PREMIÈRE PARTIE

VowtlUf propriélét def yrabolo l dt bypcilioUqpiM.

On sait que si Ton a , dans un même plan y une suite de droites parallèles entre elles A , B, C, ... les divergentes d'un point o sont coupées en parties proportionnelles par ces parallèles , et que Ton a, flg. 1 :

oaloa^\ oa^f etc., lloblob^l ob^^ etc., Mocloc^l oc^j etc., :: etc. (1)

{*) J'ai composé ce mémoire d'après dee notes écrites à Metz ea 4S49. T. O.

Ce\gi posé :

Menons par le point a une droite arbitraire K et du point o comme centre et successivement avec ob, or,... pour rayon décrit des cercles coupant cette droite K aux points b\ c',.-- là droite ob' fera avec la droite oa un certain angle a, et la droite oc' fera avec la droite oa un certain OBglc 6r

Cela posé :

Du poîni a comme caoïre et avec les thjqw oa^ âa«»... décrivons 4m ^mtiu coupant la divergente oa^ en les points a'., a',»-- ^t menons par ces points des droites K,, K„... parallèles entre elles et à la droite K.

Gela posé :

Pu point comme centre et avec o6,i oc,^... comn^e rayojois» décmonn d|i| i^irçles venant couper la droite K^ en les points ^^, c'V»*

Pu mâme point o comme centre et avec ob^^ oo^f... comme rayops, déeriv^Bff des cercles venant couper la droite K, en les points b'\, c"^..

Je dis que les points b\ 6",, 6",,... sont en ligne droite, ainsi que les points Ç% ç\j c". j... Cela est évident , en vertu des proponiona (l)et de la construction.

Par conséquent , si je fais tourner la droite oa^ V d'un angle i pomr L| r^ mener sur oa,^ et 1"* d'un angle y pour la ramener ensuite sur oa^j Ton ^pra

h^ fig. 2.

Et les points 6', 6'",, b''\... seront en ligne droite B„ e( les points c\ c'",, c"',.*, seront aussi en ligne droite C,, car il est évident, par la figure, que Ton obtit^fiT drait les mêmes points en supposant que Tpn fasse tourner la droite B d'u^ angle a autour du point o, et que Ton fasse tourner la droite G d'un angle |a¥* t4iur du mènie point o.

Les droites A; B^, G,,... font le même angle X et respectivement avec les divers gentes oa^ ob\ oc,\... et les droites K, K'.^ K'.,... font le même angle /a avec Iff divergentes oa^ oa,, oa^^... en sorte que les droites A, B., C,.«. sont les enveloppées d'une certaine cpurbe A, et les droites K, K/, K/, ... sont les enveloppées d'«ine certaine courbe $..

Nous verrons plus loin que ces courbes A et $ ne sont qu'une seule et même parabole.

Il est évident par la construction , et en vertu des proportions (1) ; que l'on

ah' afi;" ^

oa oa, oa.

oa oa, ^ oa^

$ II

Les figures 1 et 2 peuvent être considérées comme les projections orthogonales <le dite^» vfètimèê de l'espaoe ; passons donc de ce qui Ôsfc %^t le ptàn à de ifui pw\ Pister daos l'e«/Htcr#.

I iii.

Premier système de Ce$paeè.

Considérons la figure 2 comme la projection horizontale d'un certain système de droites situées dans l'espace ; ainsi éleyons par le point o une verticale » menons {fig. 3) parles droites parallèles A\ B^, C^,... des plsfns verticaux P, Q| R... et concevons une série des droites horizontales G, G ^ G' ,... s'appuyantsur la droite O et sur une droite A tracé dans le plati P. Les plans Q, R^.., couperont ces droites G, G\ G'\... en des points qui détermineront respectivement les droites B, G,...

