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guivant elle^ ain$i Içs dmx Çi\ai% L et 2' q'o>^ 4^'^.^V P9^^^ conuBOA 4us chaque po^îtioh^ et ils nç pcuVeot point avoir de coiUâct suivant aucun poiat dç

la courbe du troisième degré, mai^ seulement suivaBll^pouUsd^la^fléQÉsalckse ».. '. ^i*'* ^^ ...... - «i

dTintersectiori par rapport i laquelle on a fait les constructions* "^ Dans ta pratique on peut, pour plus de facilité, supposer que les courbes {^ ^' sont des spirales tracées sur les h jpérLôIoîdes , réduire la surlace 2' à la courbe ' l' et supposer que la surface 2 est engendrée paf une droite au lieu de Têtre psur la ^cmrbe y»

Dès )ers la aurftawe S sera mi ftlei de vis fijperfiolofdfque , et t'^n roit que tes surfaces hyperboloïdes 9^ et 0, «ont idéales, c^est-à-dire n'existent que par fe penfée. Il n'existe de rbyperboToide F, qoe fa spirale % qui fait partie de la surface 2 du filet de vis , et il n'existe de riiyperbotoïde 0, que Fa spîrafe l'. On pourra

oonstrtnre autant de filets qu'on le voudra , mais pour que le mouvement de rotalion poisse se eonlinuer, il fhudra que ces filets ou dents soient équidlstants sur l'ttm et Paulre roue.

Ainsi, autant il j aurt de spirales telles que £', (^^ etc. qui couperont la gêné* f atricè des hyperboloïdes idéaux , antant iîy aura de denCâ par lesquelles les roues seront en contact.

On doit remarquer q«e , ponr le point p situé sur fo plus courte distance des asces Pet Q , lés deux hyperboloïdes sont tangents, et que les deiix surfaces 2 el 2' le seront aussi en ce même point ; que par conséquent , pour ce point , le ptan T sera vertical et parallèle î(ux deux axés P et Q. '("Les deux courbes Ç et Ç' étant supposées avoir pour point comoiun ce point p.

Lorsque les deux surfaces 2 et 2l par le mouvement de rotation seront en coah tact suivant un autre point m de la droite (oG» pj) « alors le plan T^*"^ ^orr^spoflr .tiant à ce point commun aux deux courbes \ et 4'«oupera Taxe P , et Ton prendj^i pour génératrice de la surface 2, en supposant tjue 2' se réduise à la courbe f, la droite qui passera par le point m CQmmuii auK deux, courbes ^ et % et paE celai où le plan T^**^ coupera Taxe P.

On voit donc que la surface 2 sera engendrée par uae droite qui s'appul^rii- wr

Taxe P et la courbe l et qui aura son mouvement réglé par la condition qu'elle

soit toujours contenue dans le plan passanlpar lea deux J^ngenles aux coiurliefrî

et IC au point qui leur est commun. Celle génératrice ^Mf- le point p sera jtra^-

lèle à Taxe P, et pour le point situé à Tinfini sur la droite (4)(i»iig} t ^^ »era Wrizonlal^g

On doit encore remarquer que la droite (oG , pg^ n'est pas la seule qui salisfaase au problème ; on peut encore, par le point p situé sur la plus courba distançai faire passer une droite {qQ\ pg) qui soit conteaue^dans un plan paraULèle aux drax

%xe6 P et ^ el qui drmù le siq^ftéittént ée T'ttn^e a de ces axes eh deax dont léi $io4M seroni dans le rapport »verae-de leurs vitesses*

On peut eacore, sur la|))ti6 ooUrte distdnee, prendre nn' point p* tei que Toii ait p'o: f!niZ9i V, et pat ce point foire passer deux droites respectivement pandiëies aux droites (oG , m) , (oC, pg). '

AtssL^foa peat satisftiire au problème par quatre systèmes différents foi^mai^t Ml deux «Bgreoiiges huérieurs, ou deux engrenages extérieurs. Si Ton voulait résMdre le proUème par Taiifilyse , on aurait un -nombre rnjlïni de so1otioi\s. Car on trouv<;rait que la surface qui jouît <Ie la propriété d*avoîr ses points distants de^deux axes PetQ, dans un rapport constant, est une bypérboloîdé 2i une nappe MD de rérokition et passant par les points p et p' àe la plus courte distance; par coBséquent l'on peut prendre pour ta Irgne D*tine courbe arbitraire tracée sur Il CTcftc» h ypw h o iu ide que nous tenons d^îndtquer ; maïs je n^î voulu donner ict que les lignes D qui pourraient être déduites par la géométrie.

OiAS «fi némoîre intîtaté : Tltéwie des engrenages^ etc., j'ai donné {*) la solu^ ïwa analytique et complète de ce problème.

