I IX
Dece qui préoèdfe, on déduit le théorème suivant:
TSÉOitàlfE.
rayon de mkà^l^jAmii^ e<^i0).m.<m9h'm,M.l^mde •^«^^•-^ fluanl no«r «edion droite m mékéUrmftJf^.^mgmmi>9Mm i^Umtmmm>^
perpendicuUttre à la projection L* {sta^ le plan du cercle C) du rayon de bmétui'L^
vL^ théorème j^récé^ent doit être vmi^,^ quelle quQjipjt la sur&ce bélitfHMJbéplt^jcToidale E , ainsi .: 1'' lorsque coUd: surfacei K éiàtïi extérieure k cerde C Mfa une droite tangente au cercle C^ auquel es» Je i^^yon R' est supposé infini.; aînai» 2'' lorsque cette durface E étant intMeure^.\e cercle G' aura son rf^^MÎ R',éptl.i la moitié ^u rpyon R du cercle G.
Dans le premier ca$ la surface E devient un bélicoîde dévelofipabtte ^ et daas le deuxième cas la surface E devient un hélicjoide gauchit qui n'est autre, que ,1a surface du Çlet c^ vis carrée.
Dansjle premier cas, Ja surface hélicoîde développable ne peut offriruneJjgM de séparation d'ombre et de lumière qu'autant que le rayon de lumière fait avec Taxe (o) un angle égal à Tinclinaison de 1 hélice S (arête de rebroussement de la surface) , sur ce même axe (o); et lorsque les deux angje^ sont égaux, laijgne de séparation d'ombre et de Lumière est la. génératrice droite de la surface développable qui se trouv^ parallèle au rajori de lumière (*}. ,
Dans le deuxième cas , quelle que soit Tinclinaison du rayon de lumière par rapport à Taxe (o), la 1 i^ne de séparation d'on^bre et de lumière existera toujours sur la surface du filet de vis carrée; elle sera toujours une hélice, parce que cette surface peu tâtre K^oupée suivant une hélice pac tout oylindre passao^par Taxe (9) , et qUelle^ue sôit la grandeur du r^on de ce cylindre (**).
TiMK ce qoe notis atons; dit^,précédeminent est yni , quelle que soit la natare d«l« eoorbe S> ainsi lorsque e^te courbe Sest une courbe arbitraire 9 et 000 une hélice, mais étant toujours fraoée sur un cylindre de révolution.
Concevons deux cercles Cet C, l'un du rayon » et l'autre du rayon R», et tracés tous deux mr le plan borixontal et tangents l'un k l'autre en un point mdésignons par.(C) le cylindre dei évolution «t vertical ayant le cercle C pottr section droite ei étant dit : cylindre du rayon R; désignons par a l'épicycloïde engendrée par le point m du cercle C, ce cercle C roulant iniérieuremeni ou extérieurement sur le cercle C; désignons par (C) le cylindre de révolution et
n^^yezci-awnt «eqoe bow MtaBtiit au {mmier li«r« (det om»r<t) <Ibih le mémoira n» 8. ». 413 ( ) Voyez ci-avaDt ce que nous avoa»dil«wpnMier 4Wra (teoM«|^)4«iiS'le lOéaoin n*-«{ffc;«.
Traçons sur le cylindre (G) une courbe 9 arbitraire et passant par le point m origine ou rebroussement de répicyclcAdé 9.
Faisons mouvoir horizontalement la courbe 9, son origine m parcourant la icènrbe t^y' noua engéndrefbns une surface ï (\m sérâ dite : mtfacé épîcycfdidale férule et cgUndriqttê ( epicyci^fide parce qu^elle est engendrée par \iné épicycfoide , gékéràlé'pi)rcè qiteh Courbé 9, ligne de rebroussement de éeiié surface, est arbitraire , )cgthiârique pdivce que h courbe" (j est tracée sur un cylindre ) /
Celadit: . - ., ...
- €6tipons la surracé 1 par lè cylihdre (C) , noué auront une éô'urïJb 9, et îf est 'évident, en verttf dé <5e qui a été dît précédemment et en vertu du ttode de génération de la surface 1 que la courbe 9 sera telle, que siTon fait rouler' fe '^lîndi^é (C^ sur le cylindre (C) supposé fixe^ elle roulera sur la courbe 9,' les *Wtirfees 9 M 9', ayant en t;baque point de contact même tangente; en sorte que 'lettrs Àrdi éôtbpris entré dèut' plans Tiorizodtaux auront même longueur. * Cdà poèlë) n'ôbS potivonâ énoncer le tbéorcme suivant : "*' SirtMûoûpeia Mrface épicgclàldate-génêrale et q/tindrique Ipar une suiie de q/Hndres du rayon ÏC (R' étant le'¥agon de téplcyclaide génératrice) tous tangents au cylindre '(fil fàyM^lA, tur 'lequel té trouvé itdcée la ligne dé rebroussement 9 de ta surface , fou '^cètàendra une stàte de courbes 9', 9/, 9/*.. qui pourront toutes rouler sur la courbe^.