En sorte que l*on aura dans l'espace un paràboloîde hyperbolique rectangulaire 2, ayant pour premier système de génératrices droites, les droites 6, G\ G"»... dont le plan directeur sera le plan horizontal de projection , et ayant pour deuxième système de génératrices droites, les droites A, B, G,»., dont le plan directeur sera le plan vertical de projection , puisque dans la fig. 3 nous avons pris la ligne de terre LT parallèle aux lignes A^, B'^, C^,...

Cela posé s

Faisons totirner la droite B d'un angle a autour de Taxe O et la droite G d'un angle $ autour de même axe O, ces angles a, 6,..* étant tels que 1^ points à, b^j c.^,... soient en ligne droite K^. Il est évident que les points 6/ , c/,... seront situés sur la droite G""; dès lors si nous menons par le point a^ une droite K'* faisant avec oV* un angle fx égal à celui que font entre elles les deux droites oVet K\ lés points 6/" , c/* ,. . . seront sur G'% et ainsi de suite.

En sorte que Ton voit très-bien : 1* que les droites horizontales G, G\ G",... se feeront transformées en les droites horizontales K, K', K",... et 2* que les droite» A, B, C,... se feront transformées en les droites A, B, , C.,... Les droites A, B, C,... étaient parallèles au plan vertical de projection, mais les droites A, B., C,,... ayant pour projections horizontales des droites A*, B*, C*,... qui ne sont pas parallèles entre elles, ne seront pas, dès lors, parallèles à uil plan vertical.

Mais comme les droites horizontales K, K', K'V*- ^^^^ coupées en parties pro-

portionnelles entre elles par les droites A, B. , G.,... puisque Ton a évidemment dans la fig. S et en vertu de la fig. 2 :

* aV : aT* : a'V* : elc. :: aV : «V : a'V* : etc.

11 s'ensuit que la surface 2. doublement réglée et ayant les droites K, K', K",... pour génératrices du premier système et les droites A, B,, G.,... pour génératrices du second système y sera un paraboloîde hyperbolique oblique, ayant le plan horizontal de projection, pour Tun de ses plans directeurs.

Gela posé :

Comme lorsque l'on considère un cylindre tangent à un paraboloîde hyperbolique, la courbe de contact est une parabole A, les droites A\ B.\ C,^,».. et les droites K*, K'\ K"\... seront tangentes à la parabole A* projection horizontale de la parabole A, qui est la courbe de contact de la surface 2, avec un cylindre dont les génératrices droites seraient verticales et seraient dès lors parallèles à Taxe 0.

I. D'aprçs ce qui a été démontré dans le § III précédent, on peut énoncer les deux théorèmes suivants :

V THÉORÈWE.

Ayant une droite A et un point o ( situés sur un plan P), si l'on mène du point o une série de divergentes o«, os\ 08'\... coupant la droite A, aux points s , /, «",.•• et si l'on mène par chacun i\e ces points *, s\ s" y., des droites A', A", A'",... qui fassent chacune et respectivement avec la divergente qui lui correspond {fig. 4) un anglea, les diverses droites A, A', A'', A'" ,... Hevoni les enveloppées d'une parabole 3(ou en d'autres termes seront les tangentes d'une parabole i),

Étant donnés une parabole $ , son sommet s et sa tangente A en son sommet, si Ton prend sur la tangente À une suite de points s\ «'V*'"» ^^ ^"^ P^C chacun d'eux on mène une tangente à la courbe 5, on obtiendra les droites A', A^', A'",,.. \fig- '^>)>6t menant par chacun des points s\ «", s",... une perpendiculaire à la tangente qui passe.par le point considéré, on aura une série de droites qui se couperont toutes en un .môme point o situé sur l'axe infini «X de la parabole donnée d.

IL Nous pouvons encore déduire de ce qui précède diverses propriétés dont jouît la parabole.

Ainsi {fg. 5 bî$)f nous savons qu'étant donné un point o et une droite A^ si nous menons la divergente op coupant la droite fixe A au point p^el si par le point p nous menons une droite 9 faisant avec op un angle arbitr;iire fA« celte droite 9 sera tangente à une parabole d, laquelle sera tangente à la droite A en un point a déterminé par la divergente oa faisant avec la droite flie A ua angle fx.

