PREMIÈRE PARTIE
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Nous allons examiner d'abord, entre tons les modes de transformation que Ton peut imaginer pour passer d'une courbe polaire à une courbe à coordonnées rec* tangulaires, les deux modes particuliers suivants, parce que nous en déduirons des applications qui peuvent être utiles.
SI
Pretnier mode de transformalUm.
I • Soit {jig. a) une courbe 9 ayant le point o pour pAle et la droite X pour
origine des angles » , de telle sorte que désignant par m l'angle a'oa ou l'angle
que le rayon vecdBur o'a (que je représente par p) fait avec la droite X , l'équation de cette courbe è soit :
Si du point o comme centre et avec oa pour rayon je décris un cercle, il viendra couper la droite X en un point a. ; et si de ce point a, j'élève une droite Qtb' perpendiculaire à la droite X, et que je porte de a, en b' une longueur égale à Tare de cercle aVi, rectifié , j'aurai un point fr' qui appartiendra i une courbe i' qui sera la transformée de la courbe i.
L'équation de la courbe d' s'obtiendra facilement^ car on voit de suite qu'il
suffit y pour l'obtenir, de remplacer dans l'équation (1) p par a; et m par ', en sorte
que l'équation de la courbe if sera : f(x^ * j =0, et cette courbe ^ sera rapportée
(*} Les priocipee géomélriqoei el une partie des rteiltats eipoeés dan» oe ménioift loot eilraite du mémoire que j'ai rédigé en I SI 7 et qui accompagnait le projet de machine (cette machine avait pour but de tracer des hélices ou êpiraUi cylindriques , coniques , clepsydres et hyperlx>lcïdiques ) que j*ai été chargé de faire , comme travail d'éludé , alors que j*etais élève sous-lieuleiiant d*àrtillerie à l'École d*a^ p!ication de Metz. — Foyex le commencement du mémoire n* 5. f • 0»
à la droite X comme axe des a: et à la droite Y menée perpendiculairement à la droite X par le pôle o ; cette droite Y fBrd Taxe des y et le pôle o sera Torigioe des ooordonnées rectangulaires^
^. Au iîw de pdr^ttdve^ IWdoBiiée «>' égnW à l'mrc^reetirié a^\ on aaraii pa la prendre ^ale à m Cm o^^are , 4an« oe-fm TéquaÛMi da la courbe Saurait été :
3. La transformée d'ayant pour équation/ ^^,^^=30 jouit d'une propriété r^inar^ltMbleiiftr rapport à k: «oondoe |mhîre i.
Si ToQ cowîdère le pttini «,:ea lequel la eourbe pabire i ooif)e la droite K.^ on voit de fluke que la iraoaforjnée ^ passe néceSBairement par ce point ; mais^ en outre, en ce point les deux courbes S et ^ ont même tangente, et en elEét h
La tangente 9 au point a de la courbe polaire i {fiy. a) a un élément rectiligne
et infiniment petit am en commun avec la courbe ^
Or , si (Jig. M) on a une droite 9 coupant ime droite X en un point a , et si l'on prend sur cette droite 6 un point m infiniment voisin du point a, et que d'un {tayit § situé iiijur. 1» ilattt^ *&^^ «et conaUérè conaifte centre , m décrive Tare mm, ,
l!angle moa ^ni iaftntmeitt peiit , Tare «un, du C6rcle C seca awisi infinJiMait petit et se confondra avec sa tangente T menée au point m^ > en sorte que , ^l sur cette tangente T on porte de m, en n l'arc rectifié mm^^ on auca un point tt qui se confondra avw le point m ; car l'jirc 4Dtn« doit rigoureusement être considéré comme un élément rectiligne perpendiculaire en m, à la droite X , et dés lors le point m eM néeessatieiieM simé sur la tangente T, puisque la tangente T au pml m, dneerdeC (sur lequel se tre«ve compté Félément mm,) a nécessaireiMfit un éiément feetHigne^eommmi âvec t;e cercle G.
k. Lorsque la courbe d'à pour équation /[â:, —J=:0 9 la même propriété idJwslei c» m J10116 dëaîgnDM |itr l' la courbe 4oat réqpnti#n «st /f», x)"^^
et par 9, la cout'be ilont l'équaiion est fix^ ^ j=0, nous savons que ces deux
Mwb»a:9(Nitlaii9ttitn»i'«M à l'aolra aufmnUit ea JeqMl élks oMpeM 4^tlM et l'autre la droite X ( ou , en d'autres termes, l'axe des xjj[^.
tn Tèyttt \eê BMiapff$menU âe géoméirh dêêcriptive^ chap. U, p. S4. B*aiUeurs œ réaulM^ «I éYidenl jur ttttnoTyw, f^haquefare mm^ est uainfinimefit petit du premier ordre doDi feiiprefiSMii flU f;âtà, «t qd^^ VMrtifprraiHt par uoe quantité Goiem^Do aura : m,h^, qui «era totyouruiQ infinioieRt petit du premier iMm.
