterne supposée abaissée. S'il est question de trouver l'ombre d'une courbe, telle que le dessus du bahut couronnant le mur d'appui, on cherchera l'ombre de plusieurs points appartenant à cette courbe, et par ces points projetés on tracera l'ombre de la courbe.

Comme on ne doit marquer sur les dessins que les lignes nécessaires pour la connaissance des objets qu'ils représentent, on setontentera de marquer légère* ment au crayon les lignes SL qu'ici l'on a tirées en rouge pour les rendre plus sensibles, on se dispensera même de mener (Jig.9)yles parallèles àSL telles que Aa. Il suffira de prendre , avec le compas, l'intervalle du point A à la ligne SL. Puis sans changer l'ouverture on cherchera par tâtonnement sur l'hori^ zonii^e. YZ nn point a duquel pour centre on puisse décrire un arc tangent à SL et on projettera ce point a au plan par la méthode des tfttonneiâents ordinaires^ pour éviter les ligne» inutiles.

24. Remarque. S'il se trouve quelque élévation ou enfoncement tel que te fossé ponctué au plan (fig^ 8) et à Télévation (fig. 40), les verticales qui ne sont représentées au plan horizontal que par des points donneraient des ombres sans aucuns ressauts, il n'y en aurait qu'à celles des horizontales ou inclinées qu'on s'est contenté démarquer en lignes ponctuées , sans en donner l'explication qui ne pourrait être qu'une répétition de ce qui a été dit ci-devant.

25. Projeter sur une feuille de dessin les ombres portées sur une surface vertàoaU par une ligne quelconque.

Soit {fig. 10) l'élévation d'un mur qui reçoit l'ombre d'une lanterne «us-» pendue au défaut d'une potence qui soutient cette lanterne. Nous allons dé^ terminer sur ce mur l'ombre d'une verticale, d'une horizontale et d'une inclinée.

Ce problème peut se résoudre par le moyen du plan {fig. 8) ou do profil Qîj. 9).

1" Solution j en se servant du plan. Par les points B et G {fig. 8), qui sont les arêtes du poteau vertical représenté {fig. 10) par les verticales BB,CC, on tirera jusqu'à la ligne QR, projection lie la face du mur, le% parallèles Bé» CCf à la ligne solaire SL du pian. Par les points B et'C, extrémités supérieures des verticales BB, GC {fig. 10), on mènera parallèlement des parallèles au rayon

solaire SL, sur lesquelles on projettera, parle moyen des dislances horizMtales, les points & et c du plan, et par leurs correspondantes horizontales b eic {fig. 10) , on tirera les verticales bby ce du poteau sur ce mur vertical.

Si Ton veut avoir Tombre du bras horizontal de la potence que les reotan* gles DE rq>résentent (fig. 8 et 10); par les points DetE {fig. 8) des arêtes qui portent ombre et par leurs correspondants au plan, on tirera hd^ Ee^ pai^llèles à la projection SL du rayon solaire. Les points d et e» où ces parallèles rencontrent la ligne QR, étant ensuite projetés sur les lignes 0c/, Ed dela)!^. 10, on y déterminera les points d, dei e^e^ entre lesquels sera renfermée la projection ou Tombre des arêtes représentées par les points DetE; après quoi il sera facile d'achever la projection totale^ en tirant par les points cf et ^ des parallèles aux arêtes horizontales et verticales des bouts de ce bras.

Enfin , s'il est question de trouver Fombre du lien incliné qui soutient le bras de fa potence, on marquera au plan (fig. 8), en lignes ponctuées, la projection de la chambrée H H de ce lien sous la face horizontale du bras , et cette chambrée étant représentée (jig. 10) en FF, qii délin iront en même temps les extrémités des arêtes supérieure3 du lien, on tirera (fig. 8) les lignes HA parallèles à SL et (fig. 10) f les lignes F/ parallèles à SL, qui s'entrecouperont en j^ avec les verticales //menées correspondantes du plan (Jig. 8), à l'élévation (fig. 10); on marquera pareillement (fig. 10) en lignes ponctuées la chambrée GG de Textrémité inférieure du lien sur la face verticale du poteau montant; puis des points G et G on niènera parallèlement àSL, les lignes G^, dont les intersections en ^ et ^ avec les verticales gg correspondantes du plan à l'élévation , donneront les eiité^ mités des deux parallèles gfj qui terminei;pnt la largeur de l'ombre cherchée que le lien porte sur le mur (fig. 10).

2^ Solution ; en se servant du profil. Pour éviter les répétitions , nous nous con-» tenterons d'appliquer cette solution au lien incliné qui soutient le bras de la potence.

On marquera, comme on l'a fait dans la solution précédente, la cham- 'brée du lien sur la face verticale du poteau montant (fig. 10), afin d'avoir les. points GG extrémités des arêtes qui portent ombre par ces points et par ceux FF extrémités supérieures des mêmes arêtes. On tirera des parallèles à SL; par les points FF, GG (fig. 9) , on tirera aussi, parallèlement à la projection du rayon solaire, des parallèles F/, G^, lesquelles jusqu'à la rencontre du plan vertical, sur lequel les ombres doivent se peindre ; on prendra ensuite les hau-teurs des points /e^^ au-dessus de l'horizontale QR, qu'on portera par ordre (fig. iû) sur les parallèles F/, G^; elles y détermineront les points/, /et g, g que

Ton cherche.

« dû âonMi fixé pêt les même» médiodes t'ombre d'mie coiffbe qMlaaaqae en chercbiiit tiéHé de plostetira de ses points.

Par les procédés déldillés cî-dessus, on a proj^é (fig. 10) les ombres de différétitt dbjétt (fA eu pôtiem ëtit k plan veMical. Si Von attii à projeter rombre^ d'utie Mfalelîgtie, portée Mr pldsiéuré plans verlicaut, en y réusAîraît par les mérne^ pratiques, en récoDûaissanl les différents points de cette ligne qui porte ombre snt chaque plan teHlcal, ou en imaginant qaelques-uns de ceé plans verticaux, prolongés assés pour recevoir l'ombre de la ligne entière , laquelle étant trouvée^ étt se contentera de marquer sur chaque plan vertical la partie de cette ombre qu'il doit recevoir.

