VIL

TraUième iysîème 4e Vespaoe,

Étant données une paraboled et ses diverses tangentes O, 9', 9'\ 9"V-* 1^ points de contact étant respectivement m, m, m\ rn"\.,, on sait que Ton peut considérer la droite comme la projection d'une droite T de l'espace passaut par le poit iji, et considérer les droites 9', O", 0'",... comme les projections d'une suite de droites T', T", T'",... s'appuyant sur la droite T et sur la parabole S.

La série des droites T, T', T"^T'",.- forme un paraboloïde hyperbolique 2; en faisant yarier l'angle que la droite T fait avec sa progection 0, on fera varier dans Tespace la position des droites T', T", T",... et Ton obtiendra un nouveau paraboloïde 2'.

Les deux paraboloîdes I et 2' aurant en commun la parabole 3 et se toucheront Suivant cette courbe.

On peut doncconstruire une infinité de paraboloîdes hyperboliques 2,2',2",2"',... en contact par la parabole $, et dont les génératrices droites des deux systènjes se projetteront sur le plan de la courbe 3, suivant un même système de droites, savoir : les tangentes à la courbe d.

Au lieu de faire varier la droite T de position dans l'espace, on peut varier Iç plan de la courbe è.

Ainsi, concevons un cylindre A ayant la parabole 9 pour section droite, et menons par les points m, m', m", m'",. •• 1«* génératrices droites M , M', M", M'",.du cylindre A. u^

Menons par le point m une droite T arbitraire , mais ayant la droite 6 pour projection orthogonale sur le plan de la courbe i (plan que nous prenons pour plan horizontal de projection).

Cela posé : * "

Faisons passer par le point m une suite de plans Q\ Q'', Q'"y.. coupant le cylindre A, suivant des paraboles 3^, d", d"',.-- lesquelles courbes se projettent orthogonalement suivant la même parabole 9.

Le plan Q' coupera les génératrices M, M', M",.-* en des points m, wi/, m/',.-

Le plan Q" coupera les mêmes génératrices en des points m, m/, m/'...

Et ainsi de suite.

On pourra donc concevoir une surface engendrée par une droite, g'appuyant sur la droite T et sur la parabole d'5 et se projetant pendant son mouf ement , suivant les tangentes de la courbe ); on aura ainsi un paraboloide kyperilolique2,.

Si Ton suppose que la droite mobile^ tout en s'appuyant sur la même droite T,

s'appuie sur la parabole d'\ les pnqections de ses diverses positions étant t»n^

jours les diverses tangentes de la parabole d , on aura un seeond parabol^hte

hyperbolique 2/.

Les deux paraboloides 2. et 2/ se couperont suivant la droite T f on pourra

donc construire une infinité de paraboloides 2,,... se coupant suivant la droite T^

et dont les génératrices droites des deux systmes Se projetteront orthogooale-

ment suivant les tangentes de la parabole d.

I vm.

Nous savons {fig. 2) que les droites A, B,, G,, sont coupées en parties propoi^ tionnelles par les droites K, K/, K/, et réciproquement que les droites K, K/| K/ sont coupées en parties proportionnelles par les droites A, B., G,; de plus nous savons que les droites K, K/, K/ font le même angle /ut avec les divergentes OQj oa^y oa^.

Si donc ifig^T) nous construisons les trois droites k\ K'^ K"\ faisant le même angle ^i avec les divergentes oa^^ oa^^ oa'^, et si nous construisons les droites A ^B\G^9 telles qu'elles coupent en parties proportionnelles les trois droites K\ K'\ K"\ nous aurons sur le plan horizontal la projection des génératrices droites des deux systèmes d'une iiUinité de paraboloide^ hyper-* boliques 292,, 2, f* Propos<ms-nous de construire la projection verticale des deux systèmes de génératrices droites de l'un de ces paraboloides.