Et si Ton fait varier Tangle fx de grandeur, on obtiendra toujours une parabote, nais qui sera différente de la parabole d«

En sorte qu'à chaque valeur attribuée à l'angle n correspondra une parabole particulière /laquelle aura un point do contact particulier avec la droite A.

Ainsi 9 le point oet la droite A étant donnés de position, en faisant varier l'angle /z, on aura:

Pour p. une parabole d, tangente en un point a de la droite A.

Pour n^ une parabole d. tangente en un point a!' de la droite A.

Et ainsi de suite.

Nous pouvons donc conclure de ce qui pn^cède, ce qui suit:

Étant donnée une parabole d et une tangente A à celte courbe, si l'on mène à cette courbe Sj une suite de tangentes 9, 9\ 9'V*« coupant la droite A aux points p, p, p'V-* ^t si l'on mène par chacun des points p, p\ p",... des droites D, D', D'V** faisant chacunf avec la tangente 9... qui lui correspond un angle constant ^a, ces droites D, D', D'V»*^^ concourront en un même point o qu'autant que l'angle fx aura une valeur particulière. (En un mot l'angle (a ne peut être arbitraire.)

III. Si Ton a une parabole d, construite au moyen du point o et de la droite fixe A, et d'une série de tangente 9... faisant avec les divergentes op, qui leur correspondent, tin angle constant fx, nous pouvons considérer le quadrilatère poom, dont les sommets sont, Tun le point o donné, l'autre le point p en lequel une tangente occupe la droite A ^ et les deux autres les points a et m contacts respectifs de la parabole i avec les droites A et 9, et remarquer:

Que oa fait tin angle jx avec la droite A (Jig. 5 bis).

Que op fait le même angle fx avec la droite 9.

Et ces d eux angles égaux |ui sont dirigés dans le même sens (à droite).

Que om fait un angle X avec la droite 9.

, Que op fait le même angle X avec la droite A.

Et ces deux angles égaux X sont dirigés dans le même sens ( à gauche ).

Les quatre angles d'un quadrilatère valent en somme quatre angles droits, on aura donc :

aom s=a A»droits «« 2(|cz + X)

Mail, A ùMê étâmifioiis les deux triangles oap et opm^ noas voyoQS qu'ils iotkt kéttiblabies, puisqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun et que paf oifiiéquént le troisième angle est égal de part et d'autre. Nous aurons donc :

acp 5=-- pom ao wn

ap pm

lY. D'après ce qui précède le point o étant un point unique pour chaque parabole , il est de quelque intérêt géométrique de savoir quelle position ce points occupe par rapport à la parabole.

D'après ce qui précède, il est évident que povr déterminer la position du point o nous pouvons prendre une tangente quelconque, et ainsi celle qai a pour point de contact le sommet de la parabole. Or {/ig. 5 ler), élaut donnés une parabole i\ son sommet s et son foyer /, zxous savons que si l'on abaisse du foyer /des perpendiculaires sur les diverses tangentes 6... de celte parabole ^y les pieds p... de ces perpendiculaires (ou normales) sont $ur la tan* gente A menée au sommet s de cette parabole S\ -.

Par conséquent, pour cette position toute particulière de la droite k, l'angle (X est droit.

Nous pouvons donc conclure de ce qui précède que le point o en Uqwl concourront les droites op^ op'... (fig. 5 bis), est toujours le foyer de la parabole d.

Y. Ce qui précède nous permet de résoudre divers problèmes.

1" PROBLÈME. tf

Étant donnés une droite À , un point a sur cette droite A et un point f hors de cette droite A (fig. 5. A") y construire la parabole d, tangente en a à la droite A et ayant le point f pour foyer.

Solution. On mènera la droite fa, laquelle fera avec la droite A un. angle connu |x; on prendra un point p sur la droite A et l'on mènera la droite y)i; ensuite l'on mènera par le point p une droite 0, faisant avécyp un angle é|^l à l'angle (i ci-dessus : cette droite 6 sera tangente à la parabole demandée.