PI. IV, fig.s,a; S6« i** REHiARQUE. On remarquera que les lignes horizontales do bras de la po» ' /o a. ' tence perpendiculaires à l'élévation de la figure iO, et qui y sont représentées par des points donnant des ombnes dirigées parallèlement à SL, sans aucuns ressauts, 4Ur la plinthe eouronmant le mur de terrasse au-dessous du mur d'appui eo briques i au lien qiAe lev arèles veitfèattes des poteaux forment des ressauts sur lesdites plinthes ; H en setaît de même de toutes autres lignes non perpendiculairea â l'élévation , ce qui prouve qu'elles n'y seraient pas repré scnlécs piN^^es points. 27, T REliAiiorir (14. lUfftg* <0). On a supposé que le mur sur lequel let #ttbre&r vont se peindre était parallèle a la ligne MN du plan sur laquelle Télévalîod a été prise. Mais si le mur n'était point parallèle, comme on le voit (fig. S^a M. IV), après avoir marqué la direction SL du soleil au plan, et l'avoir relevé irux profils 0!^. 8, a et d^/^) et à l'élévation (fig. 10, a), on y marquera les ombres en âe sertaail du plan on des profils, comme il a été dit (art. 25), et d'autanc que l»ibr«s d«la poienee perpendiculaires j|u mur, ne le sont point à la ligne AB, sur laquelle l'élévation (fig. 10^ a) a été prise , ils n'ont pu y être représentés que par de» iigBcs, daa extrémités desquelles il a été nécessaire de mener des parallèles k SL pour en détt^rminer les ombres. Pour abréger l'opération, on pourrait pro* longer au plan les arêtes horizontales des bras des potences, et les ayant relevées àrJ^éUvatioQ , ils y auraient donné des points par lesquels et ceux des extrémités mirqués domme il Vient d'être dit, on aurait tiré des lignes qui auraient déter-^ imié les ombres. Remarquant que de quelque manière que se fasse l'opération il ee'iS6rat<les ressauts, dms la partie à droite de Télévalion, occasionnés par le ren-* feMenieni dé la porte masquée y on les déterminera comme il a été dit (art. 24)« ' P{>w émup tes petites opérations nécessaires pour trouver les ombres des ho« riiioiilalèS'perpendkttlafres aux ofurs sur lesquels eHes doivent se peindre, on peut ^ procurer des directrices auxquelles leurs ombres doivent être parallèles. Pour un psiiot quelconque de la éireetioir} &L du soleil au plan , on tirerai les lignes 8- If 8-9 parallèles aux lignes de biai.s des deux murs, et d'un point q#aleonque S

(le^Ia même direction da soleil au plan , on abaissera sur ces parallèles des per^ pendiculaires S^IO, S*-li, et ayant porté ces deux perpendiculaires horizontaiei i leurs profils correspondants {fig. 9, a et 9, b) en 8^14 et S-13. On les représen^^ tera de même à Télévation (fig. iO^ a) de S en i%j et de 6 en 13, ^ on tirera des lignes L-i2 et L-13, qui seronl les directrices auxquelles les ombres de cha^ cune dics horizontales perpendiculaires aux deux élévations du mur de la fw gure (10, a) seront parallèles. . «:

Enfin , généralement, quels que soient les points pris syrla direction solâti^ an pian^ ainsi que les lignes menées , de Tun desdits points , parallèles anx ihees dii onir biaisé à AB et les lignes menées, de l'autre point, perpendiculaires sur lea ftturallèles respectives, ces deux points quelconques, pris sur la direction solaire au plan , trouveront toujours leurs positions aux- profils et aux étévations , l'uil dans le rayon solaire y faisant l'estrémité d'une Kgnei horizontale qui détermi'*nera la représentation de Tautre point; et cette horizontale, dans ehaoun des pfofifs ou étévations , représentera les deux perpendiculaires ci-dessue telles qu'ici S-iO 61 S*41 {fig. 8-a), ou toutes les deux ensemble, suivant leurs cor^ respondantes à ces élévations ou profils.

28. âf R£iiA^QC£. La partie à droite de ^élévation de la {fig. 10-«) rq[>fé8êfite' l'ombre d'une horizontale perpendiculaire à un plan vertical: telle est IV rète 0*P d'une couverte de porte sur le pied*droit de la porte. On peut la débarminftr rigooreusefnent et direclement en prenant au profil {fig. 9^) la ^tance 1-2, et la pointant verticalement à If élévation de S fn 4, en tirant la ligne P-4 , qui déterminera sur le pied-droit de la porte Tombro de la coq^ Yerle. 0-P ; mats comme cela pourrait devenir embarrassant dans les élévntfOM dont les pieds-droits des portes et croisées n'auraient pas la même largeur , b* tsouverait plus commode de se procurer, pour une opération plus en gr^nd^ une direetrice 5«-6, à laquelle ligne, Jhl serait une ligne meiée panallèlepieni,

29. Déterminer f ombre dune ligne droite au combe sur me êurfiffie imUnce quel-^ pi. v, /ig,u , çmpie projetée sur une feuille de de$sin supposée horizonJnle ou verticai0f *^' ^*' ^* ^ ^^'

Soit {fig. 11 ) la projection horizontale d'un comble composé de df ux pans et dé deux croupes , dont les figures 12 et 13 , 14 el f 5 représentent les profils et élévatioQS. II s'agit de tracer sur toutes^ ces surfaces les ombres portées par des souches de cheasinées, par des lucarnes et boules d'amortissement.

▲yani (art. 22) projeté sur toutes le» figures u» rayon solaireSL par les

extrémilés des lignes dont od veut trouver ronabre» on lui tirera des parallèles, jusqu'à ia rencontre des surfaces qui reçoivent lombre, imaginées être pri^loligées s'il est nécessaire. Les points oii ces surfaces seront rencontrées par ces paralIcieA étant ensuite portés sur les lignes correspondantes au plan et aux élévations, y détermineront les ombres que Ton cherche.

Nous ferons seulement remarquer que les ombres étant une fois marquées au plan, peuvent se projeter aux élévations par le moyen des distances horizontales; mais que si Ton ne veut pas se servir du plan pour cet usage , on peut les projeter directement par le moyen des hauteurs verticales prises au profil et aux élévations sur les parallèles correspondantes à la projection du rayon solaire. On ne pourrait entrer dans le détail de Tapplication de ce problème à la projection Jes lignes droites, sans répéter ce qui a été dit (art. 24). Nous nous contenterons d'expliquer les procédés à tenir, pour déterminer Tombre d'une sphère sur une surface inclinée vue en plan ou en élévation.

. On remarquera facilement (an. 22) que Tombre d'une sphère n'est autre chose que celle de son grand cercle perpeiidiculaire au rayon solaire; ainsi il suflira de projeter un cercle au plan, au profil et élévation, afin d*avoir sur ces • trois figures les points les plus correspondants, desquels on puisse tirer des parallèles à la projection du rayon solaire.

Pour cet effet, on mènera (fig. H) k travers la sphère deux diamètres AB, DE , Fun parallèle, TauCre perpendiculaire à SL. Ce dernier sera le diamètre horizontal du grand cercle qui porte ombre ; on tirera ensuite un troisième diamètre FG, qui fasse a vec AB un angle GCB de 45 degrés, égal au complément de Tangle de rëlévation du soleil , et enfin un quatrième diamètre HJ perpendiculaire à FG. Gela fait, on partagera le quart du cercle HEG en tant de parties que Ton voudra. Par les points de division tels que E, on abaissera sur EG la perpendiculaire Ee; après quoi, parles points G, e etc., on tirera sur AB les perpendiculaires eK, etc. qui donneront les points N et K, que Ton portera sur CA de C en M et de C en Q. Par les points K et Q, on mènera de part et d'autre de AB des ordonnées que Ton fera égales à eE. On aura les points 0, R , P, V, par lesquels, et eeux E, N, D, M, on fera passer une ellipse qui sera au plan if projection que Ton Cherche du grand cercle de la sphère.