Pour cela , il suffira de construire trois droites A*", B"", G*" et trois droites K**, K'", K"", se coupant respectivement en parties proportionnelles ; la construc-: tion suivante satisfait à cette condition.

Menons A*" arbitrairement.

Projetons Terticalennent les points a, a\ a\ en 0% a'% a'^ sur A\ Menons une droite B' parallèle à Â% et à une disiance arbitraire de A*. Projetons verlicalement les points 6, b\ b" en 6', A'% A"* sur B*. Joignons a* el 6% nous aurons K*".

Joignons a'' et &'% nous aurons K'% Joignons o"'' et 6"% nous aurons K'".

Cela fait :

Projetons verlicalemenb les points cet c'en, c^'sur K^'etc^^sur K'*; joignons c* et c'% nous aurons la droite C, qui évidemment sera parallèle aux droites A** et B*.

Et si nous projetons verticalement le point c", évidemtnent c"' sera à l'intersec* tion des droites R"*' et C*.

Il est évident que la construction que notîs venons d'efTeclaer nous conduit & trois droites divergentes K", K'% K'% et à trois droites paraUèles k^'j B', G%.qui se coupent respectivement en parties proportionnelles.

Les trois droites A"*, B% C étant parallèles, les trois droites K% K'% K''* concourent en un point o\ qui sera situé à distance /nie OQ infime^ suivant les données graphiques.

Ainsi les droites K, K', K" et A, B, C seront les génératrices droites, savoir : les premières du premier système, les secondes du deuxième système d'un paraboloïde hyperbolique 1.

De ce parabololde 1 nous pourrions passer à un autre paraboloide 2,, dont les génératrices droites auraient les mêmes projections horizontales que celles du paraboloide 1.

Et en effet :

Il suflSt d'exécuter la construction suivante :

Les droites B** et C coupent les lignes de projection menées des points fl*,a'*, a"* en les points p, p', p" et 7, 9', q\

Si Ion mène donc par le point p une droite J arbitraire, et par le point q une parallèle J' à cette droite J, en projetant verticalement les points b en 6.*" sur J et c en c," sur J', les trois^ points a**, fr.*", c* seront évidemment en ligne droite K/.

Si Ton mène par le point p' une droite arbitraire I, et par le point q' une parallèle l' à I, en projetant verticalement les points b' en b'' sur I etc' en c'/ sur T, les trois points a% fr?, caseront évidemment en ligne droite K^.

Cela fait:

Unissons les points 6,^ et 6^9 nous aurons la droite B,*; Unissons les points c,* et c'.", nous aurons la droite G," ; Et si nous projetons verticalement les points, 6" en 6".* sur B'* etc" en cV sur

C/, il est. encore évident que les trois points a"', ft'7, cV seront en ligne droiieK'?.

Nous aurons donc en K,% K',% K'7 et en A% B^'^jÇ," les projections verticales de six génératrices droites (trois du premier système et trois du deuxième syslème) apparlenanl à un nouveau paraboloide 2., ayant même projection horizontale que le paraboloide 2.

Nous pourrons donc construire la projection verticale d*une infinité de para-* boloides 2, 2„ 2.v-- ayant tous même projection horizontale.

§ IX

Concevons dans l'espace {fig. 8) un paraboloide hyperbolique 1, les droites A, B^ G étant les génératrices droites du premier système, les droites K, K', K" étant les génératrices droites du second système de cette surface.

Menons par la génératrice A un plan P, et traçons dans ce plan, par les points h, a\ a" de la droite A, les droites parallèles entre elles Q, Q\ H",

Traçons enfin dans le plan P une droite Z parallèle à la droite A et coupant les droites Q, Q', Q" aux points p, p, p".

Joignons les points p et b^ nous aurons la droite J.

Joignons les points p' et b'^ nous aurons la droite I.

Joignons les points p'' et b", nous aurons In droite U.

