I. »E La PaOlBGTlOll

]hs hétioes.

2. ST (Jig. 1) est la commune section {**) ; o la projection horizontale de Taxe; A le point oà l'hélice saillante perce le plan horizontal ; par conséquent le cercle ACBD, dont le cantine est o et le tàfon 9k \ est la projéctioa horizontale de celte hélice, et oA est celle d'une position de la génératrice de Tune et Tautre surface

(*) Ce mémoire est de M. Petsy, ancien professeur de sciences ma Ihéma tiques à rËcolo d*applicatioQ de l'artillerie et du génieràJtfetz.

M. Persy avait résolu à Metz le problème de Tombre de la vis en même tempf( que Hàehelté la ^éàolvaii à Paris. Loi-sque la solution publiée par Hachette dans la Correspondance à» I Êçoie polytechnique » t« I , n^'J» janv. 1809, fut connue à Metz , M. Persy communiqua sa solution à M. François, professeur de fon« tiBcation , et son collègue à TËcoIe d*applicalion ; plus tard , M. Français adressa à Hachette une solution éimple sur le nftme sujet , et qui a été publiée danâ ta Correspondance de TÉcoie polytechnique , t. It ; n« i, janv. 4S40. J'ai tout lieu de croire que la soiuiion dotinéO par M. Fratiçais lui fut inspirée par dellë do M. Persy, dont il avait oii. connaissance. T. 0.

(**) M. Persy appelle commune section la ligne que l'on appelle ordinairement ligne de terre. Cette dénomination de commune section fut introduite à l'École d'application de Metz par Ferry, qui avait été itt eomflftaaotment de sa earrrièra adjolntde Vongë ft l'Aboie do génie dé Hlûèfrés. î. D.

gauche. Ne considérons que celle qui fait partie de la face supérieure du filet, et soit AV la projection verticale de la position dont nous parlons , et que nous ve* gardons comme la position primitive de ta génératrice de la surface gauche sapérieure. Si Ton conçoit un cône qui ait pour sommet le point (o^o'), et pour trace horizontale le cercle ABCD, toute arête de ce cône sera parallèleii Tune des positions de la génératrice , et réciproquement toute position de la génératrice ,sera parallèle à Tune des arèles du cône. Si Ton décrit ensuite une spirale ordinaire PâRQ qui passe par A, qui ait pour pôle le point 0, et pour ra^on de son cercle générateur la hauteur du pas de vis, il est clair que de la position OA à la position quelconque OM, la génératrice se sera élevée delà quantité supérieure; d'où il suit que m étant la projection horizontale d'un point de rhélxce, on aura la projection verticale de ce point en menant mm perpendiculaire à ST' et prenant pW égal à la distance pm.

3.* Il s'ensuit aussi que la projection verticale de la position OM de la génératriçe est la parallèle à op' tirée par. le point m\

On l'obtiendrait encore en portant la distance pm en o'r^ et si la construction est exacte , gp perpendiculaire à ST^ coupera om en un point p de la spirale, car il est évident que cette courbe est en même temps la trace de la surface gaudéi sur le plan horizontal.

4. S'il s'agissait de Thélice engendrée par le point (/» /)y on mènerait Thori-zontale S/T' au*dessus de laquelle on porterait les distances pm , alors les perpendiculaires mm' partiraient des points de rencontre des lignes om avec le cevdejhg^ projection horizontale de la nouvelle hélice.

Des courbes qui terminent la pr(yeۉan verticale de la surface.

5. Par la génératrice considérée dans une position quelconque om^ o'q, je mène un plan pqr perpendiculaire au plan vertical de projection. Ce plan touchera la surface gauche quelque part en un point situé sur la génératrice et qu'il s'agit de déterminer.