On peut engendrer la surface 2 d'une autre manière : • Gônrcetonslef cy4iadré (C) et une suite de cylindres (C), (C/), (G,').., du même rayon R' et tangents au cylindre (C); traçons sur le cj^lindre (G) une courbe arbi*traire 9, faisons rouler le cylindre (C) sur le cylindre (G")» 'a courbe 9 laissera pour empreinte sur ce cylindre (G') une courbe 9 ; faisons rouler successivement le cylindre (C) sur chacun des cylindre (G/), (G/).., (ces cylindres étant supposés fixes), nous aurons les courbes 9/, 9/»*..' et toutes les courbes 9^- 9i 9.9 ^»*«* détermineront une surface qui ne sera autre que la surface ly et qui jouira dès lor^de la propriété, savoir : qu'une suite de pfans borÎKontaux la couperont suivant des épicycloides toutes du rayon R' et ayant chacune leur origine^ ou leur point de rebroussement , situé sur la courbe 9. *
8 XIL
* Toutes les remarques faites au sujet de rengrMage cylindrique de White, peuvent être faites au t^jet de Tengrenage conique.
Et en effet : . .
. On sait que m Ton a deux eerdes C et C eitàée dans des plans différents et tangents l'un à Tautre en un point m, on peut toujours faire passer Une sphère A par ces deux cercles, cette sphère ayant pour centre le point cf en leqoel se coupent les droites menées par les centres oet o' des cercles G et C\ et <{Uf secont peapectivement perpendiculaires aux plans de ces cercles. <
On sait encore que, si l'on fiiit rouler le cercle C sur ie cercle G , de manière à ce que Tangle des plans du cercle Rité G et du cerde mobile G' rèsie constant » le point m décrira une' épicycloïde sphérique d située*sur la sphère A.
On sait endoire que si Ton regarde le point d comme le sommet commun à deux cônes de révolution O et O' ayant respectivement pour base où section droite les cercles G et C, pendant que le cône O tournera autour de son axe, la courbe i conduira le cône O' en le faisant* tourner autour de son axe, et cela en pressant sur le point m et le forçant à cheminer circulairement sur le cercle G'; de telle sorte que si Ton considère le cône épicycloîclal (d, i) il conduira la droite (dj m).
On sait encore que si l'on construit. des sphères concentriques A^ A^^y^A'^v ayant toutes le point d pour centre commun, elles couperont l"" le cdfie épicycloîclal ((/, è) suivant des épicycloides d', d'\ ^'\... 2"* la droite (d, m) en des points m'f m", m'",.,. 3' le cône (d, G) suivant des cercles G,, G,, t,,... 4* le cône (d, G*) suivant des cercles G/, G/, G/,... et l'on sait, dis-je, que les cercles G/» G/, G/,.,, roulant respectivement sur les cercles G,, G,, G,,... leurs points respectifs m\ m", m'",... engendreront les épîcycloïdes 3', i", d'"r--
Gela posé :
Si Ton trace sur lé cône (d, G) une courbe arbitraire ^ pasisant par le point m, etsi Ton suppose que celte courbe éoupe les cercles G, G,, G,, G,,.«. en les points nr, n\ n'\ W"^^ en faisant tourner la courbe d' jusqu'à ce que son point m' vienne en n'y elle prendra une position d/, la courbe j^' jusqu'à ce que son point m' vienne en 7}"... , elle prendra une position i/\ et ainsi de suite, les diverses épicycloides ^, d/, àt"f i.'"»»** formeront une surface diterai^ri^^ épicifctaidaie-générale et conique 2, et cette surface 1 sera coupée par. le cône (d, G') suivant une courbe <f qui sera tefle, que si Ton suppose le cône (d, G) (ixe et le cône:(d, G') roulant sur le cône (d, G}, cette co^urbe ^' roulera directement sur la courbe f, en sorte que. ces deux courbes 9 et <p' auront même tangente en chacun de leuié contacts successifs/
Et si l'on coupe la surrace 2 J!)ar une suite de cônes (d, G',), (d, G'.) (d, G',),*., de révolution et ayaut même angle au sommet que le cône {d, G'), ayant tous
pour sommet commun le point d, étant tous tangents au cône (d, t)^itm dbtiitidra .4tf>»fiuitride<C(Hurbej^ «s ^/^^W».»^ ^i p^rMni «onMtf rtuion sîMrteiciNirb»^.
