QUI TERMINE LA DENT D*ON ENGRENAGE A LA WHITB

Mom âtom Ait dans 'le mémoire n* 9, ci-dessus, que lorsque Ton atait deoi eylindres derAfoltitfmriamfeiits Pan i Paftrtre suivant une génératrice droite *Bf, si Ton traçflh wr fe premier cjfindre une bélrce S et sur le deuxième cylindre une liélice S' en oontaet par rni ipoiiit ^ situé mria droite M, nous avons démontré ^ dis-je , que ces deux hélices S et ST roulaient f une sur l'autre si elles avaient «téme 4noUimison sur la génératrice M.

ftous'avmis.ensuite'ajoutéqne sfi Pon menait un plan V par îes deux axes des oylindres, et 'si dans ce plan P et parle point m on menait une droit.o arbitraire, et, ee qui est mienx dans la pratique, si fon menait une droite D perpendici)* laire i la génératrice ilf , let puis que par cette droite D on mena un plan Q (^9* 4 )i>erpeiidieuiaife au -plan P et dès lors perpendiculaire aux axes des deu^ -e^ndres , en traçant -dans ce plan deux courbes i ëi V tangentes entre elles an point m et ayant en ce point m pour tangente commune la droite D, en faisant 4(CMinier le pkml^ d^abofil antourde Taxe du premier cylindre, ce plan P entratflABt avec lui lac^urbe'^et lepointm parcourant Phélice S, et ensuite autour de Taxe du deuxième cylindre, ce plan P entraînant avec lui la courbe d' et le point m parcourant Pliéitee «,.la coorbe d engendrait une surface héticoîde A, et la eaurbe è' engendrait une surffice hélicoide A', telles que ces deux surfaces étaient en eentact au point m et en tous les points m^ ni\ etc., de la droite M , à mesure qu'en vertu du mouvement de rotation les hélices S et S' venaient se mettre en contact, et successivement par ces mêmes points m\ m", etc.

Mais ce qui précède ne suffit pas pour c^e Pengrenage à la White puisse librement fonctionner, car il faut que les deux dents en contact ou en prise puissent fiadlement se dégager Tune de Pantre» te an^uvoment de rotation venant à se prolonger; et de plus il faut iikipériettsenent que pendant que ces deux dénis sont en prUe^ elles ne s'opposent point, par certaines de leurs parties, au moih* vement de rotation.

Dès lors les oourbes d et d" ««.peuvent pas être arhîlraifes.

(*) Coaunuaiqué è h ^BociélÀ pbil«m|lique4e PaHs , 4au ^ eécisM du ^ mai 4 sa« . T. 0«

Si l'on coupe les deux roues de Tengrenage par un plan Q perpendiculaire aux axes y Ton obtiendra pour section dans le premier cylindre le cercle G' {fig. 9), et dans le deuxième cylindre le cercle C ; ces deux cercles seront tangents l'un à l'autre en le point m. Ce même plan Q coupera la surface hélicoide qui forme la dent delà seconde roue suivant la courbe d.

Gela posé : si le deuxième cylindre (G) tourne autour de son axe d'un angle a, le premier cylindre {C) tournera autour de son axe d'un angle 6, et les arcs mul du cei^le G et mit, du cercle G' étant rectifiés seront égaux en longueur.

La courbe d aura dès lors pris la position d, lorsque la roue (G) aura tourné autour de son axe de la quantité angulaire om

Or il est évident, pour que les dents des deux roues puissent s'échapper ou ne pas se gêner pendant ce mouvement de rotation ^ qu'il faut que la courbe d. soit en arrière du point n, , position que le point m est venu prendre sur le cercle G\

Dès lors il est encore évident que si la courbe 9 est telle qu'en tournant autour de l'axe (a) de la seconde roue elle puisse conduire uniformément le point m supposé tourner autour de Taxe (o') de la première roue , la courbe 9 aura la forme limUe , c'e8t*à-dire que l'on devra prendre pour la courbe i une courbe intérieure à cette courbe Undte.

