RECHERCHES GÉOHÉTRIQUES SUR LES ENGRENAGES DE VITITHB

Le mécMKie» "Wilbe^ iors 4u conecwrs pe«r les prix dôcennavx , en 4181^,^ soofiiti à 1 0XMMB de TiiisiMt dea engrenages •eylidAriqties et conique^ ^"^uihé' construction nouvelle, et dit gn iea yéttwti w i ^uHh jMfeslâëiiC tteé deax ptthprîétéa rcfarééfB jusque alom W wne ftùOMiipaiîbla, jm i'w w ;4^ vitesses angulaires dans un Esiyport «Min» # ^ y froiteoMot de rmiècÉieftl; et qifaiMii 1* le pig^M* déofîimi 4e» aneft éguÊX ttmêk pwoomir à fai roue dentâe* ies espaces angulaires aussi égaux , et 2"* les courbes par lesquelles les dents éUMBt en contact se roulaient à la ujomiére de deai cercles irecél i«f un nème pian.

Wahe A'était i^gàomàue.^ Mssi ne piit-U4émDnUw riffouveuttiiikent Texistence des propriétés qu'il sumoeçaitapyar tenir 4 sf^ eogrmage^ Oa .v<lyaît bîoB> qjtt'ea eilet les viiessea:ai»§elajpeséiaieat daasi ea rapport cenaiaat, #i^ seaiaîl bien que Le-lraUemeai était très-daex^ mais o^endaat'te £peUeAeM peUveU être da glîssciaement. Jusqu'à présent la question ert restée îadéciaeu

Ea examinant les procédé» pratique» que Withe emplayaît pour la oonstrao-* tion de ses engrenages , procédés qu'il a décrits dans une petite brochure 4|iie je n'ai pu me procerar qu'à Jj^ biblîotbéqae de l'Éoota royale de rariillerîe el; dn génie à Mclz y on soit qu'on peut iraémrt fé&méiri^iwnetU le» procédé» de mécanique pratique, pnr nneconsiructioo géoœétriquequîconeîsta: l^à dire passer un plan 11 (/9.17)parlesdeusaae8 parallèles antre eox,»asoir: Pde kirove denléaet Q du pignon ^ 2* à tracer dan» ce plan une dreîie R parallèle atut axea, et dont le»

mi*»m^l^mmmm»mmmm^mam^'^^

f)C0 pé«oti».iisi ftn ypésestéi Vhmkvà im W ^mmj A cs Jé SMS rtfei» dt wamon > is S i lin isi tri 4 »3»« a éié publié plm tard, dsns le Journal dé maikémêUiiuei pura f I ajfflifaéu de M. Ijommu»

distancer pIt-P éiq^Q âèrtmt âtto'À te rapport inverse des vitesses des axes, pois y- ooûsfMire deux triangles abc et a'b'c\ fe premier coupant la ligne R par son cdtâ â^ au ^point m, et le second ayant son soniniet a' placé en ce point m , les detlx tria^gies n*ayant d'ailleurs aucun autre point commun; iT Taire mouvoir le triangle abc autour dé l'axe P, tous les points du côté ab décrivant des hélices d^^ndme pâs^ que j'appellerai H , nommant S Thélice décrite par le point m; 8* faire mouvoir le triangle a^b'c' autour de Taxe Q', le point a' décrivant une hé-

lice 9 dont le pas sera h, et Ton devra avoir I équation r = 'f c^est-à-dire que

les pas des hélices S et ^ seront dans le même rapport que les rayons des deux cylindres sur lesquels elles sont tracées. Ainsi les dents sont formées par des ûlels de vis, et ne se mettent successivement en contact que par les courbes S eis.

Si les axes P et Q se coupent, la droite R passe alors par leur point* d'inter* section et elle divise l'angle compris entre P et Q en deux, dont les sinus sont dans* le rapport inverse des vitesses des axes , et les courbes S et « sont des spirales coniques d'Archimède dont les pas sont aussi dans le rapport direct des rayons des roues coniques sur les»queUes elles sont tracées.

Les dents ainsi construites se conduisent-elles en effet par un frottement de rouiemtot , et lQ»rapport des vitesses angulaires est-il constant?

Tdle est la ptemière.qiiieBlion que je me propose de résoudre dans ce mé^ moire.

Examinons, d'abord les engrenages cylindriques.

Par la droile R {fig. 18), je mène un plan M* perpendiculaire au plan M qui contient les axes. Je trace sur ce pian M' une droite g passant par le point m situé sur la droite R. (Au lieu d'une droite, Ton pourrait tracer une courbe arbitraire, mais dans les arts l'on doit préférer la droite parce qu'elle donne sur le cylindre une hélice, courbe que Ton peut tracer facilement par un mouvement continu , ce mouvement continu étant procuré par un mécanisme simple.) Puis j'enroule ce pian M' sur le cylindre dont R est une génélratrice , p le rayon de la base et P l'axe; la droite g se déformera suivant une hélice S dont le pas H sera l'un des côtés de l'angle droit du triangle tnxy, construit dans le pian M' ; la ligne mx. étant horizontale el la droite my étant une partie de la droite 9, et mx étant égaie au développement de la circonférence du cercle dont p est le rayon ; H s6ra dès lors égal à ùof. Si ensuite j'enroule le plan M' sur le cylindre dont R est une génératrice, '9 le rayon de la base et Q Taxe , la droite g se déformera suivant une hélice s, dont le pas A sera égal à x'gl^y le cdié mx' étant égal au développement de la circonférence du cercle dont g est le rayon, et l'on aura

f éqnation r* =s ^* Cela posé : si je fais rouler le cylindre {q, Q) sur le plan tangeat

'U% la courbé $ se développera sur la droite g. De même si je fais rouler le cylindre (p,P) sur le même plan tangent M', la courbe S se développera sur la même droite ^. Ainsi au poiot mies courbes < et S sont en contact , ayant en ce point pour tangente commune la droite 9. Si donc le cylindre (p, P) prenant un mouvement de rotation autour de son axe P^ entraîne par le frottement de roulement le cylindre {q^Q)y les deux courbes « et S rouleront Tune sur l'autre et auront une tangente commune en chacun de leurs points de contact successif, et le point de contact parcourra la droite R.

Maintenant je trace dans le plan M, gui contient les axes P et Q , une droite arbitraire G passant par le point m de contact des deux hélices s et S, puis je décris deux courbes arbitraires <f et ^ ' ayant pour tangente commune au point m la droite G; Tune de. ces courbes <f étant au-dessus, l'autre f étant au-dessous ide la droite G et toutes deux situées dans le plan M.

Cela posé : j'imprime au plan M un mouvement de rotation autour de l'axe P, .de manière que la courbe cp se meuve le long de la courbe S; on obtiendra par ce moyen une surface hélicoîde $. Si de même je &is mouvoir la courbe tf le ioi^ de la courbe s y ie formerai une seconde surface^ hélîcoide $\ et ces deux surfaces ^ et 9' seront en contact au point m, car elles auront en ce point même plan tangent, déterminé par les droites ^ et G, et ces deux surfaces n'auront évidem*» jnent que ce seul point commun (*)• Dans les engrenages de Withe la courbe <p est une droite, par conséquent la surface $ est une surface hélicoîde, telle qu'on remploie dans les vis à filet triangulaire ou à filet carré. La courbe 9' se réduit à un point; donc la surface ^' se réduit à une hélice , de sorte que la dent 9 conduira ou sera conduite par ladent^^' par un frottement de roulement , las vitesses angulaires étant dans un rapport constant.