Cette ellipse sera ensuite projetée au profil (fig. 13) et à Félevation (Jg. 15), ainsi que les points cotés des mêmes lettres l'indiquent.

,Pour le faire, on projettera, comme à Tordinaire, au profil et à l'élévation (fig. 13 et 15), les verticales élevées des points D, P, 0, E, V, M et R du plan(jîgf. 11), dans lesquelles doivent se trouver lesdits points ; ceux D et E se trouveront aut ex* trémilés du dîainèlre horii^opli») D/, des figures 13 et 15. A l'égard des autres

points P^ N t 0, Y, M et R, on en reconnallra la hauteur par la réflexion suintante* Le rayon solaire étant élevé de 45 degrés au-dessus àe riiorizon, et le grand cercle de la sphère qui porte ombre lui étant perpendiculaire, fera aussi avec rborizonun angle de A6 degrés; et aussi les points P, M, 0(Jig. 13 et i5), qui sont à la circonférence supérieure du grand cercle, seront autant élevés au-dessus du plan horizontal passant par le diamètre DE; et les points Y, M, qui sont à la circonférence inférieure du même grand cercle ^seront autant abaissésau-dessoQs dudit plan horizontal, qu'ils sont les uns et les autres distants d*un plan vertical passant par le même diamètre DE. On pourra donc, sans le secours des proCIs et élévations des fig. i3-a, et 15-<i, prendre au plan (JigAi) les distances perpendiculaires des points P, N et O, ou Y, M et "R à la ligne DR (en la cûnsi«* dérant comme la projection du plan vertical), et les porter de suite par ordre aux profils (fig. 43 et 15) sur les verticales correspondantes, tant au-dessus qu'en dessous de la ligne DE, qui représente le plan horizontal.

Ces préparations faites pour les points E, 0, N, P, D, R, M, Y, on tirera (fig. 11 , 13 et J5)les parallèles a SL, le rampant du comble {fig^ 13); étant ensuite projetées comme à l'ordinaire (fig. lit et 15), les parallèles ci-dessus y détermineront les points e,o, n, p, d, niyVy par lesquels on fera passer desellipses qui renfermeront Tombre cherchée de la sphère. "

30. 1** REMARQUE. On remarquera, comme on Ta fait précédemment, que les ombres des verticales représentées par un seul point sur la feuille horizontale (ou plan) y portent des ombres en lignes droites parallèles à la direction du soleil, sans aucun angle ni ressaut, encore qu'elles soient projetées sur différents plans horizontaux ou inclinés; qtle semblablement , les horizontales marquées par un seul point aux élévations où elles seront par conséquent perpendiculaires, donneront des ombres parallèles à la direction du soleil sur les mêmes élévations.

31. 2* REMARQUE. Lcs ligucs horizoutalcs qui portent ombre sur les pans des couvertures au plan sont ordinairement ou parallèles ou perpendiculaires aux lignes d'about ou de couronnement , c'est-à-dire à la section commune du plan horizontal avec un plan incliné, celles qui leur sont parallèles donnent des ombres parallèles aux lignes qui les produisent.

A l'égard des ombres portées au plan par des lignes horizontales perpendiculaires aux lignes d'about ou de couronnement , on les trouvera par les méthodes ordinaires, ci-devant indiquées , mais s'il y a une trop grande quantité de ces lignes, il sera mieux de se procurer une directrice à laquelle elles seront parallèles et qu'on trouvera sur chaque pan de la manière qui suit. Par le point X, soit imaginée une horizontale XZ perpendiculairement au couronnement XC, laquelle étant projetée à Télévation (fig. 14) y sera représentée par le points;, et

^ son ombre par la ligne œy parallèle à SL; lo point y étant renvoyéai} pls^n y (ioii«« nera le point Y, duquel ayant tiré la ligne XY, elle sera sur les deux grandi^ pans du comble , Tombre; Thorizontale XZ est par conséquent la directrice de toutii^ les horizontales de moindre étendue qui se trouveront sur ce pan de couverturQ et également perpendiculaires à la ligne d'about ou de couronnenoent.

On en fera de même pour les autres pans sur lesquels ces lignes, et les opôcAtiens qu'on a faites pour les trouveiu^sont également ponctuées.

32, 3* BEHARQUE. On pourra aussi se procurer de la manière suivante dos dî-* rectriceç pour trouver plus commodément les ombres des verticales sur les éleva» tiens (j^. il et 12) qui se présentent au soleil. Soit.(/9. 14 ), élevée verticalement (Uir Tabout du comble la ligne TS dont il s'agit de déterminer Tombre y la profec* tjon de cette ligne TS, au plan (fig. 11 ), sera le point J par lequel ayant mené la ligne J-2 parallèle à SL, elle déterminera sur le plan du pan de la couverturo l'ombre de ladite verlijcale ; de manière qu'ayant rapporté le point 2 au poiat 3 de l'élévation ifig. 14), on continuera la ligne T-3 qui sera l'ombre de la verticale TS à ladite élévation. On en fera de même a l'élévation de la oroupe (fig. 12). .

Quant aux élévations (fig. 13 et 15) qui sui^nt le soleil, on imaginera (fig. 15), une verticale TS, placée sur le couronnement^ qui sera représentée au plan ( fig. 41) par le point 4, dont Tombre sera dirigée au plan suivant la ligne 4-5, parallèle à la direction du soleil SL, de manière qu'ayant rapporté le point 5 au point L de rélévation%(/gr. 15), on tirera la même ligne TL qui sera l'ombre de la Terti*** cale TS. On en fera de même à l'élévation de la croupe (^^. 13). v\.yi,fy. 12, 33. 4^ REMARQUE. Si les élévations des combles étaient vues de biais ^ c'ast^à** 18, 14 et i&-a. ^j^^ ^j ^||^ n'étaient point prises sur des lignes d«f plan parallèles à celles àe

leurs abouts ou couronnement, telles que les figures 13, 14 et 15a, autour du plan (fi9' %^^'(^)9 on aurait à chaque élévation la représentation d'un pan et d'une croupe sur chacun desquels on relèverait le soleil (art. 22)> et l'on chercbernait l'ombre d'une verticale comme il a été dit par Tarticle 32, H comme les opéra*» lions ponctuées, marquées des mêmes lettres et chiffres, l'indiquent. Si l'on ¥00n lait les déterminer il serait indispensable de faire des proiils droits de chaqtte pan et de chaque croupe.

34. Corollaire, On déduira du problème précédent Id mélimie de projeteiy les ombres à l'élévation, les ombres portées sur une surface inclinée vue pari^dessaus^ tel que serait le retapant intérieur du comble, s'il se trouvait avoir assez d'éiévatiû» pour être éclairé du soleil; comme par exemple eelui dont les figures 16, 17 et i8 représentent le plan , le profil et l'élévation. PI. vn, /i^. 16, On s'est contenté de marquer l'ombre d'une verticale AB et d'une horizon-» net 18. 1^^ ^Q perpendiculaire à la ligne sur laquelle l'élévation a été prise, laquelle,

par conséquent, sera représentée par un point; il serait inutile d'en donner le aétail.