Dans les engrenages byperboloidiques dont je viens de donner la construction, ViOk n'a point à crnoètê l^ineofivéliSetti ^ue faf signalé dans les engrenages cylîadrîqiies oa ■ o g niq tw b eolMtrttHs pair Withe , savoir : que lorsque ia génératrice de la sufiaoe iiàlicoide de la damt était perpendiculaire à la ligne droite sur la* queKa ae manvait le point de contact des denta, les roues pouvaient prendre Aeua positlaos dUferentM de centacl^ et trois positions de contact lorsque la génératrice de la surface était incliaée par rapport à la ligne des contacts des dents.

Cet ioconténient a'exîste pas ici , parce que les plans tangents aux divers peints où les surliiees desdéfits ooupent la droite (oG, pg) , lieu des contacts, neaant |)oint parallèles entre eux. En effet , supposons une surracé courbe 2 et ane courbe ]^', 2et ^ ayant un point de contact. "Nommons fl' la tangente à la courbe ('an poijit m y et T le plan tangent au point m à la surface Z, ce plan T contien*^ dra la droite ti'. Par le point m, élevons une droite N perpendiculaire au.plan T. Si Ton foit toamer la courbe l' autour de N comme axe , on engendrera une snrfaee de rémiutîon S tangente à Z au point m, et la courbe l' pourra prendre aalour de M nne inanité de positions dans lesquelles efle sera toujours tangente

à la surfikae 2.

Mais si par le point m en mène une droite N' inclinée par rapport au plan T et telle que Tangle formé par les droites N' et tl^ soit l'angle de la droite Tf avec le plan T, alors la courbe i^ no pourra plus tourner autour de la droite N^ en

(*) Voyez les Dételoppetiiemt» ds géométrie deêeripîine y ehap. TI , pag. 332 y S3? ^ M.

restant taDgente au point m Ji la swfoce 2; dans toute autre position que celle qu'elle affecte primitivement, elle coupera la surface 2. Si la ligne N' ne fait point afec e! l'angle le plus petit ou le plus grand qui existe entre elle et le plan T dans la position qu'on lui a donnée , alors on pourra , par le point m y mener dans le plan T une droite i' qui fasse avec N' un angle égal à celui que font entre eux la droite N' et le plan T ; et dès lors, si Ton fait tourner la courbe ^' autour dé N', il y aura un moment où la droite tX prendra une position i\ telle que l'angle t'nu"=: tmt\ et en celte position la courbe l' sera encore tangente à la surface 2; mais dans toute autre position i' coupera 2.

Si donc nous désignons les deux axes par P et Q ; si nous nommons R la génératrice suivant laquelle les deux hy perboloîdes se coupent ( désignant par BP Fhyperboloîde qui a pour axe P, et par HQ celui qui a pour axe Q); si nous supposons {fig* 23) que l'on ait trois dents sur la surface HP et coupant la droite R aux points m', m^\ m"', la surface de la première dent étant désignée par l\ celle de la seconde par 2", et celle de la troisième par 2"\ l'on aura sur l'hyperboloide UQ trois dents correspondant à celles situées sur la surface HP« Ces dents seront terminées par trois courbes $^ Tt 1% la première pstssant par le point m', la deuxième par m'' et la troisième par m'" ; sur la surface 2' existera une courbe^' correspondante de l\ et telle que ces deux courbes pendant le mouvement de rotation se conduiront par un contact angulaire , les points de contact étint successivement sur les divers points de la droite R et le premier contact étant en m'; de même sur la surface 2" on aura la courbe i" passant par le point m'\ et sur la surface 2'" la courbe iT passant par le point m'\

La génératrice âe la surface 2' correspondant au point m sera nm droite contenue dans le plan qui contient les deux tangentes aux courbes t «t £'au point m' et passant par l'axe P. Nous nommerons f la tangente i $', i/ la tangente à Ç,', et g' la génératrice. Nous aurons de même au point m", les tangentes i", i/',et la génératrice [^^ de la surface 2"; nous aurons de même au point m'" les trois droitesr, i*^et/'.

Les droites g, g\ g^^ ne feront point avec l'axe P le môme angle, diaprés ce que nous avons dit; ainsi le point ni étant le plus près de celui qui est situé sur là plus courte distance des axes P et Q , il arrivera que l'angle H formé par l'axe P et la droite g sera plus petit que l'angle iP formé par l'axe P et la droite 9", et plus petit que a'" formé par Paxe P et la droite g""'.

Par.«conséquènt , les trois points m', m", m'", en tant qu'appartenant à la surface HQ, ne pourront se placer que sur les points m', m", vpP' des droites y', g\ g iVucuns autres points n', n", n\ en ligne droite et situés respectivement sur les génératrices g\ g\ g\ ne pourront se mettre en contact arvec eux ; par consé-

quent la position respective des deux byperboloides HP et HQ est déterminée d'une manière invariable. Les roues de Fengrenage ne pourront donc prendre une autre position que celle qui leur est assignée par la construction.