:a«t9e elles*
L'épicyeloide d peiftl.èir«io«e.<iroiie; ém^ oe cm tes dent eercies G et C sont ilHiftpinnt sHués^dani «ua tQÔjtOfr pJao ^ et le o^nHe- G' est intéiwwaii aœndis G, ^0B ray#n R' «ét^ivt'^ai à ia moine da pftjton R <kt>eeHde Cf ^otrréptqpeVrids 9 est une dr.«il#iparp»e«l«wl»lff6à i'Mt {d^oy^la «otreV du oeécleiC^^démfiiJin c^f^.J^^jaiitle poini ap^r^^entreet ajiaoï.soa rayon é^ k.^U «=37 iU
Sw li*axe<49 #)iJii^i|i:'P«wr0A».f«eBdre un p0iiu aoUivMn i^t infiréw^ce poink QM11OI0 ikiMiMae* ocwciuii iidaux oôms, r«o àmMréiféiÊtim et ayMrt le ^eofute G pow toseï» ^«llMitre #M^ftre: et: ayant le ceoch G'* p^uslnae.
€Difoii»^»<y itè i C 'de«cw dfn^ <6«8B>p»i^ me s«îie de'{Mras 'parMIëles ^mre en elfMpaiidfcutiîiw à Tnice (d, -^ , nous oèttendrmi^ dans le édite (é,C) tttie suite de cercles G.^ G,, G„... et dans le cercle (d, C) une suite deéérdklis^/; 0/, G/,^*; ksQeriOlwC/^ C4\*G/,^..rimwiriaillreepMtâœmeiil<aiir/iM{«»rdesC;^ G,, G^,«.« e«|€ndreroat4^éfiii^k>idwfqtii«eMMotaulteBipiôlei^r^^ K^^fl,, R,,. .. d<fi mmIcs g. , g,, 4!, r€lip|>^éS(>^i^««
Le ^M ^4ous ces rd^yoQ^'OQmp^fSi^'lodtfnê {é^ C.) «ui^aiitHine droite % Cfui sera la géoéMlnee de coofact des dMW «èoéi» (d, G) «i (d/C).
Cobfné:
Traçons sur le cône (d, C)4]iierOourb#^els|ipp>so«94qfti*iine-dMAeG<senieit^e perpendiculairement sur Taxe {d, o)y et en s'appujant sur la ce«fllNi <|^, «nous engendreraa$iuoas;uiiaca£ q/o^ft^K^ ôtre iprevnière vqe, pas soa-iKiode^teipénération (si la cou^>e «^.est une spiraie conique), ran9dogtte|.daiU& le ^t^nn^cofti^v^, de la loirfaee.quiduns le sijf^tème: egUud^içue e&t dite ; surËieç 4lu ^/er ée.vh Pun^*
ËMwinonsi si jc^U^ ./s^iH^ee Z jpuii en effet à/» propciébu ^èwélri^pies am* lofues à celles dont j^ j l la. surfaee 4u fi let de via ear eée.
G0ficeitoifta*ie-cô«e ^é^ il'), it comperii ia surface I raivant uoecoirrbe <p'; stia «Mrface jB jouit d&pMpriéiès gé^^métriq'ues analogues à la surftce du tAei de^Tts carrée^ il faudra qoeles courbes 4 <^lt <p' roulent Tune sur Tautre pendant quêtes ^aéoesf était {4>^ £;) et 0bliquê-{d, C) rooieront l'on sur Tnulre.
Or : ?lesi1ne toute évidence que ce résultat ne pourrait crisler qu'autant que les cercles G et G' rouleraient Tun sur Tautre pendant le mouvement de rotation dos cù^i (<f ,.)Q) et (d , )C' >, et il est évident que dans un semblable système, le rmlsmim des cercles Q»evC' nt peut avoir lieu , donc , etc.
. Ainsi la surface précédente 1 n'est pas drtns le système conique Tanalogue de la surface dite : filet de vis carrée y qui exiétcdatas le sy&lème cylindrique.