35. Projeter C ombre é^uae ligne quelconque sur la surface i£un cône vu en plan et VLyva.fig.n, en élévation. »,JietJS.

Soit {fig. 19 ) le plan d'un cône dont les figures 20, 21 et 22 sont les profils et âéfàtiôns.

Soient aussi menées sur ces figures (horizontales et verticales) les lignes dont il est question de déterminer les ombres , qu'elles portent sur la surface du cône, pour les projeter ensuite sur le plan et élévations.

On remarquera que l'ombre d'une ligne droite projetée sur une surface courbe y sera toujours représentée par une courbe , à moins que tous les points de la ligne qui la produit ne se trouvent dans la projection d'un même rayon solaire.

Ainsi, pour trouver l'ombre, par exemple^ de Thorizontalo AB, on y remar* ^ttera plusieurs points , tels que D , par lesquels on tirera ainsi que pour le point A, et sur toutes les figures , des parallèles Aa, hd à la. projection du rayon itdlaire; l'ombre des points A, D sera nécessairement dans ces lignes et précisé-- Ihent aux points où elles rencontrent la surface du cône. II est donc question de déterminer cette rencontre.

Pour cet effet, on regardera les lignes Aa, Dd{fig. 19), comme la rencontre des plans verticaux du soleil fixés (art. 12), avec la surface du cône; et ces lignes considérées sous ce point de vue sont projetées au profil {fig. 20). Elles y produiront des hyperboles qui rencontreront aux points a et cf les lignes Aa et Dc(. On rapportera ensuite sur ces lignes correspondantes aux plans et aux éiéva«« tlons les points aeX d par les méthodes expliquées ci-devant ; ces points seront {fig. 19, 21 et 22) l'ombre des points A et D.

On trouvera, par le même procédé, l'ombre de tout autre point de la môme horizontale AB ; et par tous ces points déterminés , on f^ra passer une ligne qui sera l'ombre de AB.

On se servira aussi des mêmes moyens pour projeter tant au plan {Jig. 19) qu'aux élévations {fig. 21, et 22) , l'ombre d'une verticale AC et de toutes lignes Quelconques.

Nous ne dirons rien de la manière de tracer les hyperboles {fig. 20), non plug que de celle de trouver les courbes paraboliques ou elliptiques qui pourraient être formées sur^ la surface d'un cône par la rencontre de différents plans; on <Vppose qu^on en-l^it instruit dans le Traité de la Stéréotomie.

Remarqqe. a regard des ombres sur les dômes sphériques, elles m détermineront avec autant de facilité; les profils droits donneront des courbes circu^ laires qui, dans les projections, donneront des ellipses.

Si l'on a bien compris ce qui Tient d'être enseigné, on ne se trouvera point embarrassé pour la projection d'aucune ombre.

De la dégradation des ombres et des teintes^

Définitions des clairs et bruns.

Différence dans les clairs et les bruns.

Clair-obscur.

Reflet.

Ce que c'est que le fuyant.

Principe général

tiré de la nature en différents

effets des clairs et des bruns relativement aux différents éioigneroents

d'où ils sont Yus.

36. On distingue dans la nature des clairs et des bri|ns : par le terme cUûr on entend les parties d'un corps qui étant exposées à la lumière du soleil, ou d'autres objets lumineux, en reçoivent l'impression*

Par le terme brun^ on entend les parties d'un corps qui étant opposées à la lumière sont dans Tombre; et le terme brun convient d*autant mieux à ce que l'on appelle Yombre que jamais la lumière n'est totalement interceptée.

37. Les surfaces d'un corps les plus directement exposées à la lumière paraissent les plus éclairées et les plus brillantes; celles qui lui sont moins exposées paraissent plus ou^ moins foncées et brunes relativement à Toppositioa plus ou moins grande avec les parties éclairées environnantes.

38. Indépendamp^nt de la lumière directe, il en est une autre de réflexion qui suit les mêmes lois^ à Texception que les clairs en sont moins brillants et les ombres moins brunes relativement. Ce socit ces clairs occasionnés par la réflexion de la lumière, que les peintres appellent clairs-obscurs^ et dans lesquels .les ombres se perdent et se noient, de manière qu'on ne peut en distinguer la figure et le contour.

39. La réflexion de la lumière agissant sur tous les objets environnants, les corps environnants occasionnent nécessairement sur les parties des corps q\ii sont ombréoSydes clairs et des obscurs, c'est ce que les peintres appellent le rejlei.

40. On dit que les corps fuient l'œil du spectateur, lorsqu'ils en sont plus éloignés que d'autres corps considérés du môme point de vue.

Ce qu'on dît ici de différents corps, doit s'entendre aussi des diflerentes parties du môme corps.

41. ^De plusieurs corps, placés à difiérents éloignements, les parties éclairées de celui qui est le plus près de l'oeil du spectateur paraissent plus brillantes, et respectivement les parties ombrées paraissent plus brunes et plus foncées. Car c'est un principe généralement reçu par tous les peintres et dessinateurs, et par eux copiés dans la nature, que les clairs fuient en brun et les bruns en clair \ on ne doit jamais oublier ce principe, c'est-^à-dire que le brun et le clair, ensuite la figure et le contour des parties éclairées et ombrées des c^rps, et enfin les

corps eux-mêmes, se confondent dans un éloignement hors de la portée de la Tue du spectateur, à quoi se joint la partie de Tatmosphère interposée à son cbSA et aux objets pour achever celte confusion.

42. 11 suit de ce qui a été dit ci^evant que les clairs en s'éloignant s'assour« dissent, se dégradent et deviennent moins brillants; les^mbres ^'affaiblissent au point que les clairs et les bruns se confondent dans un certain éloignement et paraissent de la même teinte , et que les objets eux-mêmes disparaissent et semblent s'anéantir i la vue; il règne à cet égard une harmonie et une propor«tion qu'on doit imiter.

« 43. Ce qui vient d'être dit (art. précédent) ne peut s'appliquer qu'aux surfffceé extérieures des corps qui reçoivent librement la lumière ou i sa réflexion. Il n'en est pas de même des surfaces intérieures et des corps qui paraissent dans l'enfoncement , elles sont plus ou moins brunes suivant qu'elles sont plus ou moins privées de la lumière r^échie.

44. On a dit (art. 13), que les corps portaient ombre sur les surfaces qui les environnent, maison doit remarquer que celte ombre projetée se peint plus ou moins brune suivant que la surface qui la reçoit est plus ou moins prèsde l'objet qui la porte.