Ainsi les engrenages construits par Withe satisfont aux deux conditions regar* dées jusqu'à présent comme incompatibles. Hais pour que ces deux conditions soient en effet remplies à la, fois, il faut que les engrenages soient exécutés avec une rare précision. Examinons si l'on n'obtiendrait pas dans des engrenages construits d'après* le même principe, un frottement de glissement provenant d'une exactitude dans le rapport des pa< H et A , frottement de glissement qu'il serait impossible cependant de reconnaître et de détruire entièrement. Prenons Tengrenage exécuté par Withe, c'est-à-dire celui où les courbes f et ^ sont des triangles. Chacun des points de la droite ab décrit une hélice dont le pas est H ;

i (*) Voyez à os sujet , ci«a^rte , le mémoire n* 6.

— «la—

mais, d'apr.è94c$,qai/|>récçd^> l^héliçe décrU^p^r le point ^m est h seule ^qui ^p/ji^se se roujer avec rhélice décrite par le point a' et dont le pas est h^ si Téqua-

ti'on - = ^ est satisfaite.

Les deux bélîces S et s ont au point do contact m une tangente commune i-^ pour tous les points de rhélice S , la tangente &it avec Taxe P le môme angle ; il en est de môme pour iûu& les points de rhélice s. Si les hélices décrites par les ^fAÎnto 4ê abf au lieu d'avoir \e pasU, avaient un poi H' peu différent de H , 2\<n» M point .ne pourrait se mettre on contact avec le point m. Car alors rhélioe S' décrite par le point m n'aurait pas même tangente que Théliee $ décrite par' le j;^oifit a (les deux axes P et Q étant supposés dans le même plan ) ; et aussi comme l^s bélicesdécriles par les. divers points de 4ib^ ont des tangentes qui font avec .r»e P des fti^s do pàvs en phis petits^ à mesure que les points qui les décrivent 40 rapprochent dacet axe, Ton voH que Ton trouvera en avant ou en arrière àa point m , et sur o^, un point m' tel que ThéHce qu'il décrira fera avec Vaxe P le MWK^ angle que Thélice s fait avec Taxe Q.

Alors ces deux hélices pourront être mises en contact, elles auront une tangente commune, et nécessairement on aura : j9'( distance du point m'a Taxe P)est jà q (distance du point a' à l'axe 4)) dans le rapport qui existe entre H' et A; car ilbélifiâ^décnie par le.poinlm^ pourra être .fermée en pliant sa tangente au poiM 4tt^aur le cj^lttidre ihint le r«yon estp\

i^ndi e& nn oemsidécant.que dotu^ <lenl% si Ttyio i»*est pas construite^ avâi^^xaoiitnde « si .donc les hélices qui Mimposént la^ surface hélicoide qui doit conduire O^être eondttite^r rhélice s décrite par te peint a', n'ont pas rigoureusement Jeur fpas égal à II , il sera toujours possiUe de rapproi^her ou d^él6ignei< les axes P ^t Q, de manière à ce que le point a! trouve un point m situé sur (ib, lequel décrira une hélice faisant avec Taxe P le même angle que fait lliélioe ê avec Taxe Q. El rhélice. s décrite par lopoipt a' ne pciurfa être mise 'en. oootact qu'avec Thâice décrite par >Ge point m\ tantqiie les. aies P «t Q^ ainsi tiueJa /droite. R lieu des points de contact sucoesaif* seront assujeUis àètresituésdansun même plan^ car toute aytre hélice (aisant.av<^ Vaxe Pun aeg^e plus petit 4mi plus grand, do»- Oiierait un point de contact pour lequel les tangentes se cr^seraient ; par conséquent rhéjice $ novaeraît paii^ tangente ^à la surface àélinoide , au point eansîdéfé : elle h pénétreiiait en Qopoint;.ios dcoits ne > (MMiryaiefit donc se oonduire» liais aiussi

iea vitesse d« axesP ei Q ne seront plus dans le rapport demandé - , mais <Ians

le rapport ^ , p^ étant le rayon de Thélice S* sur lagu^Hft «p r milft rhi^Jicfi n. Mais un engrenage ne peut être forméct>tr ilas mue» n^ityant çkacvne qn^nne

seule dent» Il faut forcément placer sur ces roues plusieurs deuisei dans des {MMr. tioQS telles que le mouvement de rotation puisse se XM>Dt louer sans èire arrêté*

il faudra donc plaoer sur le cjUndre (f^Q) une^uite d hélices équidistaoied , leurs points de départ sur le cercle G tracé par le poini-a étant aussi ^qidistantg entre eux^ et divisant ce cercle C en arcségaux; puis faire router ce cylindre (^,0), sur le cyU<Hlre (p,P). Toutes les bélicesdu cylindre (9, Q) laisseront sur le cylindre- (p,P) pour traces des hélices aussi équidistantes, mais dont les points de départ $ui^ le cercle C décrit par^ le point m ne setontié^idistants qu'autant que le cercle G, dont .le rayon est 9, se développera un nombre exact de fois sur le cercle G'ddoi* le rayon est p, c'est-à-dire qu'autant que p et f serontentre eux dans un rappOPl commensurable ; et cette condition doit être évidemment satisfaite pour que le mouvement de rotation ne soit pas interrompu.*

Mais supposant le pigeon terminé par le cylindre idéal (9, Q) sur lequel se IrOtt**' vent tracée&des hélices équidistantes s , s\ s' y etc., dont les pa^sont tous égdDx à /i, et les points de départ de ces hélices divisant en parties égales le cerole base du cylindre (q,- Q), nous ne pouvons pas supposer que la roue soit terminée' par le cylindre idéal (p,P), parce que les dents doivent avoir un excès de longueur pour que l'hélice s conduise son homaioguie S 4itttremcul que par le contact , c'est-à-dire ne puisse pas s'échapper, si la résistance devient plus grande que celle 'qjAC peut vaincre le frottement de roidement. Le cylindre idéal aura donc pouF la roue un rayon p" plus grand que'p, et nous appelleronsce cylindre (p'',P) ( fiy. 17).

Puisque nous supppsQ.ns que le cylindre (ijf, Q) se développe un nombre exact de fois sur le cylindre (p, P) ^ et que nous supposons en mémo temps que les surfaces des dents de la roue sont formées par une surface hélieoîde, il s'ensuit que l'on aura sur le cylindre (p", P) des hélices équidktantes entre elles, et dont les points de départ diviseront le cercle qui lui sert de base et dont le rayon est p'\ aussi en parties égales; et les distances de ces hélices , distanoes mesurées sur les génératrices du^^ylindre (p'', P) , seront toutes égales entre elles et à celles des hélices tracées sarie cylindre (q^Q) du pignon. Dans ce cas> les hélices du pignon ne pourront se mettre en contact qu'avec celles tracées sur le cylindre (p, P), supposant le point de contact dans le plan des deux axes P et Q«

Mais si, par un vice de constmetion , tes hélices composant les surfaces héfic^ides^ini forment les dents de la; roue n'avaient pas leur pas dans le- rapport

T-:=-, il arriverait nécessairement , ou que les points de départ des hélices

sur le cercle des bases ne seraient point également distants, les. distances des. hélices dans le sens des génératrices du cylindre n'ayant point varié,. ou qi^a cegdistances auraient varié, si. les points de départ* étaient restés* le^ mèmea^ ç'Mt*

ditmol le cercle base en arcs égaux. Dans le deuxième cas , les hélices du pignon et de la roue ne pourraient se mettre en contact , car les dents ne pourraient s*enchftsser les unes dans les autres ; et dans le premier cas, le mouvement de rotation ne pourrait être continu. Ainsi Tengrenage de Witbe ne peut marcher qu'autant que les hélices sont parfaitement exécutées , toutefois , en supposant, ainsi que nous l'avons fait dans tout ce qui précède , que le point de contact wn dans le plan des axes.