6. On sait que pour une même hélice la tangente fait un angle constant. avec l'horizon. Considérant celle qui est projetée holrizontalement dans le cercle ACBD, nous connaissons rinclinaison de sa tangente. Soit (p, s) le sommet d'un cône qui ait pour trace horizontale ce même cercle et dont les arêtes fassent avee l'horizon le même angle que la tangente de l'hélice, toute arête de ce cône sera parallèle à quelqu'une des tangentes de l'hélice, et réciproquement toute tangente de l'hélice sera parallèle à quelqu'une des arêtes du cône. Concevons ainsi

•ne suite de cônes ayant chacun pour trace horizontale la projection d'une faéiiee et pour arêtes des droites qui fassent avec ThorisEon le même angle que les tan-" gëntes de .cette hélice. Je dis que tous ces ç6nes auront pour sommet commun le

point (o y à). Il est aisé de s'en containcre en vertu de l'équation a;=:-A, qui

e§t connue de tous. Actuellement si l'on mené par ce point (o, «) un plaifi tiis parallèle à 'pqr^, ce plan coupera chacun des cônes suivant deux arôtes à chacune desquelles sera parallèle une des tangentes de rhélice correspondante, et pour chaque hélice cette tangente sera paraître au plan pqr.

Soient 0Xj oo/, ox"^ ox*^\..^ les projections horizontales des arêtes dont nous parlons. En nienant aux cercles axb^ fxg^ ¥x''G^ Âa;'^'B des tangeales respectivement igMMèl&^ox^ox j ax\ etc., on aura les projections horizontales des tangentes des ' hélices qui sont parallèles au plan pqr. Or, il «st focile de reconoaitre que les points de contact y, y y y'\ y'\ etc., sont sur uçe même droite aS perpendiculaire à m et placée à même distance du point o , car pour mener au cercle du rayon ox une tangente parallèle koxj il faut mener à ox le rayon perpendiculaire oi qui détermine le point de contact. De même pour les cercles ax' eiox"... Donc les triangles xox' et yoif' sont égaux , comme ayant un angle égal en o compris entre des côtés égaux, etc.

Le point de tangence du plan pqr aMra donc pour projection horizontale l'intersection des deux droites a6 et om.

7. On sifinplifiera la construction qui résulte de là, si faisant attention qu'on n'a besoin que de la direction de la trace ^r, on considère le cône dont les arêtes sont parallèles aux différentes positions de la génératrice, et que l'on prenne pour SQn sommet le point (o,«) lui-même, car là projection horizontale d'une arête du cône sera celle d'une position de la génératrice et la projeciion verticale de cette arête sera immédiatement la parallèle à la trace </r, que l'on doit mener par le point s. Ayant donc tiré par ce )x>int la parallèle m! à o'A'^ et si dans le cercle acM décrit du centre o avec le rayon oa'^ cercle qui sera la trace du cône de même inclinaison que la génératrice, si , dis-je^ l'on se donne la projection oZ d'une arête quelconque du cône, ou ce qui est la même chose, d'une position quelconque de la, génératrice, toute la construction se réduira à abaisser du point Z la perpendiculaire Zu sur oA , à rabattre ou en 02 , et à mener à oA la parallèle zy\ qui coupera oZ au point y' cherché.

8. Mais on peut atteindre à une simplicité plus grande encore : si l'on décrit le cercle Jhgkj projeclîonde l'hélice qui répond au point de contact du plan pqr, et que Ton tire la droite df, il sera aisé de voir : l*' que cette droite est parallèle à oZ ; S"" que la perpendiculaire ol ubaissée du point o sur dfe^i égale à ox ou. ou ;

3* enfin, que cette perpeûflicolaire )[>roIoiïgée passe par tes points a^» y^^ d'oi l'on Gonciul d'abord les deux méthodes qui suivent.

9. Pour construire le point qui doit être sur une position dohiiéé oZ de In^ér nératrice , il faudra par le point d mener à oZ la parallèle ^T qui rencontrera oA. au point/; le cercle décrit du point o comme centre avec le rayon of^ coupera oZ dans le point demandé y ( voyez le n* 19 ).