45. On peut , pour se fixer Timaglnalion et se donner des modèles des teintes en clairs et en bruns qui conviennent à chaque partie suivant les diflorenles circonstances ci-devant énoncées, imaginer un ruban replié dont Tun des bouts soit colore de quelque teinte ou couleur que ce soit, laquelle se dégrade uniformément et se trouve à laulre extrémité du ruban , aussi claire ou brillante que possible. Le brun est le plus foncé de la même teinte. Ce modèle, au moyen des divisions 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc«, qu'on y fera, mettra sous les yeux les justes rapports des clairs et des bruns j qui se font en raison desquarrés des distances, parce que la lumière étant divergente diminue dans celte proportion ; si ce rubaa est imaginé fait sur sa longueur, il pourra servir d'échelle proportionnelle aux distances, et faire connaître, au moyen des divisions 1, 2, 3, etc., hs clairs et les bruns qm conviendront à chaque partie; c'est-à-dire, par exemple, que (/^. 24) l'ombre qui conviendra au clair le plus brillant coté 1 se trouvera vis-à-vis la même division , de même Tombre coiée 2 se trouvera vis-à-vis sa division, etc.

46. 11 ne nous reste plus qu'à donner quelques exemples de dégradations

d'ombres et déteintes, on les trouvera sur les planches X et XI qui représentent

les plans d'un bâtiment autour duquel on a relevé dix-huit profils ou élévations,

le tout éclairé par un même soleil élevé de 45*, et dont la direcibn fait avec la

principale façïide du bâtiment un angle aussi de i5\

On a marqué en lignes ponctuées rouges, sur le plan (Jig. 4) et les élévations

d0f dain et des bruni.

HéUiode poor

fixer les dégradatione

des daliB

et des brans.

Pi. IX, /^. 3S,

34, 3S et se.

Pl.XetXI,

yig^ It lif l),J|iiii4 ^uf MT le fistn de lar Pi. 1^1 e| fe$ élévali<Mi» de^ figure» li f%^%c ^^ direetriees des ombres portées par les couvertes d^ croisées et S9r k# pieds-droits, par des opérations semblables à celles qui ont été faites (PL VI et e^ sriiffàéês aeté. 28).

Pareillmsient a» a %usaî marqué ea ligià^s pooctuées eo rouge sur le plan <to ^Si^MOK^e (fij^ &f PL X) 4es directrices des ombres portées par des borixoolales |>eppendiculaîres aux lignes de couronnement ou d'about et sur les élévations d^ .mâmes combles {fig. 9 et 9^a)^de la même planche et (fig i4 etl4-ay delà Pl« XI) par des opérations semblables à celles des Pi. Y et VI expliquées art* 31, 32 et 33. Il sera facile, par ces mêmes moyens, de tracer de pareiUçs directrices sur les ^iutres élévations éclairées ^ du soleil , qui en ont besoin.

Enfin, on a ajouté les deux autres PL XII et XIII, contenant les dessins du même bâlimeot éclairé par un soleil perpendiculaire ou parallèle à ses façades aus^ élevé à 45®; on ne les a mis sous les yeux que pour faire sentir le peu d'agréé jnent qiie cette direction d« sofeil donne au dessin, et que Ton doit par conséquent, lorsque rien ne s'y oppose, préférer la direotiiA oUique ainsi que nous eo avoQi. prévenu ac 1. 19.

nSS OMBRES f).

Pn sait que tous les points d'un objet lumineux doivent être r^ardés chaeua comme le centre d'une sphère immense composée d'une infinité de rayons qui s'écartent du centre avec une vitesse qui échappe à nos sens ; que, dans un milieu homogène et uniformément dense, ces rayons jse propagent toujours en ligne droite , de manière qu'un rayon de lumière émané d'un point quelconque ne peut arriver à un autre point déterminé , tant qu'il se trouve un obstacle sur la

{*) Ce Biémoire 9Bkd% 6aB^d Bfonge qui Ta écrit en 47S5 à TÉcole du génie de Mézidres pour i*in* slructioQ de» jeuoes officiers.

Ce mémoire fait partie de la collection des manuscrits de TËcoIe d'application de Metz. 11 est coté u!" 4 , (isrton n* 4 ; il provient dii fond de ta bibliothèque de l'ancienne école de Mézières , et ij porte U timbre de cette école.

Ça niffiioire a'a pag oiicoce éié f ubité texlmllement. T. O.

drok^ menée par ces deux fSnnl$ ; pai* cMséqueQt lors^^un cdrps Q, «péëi^ trabk à la lumière 0!^. i) se trouve dans on milieu éclairé par an point luMimeux 8^ il doit interrompre la route des rayom de lumière , soit ea les im wcepta»! ^ soit ea . les réfléchissant , et far là priver totalement de lumière Tespaee OMBft placé de Tautre côté de ce corps par rapport an point S, et terminé par les pfto^ loBC^ements des tangentes SOM et SBR. C'est oett* partie infinie de i'espaee ab^ sotu, qu'un corps opaque prive de lumière par son interpositien daas Ha niliciK éclairé , que l'on nomme ùmbre de ce corps.

Si l'on place au delà du corps par rapport m point S un pla« PL , de tnaaiApt qu'il se présente en face vers le pmnt lumineux , ses parties Pa^ ML «ëroBtjàctai^ rées comme elles le seraient sije corps Q était anéanti ; mais la partie ftaabsbhimefii privée de lumière sera parfaitement obscure, et le passage de oette ^>scurité à hk clarté des parties voisines éclairées , se fer^^sufailement et san% ménagements. P» eremple, Q est une sphère , et supposons que le plan PL soit placé perpendicav laîrement à une droite menée du point S par le centre Q ; l'espace ab 8ei*a circu«> bire« comme on le voit (fig. 2), et toutes ses parties seront également obscures* C'est cet espace que Ton appelle projection de l'ombre, et que le vu^ire oott* fond communément avec l'ombre proprement dite.

da projection de l'ombre d un corps sur une surface quelconque est d6ac la figure que terminent sur cette sur&ce tes prolongements des rayons de iumiAM tattgenaia à la surfoce du oorps« ^ %

Quelque autre part qu'on eût placé le plan PL y cependant toujours au delà du corps Q, par rapport au point S , Fespace obscur ab eèt été plus e« «aokis grand , mais son obscurité absolue eût toujours été la même, puisqu'elle eût toujours éfei une privation totale de lumière. L'iniessité réelle de l'ombre est donc une quantité constante qui peut être prise pour terme de comparaison^ Il n'en est pas de méflae de sa quantité relative ou de son intensité apparente , car elle n'est que lé eontraste qu'elle faitavec les parties éclairées qui l'a voisinent ûr cecmtrasleétani d'autant plus sensible et plus frappant que la iumiére l'est davantage, doit varier comme elle^ c'est-à-dire augmenter et s'affaiblir en même raison. Donc^ toutes choses égales d'ailleurs , l'intensité apparente de l'ombre d'un corps reçu sur une surface quelconque doit croître et décroître en raison inverse du quarré de }$i distance de cette surface au point lumineux, car il est démontré en physique que la lumière suit cette loi . Mais comme dans la nature nous ne voyons les objets qu'à travers un milieu dont la densité s'oppose en' partie au passage de la lumière et diminue par conséquent son intensité; cette ombre doit encore nous paraître d'autant plus forte qu'elle est moins éloignée de notre œil ^ c'est-^ dire que nous sommes plus proches de la sur&œ qui la seçoit. On doit avoir égard à ces deut