. l¥ithe est parvenu à vaincre toutes les difficultés que l'exécution présentait, comme on peut s'en assurer en examinant un modèle d'engrenage cylindrique qui existe dans le cabinet de l'École polytechnique. Les hélices sont construites afvec une rare précision , la division des surfaces cylindriques de la roue et du pignon est d'une grande égalité. Mais malgré la perfection de son travail, est-il mi que ces engrenages, mis en place , jouissent du frottement de roulement?

Nous venons de démontrer que tant que le point de contact des hélices qui se conduisaient était dans le plan des axes, cela avait lieu. Nous avons aussi démontré que la moindre inexactitude dans l'inclinaison voulue des hélices , conduisait i des roues et pignons qui ne pouvaient s'engager, si l'on cherchait à mettre le point de contact dans le plan des axes. Mais le pignon ne peut-il pas avoir son contact hors du plan des axes ? Et dans ce cas , les vitesses angulaires seraient- Mes toujours dans le même rapport, et le frottement ne pourrait-il pas être de ^89ement? CTest ce que je vais examiner.

Supposons (fig. 17) une surface bélicoîde E engendrée par la droite ab toutnant autour de Taxe P, puis une hélice s engendrée par le pointa' tournant autour de l'axe Q; la tangente à l'hélice ê fera, je suppose, avec Paxe Q un angle a.

Sur la surface E je prends un point arbitraire m ; par ce point je fais passer un plan tangent T à cette surface. Par le point m passe une hélice S de la surface

bélicoîde dont le pas est H. La distance du point m à l'axe P étant p, la tangente

H à l'hélice S fait avec l'axe P un angle dont la tangente trigonométrique sera — •

Par le point m j'élève une parallèle Y à Taxe P, puis je fais passer par ce même point une droite faisant avec cette parallèle l'angle a* Cette droite engendrera par son mouvement de rotation un cône droit dont l'axe sera Y. Le plan T pourra : l"" ne rencontrer le cône qu'en son sommet ; S"" toucher ce cône siûvant une génératrice; S"" couper le cône suivant deux génératrices.

Dans le premier cas , de quelque manière que l'on place les deux axes P et Q eb les supposant toujours dans le même plan, l'hélice s ne pourra être tangente au point m à la surface E : elle la pénétrera toujours. -Dansied^ui^ième cas, les axes P et Q devront étre^ uùe distance déterminée

pour que rhélice $ soit tangente à la surface E , et il n*y aura qu*iiiie posttioB

de contact.

. I>an8 le troisième cas, il y aura deux positions dé contact . Soyons , d'après ce qui précède , ce qui doit arriver dans les engrenages de

Withe.

La surface E d'une dent de la roue est composée d'hélices dont les pas égaux

sont avec celui de Thélice «du pignon dans le rapport t- = ^y p et q étan^ les

rayons des cercles bases des cylindres sur lesquels sont tracées les hélices S et a^ qui se conduisent , et ces cercles se développant un nombre exact de fois l'un sur l'autre, c'est-à-dire que p et 9 sont commensurables entre eux, et que les hélices S et « ont pour tangentes des lignesrqui font avec les axes P et Q des angles égaux.

J'appelle tS la tangente à l'hélice S, e,ti# la tangente à l'hélice «, m un poii^t quelconque de S, et a' un point quelconque desy p la distance du point m à l'axé P^ et q la distance du point a' à l'axe Q.

Et rappelons-nous que la surface E est engendrée par une droite (qui ne sera autre que le côté ab du triangle générateur employé par Witbe) , laquelle s'appuie sur l^axe P et Thélice S^ et qui se vomi en restant parallèle à une surface conique droite dont P serait Taxe, ou bien en restant parallèle au plan perpen^ diculaire à l'axe P. Désignons par <i la position particulière de cette droite lors-qu'elle passe par le point m. ^ -

Si nous prenons sur d un point m dont la diâance p' à Taxe P soit plus grande que p, par ce point m passera une liélice S' dont la tangente fS' fera avec l'axe P un angle «' > a. "

.Par le pdint m'feisons passerune droite Y parallèle à P, et dans le plan qui passe par Y et i&\ traçons une droite/ passant par m' et qui fasseavec Taxe JP un angle «*

Si je fais tourner la droite/ autour de l'axe Y, elle engendrera une surface conique droite 2 dont Y sera Taxe et f la génératrice , et il pourra arriver deux cas (en se rappelant que la droite i^est comprise dans l'angle formé par les droites Y et IS', puisque a> a), ou que ce cône ne rencontre pas le plan T tangent à la surface £ en m', plan qui passe par les droites cfet lS\ ou quMl lui soit tangent ; car le plan qui passe par les droites Y et iS' n'est point perpendiculaire au plan tangent T. (Cela n'aurait lieu qu'autant que la droite cf serait perpendiculaire à r^xe P, c'est-à-dire lorsque la surface E* sera engendrée par une droite , s'appuyant sur Taxe P et sur Thélice S , tout en restant parallèle au plan perpendiculaire à l'axe P; et dans ce dernier cas, le cône 2 ne serait tangent au plan T que lorsque le point m' se confondrait avec le point m.) Si le cône 2 ne rencontre pas le plan tangent T, lorsque l'on mettra l'hélice s en contact avec l'hélice S', et qu'ainsi

procher les axes P et Q Fun de Fautre en les faisant tourner autour de.iai.diiiitda; Y, dans quelque posi^aA/i^ui^ 4|i«|J'4W phoè knhélîctis S'iet ad'uaepar ra(i^t à^aiUr^f/îil awv^rfi i4»tfjoiMD6 ffueirbélÂM jfeo\ipèni teeivfiLQe E ; psrcaaaéiiatfàt les deux roues dentées ne pourront être mises en contact par les points a' eiMJ

Si le cône e$U l;^çiU:iiqf|t)aj»,^t|^|g(^ ^^^ê^9fyiQf^ £^ Itbélice^ pQurra èxm m^e en contact avec cetl^ surfifce E , et sa position sera celle où sa tangente U se confdîidrtl'âvcc^rîri ôi3 xfe CÔVitaétdè pfan tangent TTàvec ïe^cÔne décrit par la droite/' tourBaatt-aotoitf^aâè^'èseiY;.. • ^

iMBÎic aient Ids Jdeox'iidliofli 0ièOSft^)xpLnv {^Mt le^^aiyonè dés^ rjUnêrm- Bmti l^mpUià dfesisoiH iPicée9idknr4€lnp|mi[)Mflot%«râ des^axes P

etX>y; elliKiiaHHU^cnt 4)0ÎM ttrigiiiMrmieii«frttiie^€ur''rdMrev i^aÎB glÂ^ aQgulaîit6ia6fltJ'uaè')durd'aiitM^'J'atielk)ip^ Fexpréssirâ mguldffei parce qiie d|^0j€B:p0iiÉi«»Bai|u'<boc«pei|t,fe»)hé et (8\ )^M veit <(U« 4ettr^' tenantes ne '

se confondent point, mais se croisenttëtt''pôml^>qfil Mùî'^tcdfMQtia, celui en l^pid kBippÎDÉsio^ibt mj isereairfoaii^kêia;!