— 3*4 — m «D ^mâm, fat tnmhnaèiT vj^mt ^wt éqm^n fi^^ |j sV, «t toutes les
Iransformées a, ayant pour équation générale : /(x, ^Vs0>cMpflfOtat mMtiir
droite X au même point a, et les courbes 9, f et 9, seront tangentes entre eHes en ce même point a.
in*
UeuaAème fnode de iramfotmaiiam.
S. Soit donnée une raurbe plane 9 {fig- c) ayant le point a pour ;)(j/e et la droite Ti pour origine des angles (o/ Tèquation de cette courbe i étant ^
Du point comme centre et avec un rayon égal à Tunité décrivons le cercle G coupant fe droite K atr point p.
Gela fait : considérons un point queltonqne a' sur la courbe polaire Z donnée^
et décrivons du point a comme centre et%vec le rajon vecteur p = oa' un cercle qui coupera la droite X en un poTnt a. \ élevons en ce point a, et perpendiculairement à la droite X une droite a^b% et portons jsur cette droite et à partir du point
a, une longueur a^b' égale à Tare rectifié pq' compléisur leiiercWC^en^rô la drokf X dt le rayon vecteur m') ; aa 6^is«nila même construction pour k» divers pgîitt a, al y OL^^.. de la courbe polaire et donnée d, on obtiendra une suite de pokifts a, b\ b"...^ qui détermineront une courbe d. qui AWilaûnm^in^ao caotdonoéM rectangulaires de la couxbepciotre (donnée) d, et il est évident que Té^vation et la courbe dt sera : /(;c, y) =»0. Car il est évident que dans réquation/(py ••)sbO de la courbe 2, il suffira de remplacer p par « et <« par j/, pour avoir Téquation de la courbe 3.% puisque la courbe G a pour rayon l'unité et que ses arcs mesurent.
les angle» n'oa^ a"oa ,.... que les rayons vecteurs de la courbe nofaîr^ d font avec la droite X origine des angles ».
6. Au lieu de prendra aM égal à Tare rectifié pq' du cercle G, on aurait pu
prendre a,6' égal à m fois Tare rectifié pq^y et dans ce cas les divers points b\ b".... auraient déterminé une courbe 9/ dont Téquation serait :/(x, m.t/) = 0.
7. Nous devons faire remarquer que la courbe 3. ou 3/ est tangente à la courbe è au point a en lequel L'une et l'autre de ces courbes coupe la droite X (origine des angles o)) , car nous pouvons ici , comme précédemment (§1» articles 3 ei 4)^ appliquer le même mode de démonstration.
' 8. Qèel qaé soil le ilïode de transformatioir employé pour passer d'ane courbe i k une courbe d'y lorsque ces deux courbes iel^ ont un poîm ooniuni a , ces deux courbes ne peuvent affecter eu ce point a que deux manières d'être Tune par rapport à l'autre , et ainsi :
Ou 1* elles se couperont en ce point a ;
Ou 2* elles seront tangentes Tune à l'autre en ce point a.
Or : soit par les considérations de Y analyse infinitésinuUe , soit par les considérations géométriques des infiniment petits que j'ai exposés dans le septième chapitre des DévehppemenU de Géométrie descripûoe , il est évident que , si les deux coordonnées (lignes droites ou lignes courbes) qui passent par le point a. Tune appartenant à la courbe i' et l'autre à la courbe d, se coupent en ce point a,, les deux courbes d et d' se couperont en ce même point a ; et que si les deux coordonnées sont tangentes en ce point a, les courbes d et d' seront aussi t^ngentea l'une à l'autre en ce même point a.
9, Ainsi , étant donnée une courbe polaire i (Jigf d) ayant Le point o pour pôle et la droite X pour origine des angles » ^ l'équation de la courbe d étant : f(p, &)) = ;'nous pourrons prendre sur la droite X un point o', et de ce point comme centre et avec les rayons op, y op^ , op^^.... décrire des cercles sur lesquels on portera des arcs p,b\ pj}\ p,b^"j.... l"" égaux ou 2"" proportionnels aux arcs p,a\ p^a!\ Pta"\.. . . les divers points b\ 6", o'''... . formeront une courbe ^ qui sera tangente à la courbe 9 au point a.
10. Ainsi , étant donnée une courbe polaire d {fig. e), nous pourrons prendre un point o, hors de la droite X comme pâle de la transformée 3^, et alors les deux courbes d' et d se couperont au point a ; car les deux ordonnées courbes et circulaires, l'une appartenant à la courbe d et l'autre à la courbe d', se couperont en ce point a, puisque ce point a ne sera pas en ligne droite avec le centre odes arcs circulaires coordonnées de la courbe S et le centre o, des arcs circulaires coordonnées de la courbe d'.
Et les deux courbes d et d' se croiseront au point a sous un angle égal à celui sous lequel se coupent les deux arcs qui sont les coordonnées correspondantes à ce point a.