prmcîpéft lorsqa'on peînl des objets éclairés par un flambeau peu éloigné du cbamp du tableau, liais lorsque Ton suppose que la lumière vient du soleil, comme la distance de cet astre est sensiblement la môme pour toute la surface de la terre ^ la prefliière considération n'a pas lieu. Tout ce que nous'venons de dire ne suppose aucune dimension au corps lumineux ; soi t Q {fig. 3) un globe opaque et spiiérique écbirépar un autre globe spiiérique S dont le diamètre ait un rapport sensiblement fini avec la dislance des deux centres. Soient menées les quatre lignes ER,EM, FM et FD tangentes aux surHiCes des deux globes , et concevons que le système de ces quatre droites fave une demi-révolution autour de SQ comme axe. Il engendrera quatre surfaces coniques opposées deux a deux par le sommet et qui seront précisément les mêmes que celles qu'on aurait eues en menant ces quatre tangentes dansions les sens possibles; Cela posé» il est clair : 1* que Tespace 0MB ( fini si 8 est pUis grand que Q, infini s*il est plus petit) doit être absolument obscur, puis*^ qu'il ne reçoit aucun rayon de lumière; 2* Tobscurilé des espaces RUMV, VMBD doit diminuer en s'éloignant de Taxe SV. Les points de cb sont en effet trésobscurs, puisqu'ils ne sont découverls cliacun que par un seul point E ou F de la surface lumineuse. Los points e, t le sont moins parce qu*ilsdécouvrei4 chacun une grande partie du g!obeS. Enfin les points a eld sonttrès-éclairés, et autant qu'ils le peuvent être, puisqu'ils reçoivent des rayons de toute la surface du corps lumineux. Donc, si on présente en PL un plan perpendiculaire à Taxe SQ, la projection de Tombre sur ce plan seracomposée de deux parties (/gr. 4) : l^d'un noyau circulaire ad de. même obscurité que Tombre de la figure 2 ; 2^ d'une couronne d^ombre acbdj dont Tintensilé diminue en s' éloignant du centre jusqu'à devenir zéro aux points a et d.

Les dimensions , ou la grandeur de celte ombre imparfaite qu^on nomme pénombre (du latin penèumbrà)^ doit varier suivant que les dimensions des corps Set Q, leur distance et celle du plan PL, deviennent plus ou moins grandes. L'angle cBd{Jig. 3), par exemple, restant le même, la droite cd sera d'autant plus grande que la distance he du point B au plan PL sera plus considérable. 2'' Cette distance restant la même , la droite cd pourra être considérée comme composée des deux parties ce et ed, dont la première sera proportionnelle à la tangente de Tangle cBe, la deuxième a celle de l'angle eBd. Donc quels que soient et Tangle Bet la distance Be, la grandeur cdde Ul pénombre sera proportionnelle à : Be (tangcBe-f tang eBd). Mais si le diamètre du corps lumineux est considérablen^ent plus grand que celui du corps opaque, rangie en B est égal à langle sous lequel le diamètre du corps S est vu d'un point quelconque du corps Q, et les segments ce et ed sont sensiUement égaux; d'où il suit que l'angle cRe égale sensiblement l'angle ehd et qu'il peut , dés lors, eue

comme égnl à (;cBd). Soit do&o p l'angle sons lequel est vu le diamètre du soteil ; q la distance Be de Tobjet qui porte ombre à la surface sur laquelle elle est reçue; la gi^andeur de la pénombre sera : ^q tang-p. Il suit de làâlins entrer dans une si grande précision , que les ombres perlées sur la sur^ue de notre globe par des corps éclairés par le soleil^ ne doivent pas être terminées vivement, comme dans la fig. 2; mais qu'elles doivent se mêler par masses insensibles avec la clarté qui les avoisine. Ajoutez à cela que les rayons de lumière ^ lorsqu'ils rasent quelque corps dans leur route, se plient et se rapprochent de Taxe, et diminuent par là la grandeur de l'ombre pure. Par conséquent dans ies dessins, les teintes des ombres ne doiiHtol pas èlre uniformes^ mais s'adoocir insensiblement, à moins qu'elles ne soient très- proche de l'œil qui doit les voir et de l'objet qui les cause. Dans les opérations suivantes nous ne déterminerons géométriquement que les projections deâ contours des ombres f^ures, ce sont les seules qu'il soit nécessaire d*avotr exactement dans les dessins; c'esi l'affaire du lavis de dégrader les teintes, et de les placer de manière à faire illusion. Nous allons d'abord supposer les rayons du soleil pa/^allèles, c'est-à-dire émanés d'un foyer infiniment éloigné, ou qui relativement à nos sens puissent être regardés comme tels. Nous verrons ensuite quel changement on apporterait à nos méthodes, si l'objet lumineux se trouvait à une distance sensiblement finies

PROBLÈME GËNÉRAU

La direction des rayons parallèles de lumière étant donnée , trouver f ombre dun corps quelconque, le corps et la surface étant donnés de dimensions et de positions.

On construira les projections , du corps opaque qui doit causer l'ombre et de la surface qui doit la «recevoir, sur deux plans quelconques, qu'il est cependant plus commode de supposer perpendiculaires l'un à l'autre et tels que l'un soit borixontal et l'autre vertical. 'Quelquefois ces projections sont déjà construites et c'est sur elles qu'on se propose de déterminer les ombres. Ainsi soit GZD (fig. 5), la projection horizontale et cbdb' l'élévation du corps qui porte ombre, EFI et egf^ les projections horizontale et verticale de la surface qui doit la recevoir, enfin YA et ya, celles d'un rayon de lumière quelconque. Il n'est pas possible de donner une méthode générale pour la construction de ces projections , et l'on s'en assu-* fera facilement en observant qu'un même corps se projette diiïéremment suivant les différentes manières dont sa nature nous est connue. Par exemple, les projections du rayon de lumière ne peuvent se faire que conséqnemment à la manière dont nous supposons que les dessins seront éclairés. Ainsi, si, comme c'est l'ordinaire, nous nous donnons sa direction YA ou sa projection horizontale

et Tangie RA^Y qu'il forme avec elle, on mènerai RY perpendicalaire à YÀ, et on imaginera le triangle YRA , élevé verticalement sur YA. On projettera les points AetYeaaetffjetoa fera la veoticale ry égale à R Y. Il egt clair, pour lors, que ya sera la projection verticale du rayon dont AY est la projection horizontale. Toute autre manière dont on fixerait la position di} rayon de lumière obligerait peut*^re une autre méthode pour en faire la« projections. Il est d'usage de nommer Y A la (Ureuian du i>ayon de lumière^ ^ !^ son imidence. C'est ce que les astronomes spolient VazimuA et Vûtmh mniaraihs