-ifeissUausBiçdnaidéfiroae^ilepdint m*à^ à rBëK^S^ et' si nous éla-

bBaMna'qpiHJeépéinils:a'!etfMtte«0pe^po0eii^, aibr^'lataftgente't^^buHu^Htedt^d : dMs pontiaBs snrde' ptastanj^tià -la i^rfece E , lèqnel 'plan passe par les droites tf<<t!iSv Cari le>|An3t qui pasMrai'par la droite (8 et sera parâHèléA l'axe P, ne sera point perpendiculaire au plan tangent au point m à la'aurfecaE , à moins qtte la dcbîlerf Qe'aotffBefpdBdicâlMi^'^ V9x^ '^^^i dans ce dernier cas la tangente ts ne ptlierft peandnezcfu^àiiesaiife ])06ilîoik, et ce sera eelle oà dlé se confimS avec la tangente fS. Dans le premier cas les hélices ^ et S pourront avoir un frottement da roulaiMdat direct ou. angulaire v et dansle deuxième cas elles auront un frottement da< nwaliiBejai diîrect'aauiepDent.* Bu proBant «un point m'^ sur la droite d et siteé entra?yau:P et^fe paîMm/et établÎBsantf()«e lé pointW se superpose avec ce pamtjm\. alvfs b dtoîta u pourra toafoura' prendre deux positions sur le plan tangent à la^sui&cèB au peint: m'*. Aimi Y on doit conduredetout ce qui précède : Oiieai Ja génératrica d'à^h^Bmtw^ hélicoïdeE^ qui forme la surface des dents^ eatiiaainiéd.paii rapjiqriià TaxePv loramème qw les bélice»'«6t S (qui doivent sttÉéivdbppeD'ruh0isfar'Fautiv«n^roufcin&')sêraienten contat^t; il pourr arriver, oa que:lfiaira'laiigqnla9M oonifotidèBt ou qn^ellés $e croisent, sans que Ton puisse efifiètre «vemî paa «otr«r>abow que par le calcnl que Ton fera âela-i9omme des dHla«M»tp !6l Q. lâî -ia>dflmo<i#«letiax« P et-Q^dans la'poaition'de' contact égale! (p>4^4)V'lea'l^gq[iltt*sei^flft>i)dPMrt; srellèest plu^ les tangentes' se

c«DMranta(DaM laipraitmi»câa lé«fnMMtten»i$eira'direct'et deroulérneni , et dansr lArdaaxîÉaK;ll«pÉt4K%fiMré%l^de^ • .

Mais -oemne noursYOnfc vu qqe rHéliee 9^fiMl ite te«fnv^\(^n'dmiiM<)l3fts*SieQX

pofiiÛMB di/lor6nl6ftou'daAsiMe'W«rie(Ialdh>iteid»èM^ loiiJoÂ9Mn«ltnéê^iMi*¥i(|)-

^ port à Taxe .?)« avçe i)iHi^bélÎQè Si*§iAR€^€^,il paiiïj^rm6r3i|ti«(la Alfrf&Dee des

. axea P et Q i^oi t > oy < ( pi^f»? ), «l ;qiiè JûirolÉétQeii&ac^ dèsi^f s pîoh\p$mmeni

angulaire et de glissement. Et l'on ne pourra le reconnaître qu'autant: qae Ihmrpora

.c^evlé I^esépais^eur&des rouesYde.man^req«eitsicfi])L:ksâupéhi^

- soient 4iui$ :1^ même plap^yle^pornls aeim étant cn.contatcty et quels ÉiomniMiit

derotatiofi ^l bieni4M)^é4)f^)$.itrai^ii;des iiélioesrj&t.S'; m ikocpar utmpme

}. défectueuse de reng^ep^g/Q l&i^uf^mepii^Mi'de MAaiiatemb donoèyn^^itvièttîi'^

. tàélioes.» et S^ les 4)erçle6 supérieurs^diniefiieurs iMi'aarat)t>pi9Uàt dai» jki: màiie

i plan (la droite i< étant toujours inclinée par mpport à V^m P). Maîf dani lecas'i^ù

la droiiQ (/sera perpendieuiaire à Tasie P^jqi4^que.po6itioa)qui^Vhéliae«pr6Btiae» tes

cercles supérieur!^ eiûtfiâricKAr^&iqiiiteriAinaiHld vouo et le pignotfseroot toeifoiWs

.. dans ie »(ftaM$ f^fto»: â| Msai daiia ^^i&s4âQaHHj&aa^^

avec rhélice S lorsque- la distance des axes P et Q aeva égaie .a ip+'qy >

•On doit donc préférer pour les engrenages de Withe la génération de la surfasse

hélicoîde E par une droite d perpendiculaire à Taxe P. Mais 6a Yoii par toufe$e

qui précède 9 que même dans ce cas, on ne pourra affirmer que le frottenalit

est direct et<ie rouleoient, car Jie^iii(>yeD$.KQéeaaiqi«as jnaaquetttpour BiettiTer

^^vecune exaciitude iiMithôiQati^ue la distance des dettx.ax;es;P et Qiàùa&rtùj^e

/VontD^pMTM Î9m^ i^trâi^te J14H^ te éàoll^Bmk nû^it jpska^angidmrejtl de 7/6-

iiem^u Le, glîfiMiç^tidera^ îl ibt ^raj^ tet«hpejkit4!tit est ploa. aora leôdsta^ y c^-

<à'-dîre q^Otte^dMÉar jiJite%mNatiruiie atik llâuireideJà inôihd'quamil& prinrMées

•ift»paces;â«gûIairespa(rcoiir)iiS'eji(t€mp&égiâ]ia« : .i. . . •

On voit d'après ce qBiipréo^^fque fiw^éèit'JièQàQivtttrer qaaitrè'edpàoc^ froUetiieat ^q^iefje dMsmi^ Mt^

l"" [ de roulement ï ^"^ l do rou]^ifi|^

Frottemept dlrept \ . . et ^ et angalaire 1 ,et

'de glissement ; f de glissement

Les premiers auront IwMilorsqiieies cmirilesen cdiMcii lunsom^iiièiM imgeate afu point de cMtaa, k^Moand^ lortMpie 49iits tai^^eiiles aer croisek^cWt «u fdtet commiuHr Mais , dansées engrMagas de Wlifae/tl «e (kHirru-extot^c^^ trois 4eces quatre irblleiiiettti: ^ ** >

l"" Frottemem dbre^M éBmiitenfiaa:^ lorsque' iea héKcieB^iWtir "en 'eontafettHit

mèokt inclÎBaisoii ^ et qmi le poittC de oontaôtt e^*daM <te jpilBw éea aies ;

j T Ffirttemmi ang^lmre ei de romUmmij lorsque left hélices qui sont en cotftact» .JOM même inclinaison el que le point de contact n'est pas dans le plan des aies; c 8* El^f froUetnemi angulaire et de glisêemeHiy lorsque les hélices qui sont en :<M>nlact n'ont pas là même inclinaison /et que le point de contact n'est pas dans ^ le plan des axes.

c\. Pour rendre plus clair tout ce que je Tiens de dire sur la difficulté que Ton . éprouve à mettre en place les engrenages de Withe , et pour mieux faire com* t.^[M«Bdre la nature des divers frottements que je viens d'indiquer, je tais construire c géométriquement des courbes qui pendant leur mouvement jouiront de l'un ou ^ de lautre des deux frottements angulaires remarqués dans les engrenages de i'.Withe* Je supposerai que ces courbes sont tracées sur des cylindres droits dont .les bases sont des cercles ou des oourbes arbitraires ; car ce qae nous dirons dans

le cas des cercles sera vrai pour le cas des courbes arbitraires. . Fig. 19. Supposons deuxcerclesde rayons inégaux tracés dans un même plan. Le

centre du premier étant le point P, son rayon étant égal à p; le centre du deuxième

éiàntlepointQ, et son rayon égal kq. Ces deux cercles se couperont aux points m t.et n> et supposons deux cylindres verticaux ayant ces cercles horizontaux pour .Jbases.

