CONSTRUCTION GÊQMÉTRIW^ I>'UN ENGRENAGE

•AKS I.VQVBL

Im axes des dmx roues dentées ne sont pas situés cfapsfi» mâmê #lm 0i ampr entre eux un angle plus petit que C angle drait, les vàemeê ééâiU dmi ms constant et le frottement étant de roulement angulaire (*).

Étant donnés deux axes P el Q qui ne se reocontpent point et qnî sont dir^^ d'une manière arbitraire dans Tespace , comprenant par eonsiqMent entre eu un angle quelconque a, on denûnde s'il est possîiile ( d'après les prittctpeagéo^ métriques sur lesquels repose la coaslructioa dei engrenages cjliiidriqaes at coniques de Withc) , de construire deux roues dl^ntées se conduisant par nsk frottement de roulement , et les vitesses angulaires de ces axes éfaiifc àsm im rapport constant.

Jusqu'à présent Ton a cru quHl n'était pas possible de transmettre le mouvement d'un axe i un autre dans le cas où ces axes n'étaient poîot dans un niôoia

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*) Ce mémoire^ qui ftii présenté à Ilnstitut de France (iloadéaie royale des sciences) en déceoilM'^ 4 835 , a élé publié dans le Journal dst mathématiques pures et appliquées do M. Liocville.

plan, par un engrenage formé de deux roues seulement , excepté torsqneles^am étaient à angle droit , et alors on avait le système connu sons le nom ùl engrenage à-vif mnsfiu. Mais lor^qioe Taagfe compris (entre len éeox axes était phis petit ou plus grand qu'un df<^» l'on «vaiL recours à une. trotsîemn rpoe donUemmit dentée, dUe sufUplémentaire, dottt Taxe conpeit les deincraes dmmés, 4t le mouvement se transmettait par le sjrstème de deux ^ei^ena^es coniques, la roue intermédiaire étant formée de deux roues dentées coniques juxtaposéss par leur grande base {^)«

£iuppo6<m8. 4|ue le .plan i^rlkal de projection soît parallèle aux deox axes donnés et t)ue le plan hojrizQutal de projection soit perpendiculaire à l'un des axes P« par exemple^ l'autre étant désigné par Q {fig. 22 )« Dès lors l'axe P aura pour projection verticale la ligne oV perpendiculaire à la ligne de terre LT, et pour projection Uorixontale le point o. ( Nous supposons que Taxe P est situé dans le plan vertical, de projection. ) L'axe aura pour projection verticale fai droite #B faisant avec 6S un angle « arbitraire , et pour projecticMi horizontale la droite iiH' parallèle à la ligne de terre ; de sorte que la ligne on perpendiculaire à la ligne de terre sera la projection horizontale de la plus courte duslanoe cntretJes deux ^xes P et Q , et le point o sera la projection verticale de cette phis courte distance.

Les vitesses de rotation des deux axes sont données. Désignant par Y la viltme

de Taxe P et par ir celle de Taxe Q, — sera le rapport des vitesses des axes du

«jVteme.

Si sur la ligne on je prends un point p tel que Ton ait op : pn "^ r : V, c'est-àdire tel qae ses distances aux deux axes donnés P et Q soient dans le rapport inverse des vitesses de ces axes , je pourrai regarder Te point n comme le centre d'un cercle dont le rayon serait égal à np et dont le plan serait perpendiculaire à l'axe Q, J'appelle ce cercle c.

Je pourrai aussi regarder le point o comme le centre d'un cercle dont Te rayon serait égal à op et dont le plan serait perpendiculaire a Taxe P. J'appelle ce ccrde C.

Les plans de ces deux cercles se coupent suivant la droite on située sur le plan horizontal , et ces deux cercles ne se coupent que suivant le seul point p ; si Ton feit mouvoir les deux axes P et Q cl que par leur mouvement de rotation ils entraînent avec eux les deux cercles c et C, ces deux cordes rouleront l'un sur l'autre, e'est-à-dire qu'un point de Tun d'eux ne se mettra jamais en contact qu'avec un seul point de l'autre cercle. Mais comme au point commun les tan*»

(*) Voyez le chapitre ïï de la Théorie géomilrique de$ mgrenages , elc.^ q^ue j'ai publiéo en 4 812 chOK H. Bachelier, libroîre-édilear.

pentes à ces cercles fant entre elles un cingle , nous avons désiré ce genre de roulement par les mots roulement anguUnre.

Ainsi le frottement qui existera entre les deux cercles c et C ne sera point un frottement de glissement ^ mais bien de roulement, et qui^ dans ce c-as, fu b position qu'affectent les deux courbes Tune par rapport à Fautre, n'est poîM de même nature que lorsque les tangentes au point commun se confondent. Dans ce dernier cas , les courba ont un contact , et depuis longtemps le frottement de cette espèce est connu et désigné ainsi : frottement de roulement éirect.

Mais dans le cas que nous examinons le^ deux cercles se coupent et nous adopterons la dénomination de frottement de roulement angulaire.