Cela posé dans Tune des prôjectiom (dans rélévation, par exemple) et par tous les points de l'objet qui doivent spécialement porter ombre, on mènera des droites hl parallèles aux rayobs du soleil, et on considérera cbacuAe d'elles, comme la projection d'un plan parallèle aux rayons de lumière et perpendiculaire au pian verti<ail de projection. • Chacun de ses plana eoBtient une infinité de rayons dont une partie est inter-: eeptée par l'objet qui porte ombre , et d<mt deux enfki et an plus grand nombre, après avoir rasé la sur£aice de ce corps déterminent par leurs prcriongemeats deux ou plusieurs points du contour de l'ombre sur la surface qui doit la reoe-* voir. Or ceux des rayons de lumière renfermés dans le plan tdy qui sont interrompus par le corps opaque, rencontrent toute sa surface dans la section HL faite par le plan A/, et ceux qui s'échappent en rasant la surface sont des tangentes à cette section. Donc , si par les règles de la Stéréotomie^ on projette cette section en HULN, et si on lui mène deux tangentes MO et NP parallèle i YA, celles seront les projections borizoniales mais indéfinies des rayons rasante , qui dot^ ^ent par leur prolongement donner des points du contour de l'ombre, liais puisque ces rayons sont contenus dans le plan U , ils ne peuvent rencontrer le surface EFI que dans l'intersection de cette surface par le plan bl rc|>résentô dans l'élévation par ku Par conséquent , si l'on projette cette section en Q8lX\ les rencontres et P de cette ligne avec les droites HO et NP seront deux points

du contour de l'ombre demandée. .

Les verticales élevées par les points et P déterqaineront par leurs ma** contres avec la droite hl les projections verticales des deux mêmes points» En répétant l'opération pour tanide plan Ih qu'on voudra, on trouvera tous lee points qui seront nécessaires à la construction de la ligne du contour de l'ombre dans les deux projections. G. Q. F. D.

Remarque. Les points M et N séparent la partie éclairée MHN de la section, de la parlie obscure MLN; par conséquent si on fait passer une ligne par tous les points trouvés de la même manière pour les autres section^, on aura la sépara*

— SI

lidii im Hi |tarlÛB édairéei de 11 surfaee de ceUe qui eA dsins Nombre , ce qui Mt fueiquefois trée-utile dans le la^is* Les verticales élevées par les points N, M dé* lermineront par leurs reocoiUres aree les lignes U correspondantes <lans Télé- Tatien, les points m, Ui par lesquels doit passer la projection verticale de cette séparatioa. * *

CoBoiXAiRES. i"" L'eiobre d'une droite verticale projetée sur un pltm horizontal est toujours une droite, ou plus généralement, la projection horizontale de l'ombre d'une verticale » reçue srn^ quelque surface que ce soit, est toujours nae droite ; car les rayons qui sont interrompus par la verticale composent nu plan verlîealy qui par sa reneontre avec les surfaces voisines détermine Tombre* delà droite^ et cette intersection ne peut être vue sur le plan horizontal que sous me droite, puisque tout le plan vertical qui la contient est lui-même projeté sous la forne d'une droite qui doit ôtre parallèle à la projection horizontale d'un rayon de lumière.

2* Pour la même raison la projection verticale de l'ombre d'une droite perpeAdieulaire a«i^ plan de projection verticale est toujours une droite parallèle À fa^projection verticale d'un rayon de lumière. ^

3"" La projection de l'ombre d'une ligne droite ou d'un polygone quelconque ff^çuesur un plan qui h» est pamll^e est toujours une figure qui lui est égale ei semblable.

La solution que nous venons de doimer du problème général des ombres^ peut s'employer quelle que soit la figure du corps qui porte ombre, c'est-à-dire que la surface soit courbe ou composée de parties planes ou courbes. Mais lorsque le corps n'est pas terminé par une surface > mais par un système de plans joints par des arêtes rectilignes , on peut déterminer bira plus aisément la figure de son ombre,

i^ Exemple. Déterminer t ombre J[un cubedanné de position sw un plan horizontale Soient BGDE et IFGH les projections horizontales et verticales du cube (fig. 6)| yA et ya celles du rayon de lumière, et KN la base de l'élévation (^). Q^la posé^ remarquons que nous aurons l'ombre demandée si nous reconnaissons qu'elles sont les arêtes du cube qlie rasent les rayons de lumière et si «nous déterminons les ombres que portent ces arêtes. Or il est évident que l'arête verticale , repréaentéepar le point B dans la projection horizontal^ et par IF à l'élévation , est rasée par les rayons de lumière; que de plus son omlnre doit ^re indéfiniment sur une droite BQ parallèle à YA; mais si par les^ints F et I^; on^mène des droites parallèles k ya les.pointsoù elles rencontreront rhorizontale KN , seront

D^Qfit désigne ici par b(tie ie rétévûtûmc» qu'a appeHa plus tard ligne de terre. X. 0.-

les pi^ectioDS verticaleâ des ombres des points F et L Donc, cin abaiisâîtit lés irerticales MQ et KR, leur intersection avec BQ terminera Tombre de Taréte verticale représentée par le point B. Donc RQ sera une portion du contour de l'ombre demandée. Cela fait, on observe que Tarèle horizontale exprimée par BC dans la projection horizontale et par FG dans Félcvalion est aussi rasée par les rayons; qu'il en: est de même pour rareté horizontale supérieure projetée en CD par la verticale qui passe par le point G et pour les arêtes horizontales inférieures représentées par DE et EB^ que par conséquent les ombres de toutes ces arêtes achèveront le contour de Tombre du cube. Mais nous avons déjà Tombre d'une des extrémités de Tarète horizontale BG ; il suffît d'avoir celle de Tautre extré-* mité G -, or cette ombre doit se trouver sur la droite GP parallèle au rayon YA. De plus, si par le point G on mèneia droite GN parallèle au rayon ya, le point N sera son élévation. Donc la verticale NP déterminera par sa rencontre avec GP l'ombre du point G, et par conséquent QP sera l'ombre de l'arête liori-' zontale supérieui*e représentée par BG. On aurait pu trouver la droite QP, en faisant un autre raisonnement; car Tombre d'une horizontale reçue sur un plan horizontal est une droite qui lui est égale et parallèle. Donc, en menant par la point Q une droite égale et parallèle à BG on aurait eu Tombre de cette afête. En faisant un pareil raisonnement pour toutes les autres lignes que nous venons de citer, on parviendra à achever le contour de l'ombre bien plus facilemeot qu'en employant la méthode du problème.

V Exemple. Déterminer F ombre dCtm point sur un plan vertical.

Soient M et m les projections horizontale et verticale du point; TN la projec* iion borizontaledu plan vertical sur lequel doit être portée Fombre demandée ; soit MN parallèle à YA (fg. 7), et regardons cettedroite comme la projection d'un plan vertical qui doit contenir le rayon de lumière interrompu par le point M; cela posé , le rayon interrompu ne peut par son prolongement rencontrer le plan vertical ^ et par conséquent déterminer Tombre demandée que dans rintersection des deux plans verticaux ; or cette interjection est indéfiniment la verticale No. De plus , la droite mo, parallèle à i/a, doit encore contenir la'projection verticale du même point d'ombre dont son intersection avec la verticale Nô déterminera le point a demandé.