'\^ Mous nommerons P' Taxe du premier, Q' Taxe du deuxième ; et M et N les géné-

fatrices d'intersection y lesquelles passeront respectivement par les points m et n, -Supposons pat M un plan dans lequel nous tracerons une droite d ou une courbe f

(nous emploierons dans les arts la droite d); pois enroulons ce plan y soit sur le ;^ cylindre PVsoit sur le cylindre Q^ La droite d laissera pour trace sur le premier

cylindre une hélice G, et sur le deuxième cylindre une hélice jr, qui se croiseront ' au point m' situé sur la génératrice d'intersection M; la droite d passant par ce

point m\ les droites mT et mY tangentes au point m' et respectivement à l'hélice G

et à Thélice g^ se projetteront suivant les droites mT et mt tangentes respectives

en m aux cercles décrits des rayons p et q. (

Si le cylindre F tourne autour de son axe, Thélicç G conduira Fhélice jf et le

frottement sera angulaire et de roulement , car les points homologues de ces deux ..hélices se conduiront angulaif^ment iesunspt^r rapport aux autres delà môme ^manière qu'ils se conduiraient directement si le cylindre Q', prenant un mouyerinent de rotation autour de U génératrice M, venait se. mettre en contact avec le

cylindre P^ suivant cette même ligne M, auquel cas les de^x hélices G et 9 aiiraient 1 ute tangente commune et rouleraient. directement Tune sur Tautre.

Si donc par les (ji^eux tangentes m'T' et lll'l^je ffiis passer yn ^a, il coupera . les deux axes V et Q% le premier au point o> le deuxième au point o^ Je joins les

points et mV^'^et m' par des droites, puis dtes le plan paasant par W^P' je

trace «ne courbe L tangente en m' à la droite oni\ et dans le plan passant par W: et Q'-une courbe V (angeniè en w! à la droite aW.

' Je fais' mouvoir la courbe L le long de f hélice G , de* manière qu'elle $;oit tou** jou A dans un plan passant par l'axe P', et qoe la droite <>V, dans ses diveretes positions,, reste parallèle à une. surface conique droite engendrée par ô'»n' tottr-^- ' nant airtour de Taxe 6\ le point o' étant la sommet dij cône^

Je fais mouvoir de la même manière la courbe L' autour de Taxe Q' et le long de liiélice -9; j'aurai alors formé deux siirâiMs hélicoïdales E et e qui seront pendant le mouvement de rotation toujours tangentes Tune à l'autre, et le point. de* contact se mouvra sur la droite M. . .

- Les deux cercles décrits des rayons p et 9 se coupent , par conséquent le rayon, pétant > qy Tare mbn appartenant au cercle (9) et qui tourne sa concavité vers l'arc mb'n appartenant au cercle (p) sera plus grand que lui. Par conséquent l'hélice g aura un point dont la projection sera en n et qui se trouvera au-dessus de celui de l'héiice G qui a le même point n pour projection horizontale; il faudra donc que Thélice g conduise en dessous Thélice G ou soit conduite en dessus par elle. Ainsi la courbe L' sera au-dessous de la courbé L par rapport au plan tangent commun aux deux surfaces Eet ^(plan tangent qui n'est autre que celui qui passe par les^ deux tangentes m'T et m'i')^ et ces deux surfaces e et E se conduiront par un frottement angulaire et de roulement.

Dans le cas des engrenages de Withe, la surface e se réduit à Thélice g et k eourbc L' se réduit à un point de celte hélice, et la courbe L n'est autre que la droite om\

Mais si au lieu de tracer sur le plan passant par la génératrice M une seule courbe cp ou une droite d, nous traçons deux courbes 9 et 9' ou deut droites det /passant par le point m' situé sur la droite M (et ce que nous dirons pour les droites dét d' sera vrai pour le cas où Ton aurait les courbes <p et 9'); en roulant ce plan sur le cylindre P', la droite d laissera pour trace sur ce cylindre une hélice G, et la droite tf laissera pour trace ou empreinte sur le cylindre Q' une hélice g\ Ces deux héUces G et g' auront des tangentes qui se croiseront en m\ mais si je fais tourner le cylindre Q' autour dé la droite M pour venir se mettre en contact avec le cylindre P', suivant cette même génératrice H , alors les deux hélices G et g auront bien pour plan tangent commun le plan vertical passant par la génératrice M et les tangentes aux hélices G et ^' ; mais ces tangentes ne se confondront plus en une seule» elles se croiseront. Les deux hélices G et 9^ dans cotte position ne pourront plus se rouler ; et pour qu'elles conservent un point commun le long de ia génératrice M pendant le mouvement de rotation, elles devront glisser Tune sur l'autre, de sorte que, quoique dans leur position pri-

■litive angulaire ^.jfpuftte tour> mener un plftii' taag€»l*eoiiinMin/iMr leurs geôles ml' et mV (tangentes quinesOnt autres^que les-diKHles <f -el .<f«)^ plan qoi c^ttyera lesrcieuK axes.P' elQ^et me^permettravde CQûslniîre deiKti IhUèe^îdes S.et e Ungents l'ua à Taulre M point m'^ le frolieiaent enlre les deux.oQudies fiet 9' dora uécessiiirenient aogulaireet (fe giissemeni, et non- dé roulement..

Nous n'avons encore da«is^la coit6lrucUon.de .ces engrenages àHrotlemeatangu** laire considéré. quedeux fitetsoift deu« dente eo ûontact. Mais pour que le mosivemant de rotatian puisse ôire continu, il faudra «disposer sur chaque ront^une» série de filets cquidistants*.

Dans le cas ou les rayons p et 9 seront commensurables entra^eux etfsemBtdUD le r^tpport inverso des vitesses des asea,.oni voit qne-lestliélioeS'traoées/aiiJiiesiiy- NBdreS'P'' et Q' ont des peu qui sont dans le rappcortde» nayenr^tesJoerclesteMwatli

H- ife

ces cylindres, e'est-à-dire que l'on a t== -• Alihsi'la construciion sera absolumenr

la même dans le cas du roulement aQgulaire.eijdans celui da roulement dlreck^

Msûs loi:sqpe p et. 9 sont inconunensurablesTenCve euAOtt ne sont pas daM' 1«! rapport inverse des vite»sesr des axes, si.lesrhélicee de l!hélioQlda E agreot'paiiK )Mi H , r hélice tracée sur le cylindre Q' avMt pour put fc, detaMte qiierl^éqi

tïon -T = - subsiste, on ne pourrait avoir sur ce cyllnclre des hélices «, %\ ^^ etc.,

4if|uidistanlesientre eUes sur la génératrice fil etide la même quantité que les hèliees des surfaces £, E', ë",^^^*» lesontsur cette, même génératrice^ et de pliisdi visant par leurs points de départ le cercle base du cylindre Q' en parties if/fkfu Aiors il faudra incliner ces hélices, en les faisant pivoter autour, de leurs points situés sur la génératrice M, jusqu'à ce que. Ton obtienneua po^. // tel q/fAlM points de départ sur le cercle basa du cylindre Q' soieni éqiiidistaot^ Dans ce cas on voit que les hélices «et S ne s^ontpluSfégalementinclinées.par rapport à leun axes respectifs P' et Q', et que Ton aura.un frettement^ngiiLaire ou de^issemenu

11 faut, encore r^emarqpec que si l'on avait, pour bases, des; cytiodreS)^ êiv courbes autresqjue des cercles,. fig» 20,. il iaudfia que,.p60Nia«lle.mnuvemaQfid« eotalioa^ les petits aros ds U courbe 7 interceptés pair la «courbe 7! seîeot toiiffBM plttsipetits^ou. plus grands. <|ue caux.que cette courbe y intareefilaitsuvy^tparoA qpA Ton a«va qu'il fallait, pour que les hélices pussenti se eondAira,,q»'ellM n'eussent pa& de point commun sur Ui. deuxième gcnénatrloe d'intereedûinf désir g|iée.pftf N,: maisi seulement .sur. la.p;'emiàre!^,que naus avons désigiée par IL.