Si maintenant on construit uneligne D passant par le point dont les projections sont p et 0, et telle que les distances de chacun de ses points aux deux axes P et Q soient dans un rapport constant et inverse de. celui des vitesses des axes, cette .ligne D engendrera par son mouvement de rotation autour de Taxe P une surface de révolution P. et par son mouvement de rotation autour de l'axe Q une deuxième surface de révolution Q, , qui se couperont suivant la ligne D et une courbe 9. . Chacun des points de la ligne D décrira , soit autour de P, soit autour de Q, des cercles qui se couperont deux à deux de la même maniée que les cercles c etC} de sorte que si sur la surface P, je trace une courbe arbitraire ( et que je fasse mouvoir cette surface Pt autour de son axe P, elle entraînera la surface Qt sur laquelle la courbe l laissera pour empreinte une courbe (', et ces deux courbes seront évidemment telles qu'un point de Tune d'elles ne se mettra jamais en con* tact qu'avec un seul point de l'autre.

Ainsi les deux courbes (et i' auront un frottement de roulement^^ comne il est évident que leurs tangentes au point commun font un angle entre elles (oomme on peut s'en assurer en construisant ces tangentes par la méthode de Roberval)^ ce frottement sera angulaire. ^

Si maintenant, pour une position de rencontre des courbes ( et 1^, je fats passer un plan T par les deux tangentes à ces courbes , ce plan sera tangent à ces deux courbes ; et si dans ce plan je mène une droite quelconque R passant par le point commun aux deux courbes, et par cette droite un plan N perpendiculaire au plan Tj et qu'ensuite dans le plan N je construise deux courbes y et y' ayant pour tangente commune la droite R, Tune de ces courbes étant en dessus, Tauti^e en dessous de la droite R, ou en d'autres termes, deux courbes se tournant leur convexité, et que je fasse mouvoir le plan N de manière qu'il soit toujours perpendiculaire aux différents plans T', T'', V\ etc. passant par les tangentes qui se croisent aux points successifs de rencontre des courbes l et l'y et que la droite R soit toujours l'intersection du plan N avec ces différents plans tangents aux deux courbes l et ('s

les courbes y et y' aaroni formé dem surfaces 1 et 2' qui seront tangentes Tuiiè i Tautre dans toutes les positions qu'elles prendront par le mouvement de rotation des axes P et Q ; ces deux filets ou dents 2 et 2' se conduiront par un frottement de roulement angukare , et le rapport des vitesses des deux roues dentées sera con*

stant et égal à celui des axes , c'est-à-dire à '— . '

Cherchons maintenant quelle est la nature de la ligne D« Je dis que cette ligne sera une droite dont la projection horizontale sera pg parallèle à la ligne de terre, et dont la projection verticale sera oG partageant Fangle a en deux , dont les sinus seront dans le rapport inverse des vitesses des axes P et Q.

En effet , il faut qu'un point de l'espace dont les projections sont m sur le plan vertical et m' sur le plan horizontal y soit tel que ses distances auxdeux axes P et Q se trouvent être dans le rapport inverse des vitesses de ces axes* Si par ce point je mène les droites mh et mq respectivement perpendiculaires aux projections verticales des axes P et Q , elles seront les projections verticales des distances du point de l'espace aux deux axes* La distance du point (m, m') à Taxe P sera donc en véritable grandeur la ligne om, hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est m'o'^=:op, et l'autre la ligne mh\ La distance du pmnt {m^ m') à l'axe Q sera donc en véritable grandeur la ligne mV, hypoténuse d'un triangle dont Fun des côtés est mVc=3pfi, et l'autre la ligne nV^zmr^^mq. Or il faut que Ton ait :

om' : mV :: mV : mV :: op : pn :: : Y.

Par conséquent nV = mq doit être à o'o =i mh dans le même rapport t; : Y. Ainsi les deux lignes menées du point m perpendiculairement aux projections verticales des axes P et Q seront dans le rapport inverse des vitesses de ces axes ; par conséquent , tous les points de la droite (oG , pg) satisferont à cette condition. Ainsi* la ligne D est une droite dont les projections sont oG et pg , la projection verticale oG partageant l'angle a en deux angles 6 et & tels que leurs sinus sont dans le rapport inverse des vitesses des axes P et Q ; la projection horizontale pg étant parallèle à la ligne de terre.

Ainsi les deux surfaces P. et Q, sont deux hy perboloides. à une nappe et de révolution se coupant suivant une génératrice sur laquelle se mouvra le point de contact des deux dents 2 et l\

Ces deux hyperboloîdes se couperont encore suivant une courbe du troisième degré; mais on ne doit y faire aucune attention, puisque l'on peut ici faire la même remarque que pour le cas des engrenages cylindriques dans lesquels les surfeces cylindriques idéales , contenant la ligne droite , lieu des contacts successifs des dents, n'étaient point tangentes suivant cette ligne , mais se coupaient

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