Menons par les points c, d^ c" de la génératrice G des droites J' parallèle à J^ r parallèle à I, U' parallèle à U, ces droites couperont les droites Q, Q', Q"en les points 9, q'y q\ qui seront sur une droite Z' située dans le plan P et parallèle aux droites A et Z.

Cela fait :*

Menons par les points 6, b\ b" de la génératrice droite B des parallèles aux droites Q, Q', Q", elles couperont les droites J', T, 13' en les points 6,, 6/, é/', lesquels seront en ligne droite B, parallèle à B. •

Cela posé :

Les droites Z', B,, C seront les génératrices du second système d'un paraboloide <b dont les génératrices du premier système seront les droites J', V, U'; et cela est évident par la figure y car il est évident que ces six droites se coupent en par* ties proportionnelles.

Gela dît : ^

On sait que si Ton projette sur un plan P les génératrices droites J', T, U' d'un même système d'un paraboloide $, si deux des projections sont parallèles entre elles, toutes les autres léseront :

Eb ttrl^foe si T* et f* sont paralMes l)^'' serU parai lèl« k^wlk l^. .

Par conséquent, si dans la fig. (7) les droites p6/et p'6,"'étaienl ptrallélet

ètitre eltefe , la droite p"*"" leur aurait été parallèle.

* Et cOmme l'on peut donner à la droite p^x" toute direction , on aurait pu la prendre perpendiculaire à la ligne projetante aV, ou en d'autres termes , on au* rait pu la prendre horizontale,

En résumant tout ce qui précède^ on voit que Ton aura un paraboloidë hyperbolique 2, iig. 9. (Ayant, par l'une de ses générArices droites A du deuxième j^yslème, mené un plan vertical P) :

Si l"" Ton projette les génératrices droites K, K\ K'! du prenûer système sm le plan horizonial , et que les projections hl's K.'\ K''^ fassent un angle constant ^ avec des divergentes émanant d'un certain point c/", el aboutissant res|>ectivement aux points o^^ a% a'^, projections horizontales des points a» a, o!\ en lesquels la droite A est coupée respectivement par les droites K, K', K";

Si 2* Ton prend sur K* la longueur a*** proportionnelle au rayon oV, sOr K'*

la longueur a'*6'* proportionnelle au rayon a'a*', sur K ^ la longueur «'V* proportionnelle au rayon oV*, les trois points 6\ 6'\ é"* seront en ligne droite B*, laquelle droite sera la projection d'une génératrice B du deuxième système du paraboloî Je 1 ;

Si 3* Ayant construit la projection B"" de la droite B y ou même des horizontales par les points 6% 6'% A"", elles coupent les lignes projetantes aV, a! a^ya*'^a^ en des points p'', p'% p"" qui seront sur une droite Z'** parallèle à A* }

Dès lors, les droites de l'espace bp^ b*p\ 6'p" seront leâ sous-tangentes des droites K, K', K" pour unçmême hauteur %^ mesurant verticalement la distanosdes ^deux droites A et Z, lesquelles sont parallèles entre elles et situées dans le plan P.

lÈX Tédproquementy **

Si Ton a une surface (b formée par une suite de droites K, K', K"« S'ap<- ^yant sur une droite A , et dont les projections horizontales K\ K'\ K"* font)

avec 1^ divergentes oV, oV*, o^a!'^j un angle constant /^i , et si pour une même

hauteur z les sous-tangentes p^, pb', pb" sont proportionnelles aux rayons

oa , pa'\ oV*, les extrémités 6, b\ bl' de ces sous-tangentes seront en ligne droite B, et la surface $ ne sera autre qu'un paraboloidë hyperbolique*

— 6ft —

§ XL

En TertQ de ce qui précède , il nous sei'a facile de démontrer que si Ton a une droite A tournant autour d'un axe , de manière que chacun de ses points décrive une hélice cylindrique circulaire ayant la droite pour axe , tes tangentes menées aux diverses héHces en tes points on elles coupent la droite A , forment un parabotoîde hyperbolique.