10. On obtiendra le point qui se trouve sur uûe hélice dont la projection hori«' zbntaley%A^ est donnée en menant à c^ la parallèle o/. Cette ligne détermineira'iîur le cercle Jhgk le point y que l'on cherche ( voyez le n* 19),

1 1 . Cette dernière méthode convient surtout dans le )cas, ou comttie dan^ celui ,de la vis on n'a à considérer qu'uhe zone de la surface compriise entre d&ux hé^

lices; elle ne fait point tomber dans des opérations inutiles etdonbe ditectemeùt. les points situés sur les hélices saillante et rentrante du filet.

12. La projection horizontale d'un point de la courbe étant trouvée , on construira sa projection verticale par le moyeti de celle de la position correspondante de la génératrice.

13 (^). Les considérations suivantes conduisent directement aux résultats dé l'art. 8. Parie point (/,/') de la position primitive dé la génératrice et Iqui dé^ crirait l'hélice donnée par la projection horizontale j^ft^ je mène un plati tangent à la surface ; pour cela je tire l'borizoïitaie/' e' qui sera évidemment la soiitan* genle du point (/,/) de l'hélice, de sorte qu'en portant /fe' en/E, k droite AE sera h trace horizontale du plaii tangent. Or, si ce plan suivait le moûVietfaënt de la génératrice sans changer d'ikiclinaison par i^apport à Thorizon il he tîesstehdt pas de toucher là surface, et quand la trace serait dévetiue pefpendibulaireà'^y le point de contact, dans la position qu il aurait prise sêlratt sur la Cbûfbé cherchée. Mais*puisqu'il SuJSt de connaître la projection faorizonlale de Ifc^érté^ ratrice considérée dans sa nouvelle position, on pourra faire àbdifàelloh du mouvement le^Jong de Taxe. Ayant donc abàiteé sûr AÉ la perpendiculaire oS. qui coupera la circonférence AGBp au point n, oh prendra l'arc km égal à Ari , et le rayon om rencontrera le cercle fligk au point y que Ton cbérche. La prdjectîod verticale de ce point sera en/' sur l'horizbnt^le/V, si Ton fait abslhicUdii dU nldU»* vement de la génératrice le long de Taxé, et en F" si l'on a égard ft ttë mouvement. Actuellement, si l'on observe que les trtangles k'f'e, àW et ee*fy wO sonisetb^

blables et donnent ■^= rr (qui est la môme chose que :^=r() on verra que

n On peut commencer la solution n* 33 par celuMsi (43) ; Joindre comiïie cofoU^ré le (MtBllélIsme â6 df et om ; puis placer le n« 4 4 aussi en coroUaire, ( Note de P.^

k»tri|ing;tes dbfj 4/S spât semUablês autsif , et ifue pajr cbfis^aent c^eàt parallèle i'«m» * • -

i4. Lft tfîangle a)>/> qui Mt égal à ^, est semblable i A/E. Aiasi c/ et sa parallèle aY Mut perpeq4ioiilaiTea sur AE ; les^ poinis a^ or , V , J , sonl donc en bgneérofle, el^TMt voit de plus qoe/étasl k projection horizontale d'un point quelconque de la sur&ee, la traee horiaoatale du plau tangent en ce point, sera perpettdioolaire k h Kgnecf qui est donnée; on a donc (out de suite ladire<5tion de cette trace.