On pourra donc construire les diverses tangentes G... enveloppées de la parabole demandée d.

Pour déterminer le point de cotifact m de la tai^nte 9 avec la parabole de-

ipandée i^ il faudra mener psir le point/une droite /m, faisant avec/p jm «Offle ffin égal à i'aogU coaao R/by et la droite /m coupera la droite 6 ea un point m, qui

appartiendra à la parabole d^noiandée d; on pourra ainsi construire les diters points m. •• de ta parabole demandée 9.

y PROBLÈME.

Étant donnés un point tet deux droites A et 6 (fig. 5, 5"")^ construire une parabole ayant U point î pour foyer et les droites XetB pour tangentes. . Solution. Les deu vlroites À et 9 se coupent au point p. J'unis les points/et p, et

je désigne par ii Tangle /pm et par X Tangle j^.

Je mène par le point/ une droite ^^ faisant avec la droite A Tangle fx; je mène

par le point/ une droite fin, faisant avec la droite 6 Tangle X; si Tangle afin est dhisé en deux parties égales par la droite fip^ il existera une parabole ayant le point/ pouf foyer et étant respectivement tangente en a et en m aux droites don* nées A et 9.

Etant donnés deux droites KetB et un point a sur la droite A, construire une pgm^ bole ayant la droite 6 pour tangente et étant tangente en^ à la c/rotte A (fig. 5^5'').

Solution. Il est évident que le problème sera résolu, si Ton construit le foyer de la parabole demandée.

Par Je point p, en lequel se coupent les droites données A et 6, je mène une droite arbitraire p/ faisant un angle arbitraire (i avec 6 et un angle X ( qui est dès lors connu) avec A.

Par le point a je mène une droite af faisant le même angle /a avec la dfoi^ ^f et j'obtiens, par rintersection des droites qf^lpff le foyer /de la parabf^le

demandée.

Je puis ensuite mener par le foyer/ une droite /m faisant avec f/un angle égal

à Vangleafi), et j'obtiendrai le point m^ contact de la parabole demandée avec la droiie donnée 6. ^

Il est évident que le problème a une iivfinfté àe solutions. On peut donc se proposer le problème sTjiv^nt.

On demande le lieu des divers foyers f des diverses paraboles ayant les droite^ A ^t 9 pour tangentes communes çt qui seront tangentes ejjitre elles au point a.

Sotuiian.Je mène par le point p^ en lequel se coupent les droites données A ti 9 (fig. 5, 6*), une droite arbitraire pfj laquelle divise l'angle y que font entre •lies les droites A et 9 en deux angles inégaux et arbitraires /x et X. Par le point a je mène une droite q/* faisant avec la droite A un angle égal à ii; celte droite 4tf coupe la droite pfen un point/, qui est le foyer de Tune des paraboles.

Or, dans le triangle pafy Tangle afp sera constant, puisque Ton aura toujours

fip+fpaz=zy.

Le point /sera donc sur une circonférence de cercle décrite sur ap comme corde, puisqu'il suffira pour trouver le lieu des foyers / de construire sur ap un segment capable de Tangle (480* — y).

Êiant donnés S points a, b, et p (non en ligne droite)^ on demande déplacer lesomtn^i s et de déterminer F amplitude de C angle dont les côtés passeront respective/ment par les points z et h et dont la bissectrice passera par le point p.

Solution. En joignant le point p aux points a et 6 on aura (fig. 5, 6*) un angle

apb que je désigne par yL\ Tangle cherché étant désigné parSa, on aura : oc=s

Sur ap je construirai un segment capable de Tangle «;

Sur àp je construirai un segment CBpMe du m$me angle a;

Ces deux segments se couperont en un point s qui sera le point demandé. ' Nota. D'après ce qui a été dit ci-dessus on voit de suite que Ton pourra confttruire une parabole d, qui ayant le point s pour foyer , sera tangente en n et A

aux droites op et 6p.