Nan8»a9eas4éfiionti)é^qtmi1a9engitBangeade>W qoeioejnécnnieinsia»

a^'oonstimiisy en sqppwantjfufl libâlioDâlde &eBl2 cfflgaadré^nMi'untt dMiM, ^^f^ Id surface e se nédluitià:v» MÏms), jMOBPfaignt^ê»» jnnemcMtaBijde trois

OMMiouMjs yMietMNe'que i'mk peamit avoir troi&espëMfr de frottement; mflk eela ne ltMt4l jMsA la ositore des surfaces ^-et e que Witiie a c^haWtM, el si l'on employait des surfaces E et e d<n9l4es coarbes'gén^atpfees L ot'iy seraient autres qn^ono drdile ettun pdint , oes (trois positions de coQtoet seraieitt-dlles possibles? Ainsi rengreQ.^ige étant conslpui c «avec prédsion, pour irnc ^position de cônftftet, lorsqu'on le mettra en place, ne sera-t-il pas forcé de prendre la position Toi^ue, .«MI3 pouvoir ea'*preDére une autre, comme cela ar nive à ceux construits par Wîllie , quelque -précision d'aiftleurs^qu- on apporte à lour exéculion*?

jie-auppme que le point m situé sur la courbe Ldéenive une hélioe dont le fw «t H , et que la distance de cepoint m à t'axe P soit-p; qtie -sur la courbe !•' j*aie iw^int a qui décrive ^ne>faélice dont lepiu est A, que la distance de ce point'.a

i Taxe Q soit q^ et que Toq ait -r =^; dès lors, les deux hélices roulerQnt Tune

sur Fautre, elle planViQgeut à la surface £ au point .m., iera avec Ja vfortiimto ifNissmtvpar ce point m le m4me angle que Je plw langent à. la aurj^e $e au ^<Mni ^a y .fait avec la verticale passant par le point a. J'appelle cet ^nglff^du

'Supposons imainlenant un< /point m' situé «urtlarcoiirbe L.onfti>e4^»e(Pet'ile point «m ou au delà du point m, par r^ppoctà Vix^e Pvlo plan tangent a la surfece E pour ce point m% feraavec )la^ verticale ^passant' par œ point m' un angle 6. Sur ik.ceuiibeL'>je prends un«poittt a' placé d'une .manière quelconque par rapport à V^Ae Q et île fpotnt a ; je mène le îplan tangeotà ila surface € en ce point a* : ce plan -fitni avec ^ verticale «n angle €\

Si les angles 6 et 6' sont égaux, je pourrai Hietf te les deux «surfaces E etie en «miaot par les points itn' et i/, alors lesbéboes décnites par ces points ni' -et a' se -oroiseront et Ton aura un fcoMemeni ^angiiriaif^-de glissement .

Ou voit donc qtt*il>fiiutfqtto t^usiles-^pbrtts taAgenls alla surface E fassent Sfiec Taie Pdes angles plus graodS' ou plus petits que Sangle d, et que tou^ lesiplam ftangenbs à la surface e fassent avec 4'axe -Q des angles plus petits ou^pUis grands «que cetangledi »les plans ^tangents aux surfaces-E et e iaiix points >m et a étant les «euls qui fassent a»sc ks axes P^et Q un angle égal è'd; et alors les deux^surfaoes dSi^t iC.ne 'pourront être mises .^ contact que par les seuls -points m et'ii; mais AUSSI, en satisfaisant à oette condition , r^éeutioa des surfaces E et'e devien** <4raii plus difficile dans la rpratique.

Tout ce que j'aiidit sur lesengrenages cylindriques est «applicable aux engMdaagss eoniques. -Car si -Ihm mène wi plan tangent aux deux sunfaoes coniques sujr ^taquelles^sont tracées *les spirales , «oorplan passant par leur arête de contact , iim "VoH -queles deuc courbes sedévelopperont sur ee plan tangent suivant une mènw i^^fale d'iàffcliiroède^ ayaot le sommet foomdnuniaux deux c6neSipourtpoi^(«i4*uAss

2fift

fois les popU et liides spirales coniques sont dans le rapport des rayons des mreles Iiases4e6 cônes) ainsi ces cercles auront pour pdie commua le sommet des oCkr neSj et pour rayon vecteur Tapothèmo commune.

Ainsi les engrenages coniques. de Wiihe jouissent des mêmes propriétés et des mêmes inconvénients dont nous avons parlé en examinant les engrenages cjUt^ driques.

Dans ce qui précède, j'ai discuté .les propriélés qui appartenaient aux engre* nages exécutés par Withe; j'ai lait remarquer les inconvénients qui résukaîeiit 4ie la forme que ce mécanicien avait donnée aux dents ; enfin j'ai indiqué lescon- Atitions géométriques auxquelles devraient satisfaire les surfaces des dents afin ,que ces inconvénients n'eussent pas lieu, c'est*à-direpour qu on fût toujours assuré que le point de contact était dans le plan des axes, lorsque les roues étaient en place. Maison même temps j'ai fait sentir que Texécution mécanique des surfaces hélicoîdes des dents serait sans doute beaucoup plus difficile.

Au lieu donc de surfaces hélicoîdes , je pense que l'on devrait employer des surfaces coniques ayant pour courbes directrices les hélices équidistantes tracées •sur l'un des deux cylindres ou sur J'oo des deux* cônes idéaux que nous avons «désignés précédemment par (p^P) ou (9,0) , toutes ces surfaces coniques ajABt -fOUr sommet commun un point de l'axe de la roue dentée.

- Je vais donner 4a construction de ces surfaces coniques , et les avantages qui ivémlleraieoi de leur emploi par là même deviehdront évidents. J'examinerai seulement le cas des engrenages cylindriques, tout ce que j'aurai dit pour eux s'ap^ ;pliquant aux engrenages coniques.