4& On remarquera que le plaa mené par le poin t (^, o) parallèlement au plan p^r eoupe le eânp qui a pour sommet ce point, et pour Irace horizontale le cerch acbd^, Mivant deux ai^dles différentes, et diont les projections horizontales sont oZ , oa>. Ses lig^w oZ, ex y sont en même temps les projeetiona de deux positions diffé-* i^eotes de ta génératrice , mais dont les plans projetants et perpendiculaires au plan verlieaiy 8<ml parallèles entre eux et aoplaiipçr. De plus, les prolonge-** monta oys ee, de ces Ugnea sont les projections de deux autres positions de la génératcîce opposées aux premières, et dont les plans projetants, parallèles aussi, font avec l'horizon le même angle que les plans projetant les premières positions. Enfin, dans toutes ses positions^ la génératrice se prolonge au delà de Taxe éeb surfaoeet se trouve sur une seconde nappe qu*elle produit eif même temps que la pvemière. Geb posé , ai l'on trace les deux lignes aS , aS\ qui sont en pr(^ectioa horizontale , Fiftie, la suite des contacts des tangentes parallèles au pian uu^ l'autre, la suite des contacts des tangentes parallèles au plan u'if s , on- YOf ra que la droite àéS allant rencontrer oZ , le plan mené par la position oZ de la génératrice et perpendieulairement au plaa vertical, touche la nappe inférieure dans un point y\ Que celte même Kgne aS ne rencontrant que le proloogement de oar, le plan projetant de la position ox de la génératrice touche la nappe su«* périeure. De même , la droite aSf allant rencontrer oY, le plan mené par la posîtion oY de la génératrice perpendiculairement au plan vertical, touche la nappe inférieure dans, un point Y, et cette même ligne a S' ne rencontrant que le prolongement àe oVj le plan projetant de la position ov ne touche que la nappe

supérieure; Ton reconnaît aisémsat quels suite dçs points y\ Y, forme

sur* la nappe inférieure une courbe (font la projection horizontale passe par le point O, et se compose de deux branches qui ont pour» asymptote commune la droite AB.

Comme on peut mener à un cercle deux tangentesT parallèles à une droite <tonnée^ on aura pour chaque cercle acbd, quatre tangentes différentes, deux parallèles à oZ et deux autres parallèles à ox. Mais il faut remarquer que de ces quatre tangentes deux seulemenl donnent àes tangentes' dé l'hélice qui soient inclinées

dans le nièinê sens que le plan pqr otf nUi et qui soient par contéqueiit (ttraV lèles à ce plan. Ces deux tangentes , dont Tune est parallèle à o£ et l'autre à oc ^ ont leur point de eoùtact sur la nnéme perpendiculaire aS à la trace tel. Aini, pour un même plan uts on ne doit admettre qu'une des ligaes de contact o£ et a ^9 savoir , celle pour laquelle Tinclinaison des tangentes des hélices est daiis le même sens que Tinclinaison du plan, ce qu'on peut reconnaître en considérant le plan vertical qui passe par la tangente de Thélice et qui doit Qouper le plan ute Mi« vaut une droite parallèle à cette tangente.

Maintenant les lignes oL , ax sont les^ projections de deux positions diflGérisntes de la génératrice, mais dont les plans projetants perpendiculaires au plan vertical sont parallèles entre eux et au plan uis. De plus y les prolongements oY, oV de ces lignes sont les projections de deux autres positions de la génératrice opposées aux premières, et dont les plans projetants pareillement parallèles entre eox, font avec Thorizon le même angle que le plan ms. Enfin , dans toutes ses positions la génératrice prolongée au delà de l'axe de la surface , produit une deuxième nappe qui ne différera de la face inférieure du filet que par sa hauteur au-dessus du plan horizontal « en supposant toutefois que les génératrices des'de«x faces du filet coupent sous le même angle Taxe de la vis. Dans cette hypothèse, si l'e* trace les deux^Iigncs «g, a' S\ dont l'une est relative au plan tels, et l'autre au plan tf'iV, on verra que la première allant remonter oZ., le plan mené par la posi'^ tion oZ de la génératrice, perpendiculairement au* plan vertical, louche la faee supérieure du filet dans un point y ; que celte même ligne aS né rencontrant que lé prolongement de ox, le plan projetant de la position ox touche là lace inférieure du filet dans un point v. De même a& allant rencontrer oY et ne rencon» trant que le prolongement de ov, les points Y et Y appartiennent respeettveroent aux faces supérieure et inférieure du filet. La même construction donnera dent à la fois deux points de l'une et de Tautre face du filet, et l'on reconnaîtra aisément que la suite des points 9',... Y, appartenant à la face supérieure > fornie une courbe qui passe par le poihtoet dont les deux branches ont pour asymptote commune la droite AB.. Il en est de n^me des points V...t; ajypartenant à la face inférit^ure. Dans l'espace la courbe coupe l'axe^dans le point où il est rencontré par la position oc4)\i odde la génératrice, seloQ qu'il s'agit de la face supérieure, ou inférieure, è4.en projection verticale les deux branches de chaque courbe ont pour asymptotes les projections des positions oA et oBde la génératrice de la. face sur laquelle cette -courbe se trouve.