3* Exemple. Trouver sur un plan incliné l'ombre d'un cylindre vertical terminé par deux bases liorizontales.

Soient Jkh ei Z\{fig. 8) les projections du cylindre, BGED eibcedceWas du plan incliné , soient menées les tangentes /G et hi parallèles à la projection horizontale du rayqp de lumière, il est clair que ces deux droites seront les ombres des verticales représentées par les points/ et A, et termineront kuéralement laj;>rojec-

tion ëe Fombre du cylindre ; îl ne s'agit plus par conséquent que de trouver l'ombre du contour de la base supérieure ; pour cela on fera pour tant de points qu'on voudra Topération que nous allons faire pour le point K, dont la projection verticale est le point k\ Par le point k' soit mené la parallèle k'n à Tincidence solaire, et soit regardée cette ligne comme la projection verticale d'un plan parallèle aux rayons de lumière, dont l'intersection avec le plan bcde doit contenir Fombre du point K. Soit projetée cette intersection sur le plan horizontal en abaissant par les points n et m des verticales, qui par leur rencontre avec les droites BD et EC, détermineront deux points N et M. La droite MN contiendra donc la projection de l'ombre du point K, mais la parallèle à YA, menée par le point K, doit encore la contenir ; par conséquent leur point L d'intersection, sera la projection de l'ombre du point K* L'opération, répétée pour tant d'autres points qu'on voudra, achèvera de déterminer l'ombre du cylindre.

Dans tout ce que nous venons de dire , nous avons supposé que les rayons de* lumière fussent émanés d'un point infiuiment^éloîgné; voyons maintenant la manière de déterminer Tombrc d'un corps éclairé par un point lumineux placé à une distance sensiblemnnt finie.

Lorsque le point lumineux ne sera pas inGniment éloigné de l'objet éclairé, les rayons de lumière qui en partiront ne seront pas parallèles , et les projections horizontales et verticales d'un de ces rayons ne suffisant pas-pour déterminer la direction de tout autre, il faudra alors projeter le point lumineux lui-même ; imaginer par ce point dans l'espace tant de plans qu'on voudra perpendiculaires sf un des plans de projection, et qui feront , dans l'objet éclairé et dans la surface qui doit recevoir Fombre, autant de sections qu'on en projettera sur l'autre plan ; mener par le ^oint lumineux toutes les tangentes possibles aux sections du premier corps et les prolonger jusqu'à ce qu'elles rencontrent quelque part, si cela est possible, les sections correspondantes faites dans le second corps.

Ce procédé graphique ne diffère de celui du premier problème, qu'en ce que dans ce cas-ci les tangentes aux sections sont menées par un point déterminé , au lieu qu'elles étaient parallèles entre elles dans le premier cas.

La solution du problème des ombres que nous venons de donner étant de la plus grande généralité, il serait inutile d'entrer dans quelques détails sur les particularités de certaines ombres, et de rapporter des méthodes abrég(ées plus ou moins élégantes qu'on peut employer en certains cas. L'usage et les occasions en fournissent assez, pour peu qu'on y réfléchisse. Cependant, nous ne passerons pas sous.silence une difficulté qui peut» souvent se présenter et qui a lieu dans l'exposé suivant.

4' Exemple. Déterminer , «ur fa surface concave dm jmU fait en avant éun retran-

^ftmçytj (^"i^ JM^M^ li^y^ 9^^ bonté y ett ^lippwôiir çaNt wU écloité'par un point lffjmwuufpl^4 à we distqrw^ déiernmée.

Oix, saitqtt' uftfmitad^relraachemeQt est un côoe tronqué renversé, donttes bases |l^aUéIesso»tb(>rizQntales}90\ent(kmc(yi9. 9) EDGJ6H et ecgby ïes projections horizontales ci vertical^ du pui(>s et A, a edles du point lumineux. Par le point A soi4^:kt i&ené^ lea projeetiont^ Ikh de taot de plans verticaux qu'on voudra , et les projections verticales pnqk des sections qu'ils rorotent dans la surface du cône (il est inutile de donner ie détail de cette construction); cela posé , il est clair que Tombre du point M du bord ne peut se trouver sur la surface du puits que dans la Si^tioa ML , et par conséquent en projection verticale sur la courbe pnqk. Çojac, si par le poin| p proje<îtioa verticale du point M , on mène le rayon ap , il coupera la courbe quelque part en un point q qui sera le point d'ombre; et en abais^nt une verticale qQ* qui coupera ML en un point Q , on aura la projection faorizontale du m^e point* Oo déterminera de la même manière les ombres de tant de points d,u bord qu^on voudra » et on aura .par conséquent la courbe formée par leur continuité , à Texception des deu» points T et T'ou commence cette courbe, où elle coupe les bords du puits; alors la méthode générale est en défaut , elle n'enseigne pas à les trouver.

Pour les déteripiner, remarquons que les points T et T' demandés n'appar^^ tiennent point à la courbe TOT^ considérée comme ombre portée, mais qu'ils sont les limites de Fintérieur du puits qui sépare la partie TQT obscure de la partie TET' éclairée, et qu en les considérant comme des éléments de la surface conique, leurs prolongements doivent passer par le point lumineux et être tangents à la surface» Ces prolongements, qui sont des plans , doivent donc se couppr en une droite menée par le sommet du cône et par le point lumineux , et représentée par AR en projection horizontale et par aS en projection verticale. De plus, ces prolongements doivent couper le prolongement de la base supérieure du. cône en deux droites tangentes à sa circonférence, et ces droites doivent passer toutes deux par le point où aS coupe le même plan. Donc , si du point r on abaisse la verticale rR, et si du point R on mène deux tangentes à fa cijrconférence EDG, les points de contact seront les points T et T' demandés.

Çett/e solution , quoique particulière au cas de l'exemple , se généralisera si rpl). fait ^l^^ntjon que les points T et T' appartiennent à la courbe qui sépare la parlie. éclairée de la surface du corps de la partie obscure, courbe dont nous axQUS. do^pé la coMtruetion dans la figure 5, et dont m, n, M, N dans celte même figure sçj^ des points. Donc, on aura les extrémités deTombre portée par le bord d'un vase d'une figure quelconque sur sa surface concave, en déterminant les iliilgi^ç^M^i)Ade>çe«boiHl awç hi courbe qui sépare la partie éclairée de la sur-

foce extérieure d'àveo la partie obscure. On suppose ici l'épaisseur du Vase iiifU nimeut mince» et si elle ne Tétait pas ttr faudrait regarder h Surface ihiérletir^ domme ^xtérieufe.

lAaMa

(VÉHOIRB INéDIT.) ÀPPLICÀtlON t>E tk GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE AU DESSIN DE LA ViS (^).

Génération du filet par un triangle.

i. Chacune des faces du filet de la vis triangulaire fait partie d^une surface gaaiche et se termine à deux des hélices que décrivent les points de la génératrice de cette surface. Ces deux hélices^ intersection des deux surfaces gàuclieSy forment sur ia stirfoce de la vis deux arêtes , Tune saillante et TaUtrë rentrante.