Mais la forme de cette courbe limite nous est connue, nous savons qu'elle n'est autre que l'épieycloide plane engendrée par le point m du cercle G' roulant sur le cercle G supposé fixe.

Dès lors pour déterminer les courbes d et d" qui doivent kfte les sections faites à travers deux dents, en prt«e, par le plan Q, ces courbes d et d'étant telles qu'elles ne se gêneront pas pendant le mouvement de rotation de l'engrenage , il faudra emj^loyer la construction suivante.

s in.

Les deux cylindres verticaux {fig. 8) sur lesquels sont tracées les hélices S et S' également inclinées à l'horizon , seront coupés par le plan horizontal Q suivant les cercles G et G'.

Si l'on fait rouler le cercle G sur le cercle G^ le point m engendrera l'épieycloide E' \ si l'on fait rouler le cercle G' sur le cercle G , le point m engendrera l'épieycloide Ë.

Si l'épieycloide E se meut autour de Taxe du cylindre (C)t son point de

rebrousseinent m parcourant rhélioe S, on aura une surface hélicoîde-épicycloidale 9i si l'éiHGyclmde E' se meut autour de Taxe du cylindre (C), son point de rebroussement m parcourant F hélice S', on aura une seconde surface hëlicoideépicycloidale $' ; c^ ^eux surfaces hélicoîdes-épicycloidales 4> et 9^ seront en contact par le point m. Mais si Ton suppose que le mouvement de rotation est indiqué par les flèches F et F', les deux surfaces $ et 9' seront en outre en contact suivant l'hélice S\ en sorte que le frottement sera de roulement entre les surfaces $ et $', au point en lequel Fhâice S' est coupée par le plan des axes (o) et (o'); mais il sera de glissement en tous les autres points de Thélice S\

L^engrenage ainsi composé sera donc Vanalogue de celui que Ton connaît sous le nom de cames et pilons ^ où la dent cylindrique a pour section droite une développante de cercle, et dans lequel la dent frotte continuellement sur une ibème arête droite du menUmnet du piton .

Il faudra donc pour que les deux surfaces $ et 0' ne soient pas en contact suivant Fhélice S', que les courbes E et E' soient changées, et il faudra dès lors prendre une courbe d intérieure à la courbe E et une courbe ^ intérieure à Ta courbe E' ; alors les surfaces hélicoïdes <b, et $/ engendrées respectivement par la courbe S se mouvant sur Fhélice S , et par la courbe ^ se mouvant sur Fhélice S\ ne seront jamais en contact que par le point des contacts sucessifs des hélices S et S'y point de contact qui sera toujours dans le plan des axes (o) et (o) etsitué sur là droite M génératrice de contact des deux cylindres (C) et(CO.

§ IV

Mais les cylindres (G) et (C) doivent être évidés Fun et l'autre pour donner res pectivement passage aux dents en contact (d) et (d'), fig. 3. Dès lors la dent (i) doit être reliée au cylindre noyau (B) par une surface ,

et la plus simple sera un paraboloide «{^ engendré par le rayon om, se mouvant horizontalement sur Faxe (o) et sur Fhélice S ; de même la dent (d') sera reliée

au cylindre noyau (B') par un paraboloide ^' engendré par le rayon o'm^ se mouvant horizontalement sur Faxe (o') et sur Fhélice S'.

Or les dents terminées, l'une par la surface hélicoide (d) et le paraboloide 4^ , l'autre par la surface hélicoide {8') et le paraboloide ^\ se mettront successivement en contact par le point m se mouvant sur la droite M , si dans le plan horizontal Q la droite om ou ofn' ne rencontre pas en d'autres points que le point m la courbe d' ou d et cela pendant le mouvement de rotation.

Or : Fon sait que Fépicycloi(}e E. décrite par le point m du cercle G/ (construit

uir le r^ou^nn Ja cercle C pps. pouc diw^ns)ro«ltfM,fiw4» «fiitl*^^;

^otete !Çr (MftHmt «crie tuyom 0m 4n «cèrèfe C pm-pmif dJau i èi rejrronfaint sur 4e cercle C/, cendoît te rayon o'in. - .