La surface du système conique que nous cherchons sera donnée par une suite d'épicycloîdes sphériques intéf*ieures engendrées ainsi qu'ir soit ;
Concevons urc série de sphères S, S', S",... ayant loilies pour centrer commun un pointe/.
Menons {>ar ce centre une droite  et une suite de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à cet axe À ; ces plans couperont les sphères suivant des cercles C,. C., C,,... Taxe A percera les sphères en»les points a, (/, a";... menons par le point a un plan tangen^ au cercle C, il coupera la sphère S suivant un cercle C ; menons par le point a' un plan tangent au cercle C, , il coupera la sphère S' suivant un cercle C/et ainsi de suite.
Si nous supposons que tousi les points de contact fn^ m\ m" y., des cercles C et C\ C, et C,VC,etC/,...sont surun mémo plan passant par Taxe A et que les cercles Cf.C,, C^).'* ^^^ ^^^^ situés sur une même surAtce conique droite ayant la droite A pour axe commun, alors les plans des cercles C, C/, C/,... seront parallèles entre eux et feront tous le même angle avec la droite A ; de plus ces cercles C , C/, G/,... seront tous sur un même cône droit ayant le point d pour sommet. Les épicycloîdôs sphériques et intérieures engendrées par les divers points m^ m\ m\... des cercles C, C;', C/,.-- roulant respectivement sur les cercles C, ^,y C., supposés fixes, seront toutes sur un même cône ayant- le point d pour sommet.
Si Ton ne considère qu'une seule de ces épicycloldes , celle engendrée (par exemple) par le cercle G^ roulant sur le Cercle G, on pourra tracer sur le cône droit (d, G) une courbe arbitraire cp passant par le point m, et Ton pourra engendrer une surface 2, épicycloidale générale et conique, comme nousf avons fart précédemment, et celte surface jouira évidemment de la propriété d'être coupée par tout cône droit passant par Taxe A et tangent au cône (d, G.) suivant une courbe qui sera apte à rouler sur la courbe 9. Si au lieu de supposer que les points m, m'y m'y... sont avec Taxe A dans un même plan, on suppose qu*ils se trouvent distribués sur la courbe ^ , alors les épicycloîdes sphériques et intérieures engendrées par les cercles G^ G/, G/,... (qui ne seront plus sur une même surface conique de révolution ) roulant respectivement sur les cercles G , G, , C,, seroiH précisément les génératrices épicycloidales de la surface 2, , elles seront toutes situées sur cette surface 2,.
G'est cette surface épicycloidale-conique , toute particulière , qui est dans le système conique l'analogue de la surface du filet de vis carrée qui existe dans le système cylindrique.
I XHL
Maintenant, en vertu de ce que nous avons dit sur les épicycloîdes sphériques, nous pouvons déterminer, pour les engrenages coniques de White, la forme de la courbe qui doit engendrer la surface d'une dent, cette forme devant permettre aux dents en priée de se dégager facilement Tune de l'autre au moment où elles cessent de se conduire.
Nous opérerons comme dans le cas de Tengrenage cylindrique; ainsi ayant les deux cercles primitifs G et C tracés sur une sphère S ayant le point d pour centre; ces deux cercles étant en contact par un point m, nous tracerons dans le plan du cercle G' qui a son rayon égal à R' et sur R^ comme diamètre un cercle G/. Le point m du- cercle G/ roulant sur le cercle G engendrera une épîcycloide J qui sera la limite de la forme de la courbe qui doit engendrer la surface de la dent fixée sur le cùne (G).
Nous opérerons de même pour la surface de la dent fixée sur le cône (C), nous prendrons pour limite Tépicycloîde sphérique décrite par le point m du cercle G, tracé dans le plan du cercle G et sur son rayon R pris pour diamétce.
Ensuite nous terminerons la dent fixée à la roue conique (G) par une surface gauche engendrée par une droite, s'appuyant sur Taxe (d, o) de celte roue (G), et sur la courbe 9 (spirale conique ou toute autre courbe ) tracée sur la surface de ce même cône (G),
Nous en ferons autant pour la dent fixée à la roue (G").
Et nous serons assurés que les dents ne pourront se mettre en contact que par un seul point, pendant tout le temps de leur mouvement de rotation, et que ce point décrira la génératrice de contact des deux cônes (1/, G) et («f, G').
C0N6TMCTI0N Dfi DEUX MOUTBAUX «MGREllAGeS A FBOTTBIUltlIt 1>E ' ftOOLBUBIIT
ET A VITESSE PiRIODfQUBlIBNT TABltB (^).