' 'Ayantdeox cylindres, dont les axes sont parallèles et mis en contact suivant une génératrice G;, appelant P Taxe du premier et Q celui du deuxième; nom^ •mant p le rayon du cercle base du premier et q celui du deuxième, et supposant que pei q sont comn).ensu râbles entre eux , on a vu que si Ton traçait sur le premier une hélice <f dont la tangente faisait avec Taxe P un angle a, et sur le deuxième une hélice j; dont, la tangente faisait avec Taxe Q le même angle a , ces deux hélices éiduA en contact suivant un point m situé sur la génératrice G; on a vu, dis^je, que ces deux hélices roulaient direojLcment Tune sur l'autre pendant 4a mouvement de rotation des deux cylindres. Supposons que j'éloigne l'axe Q et qu'il prenne la position Q', en le faisant mouvoir parallèlement à lui-même dans 'le plandos axes ; le point m glissant sur une droite mo perpendiculaire àt Taxe P, {ce point o étant sur cet axe)-, iès lors le point m prendra une position m' sur la fdroite mo , et par ce point m' passera une droite m'G' arête du cylindre (9,Q')« G^Ke 'arête, en tournant autour de Taxe P, engendrera une surface cylindrique ayant ;o}it'i=£|>' pour rayon du/eetcie qui lui servira de base; et si Ton imprime un

aiottveme&t de rotation à ce nouveau système » l'hélice ( aura pour homologue sur le cylindre (p',P) une hélice <f dont la tangente fera avec Taxe P un angle a. En élisant passer successivement le point m par les divers points de la droite mo, et i chaque position nouvelle faisant les constructions précédentes , on voit que par les divers points m, m', m\w!'\ etc. de la ligne mo passeront des hélices f, ^\ ^"^ f% etc.^ont les tangentes feront toutes avec Taxe P le même angle a, ces hé* lices étant tracées sur des cylindres concentriques , dont les cercles bases auront respectivement pour rayons les distances des points m, m\ m'\ tn!'\ etc. au point 9 situé sur Taxe P, distances que je désignerai par p, p', p'', p'", etc. eip'^p"? p'% etc. , étant les unes > et les autres < que p.

La surface formée par les hélices 9 , <f\ 9^, tf' étant désignée par E, on voit que suivant la droite moj ({ui sera une génératrice de cette surface , il existera un plan tangent unique qui passera par les tangentes aux courbes 9, 9, ff\ ff\ etc., et menées respectivement aux points m y m\ m" y m"\ etc. de ces hélices. Maintenant démontrons que cette surface E est un cône dont le sommet est au point 0.

Pour cela (fig. 21), supposons trois cercles concentriques (o,p"), {o^p)^ (Ctp^ Désignant par o leur centre commun et par p"<p<pMeurs rayons » coupons ces trois cercles par une droite ob passant parle centre. Les points d'intersection étant m"j m, ftiy supposons que ces trois cercles sont les bases de trois cylindres verticaux, et par chaque généi atrice passant respectivement par les points m'\ m, m'y menons à ces cylindres des plans tangents M^'i M, M'. Dans chacun de ces plans traçons des droites parallèles entre elles et passant par les trois points situés sur les cercles de base, ces trois droites faisant avec Taxe commun aux cylindres le même angle a ; désignons ces droites par m"d, md, m'd. Les trois plans tangents couperont le plan horizontal sur lequel sont tracés les trois cercles suivant des tangentes à ces cârcles et que nous désignerons par m"iy mty m' t.

Par le point o menons une droite oc coupant les trois tangentes aux points n", n, n^ ; élevant par ces trois points des verticales qui seront respectivement situées dans les trois plans tangents, elles couperont les droites m"dy md, md, en trois points 9", 9, g\ qui seront sur une droite oG passant par le point 0.

Si maintenant j'enroule les trois droites m"dymdym'dy sur leurs cylindres respectifs, j'aurai trois hélices 9", 9, 9^ faisant avec Taxe un angle constant a, et chacun des points g' y g, g^ ^ placera sur les hélices correspondantes en des points /r, h y h\ qui seront évidemment sur une droite oH passant par le point o. Ainsi toutes les hélices 9", 9 , 9' seront sur un cône dont le sommet sera au point o.

Nous avons jusqu'ici supposé qu'il n'existait sur le pignon (q^Q) qu'une seule hélice (• Supposons qu'il existe i hélices équidistantes entre elles [la distance entre deux hélices étant mesurée sur une génératrice du cylindre (9iQ)]» ^es b^

gmvffwt i€e fcylk^bw £ wlnL'dofit le rabota égnie pjet^kdtFMe ct$l{^,;QiorsQOfEnie iecjbidpe <f^Q) se développera esaoleineDC sur k «efitadDe (f^P), hm ^famAm

{^ . A ♦léUoes s«p ce eylfaflre^ et tomes équidîslantes entré elfes et de la même

<|iiamtlé qui existe pour deux hêîîces consécurives Ç, îV tracéessur IecjlIiidre(y,Q).

Nommons 9, 8', fiT,... etc. tés liélîces obtenues sur le cylindre (p',Pj, no«f pourrons lés regarder comme les iîrectrîces d*une série de cônes ayant touspoqjr sommet commun le point o.

Nous pourrons couper «es cônes par deux cylindres Cp',P) et (p",P), le rayouf ' étant < que p et le rayon p">p^ et les zones coniques interceptées formeront les surfaces des dents de la roue ayant pour axe P. El comme les hélices înCeris^tîOBS de la série des cônes et du cylindre (p",P) seront équidistantes, mais d'un^ quantité plus grande que celle qui existe entre deux hélices consécutives ç, ^ dit pignon ; et que celles qui seront Tinlersection de la série des mêmes cônes et du cylindre (p',P), le seront d'une quantité plus petite; il est évident que Je cjliadre (•9iQ)do.pîgnon ne pourrase mettre en contact qu^'avec le cylindre (p,P) de larou^ le mouvement de rotation ne pouvant être continu qu^aulant que les hélices j;, f , etc. conduiront respectivement les hélices 9, 9', etc. ; et comme les contacts de^ diverses dents seront situés sur une génératrice du cylindre (p,P), et que par ce3 ^points passeront respectivement des génératrices des divers cônes formant lasur- ^fSace des dents en contact, ces génératrices feront avec Taxe P des angles dilTérentfi^ puisqu'elles partent toutes du même point o. Les plans tangents aux points de coj^tact feront donc des angles différents avec Taxe P ; par conséquent le pignon ue pourra pas tourner autour de la ligne qui contient les points successifs de conlacl^ pour prendre une autre position que celle que la construction 9 déterminée.

On appliquerait facilement les mêmes raisonnements et les mènias con^tnactions à Tengrenage conique (*).

M'- Omis ce parafrapb«, je «e prépose ^exposer en peu de mats toute la théorie

(*) J'ai publié ce mémoire sans y rien changer, ni modifier; il est cooformeai^ i^x\%A^ Aianvscviifjii^ sente à l'Inslilut , sauf les corrections de slyle qui arrivent toujoiirs lors jde Timpression. Tai pen^ ftU^ jo •éevM^Bipi'iiner^ mémoire t<«taeMeinefil pourvue Von pét s'aswrer qu'en effet la question se trouvait r^àoliio.d^iS25^ ft.gu'mBai Wiibea^U cait^m^Ae c^Qisid^vekif^oiuler Qvoia^démoiutrfiti^ dans ce mémoire , avait été trouvée d^s 43^3» .lorsque J*étai$ ciéve sojus-liêuleAdiU> dljtfliUerie à ïtM^ d'application de Mets, et que je n*ai fait que transciire ce que favais écrit, à cette éjpoqup» sur les ^ly^mif es (fe Wiibe*

géométrique cfes engrenoges ék Wirtep, et de dénroittrer dl'tme manière tris-simpicr^ qu'en effet, on peut construire des engrèMges à la Withe quf jouissent à volonté des trois espèces de frollement, savoir : frottement de roulement, i^ direct ou 2** aAgukiîire^ et 3"* frotten^èBil de glis9ciB«fi* angidaice ; poiivaut d'ailleurs reodre aussi considérable q;iie Ton vondrx, oaaiussis petit que Ton Toindra.^ legiissemeDl <f une denli sur lautre?^ peiuiaiiA le temps que ce» deu^L dents emploient à ae aoBdifeîre^

Supposons deux axes poraUièks P 6i dislaaÉS' l'un de l'avAre é'«na quantité k^ et supposons que dans le plan de ces axei^on ait luua dracleBpafa2iàieàir«Met Vautre droite P etQ et telle que la distante p de budroite&àràxePaoitèladkt^mee ^deki^mime droite R àTasLeQdans le rapport kiverse des vitesse éts axes P elQ>.