Puisque dans Tespaçp I^ courbe coupe l'axe ^n son point de rencontre avec la position oc ou ad de la génératrice, et qu'en projection verticale les deux branches ont pour asymptotes les projections des positions dont oA et oB sonLj^s proj/(îe-

Uons horizoniales, Von peut tirer, de là, la construction simultanée du point^qui est sur la génératrice opposée dans la mèroe nappe. . .

16. Le n* 6 offre une démonstration géométrique de cette proposition : « si Ton t mène à la série des hélices décrites par les points de la génératrice droite de 1 la vFs-, toutes les tangentes parallèles à un même plan donné, les points de » contact sont sur deux courbes planes dont les plans sont parallèles à Taxe 1 et perpendiculaires au plan donné. »

De plus , la distance des plans des deux courbes à l'axe est égale au rayon d'une hélice multiplié par le rapport des tangentes des inclinaison:^ (avec Thorizon) et dô l'hélice et du plan donné. Cette propriété n'est point particulière à la surface de la TÎs, elle appartient à la surface engendrée par une courbe quelconque qui tourne autourd'unaxeet qui,. en même temps, se meut dans le sens de cet axe d'une quantité proportionnelle à celle de la rotation-, elle apoartient exclusivement à cette surface et peut servir à sa définition. La démonstration du n"" 6 subsisté pour le cas général;

^7. La proposition dont il s'agit mène à cette conséquence :

Si l'on considère une série d'hélices dc^mème pas tracées sur des cylindres verticaux à bases circulaires et de même axe, et que les ayant projetées sur un plan parallèle à l'axe commun (ce qui produira une suite de courbes de même genre) on mène à ces courbes aes tangentes parallèles à une droite donnée dans ce pian, tous les points de contact, quelle que soit la loi suivant laquelle les courbes se succèdent, n'y eût-il même aucune loi dans leur succession ^ se projetteront horizontalement sur deux droites parallèles à la trace du plan de projection verticale et également distantes de la projection horizontale de Taxe.

Le problème de mener une tangente à la projection verticale d'une hélice, parallèlement à une droiie donnée, revient à celui de mener à la courbe elle* même une tangente parallèle à un plan donné, ce qui se résout aisément par ce qui précède. M. Hachette en a exposé une solution dans son Supplément à la Géométrie descriptive de Monge et dans son Traité des machines, ouvrage qui est une des applications les plus utiles de la géométrie descriptive.

18. Connaissant l'inclinaison, par rapporPà Thorizon, de l'une des hélfcesdécrites par les points do la génératrice,* et par conséquent le point («-o), on peut, d'après les considérations du n** 6, trouver aisément celle de toute autre hélice dont la projection horizontale est donnée; par exemple, Thélice projetée suivant le ceTc\efhgk a pour inclinaison de sa tangente l'angle seo-^ (Yoii Voià conclut la sous-tangente pour un point quelconque de rhélice.

49. On déduit encore du n^'S quelques conséquences utiles : les lignes ùx\ oZ étant perpendiculaires, lorsque oZ sera donnée, en menant ax' perpeRdiotlaire

iiôZjbtk ftilfa le point x'; et par conséquent , âU moyen 4u cercle :è|^M, le point y\ Si ce cercle est donné j et par suite le point x\ on détermlnel^â te poitit y' en ffiéAàHt oy' perpendiculaire à ox\

' Ces constructipns ne sont pas aussi simples que celles deâ n^d et iO^ tt\tk\i fëùr feront préférables en général, où du moins les suppléeront au besoin, et dans le cas surtout où lepa^de la vis n*est pas considérable, ce qui arrive ordinairement quand elle est à filet simple. C'est pour plus de clarté et d'exactitude <jué ddnê l^ épure nous avons supposé la hauteur du pas fort grande.