La génération de h surface 2 qui doit terminer \^ dent de la roue HP pourrait présenter des difficultés dans Texécution pratique ; je proposerai donc de construire les dents de Fengrénage de la manière suivante :

Étant donnés deux axes P et Q et une droite R telle que tous ses points soient distants des deux axes dans un rapport constant et inverse de celui de leurs vitesses respectives , l'on obtiendra , ainsi que nous 1 avons dit plus haut , en fiusant tourner la droite R autour de Taxe P une surface de révolution , un hyper-* boloîde à une nappe HP; de même en faisant tourner la même droite R autour de Vne Q^ on aura la surface HQ« Ces deux surfaces se cotiperont suivant la droite R passant par un point de la plus courte distance qui existe entre les axes P et Q , et une courbe du troisième degré y qui passera aussi par le point où la droite R coupe la plus courte distance.

Cela posé : si Ton divise la droite R en (n— 1) parties égales entre elles , par les points m\ m"j m"'... m^"^ et que par chacun de ces points on mène des plans perpendiculaires à Taxe P, l'on aura pour intersections dans la^surface HP des cer« clés. Désignant l'un de ces cercles par C ; si par l'axe P l'on mène une suite de plans méridiens au nombre de (fi — 4), ils diviseront le cercle C en (n— 1) arcs égaux, ainsi que tous les cercles parallèles à celui-ci , et la courbe qui passera par le premier point situé sur le cercle Cm', par le deuxième point situé sur le cercle Cm", par le troisième point situé sur le cercle Cm'" et enfin par le dernier point m^"^ou le (n — iy situé sur le cercle Cm^"', sera une spirale hyperboloidique dont le pas sera mesuré sur la droite R par la distance comprise entre les points m' et mf*'.

Nous nommerons H ce pas et l la courbe spirale. On voit évidemment que cette courbe peut-être tracée mécaniquement par un mouvement continu. Si Ton divise de même un cercle C appartenant à la surface HQ , par une suite de plans méridiens passant par Taxe Q en un certain nombre de parties ^ales entreelles, ce nombre étant représenté par {n' — i ) et tel que le rapport entre (n — 1 ) et (n' — i) soit celui qui existe entre les distances respectives d'un des points de la droite R aux deux axes P et Q , on construira une spirale l, qui sera la eorres*

pondante de ( ; son pas h mesuré sur la droite R sera tel que -^ = —, — r-, et ces deux

«tourbes ( et ^, %e conduiront par un frottement de roulement an^oire.

Maintenant , par chacun des points de la courbe (, Ton fera passer des droites perpendiculaires à Taxe P et qui formeront une surface spirale hyperboloidique; cette surface sera nommée £. De même par la courbe i on fera passer des droites

|H$rpQiidiciilaire^àl'd]^e Q.et fiormast aus«i une surface spirale hyj[ierboloîdique ^. Ces deux surfaces pendant le mouvement de rotation nç seront en contact <|ue par des points situés respectivement sur. les courbes ^ et Ç,. On ne prolongera tçs surfaces 2 et 2", du cûlé des axes P et Q, et respectivement, qu'autant qu'il sera nécessaire pour que la courbe.^ puisse passer, puisqu'elle pénètre dans l'intérieur de la surface HP, et pour que la coutbê l puisse aussi passer , puisqu'elle pénètre aussi ^Ue-HO^me dans VÎQ^érieur de la surface HQ. De sorte qu'il y aura un na^au Qzé à l'axe P et à la surface duquel la surface 2 s'arrêtera; de même aussi la surface 2' s'arrêtera à la surface d'un noyau ûxé à Taxe Q et assez rapproché de cet axe pour permettre un libre mouveipentà la courbe ^.

Ensuit) l'on donnera à h dent une épaisseur suffisante ( comme à un ûlet de vis). On n'aura pas besoin dejuj donner un excès de longueur : on pourra la terminer à l'hyperboloïde HP ou HQ , parce que les deux courbes i et Ç^ n'ayant point leur plan tangent commun en chacun de leurs points de contact successifs (excepté pour celui situé sur la plus courte distance), parallèle aux deux axes P Ql Q » les dents ne pourront s'échapper pendant le mouvement de rotation. . Cette construction pourra s'exécuter facilement sur le tour, et par conséquent Ton peut, j|e crois, regarder le problème qui fait le sujet de ce mémoire , comme ré$olu« soii en théorie , soii en pratique.

II faut cependant démontrer que là surface 2, dans quelque position que ce soit , ne rencontrera la courbe ^, qu'au seul point de contact angulaire existant entre les deux courbes g et ^.