Remarque. Il est évident que les quatre pointait, b^pets ne pourront dans aucun cas être situés sur une même circonférence de cercle.

DeuMèm/^ystème de Fespacê.

Ëfant donné en projection horizontale le système dé droites représenté en la figure 2 , nous pourrons concevoir par le point o une verticale , et élever des plans verticaux par les diverses droites. A, B, G,... A, B,, C,,... K| K/, K.,...

Cela posé :

Concevons dans Tespace un plan oblique P, coupant [figA) i'ue en un point

Sf ce plan P sera coupé par les plans verticaux menés par les droites A^, B^, C^,... suivant des parallèles A, B, C,... qui se projetteront verticalement suivant des droiies parallèles A% B% C,... et si par Taxe O et par chacune des divergentes G\ G'\ G"\... on fait passer des plans, ils couperont le plan P, suivant des droites G, G\ G'\... qui divergeront du point s et qui se projetteront verticale* ment en G% G'% G''%... lesquelles droites divergeront du points*".

Dans la fig. 2, pour passer (sur le plan) de la droite B à la droite B, on fait tourner la droite B d'un angle a autour du point o, pour passer de la droite G à la droite G. on fait tourner la droite G d'un angle 6 autour du point ôf et ainsi de suite; donc pour passer de B^ à B,^, de G^à G.\... on fera tourner (Jfg. 6) la droite B (situé dans l'espace) d'un angle a autour de l'axe O, la droite G de fetpace d'un angle 6 autour de l'axe O , et ainsi de suite.

Les droites A, B,^ G, y* de V espace formeront donc une surface réglée^ une surface gauche ; mais les points 6 , c ,.. . sont sur une droite G qui fait avec Taxe O un certain angle y.

Quand la droite B tournera de l'angle a autour de l'axe 0, le point b décrira un arc hçrizoutal t mesurant l'angle a.

Quand la droite G tournera de l'angle 6 autour de l'axe 0, le point c décrira un arc horizontal /mesurant l'angle 6.

Et ainsi de suite.

Or ces points b, c,... étant sur la droite G, il s'en suit que les arcs t, /y... sont les sections droites du cône droit A décrit par la droite G autour de l'axe 0.

Par conséquent le plan vertical mené par la droite Recoupera le cône A suivant une hyperbole dont les asymptotes feront entre elles un angle qui sera double de l'angle y quela droite G fait avec l'axe 0.

Ainsi le système de droites parallèles A, B, G,... situées dans le plan P, se tri^vera déformé et amené au système des droites A, B, , C. ,... génératrices d'une surface gauche qui est coupée par chacun des plans verticaux menés par les droites K^,... suivant une hyperbole K. On obtiendra ainsi par les hyperboles K| K',... le second mode de génération de la surface gauche en laquelle le plan P se trouve transformé.

D'après ce qui précède on peut énoncer le tliéarème suivant :

Ayant un point $ dans l'espace et une droite A » si Ton prend sur la droite A

un# «uite Je poinu a, a , a"^ a"'f'*- ^ qu'on le$ joigne respective vient au poia}^ j paf de$ droites G, G', G'\ G'",.** &^ ^^^ mène par le point s une droite de dire^ tion arbitraire 9 si l'on roène par les points a, a 9 a\ a'" y... des plans M9 H\ W\ ll"\... parallèles à la droite et faisant un môme angle y et respectivement avw les plans (0, G), (0, G^), (0, G'%.. ces plans M, M', W\... couperont» suitwK des hyperboles K^ K'^ K",,.* et respectivement^ les cônes A^ A', âJ\... engendrée par la rotation , autour de Taxe O, des droites G, G', &\.,. ^

Ces diverses hyperboles K, K', K'^.•. détermineront une $urfaee régl4p^ ^io^î» la droite A, en se mouvant sur trois de ces hyperboles, s'appuiera sur toutoi Iw hyperboles construites ainsi qu'il vient d'être dit.