Des intersections de la vis et des plans qui la terminent.

ttO. La VIS est termiifée ordinairement à deux plans perpendiculaires à son axe, et chacune des courbes d^intersection est une spirale (}u'il est aisé de construire, soit par la considération de la courbe elle-même, soit par la considération des positions successives de la génératrice de la surface. La spirale oRAQ, emploj^éé d'abord subsidiairemenl, fait donc encore partie de la projection complète dé la vis, quand Tangle delà génératrice avec Vaxe est égal à un angle demi-arôit.

. U. DES 0MBE8S.

Dé là tighe qut sépare la partie écUdréé de ta parité ob'tcùri. '

{ytyét art. 27, V).

2i. Le. problème en question est du même genre que celui du h* 8. Les mènlë^ méthodes doivent donc, à quelques modifications près, s'appliquer. à l'un et à I autre. Je considère le rayon de lumière qui passe par le point (0-S), lîg, 2, Commet commun des cdnes de même inclinaison que les hélices et.^du cdne de Ifttôtne inclinaison que la génératrice de la surface. Soient OL, SL' les deux projections du rayon de lumière, il rencontrera le plan horizontal ert L. Cela posé :

22. Que OZ soit la projection horizontale d'une arête quelconque du pône de inëme inclinaison que la génératrice, ou, si l'on veut, la projection d'une position quelconque de cette génératrice elle-même, et qu'il s'agisse d'avoir le poinl de la ligne de séparation d'ombre et de lumière qiii tombe en projection horizontale sur OZ.

On voit d'abord quëLz sera parallèle à la trace du plan lumîheux passant par la position OZ de la génératrice. Ainsi, ayant abaîfesê sur LZ la perpendiculaire uti, on la posera en ai, et le point de rencônlrè de cj/', parallèle à (iu^ avec OZ, éerâ celui qu'on deihànde (pourquoi? ). Le cercle décrit Sur OL comme iliàmêlrè

donneraitjmmédiatement les points \i, e est évident. Mç^is il y a plus» tpQS.I^a poiûls z'sont sur le cercle dont le diamètre est la diagonale OM du carré LSfNÇ construit sur OL, et les lignes ft/' sont dirigées au point N. La construction ^ réduit donc à joindre LZ, ce qui donne le point z, et à mener zN qui détermin^ le poiht y\

plus simplement encore, on mènera à OZ la perpendiculaire Ox\ qui coopère LZ en x\ et (n* 19) le cercle décrit avec le rayon Oo;' et du centre donnçr^ Ip point ^^ (H resterait à voir si c'est plus simple et si cola vaut mieux dans (ç cas d'un pa« très-petit).

23. Proposons-nous en second lieu de trouver le point qui doit être en projection horizontale sur le cercle donné^Aft. Ayant décrit une fois pour toutes 1^ circonférence JLN (dont le centre est et le rayon OL), du point L. avec 1q rayon perpendiculaire à/J, on tracera Tare txV, qui, par son intersection avec le cerclé fyhkj donnera le point x'. Alors : ou l'on mènera Lr s, qui rencontrera le cerçl0 LMNO au point z et zN déterminera le point y; ou bien on élèvera à 0^' la perpen- -diculaire Ot/'y qui donnera encore le point cherché y' (approprier ici la méthodç du n* 40* — Considérer le* cône de même inclinaison que les plan$ tang^n($ en les points d'une même hélice).

24. Il se présente ici des remarques analogues à celles du n"" 5. On distinguer^ de la même manière les points qui se trouvent sur la nappe inférieure de la surr face de ceux qui appartiennent à la nappe supérieure, et Ton trouvera ^ussi quç les uns comme les autres forment une courbe douée d'asymptotes rQctijigQ^^ Ces asymptotes sont des positions de la génératrice qu'il sera ai$é de recoox)a|l,(*e«