Soient P et Q {fig. H) les deux axes donnés. Soit R la génératrice cpmmune aux deux byperboloîdes HP et HQ, £t en.m6oiQ temps la droite des contacts ^gulaires successifs des dents de Tengrenage. Soit y la c4>urbedu troisième degré, seconde ligne d'intersection des deux surfaces HP et HQ. Soit q6 la plus courte distance entre les axes, le point d étant situé sur cette plus courte distance, de telle manière que ad et db soient dans le rapport inverse des, vitesses' des axes ^ la droite R et la courbe y passeront par le point d^

Il est évident que si par un point m pris arbitrairement sur la droite R je fais passer deuxpUns respectivement perpendiculaires aux axes P et Q, l'un coupera b surfiice HP suivant uu cercle G, l'autre coupera la surface HQ suivant un cercle C^ tels que le^émî^r coupera la courbe y en un point m^'et le deuxième en un point m'; et qu^ces demi points seront toujours dans la même position relative, savoir : qvAittlLjM^. toujours ao^-d^SiPUS^de m\ et qu'ainsi, si la dvoHe m'nm" .n$ii$mi» Vi»*«w#ctioûdes plw«.é*sJ^»ï^ oepçjes^li) paf Up mni' du cerçie.Ç' »era l4W)awS;M 4^9««P!)lb4v P^rC 4a» iPf^ecjfl Q et qffeU partie mm^' ^ra b^jf ^f» «u-

se routent dngulairemènt , lê point de contMt se plaçant toujours au point m: pour deux courbes correspondantes, léltes qtre | et t, on «ura les mômes résultats y seulement le point de contact variera de posttkm sur la droite R*

Ainsi (fig. iS) les deut courbes Correspondantes K^ t étMt ea contact M^ gulaîro au point m situé sur la droite ft , si je prends sur la courbe Ç un point m'' qui soit le correspondant du point m'*' situé sur la courbe i , ces deux points setoot tels que les cerdès C et G' pasisant Tun par m*', et son plan étant perpendiculaire à l'tace P, l'autre pftr m''^ et son plan étant perpendiculaire à Taie Q, secou|>eMat ofe un point m' situé Sur la droite R» Il est évident que toute la portion mm'" dé la courbe (. sera au^lessoirs du plan du cerde C^ et que tous les points de l'arc m»'^ seront au*dessus delà surface spirale hyperboloidique formée par les droites per<* pendiculaires à Taxe P et s'appuyant stir ta courbe Ç ; qu'il en sera de même pnt rapport i ta sgrfiice spirale ayant Q et ^. pour directrices, c'est-4-<lire que la partis mm" de fa courbe % sera aundessus d^elle.

Ainsi lf35 deux surTaces spirales hyperboloîdiques n'auront j;aimais, danè qveiqiit position que ce soit, qu'un seul point commun, qui sera oslui en kat^nellii courbes ^ et |, ont leur contact dAgulaire.

Les deux roues dentées étant supposées misosen place, il arrivera , en vertoÀ la formé géométriqfre que nous avons doMiée aux dents , que la MUe q» a poot axe P restant fixe dans sa position , celle qui a pour axe Q, pourra prendre un mou? vement de rotation autour de la droite R comme charnière, l'axe Q décrivant un hyperboloide à une nappe et de révolution autour de R, et que par conséquent les deux roues pourront, donner des systèmes différents , dans lesquels les axes P et Q comprendront des angles variables ; et ewime la ligne R dans chaque système sera la ligne des contacts et que les distances de ses points aux axes P et Q n'auront point changé, ilB'eunîfN que le rapport des vitesses sera toujours le mêmc^ et que le frottement sera de même nature, c'est-à-dire , de roulement angulaire.

Cependant Taxe Q ne pourra pas prendre une infinité de positions par rsipport à Taxe p et à la droite R restés invariables, ces positions auront des limites déter* minées par la considération suivante, savoir : que Taxe X} dans son mouvement de rotation autour de H , entraîné Ta courîkfe X, i CI qoe lorsque tiette courbe rencontrera la surface héltcoîde 2 quia pour dimefctrice la tscurbe Ç, l^xe Q ne ponrra dépasser b position qu'il affectera «tlors. Que de même lorsque la courbe l touchera la surface héUooide 2' ayaat ^ peur directrice^ l'axe ne pourra plus coatinuer à se mouvoir autour de la droite Tl ; mars entre ces deux position» extrêmes Taxe Q pourra prendre toutes les positions intermédiaires. On voit aussi que pour ces diverses ponitions intermédiaires de Taxe Q ^ la droite R m passe plus par mm

point de la phis coorle dktance des deux axes. Cette considéfatioo do mpmnmmî 4e taxe Q autour de la droite R , qui lui permet de prendre une iofioilé de posi- .tions sans que les propriétés du système résultant soient changées, excepté Tangie des deux axes, nous démontre que la surface qui doit jouir de la propriété d'avoir ses points distants des deux axes dans un rapport constant, est nécessairement engendrée par une ligne droite. J'ai dit ci-dessus que Ton savait par l'analyse que cette surface était un hyperboloîde à une nappe et non de révolution.