En eflet :

Par son mouvement,. h «droite A engendre une surface bélicoîde gén^ral^. I)ans son mouvement, la droite A reste tangente à un cylindre A» ayant paur seclioi^ droite un cercle ayant pour rayon la plus courte distance R existant Qi^trçt IfiS^ droites Q e( A , et ce cylindre A a la droite O pour axe de révolution.

Le piçd m de la plus courte dislance R sur la droiie A décrit une hélice Q sur le cylindre A , et tous les les points m\m'\m"\... de la droite A décrivent de$ hélices H', H", H'*. .. concentriques à H et ayant même pas h que cette bélicCt

Cela posé :

Faisons une projection horizontale de tout le système, et désignons par d Vhé^, liçe décrite par le point m de la droite A, par R son rayon , par 8 sa tangente %n point m et par h son pas^ fig. 10.

Nous aurons de même Thélice H'; son rayon sera R', sa tangente sera 9', çt çlte aur^ même pas A.

Et ainsi de suite.

Pour une hauteur A, la sous -tangente sera SttR pour Thélice H, SttR' pour Fhélice H', SttR" pour Thélice H" et ainsi de suite.

Cela posé:

La figure iO.noïKB montre quale^ droilcKe, S\ 9"-» qui forment une oertaiiA 'surfoce réglée ^ , se projettent en des droites df^^ d"^, 6"\ ... qui font le miômi» angle (x (angle qui est ici droit) avec les divergentes ou rayons R, R', R"...

l^p^iiite le calcul relatif a^jlsous^tang^ntes nous démontre que pour une même h^teur ^ (et /i e^t ici ce qu^ nou$ avions précédemment désigné par %) œt sou^ tangentes sont proportionnelles aux rayons R, R'^R"...

ÉH «ovte que si l'on prend »?i5^ œ 27rR, m'V*«= ÎtcR', WV*» SkR", ... les points ^, 6'\ b\ ... lieront en ligne droite B^; ce qui, en vertu de ce qut a été dit (§ X), nous démontre que les extrémités by b\ b'\ ^. dessous-tangentes seront éft ligne droite B, cette droite s'appuyant sur toutes les droites 9, 6', S", ...

Et i^mme nou« pouvons prendrç uoe autre hauteur -| 9uqvel cas les. ^^^

■ Qr âr* 9**

tangentes seront — ' R, ~ R', — R",... et dès lors seront encore proportionnelle»

aux rnyons R, R', R'', ... on voit que les points c\ c'\ c"\ ... que Ton construira en employant ces nouvelles sous-langentos , détermineront une droite G^ qui sera la projection d'une droite jC s*appuyant sur toutes les droites 6, G', 6" ... •

Ainsi se trouve démontré que la surface 4>9 lieu des tangentes 9^ 6', B'\ ... aux diverses hélices H, H', H'... est un paraboloide hyperbolique.

§ Xlf.

Ainsi, le théorème que nous connaissions déjà, savoir : que les tangentes aux diverses hélices de la surface hélicoide gauche 2, filet de vis cadrée ou filet de vis triangulaire» en les points où elles coupent une même génératrice droite G (de cette surface gauche) déterminent un paraboloide hyperbolique tangent à la surface hélicoide 2 tout le long de la génératrice droite G; ainsi, dis-je, ce théorème est général et appartient à toutes les surfaces hélicoides gauches.

Et en vertu de ce qui a été dit ( §111 )-, on voit que si Ton projette sur uu plan Y perpendiculaire à l'axe du cylindre A, auquel la droite A reste tangente pendant son mouvement hélicoïdal , les tangentes aux diverses hélices de même pas, décrites parles divers points de la droite A, on voit , dis-je, que les projections de ces tangentes seront les enveloppées d'une parabole ayant pour/oyar le point en lequel Taxe est coupé par le plan Y, et ayant pour tangente en son sommet la projection de la droite A.