^HfmrSra^onc impériensemeiK que fa courbe d soit iotérîeure â répicycloîde ^B. , et qaéla-cooAe^ «oît înférîeare â répicyclbîde E/, pour que les dents de Fengrenagenetpe* mettent deux à deux en^ contact que par un seul point chemî- Aant su^ la drokéM, et cela pendant te mouvement de rotation.

Tout oe^oe mnis^renom de dire aura tieu , que fengrenage se trouve intérieur on e rté r t e or ; la iig. 9 représente l'engrenage extérieur, il sera facile de faine Yëimre dans le cas de Tengrenage intérieur (^).

. Ce qtii précède nous révèle certaines propriétés ^géométriques dont ^ouLsaeBt tes surfaces liélicoîdes-épicycloidales.

Si l'on engendre une surface 4> au jnoyen d^ine épicycloîde £ dont le-poNU de rebroussement parcourt une hélice S décrite sur un cylindre 2 de révoluXion ayant pour section droite un cercle C do rayon R , cette surface sera un héticolde, car il est évident que cjiacnn des points de la courbe génératrice Etiécrîra une hélice situéesur un cylindre de révolution concentrique au cylindre 2.

Et si Ton trace sur le plan do cercle C le cercle C du rayon R'^ ce cercle G' étant le cercle générateur de Tépicycloide £ ^ le cylindre 2' ayant ce cercle G' pour section droite coupera la surface ^, en vertu de ce qui a été dit ci-devant ^ suivant une hélice S' ayant a^me iJV^KIU^son que TbéliceS.

La surface hélicoîd&-épt€yeioidale\4 «era donc coupée aMvut ées Mliceaec pv des cylindres de révolution de deux manières distînoles :

1* Par des {cylindres 2,, 2,f ^•.. de rayons différ^nibs «it OMKentpiques «u

cylindre 2 9 et les hélices auront. des Âcirâaisong cWTérafttes ;

2* Par des cylindres de même rayon 2', 2/, 2,^*. tous .tangents au c^liadre 2, et tes hélices auront toutes même Lielinaison que rhélice ^S direetrîce du mouvement hélicoïdal du point de rebroussement de répicycl(»de génératrice E.

■^^"^^■*«^W"^^^^^i»i^P""^^P"ii^ii«»-"W^-*^i^^<P*W»«*iWBP*"i"^i^iii*"iW-*-

(*) n y 4<Miià pliwleiirs aani«s.q|ie j'ai ffominani^ 09s cdmidérsMoM fgèMÊ/Hr'iqaeg âmes éïèves , soit ^ À l'Ëcole oenlnile-des a«la et manufactures , $oii au Goiwervaltire royal dea arto^tiaéliars. T. O.

— st* —

lîtlî

La f>ropfiété éaonoéek ci-ikssu*, § 1, uwfk lieu , que VépkyiAmdmE soit exiérieare- OM .inliérîeuM: a^ 'Oereia G.

Si donc le cercle C a son rayon R' égal à la moitié du rayo» R , Tépi^ycloide E oe sera aulre que te rayon R du oerde G. Dès lors la surface héiicotde-épicycloidale $ deviendra ta suf^faea du filetée m earrée.

La surface du filet de vis carrée jouit donc des mêmes propriétés que la surface hélicoide-épicycloîdale , et elle en jouit non parce qu'elle appartient à h famille des surfaces hélicoîdes-rectilignes ; mais parce qu'elle appartient à la famille des surfaces hélicoïdes-épicycloïdales (*), et ainsi parce qu'elle es t une particularité entre hs surAieés hélîw^eè^ptcjcloid^Us^ntérieures.

MUte'lér^eJâ surface béfiicoide*épic7cl<rid^l0 est extérieure , le rayon R' du o0M)ftC'pe«t (tefvettif itrltoî ; dans ce cas j la surface # détient une suriace dévelop* fHMe,carell& devient «ne suffaee hélicoîdedévetoppatte, puisque Fépicydoïdè E devient une développante du cerclé C; et en eflfet, ne sait-on* pas qpe , qûerque soit le pas de rhélice S tracée sur le cylindre de révolution (G), le plan Qde sec^ tion droite de (3e cylindre coupera la surface développable formée par les diverses tangentes à cette hélice S suivant une développante du cercle G? Et dans ce cas, les Cylindres 2^ ijf l/v (§ V) ne sont autres que les plans tangents au cftioAre} (€) ^ «t^tai kélioes de section ue sofli aultes que fies «ang«fnl6s de l'hélice S.