Dans le système que nous venons de construire, la droite R, en tant qu'appartenant à la surface HQ, ne pourra se placer sur aucune des génératrices du paraboloîde hyperbolique engendré par des droites perpendiculaires à l'axe P et s'appuyant sur Taxe P et sur la droite R, la droite R étant une génératrice de cette surface paraboloide et supposée appartenir aussi à la surface PH ; parce que comme les dents doivent être équidistantes, les génératrices perpendiculaires à l'axe P couperont bien toutes les génératrices du deuxième système du i>araboloide en parties égales entre elles, mais non égal^ à celles qui existent sur la droite directrice R. Ainsi l'engrenage ne pourra se mettre en contact que par des points situés sur la droite idéale R dont tous les points sont distants des axes P et Q dans le rapport inverse des vitesses de ces axes , le frottement dès lors sera de roulement angulaire , car on ne pourra mettre les roues dentées en présence de manière à avoir un frottement de glissement angukàre ; la pose sera donc facile (^).

NOTE SUR LES ENCRENAOES UE WDITE {**)•

La démonstration relative aux engrenages de White , que M. Delaunay à publié dans le Journal des mathématiques de M. Liouville , n'est pas nouvelle. Cette démonstration est la première qui se soit présentée à mon esprit

f) La coDslruclion géométrique exposée dans ce mémoire a été trouvée en 4 847 , à l'École d'appUcation de Melz alors que j'élais élève sous-lieulenanl d'artillerie ; à celte époque j'avais à faire , comme travail d'étude, un projet de machines ; je donnai alors les dessins d*une machine propre à UiUer les deotsde Tengrenage précédent. On peut lire à ce sujet une note de Hachette , imprimée dans la deuxième édition de son Traité deê machinée , à la On du chapitre tur Us engrenagti»

(**) Celle nolo, accompagnée des pièces justiricalivés,a élé communiquée à la Société philomatîque,dans sa séance du 24 mars 4 840 , et elle a été publiée dans le Journal de mathénuUituêi pura tfl a^pUptëeê de M. LioovnxB , tome Y (4SiO). T« 0.

lorsque j'ai commencé à m'occuper de la théorie des engrenages. Je Tai commu-^ niquée à plusieurs personnes, et en particulier à M. Arago, lorsqu'il était chargé du Cours de machines à l'École polytechnique. Enfin je m'en suis constamment servi dans mes leçons à r£cole centrale des arts et manufactures , depuis 1829. On ne peut en effet imaginer rien de plus simple quand il s'agit seulement de (aire voir que les engrenages de White ont, en effet, les propriétés que leur attribuait ce mécanicien. C'est à cause de cette simplicité même que je tiens à mon droit de priorité. Ce droit , je l'établirai d'une manière incontestable par l'extrait sui* Tant d'un mémoire que j'ai composé en 1817 , à l'École d*application de Metz, et qui a été visé ( ainsi que le sont les travaux des élèves sous^ieutenants ) . par les oiBciers placés alors à la tête de l'École.

Es^qM du mémoire sut le w^ei de mmhine ( Ëcole de Metz )•

« La première idée qui conduit à l'engrenage de White est celle-ci.

» Considérons l'engrenage composé d'une crémaillère et d'un pignon.

» Supposons la crémaillère composée de m bandes dentées réunies ensemble et de manière à ne former qu'une seule bande dentée ; considérons le pignon comme composé aussi de m rondelles dentées ; donnons à chaque rondelle du pignon un mouvement proportionnel de rotation autour de Taxe et à chaque bande de la crémaillère un mouvement de translation correspondant à celui de la rondelle qui est chargée de la conduire.

» On voit qu'après ce mouvement^ les extrémités des dents formeront une série d'hélices SMr le cylindre du pignon et des lignes droites parallèles entre elles et obliques sur la crémaillère, et ce système se conduira parfaitement.

» Mais de cette idée on est conduit à cette conséquence , que vu le grand nombre de ces bandes dentées et des rondelles dentées ( ou pignons) correspondantes , on peut diminuer la longueur des dents dans chaque système, et la diminuer d'autant plus, que le nombre des bandes sera plus grand ; et en effet, la longueur de la dent n'est nécessaire qne pour que , vu Técartement des dents , lorsqu'une dent quitte, une nouvelle puisse prendre, et elle doit se mettre en prise un peu avant, et cela , pour qu'il n'y. ait pas d'interruption dans le mouvement de rotation, ni de perte de temps ^ mais l'on voit que si la première dent de la première bande quitte, et que la deuxième dent de cette même bande ne puisse encore se mettre en prise, la première dent de la deuxième bande n*aura pas encore quit!lé^ et ainsi de suite. De sorte que de proche en proche ,• on. voit que pendant tout le temps du mouvement, on aura des bandes qui, alternativement, conduiront et ne serviront pas à conduire le pignon , et vice versât

» OH sàft' ^Wfat ^tiaMité dté ^i^senieftt qui s'opè^é râr iine tfëiM d'uiîe pre^ rniéi^è rotré par fé dent coAresporfdftnfc de là tïetixîêttië f6d«, |)etrt être reriâtfë atiftli peifté ^ne VbH Vent , en fogMht là tonguètir des dents \ pât eonsé(|tieiit , plus on augmentera fe tiombre des bandes, pTds on arrivera & atoir dii engretfiage paHâit, uh engrefiàge daiië lelftld te IVàttemeJit {t'a fOttjoUrs en diminoant.