Ainsi T étant la vitesse deTaxe P et v cetfe de l'axe Q , on aura :

La droite R, en tournant autour de Taxe P, engendrera un cylindre (p,P,)eten tournant autour de Taxe Q elle engeniîrera un cylindre (ç,Q).

Coupons ces deux cylindres par deux plans parallèles entre eux et perpendicv-laires à la droite R » et désignons par z la distance entre ces deux plans.

Le premier plan coupera le cylindre (p,P) suivant un cercle G , et le secomf plan coupera suivant un cercle C\

Le premier plan coupera le cylindre (9, Q) suivant un cercle c, et le second pbn coupera suivant un cercle c^

Supposons ces quatre cercles liés deux à deux respect! veitient aux axes P'etQ , on voit que lorsq.ue Faxe P tournera sur lui-même avec la vitesse T, les cercfes C et G' entraîneront respectivement les cercles c et c' et forceront Taxe Q à se mou* voir avec la vitesse t; ; les cercles homologues G et c, G'etc roulantTun sur l'autre.

Si Ton mène suivant la droite R un pian tangent commun aux deux cyfindres

(SfP) ^^ {lj^)r ^^ ^1^^ ^^^^^ ^^ Vl^^^ ^^ mène une droite D, en pliant ce plan sur la cylindre (p^P), la droite D se déformera suivant une hélice S, et,, en pliant le même plan sur le cylindre (q^Q) , la droite D se déformera suivant une hélice ««

El si nous désig^nons par a Tangle sous lequel la droite D coupe la droite R, on aura^ en désignant par H le fjos de Thélice S et par h le pas de rhélice $ :

CSn.p)cot«=E et (>2ii. 9)cot« = À

On aura donc :

Aiosi les p<» des hélices S et « seront dans le rapport inverse des vitesses des axes , ainsi que le sont les rayons des cercles homologues G et c.

Il est évident que la portion de Thélice S , ainsi que celle de Phélice s, comprises entre les deux plans distants entre eux de la quantité z seront égales entre elles , et dès lors pendant le mouvement de rotation, ces deux portions d'hélices rouleront Tune sur l'autre , ayant en chacun de leurs points de contact une tangente commune; et le point de contact décrira la droite R. On aura donc le frottement de roulement direct (V cas).

Si maintenant on fait tourner le cylindre (^^Q) autour de la droite R, sans rien changer k ce qui a été construit précédemment ( sinon que la distance des deux axes P et Q sera plus petite que & ) , les deux hélices S et « se croiseront en un point situé sur la droite R» et pendant le mouvement de rotation , elles se développeront Tune sur l'autre , mais le frottement de roulement sera angulaire ,. puisque pour chaque point de contact angulaire , leurs tangentes se croisent au lieu de se superposer. On aura donc le frottement de roulement angulaire (2* cas).

Mais si Ton prend deux cylindres ayant pour axe l'un P et l'autre Q, ces deux cylindres se coupant suivant deux droites M et N, et si» l'on mène deux plans perpendiculaires i la droite M et distants entre eux d'une quantité z; en sorte que le cylindre ayant P pour axe soit coupé par le premier plan, suivant un cer-de G, du rayon p,, et par le second plan suivant un cercle G', du même rayon p, ; et que le cylindre ayant Q pour axe soit coupé par le premier plan suivant un cercle c. du rayon q, et par le second plan suivant un cercle c\ du même rayon q^.

Si les axes P et Q se meuvent avec les vitesses V et r , les cercles homologues C. et c,\ C\ et c\ ne rouleront angulairement l'un sur l'autre qu'autant que l'on aura : %.

Mais si cette équation ne subsiste pas, alors les cercles homologues glisseront an* gufaiirement l'un sur l'autre,

ftiiq[»posons donc que l'équation (1) n'a pas lieu, et menons par la droitif M un plan et daâs ce plan une droite D coupant la droite M sous l'angle a. Enroulons oe platt-slir le cylindre (p.^P) ; la droite D se ^formera suivant une hélice S,, et en enroulant le même plan sur le cylindre (çoQ) ? la droite D se déformera suivant une hélices,. '

El désignant par H, le pas de rhélice S. et par h, celui de rhélices.^ on aura ;

(Sn.p,)cota = II, et (sai.9,)cota=A, on aura donc:

liais comme Téquation (i) n'est pas satisfaite , les pa« des hélices S. et s, ne seront pas dans le rapport inverse des vitesses des axes ; si donc Ton veut que les deux axes P et Q ne changeât pas de vitesses , il faudra nécessairement, en supposant que Phélice S. coupe la droite M sous l'angle a, supposer que Ton a une hélice s\ autre que s, qui soit chargée de conduire Thélice S^

En désignant par A'JefNU de cette hélice particulière s,\ on devra avoir :

Désignant donc par a l'angle sous lequel Thélice s,' doit couper la droite M , on

aura :

(3n.p,)coto( = H. et (2a.q,)coitJz^h\

et en vertu de ce que l'équation (2) doit être satisfaite, on aura :

p,. cotât 9

î,.cot«' ~ V

Ainsi , cette équation (3) servira à déterminer l'inclinaison a de l'hélice s/ nécessaire pour que cette hélice f, conduise angulai rement Thélice S, et de telle

manière que les vitesses des axes soient toujours dans le rapport constant =.

Hm-U position de lliélice S, comprise entre les deux plans distants de la quantité % j ne sera pas égale en longueur à la portion de l'hélice $/ comprise entre ces deux mêmes plans ; et la différence qui eiffstera entre la longueur rectifiée L de la portion de l'hélice S, et la longueur rectifiée /' de la portion de l'hélice t /, sera aussi grande ou aussi petite que Ton voudra ; pour cela il suffira de faire varier convenablement les rayons p, et ç, •

Ainsi plus ' différera de ^, plus la différence (L— T) sera grande; plus au

contraire - approchera d'être égal à = , plus la différence ( L«- /') sera petite*

On aura donc , dans ce cas , un frottement de glissement angulaire qui pourra devenir aussi petit que possible ( 3* ce» ) .

Et renarcfoons que pli» ^ approdie de ^ , pins l'angle a' approche d'être égal

& Fangle a*

D'après ce qui précède, on voit : 1* que dans les deux premîurt cas, \m rayons p et 9 doivent être commensurables «ntre eux pour que le roonvetnent de rotation puisse être continu , car il faut que le cercle c se développe un nombre exact de fois sur le cercle C , pour que rtiélice « puisse venir reprendre rhéJice S ; el S* que , dans le troisième cas , les layons p. et (\^ n*ont pas besoin d'être commensurables entre eux; ainsi il suffira dans les tfois cas de diviser les cercles bomologaes G el <; ou G. et c, en un nombre d'arcb ^aux entre eux et féls que si

on en place m sur G ou C, et 11 sur cou c, on aura : - =:s ^ Dis Jocs^ A f»t les

pointsde division de^ cerdes Coa G, , on £Mt passer des hélices telles que S on 6,, et si par les points de division des cercles c ou c. , on fait aussi passer des hélices telles que « au «/, le mouvement de rolatkm se continuera sans interrupUon.