Aiim^ 1» surAtee liéKeoide développable apparliefit à itkfomUlb des surfaces hélicoïdes-épicycloïdales diies extérieures. EHis M Mt «M potlieubrMé;

§vii.

Lor^(lue Ton considère on cerdè C du rayon R et un d^cl'e G' dû ra^^on R'rrr^R'et qui hiî est tangent en on point m , Ton sait que le cercfe G\ joulànl intérieurement sur Te cercle C, le point m décrit te rayon ^(ft§. 4).

Si l'on comtroU donc une série de cAroles' <S. ^ C, , C,,... ooncentriques au cercle G et ayant respeclivcment pour rayon R,, R,, Rtv et si Ton construit ks 6êrellôyC.VC;,€/,.- «y«"»«^ w«pe«î'vwiem pMrn^oti n/ss^fR., R/arfR,, m^:st^9i;,... h»^Ê9ëléè C, «r C,\ C, et 0.', C^^C^,... étMt tangente Tun à

(*) Yoyex dans les Développûmentê d$ géomélgie ducrifUvey^f^, i%p. 52HVB*dd«aiMU«Xioo<UJi»6le ce l'existence de ces propriétés pour la surfaee dU ffiél dé Vis carrée.

Tautre et respectiTemeiit aux points m. ^ m. , m,, ... en lesquels le rayon R prolongé est coapé par les eercles ooncentriqaes G, , C., C„... Ton Toit de suite que les eerdes G/, G/, G/,... roulant respectivement dans le même sens et intérieur rement sur les cercles G,, G,, G,,.«. les points m, , m., m,,.** engendreront tous la même épicycloîde intérieure qui ne sera autre que le rayon R supposé pro» longé indéfiniment.

En sorte que Ton peut , en vwta de ce que répicycloide intérieure et recti* ligne R a une infinité de cercles générateurs , énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une êurface de filet de vis carrée , si on la coupe par un cylindre de révolution 1 dun rayon arbitraire p, et ayant pour axe taxe k delà m, oit aura pour secUon une héliceSet si Concoupe la même surface par un cylindre de réoobuian passant .par Vaxe À et tangeni qu cylindre 1 on obtiendra pour section une hélice S'^ et les deux hélices S et S^ auront mime inclinaison par rapport à l'axe A*

i VIII.

Tout ce qui précède étant compris , cherclions si un cylindre ne pourrait pas toucher la surface hélicoide-épicycloidale suivant une hélice.

tloncevons deux cylindres de révolution ayant pour sections droites les cercles C et G' {fig. 5) tangents au point m.

Traçons sur le cylindre (C) une hélice S partant du point m et faisant avec Taxe (o) de ce cylindre un angle a.

Traçons sur le cylindre (C) une hélice S' partant aussi du même point m et faisant avec Taxe (o') de ce cylindre le même angle a.

Les deux hélices rampant Tune de droite à gauche et l'autre de gauche à droite, de tnânière à ce qu'elles roulent l'une sur Tautre pendant le mouvement de rotatkfB uniforme des cylindres (G) et (G'} autour de leurs axes (o) et (o').

Gela posé :

Traçons dans le plan horizontal répicycloide engendrée par le point m du cercle G' supposé rouler sur le cercle G et faisons mouvoir horizoutalemeat cette courbe épicycloidale de manière à ce que son point de rebroussement parcoure l*hélice S , nous engendrerons une surface hélicoide-épicycloidale E , qui sera coupée par le cylindre (C) suivant l'hélice S'.

— «ai —

Cela posé: ^ ..