» Enfin, la stiffaee 8tirlà(]faéne sMpère le frottement est réduite à un point, an premièi' point dé cotttact des tîetix dents efi prise, lorsque Ton suppose les bandés en nonibré infini.

r Les dents ont dohc change de forme; auparavant j la courbe qui les terminait ëiait contenue dans un plan perpendiculaire à l'axe dd mouvement de rota<^ tion ; maintenant cette courbe se réduit à la ligne formée par le premier point de chaque dent de ce nombre infini de bandes , en sorte que la forme de la dent a disparu, elle h'est p\w^ itéëetiaîre, pumqiie ton prëoriër peint Mul suffit pour obtenir la ligne de contact qui seule forme actuellement la dent, et cette ligne est tracée sur là siir&ce extérieure du nojrad à denter aU moyen de la mâtAiifae. Pour une crémaillère, cetle ligne est une droite; polir uhé roiié elle est utoe hé- Kce tracée stiHe cylindre noyau dt \â roue ou pignon.

» De plus , bti volt c]ue chaqde point de la ligne de contact de Fa 'pteiïiière SUf- Hice a son homologue sdi^ la lîgne'de cohtàct correspondante de la seconde surAtcé, et que ces |>dints homologues se tbiichent, ponr se quitter Immédiatement ctt lènd&nt â gfisser l*Un sur raulrc. '

> Le frottement est donc ici Teffet d*dtl l'odlëtitént des ll^es dé o6ntact les unes sur lesàtitrès, té qui ddhriè \è frottehtistit fe ptus dotit <fue Ton connafsse dans les arts , celui lit de dtuirîfint espèce. •

» De cette discossibn notrt ctriiduroiis r qilé fe fb^ffie pHmiéfvé dés âetiiÊ ne , doit plus être i>rise éii cohsîdérâtioliÉ , puisque te premier point de contact de chaque dent est Seul nêieesfeâii^e, le seul cbnsMéré et employé;

> Que le mbavtsment ési Uniforme, pdteqne Ton est paHi d'un mt>nYénietlt uniforme qtii dépëUdait sfofs dé fe Bguré de là dont, et qui ne dépend plus mafntéhànt qtlô de ce que ïefe lignes de contact tjnî Ibrinenit Tarêté ext^ème des^ dents, se Mnfent sanfe se gfisser. Et Ton voit évidemment que cetengrenage^ par l'usage coïillnueî, té ttavàitj tendra tiécessariremeni i se perfectiônnét*.

> La ûgtire des detitâ du nooVc^ engrenage est arbitraire; elle ne dépend plus que de fe tébaclte de la matière cmploy éfe , etc *

^i db(i8'l<i«>deUk mëinlM^s ^ésentés à l'Iàstitut «tv iB25, je n*at pas ^iH%né celle déiiionstratioa , c'est qu%lt9'h*iMI ^g «9We géaérafte.

J'avais besoin d'un autre (Doda de démoiistratioa pour.hi^D faire voir <1M^ l'oP p^qrppU, d'après leg procédé^ mécaniques de Whitej construire trois espèces d'^BRgrenages : h premier ^y^pJt ^n ffot^emeni de i:Qu)einent àqg^Iïiire direct, le second ayant un frottement de roulement, et le troisième ayant un fro(tepieni de glissement angulaire. Wbite n'avait pas aperçu les frottements aqgMiaires; je crois être le premier qui ait signalé ce genre de frottement.,

La méthode que j'ai employée dans les mémoires présentés i\ l'Institut^ avait non-seulement l'avantage d'être vraiment géométrique et rigourçuse^^mais encore celui de bien faire voir, sans aucun doute , que pouj les engrenages cyljndciQiies et coniques, le frottement (|e roulement direct existait lorsqpe la ligne ^, lieu des contacts successifs de deux dents ^ était une droite située dans le plan des axes , et que le frottement de rçulement angulaire existait lorsque cette droite i p'était pas située dan^ le plan des axes; dans Tun et l'autre de ces deux cas^ les distances de cb(tc|]p des points delà droite l aux deux axes, étant toujours dans un rapport constant et inverse de celui des vitesses de ces deux axes.