Covpons la Miface E par une scrite' de' plans horisontaui et équidistants entre en y nous aurons les courbes épicydoidates i, y» li'^... coupant T hélice &' et respeciivement aux points » y »\ xl\*.. et rencontraiit Vh^iîc^ S et respectitement aux points n> nVn",»..

Les tangentes aux points x, x\x'\... des épicycloides de section seront dési-> gnées par i, t\ i\... et leurs projections sur le plan horizontal seront t^y l'^^

1^'^... droites passant toutes par le point i extrémité du diamètre mi do cercle G qui est le cercle générateur de Vépicycloide ayant le point m pour wigme ou point de rebroussement.

Les tangentes aux points «, ai^ «V^, de rhélice S', étant désignées par 6» O'i 9",.**l^tirs projections sur le plan horizontal seront 6\ 0'\ 0"*y..« tangentes aux points ofy x'^, x"\... au cercle C^qui doit être ici considéré comme la protection horizontale S'^ de rhélIce S'.

, Cela posé :

Désignons par T, T\ V'j..^ les plans tangents menés à la surface hélicoide E et aux divers points â:, â?\ a;"',...

11 est évident que je plan T passera par les droites l et 9

— . r — l' et 0'

— T" — i^'et e"

— etc. — etc.

Or : les plans T... seront les enveloppées d'une surfoce développable A tangente à rhélicoîde E suivant Thélice S'. .

Mais pour que la surface développable A soit un cylindre, il faudra que les plans T«,. se coupent deux à deux, suivant des droites parallèles entre elles. Et U est évident que ce résulat aura lieu , si Ton peut mener par une certaine droite de Tespace une suite de plans 0)... respectivement parallèles à la série des plansT....

Hais si nou» nous rappelons que nous avons mené tles plans de section éqhidistants entre eux , désignant par z , %\ %"j... les hauteurs respectives des points Sfofy a;'V*« au<-des8M du plan borizmtaK on aura ^^esi2 .» y %''ss:8.%y...

Si Ton abaisse tons les points a?, x'y x'',... deTespaoedans le plan hortsontal, iii iriendront se «nperpdser respeeiivmient sur lenrs projections «^, x'\ »"*,«.. et Ton anft sopposé dès loi» que rhélfce S' est transformée en le cercle C

Et les Ungentes 0, 9% 9'\... descendront en des droites G » G^ G'\... (MMuani lespeetivement par hè p»wiM ^^ j^, «"\.^« dtt eertb G'.

Et comme ces droites G, ... sont également ioclinées sur le plan é^^ttr^Vy ai se pyi^atimt haf i»cwtolMtti>UlBiimot 4e> to » g w K a> i «»>eCNfo, eU«» tewiot k»gÉn4«rtij|«Pft4*i.pr«miei» uyAènie 4fuil.IfcfpeHK>ta*de.à4i«é ••«ffr.ekidft ré«^ UUM& i»y»1 H dneiw (o') pourrie ei le ccwlfi-C' poufodrcte de gorge.

Par les mêmes raisons , les droites i, t', «",... descendront sur- le plan tal , et eiBsi sw le pfcw da nft^ft^C'^ pi>r j»ft|Jaèar m pt U i iir ai -n t .e>vb«

«*,A<'Vh. .•■:.■•■

GeUi posé f ~ii est^Yident :

Qw le plan ^ pasainlt par k«'. droiies G «I "i* sera pwnllèle an pten T 0' — G' et <* — T*

— etc. — •**■ "" ***•

Or tous les plans 0,... passent tous, et évidemment, par là drdîle ffionehée par

le point i parallèlement à la droite A tangente en m à l'hélice S' ; car la droite \

est^Ine génératrice du premier système (du système G . ..) de l'hyperboloîde 2et

la droite B sera évidemtùent one génératrice do second système de ce rnSme

hyperboloide 2. , , • . ▼ t'

Ainsi se trouve démontré d'une manière très^imple que tous les plans T, T , T'' se coupent dbux à" deux suivant des droites parallèles entre elfes, ou en d'autres termes : ainsi se trouve démontré que la surface développable A est un cylindre dont les généralrices droites sont parallèles à la droite A , laquelle est une tangente commune en m aux deux hélices S et S'.