Cette même méthode me permettait aui^si de faire voir que le frottement de glissement angulaire, non-seulemen( existait toi^jours dans les çngf^f^Q^^es cylindriques et coniques à la White, lorsque les distances des poipts dç 1^ ({roite l aux deux axes n'étaient pas dans le rapport inverse des vitesses d^. axes ^ mai.s qu'il fallait impérieusement , 4an9 ce ca^ , que la droite Ç fût hors ^qs pisqis (Jes axes, pour que l'engfènage fût possible.-

D'ailleurs» c'est par la considération des surfaces idéales et de révolution engepdrées par la ligne ^, lieu des contacts sjuccessifs de deux dents en prise, que j'ai pu établir le théorème qui, à mon avis, constitue toute la théorie-géométrique des engrenages à la White , de ceux dans lesquels les surface^ di^s dents ne se mettent successivement en contact que par un seul points. Voici .ce. théorème :

Etant donnés : V deux axes A et A' animés, Le premier d'une vitesse v et le second d'une vitesse v^\ %"" deux surfaces ( et ( fixées i la première à Taxe A, la seconde à Taxe A',

Si ces deux surfaces en tournant respectivement autour de Taxe auquel chacupQse trouve liée, se mettent successivement en contact par un seul point m ^ m 4 m'Vf lesquels points forment dans l'espace une courbç t dite lieu des çofifppts successifs des surfaces de deux dents homologues ou en prise : ' , .

En faisant tourner la courbe l autour des axeS , on obtiendra deux surfaces de révolution, Tune 4>, fixée a l'arxe A ;4'autre $' , fixée à Taxe A'.

.Ife^ deyi surfaces $ et (. sq couperont suivant une courbe i, tes deux surfices $' et <;' se couperont suivant une cowb» ^ ) »t l'otf {Kdftrm f«M0laMr le» $uvfta^ 4^ et (' 1^ lias eourites.^. 04^» mm leBu.qae ùï^m mgfi/à^^mdim nàmbe»

comme rigides , elles se conduiront Tune par Tautre, ainsi que le faisaient les deux surfaces C et c' ; et le froitement qui se manifestera pour les courbes i et y^ sera de même nature que celui qui se développerait sur les deux surfaces c et i;'.

Gela posé :

r Si les distances aux deux axes de tout point m de la courbe ( sont dans le rapport inverse de celui des vitesses t^ et v\ le rapport de ces vitesses étant supposé être constant ^ être le*mème à chaque instant du mouvement, le frottement sera de roulement;

2* Si le rapport des distances aux axes n'est pas cofistanu>u n'est pas inverse du rapport constant des vitesses, le frottement sera de glissement;

3^ Chaque point m de la courbe l engendre un cercle en tournant, soil autour de Taxe A , soit autour de Taxe À'; désignant par G et G' les cercles engendrés par le point m, et respectivement autour des axes A et A', il pourra arriver que C et G' soient tangents l'un à l'autre au point m, ou qu'ils se croisent en ce point m« Lorsque les deux cercles sont tangents, le frottement est direct; lorsque les deux cercles se croisent, le frottement est angulaire; car dans le premier cas, les courbes i et d' ont même tangente au point m -, dans le second cas, ces courbes se croisent en ce point m ;

A"" Si les deux cercles C et G' sont tangents , alors le point m et les deux axes sont dans un même plan , dans ce cas les deux axes et la courbe l seront dans un même plan ; dès lors les deux surfaces 9 et $' seront tangentes l'une à Tautre, suivant la courbe {. Dans ce cas , on retombe sur les engrenages cylindriques et coniques , et la courbe l doit impérieusement être une droite , si l'on veut que le frottement de roulement existe , et dès lors le frottement est de roulement direct. On ne peut pas construire un engrenage à la White dans lequel le frottement soit de glissement direct ;

5* Si les deux cercles C et G' se croisent , alors les axes peuvent être dans un même plan ou non; le point m est hors du plan des axes dans le premier cas ; les deux surfaces O et ^', dans tous les cas, se couperont suivant la courbe (•

Le frottement sera donc, dans tous les cas, un frottement angulaire ^ car les courbe jet f se croiseront au point m, et Ton pourra construire deux espèces d*engrenage : dans l'un le frottement sera de roulement angutaire^ dans l'autre le frottement sera de glissement angulaire; et pour Tun et l'autre, les vitesses des tïxes seront dans un rapport constant.

ie crois devoir consigner ici une idée que j'ai eue depuis plusieurs années, et que j'ai coinmiiniqoée à plusieurs personnes. U s'agit d'une espèce looie particulière d'engrenages i la WUte , eî auxquels je

donnai le nom d^engrenages à ttre^^nmckon ^ n'ayant pas trouté d'expression q«i fût mieux en rapport a^ec la forme de ces sortes d'engrenages*

En se rappelant ce qni a été dit précédemment et ce que j'ai développé dans le S 2 de mon premier mémoire sur les engrenages . de White » publié ci -avant sous le n"" 3, on voit que Tidée géométrique est de considérer les courbes d et d' intersections des surfaces C et c' de deux dents en présence, par les surfaces de révolution 4> et 9' engendrées par la révolution de la ligne S des points successifs de contact des deux dents autour (et respectivement) des axes À et A! deA roues dentées , comme deux lignes rigides, et que l'on, peut remplacer les surfaces 2; et!;' par ces courbes 3 et ^^

Cette idée géométrique me parait devoir être facile à réaliser en pratique ^ et cela en prenant des tiges^ cylindriques que Ton plierait suivant la forme des courbes 9 et y, et dés lors les surfaces Z ot c' ne seraient autres que les surfaces, de ces tiges ainsi pliées.

Je développe mon idée.

Prenons l'engrenage cylindrique pour lequel les surfaces idéales et de révolution $ et 9' engendrées autour des axes seront deux cylindres se coupant suivant deux droites parallèles aux axes, dont l'une sera considérée comme étant la ligne Ij lieu des contacts des dents. Les courbes d et d" seront deux hélices tracées, la première sur le cylindre 4> , la seconde sur le cylindre 9\ et ces deux courbes 4X>uperont chacune les génératrices du cylindre sur lequel elle se trouve tracée sous le même angle a«

On sait qu'alors les deux courbes d et i' se conduiront uniformément et avec un frottement de roulement angulaire.

Concevons que le premier axe À soit une tige fixée par son extrémité à une. rondelle circulaire Y, et que cette rondelle Y soit divisée en un netfpce de parties égales, et que de chaque division s'élance une tige d cylindrique tout d'abord, mais pliée ensuite sous la forme d'une hélice cylindrique et coupant les génératrices du'cylindre sous l'angle «• De sorte que cette tige hélicoïdale soit fixée à la rondelle Y par une de ses extrémités, l'autre extrémité étant libre comme dans un tire->bouchon.

Imaginons la même chose pour le deuxième axe; mais lorsque Ton mettra l'engrenage en présence, il sera placé têu-béche^ c'est-à-dire que les extrémités libres des tiges hélicoïdales i seront tournées vers la rondelle Y' sur laquelle seront fixées les tiges hélicoïdales d'; et réciproquement, les extrémités libres des, tiges hélicoïdales H seront tournées vers la romlelle Y sur laquelle seront fixées les tiges hélicoïdales d.

Si l'on considère deux dents ou tigee héliemdales d et ^ devant s'engrener ou se

O Ê m à mirê y nm pettt Itoi lw a oift -eawefKfr ^*iStè» s'agrafém f one faiitre & h lâçon de deux anneam d'une chaîne, de satieque Hr tige i tourne autour de ta tige ifj mm extréinUé Kt^reTenaoït -embrasser cette tige i'- près de ia rottdeHè T, pour qu^eowile, après un certain angle de révoffttion des axes, rextréraité libre de y se dégage de la tig« 8 ei près de \k rcndelie V.

On TMt tout de suite que les tiges tàlieoldales , fermées ainsi que nous nndt^ quons , ne ^nneront point le& surfaces géomélriques rigoureuses qui se met-» tmtetit. pendant ie mou'vement de rotation des axes en contact par des points qui se trouveraient rigoureusement situés sur fa droite géométrique ^.

On aura donc tout d*abord un frottement de glissement angulaire , et de plus les vitesses des axes ne seront pas ilans un rapport constant.

■aïs le frottemefft de glissement sera très -petit et les variations dans Fùnrfavmité du mouvement des axes seront aussi très - petites , de sorte que par un (ravâîl soutenu pendant quelque temps, les tiges i eid' s'useront réciproquement^ et Ton arrivera à avoir un engrenage géométrique.

Ce que je viiens de dire pour l'engrenage cylindrique s'applique évidemment à Tengrenage conique tH)i les axes se coupent, et à Tengrenage bypevbdoidique oè les axes ne sent pas situés dans un même plan.

•Ittf je dois ftrire um remfarque ^qui n^est pas tam importance.

Lorsque dims un engrenage lè fk*ovtement de glîsseiiient , qu'il scril'cffrect ou. afBgulaire , a 'lieu, les dettts sHraent Tune par Vautre, se déforment et tendent à prendre la forme qui permettra au frottement de roulementr direet ou angulaire, d^exister. Dans len ungrenugm ordinaires le profil des dents qui donne h freice* ment de roulement, n'est autre que les cardes prtmfftifil; de sorte que par Is* traFvail rengrcAage'M détrtfh sans cesde.

Dam Jes^ngreMgêS àla ITMbite, le profil des dents est arbitraire. If suflt que lefioint de contaitt'de^ut atouts se meuve Mr la ligne Ç; dès lors T^Bgresnfft pflT le travail déiruét sur ite surfaces % et c' dés dénis , tojjt ce<q«11 est nècenairc de détruire peur arri^r à la Hgne £.

Cette destruction «opérée, Tengremige n'en subsiste pas moins, en oe aen que les dents existent toujours, quoique leur forme prinrittve soit altérée par le Ira varf, undstperléelionnée^ amenée par ee mèmelravail à la fbrme géométrique wulue.

On «ooiiçofl' dès loin fue ^gm» -ces séries d^ngrenages» ilfaut que l'exécution pviiMtiw liasse p«u if 'flfHre«utfnviiit*^iesr<leB«8, sVisam fune par l'autre, afts^ quu>mi ny i onugo >pi H l so > l>e yi w maeuiwii tiwé en bewélaitfitt satisfaisait i kreon*^

dMuu dtoif^uiiumiM'de'f#iiAewMi«

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