Vérifions ce qui précède par un euea^ple

•Soit x*^=ay l'équation de l'enveloppée. ^

Ijn dilTérentieat) ce trouve : 4 , ^ ^ *«

awte?;=e(ftf

flempYAçaVit ôà^d^^^yêg |fti^ leis vale«f8Mâ4i^ué0« d-d^stis, oH tlttâve l^éqtti^ t^on diilérenliellc :

dont Tinlégrale * '. * •

. sera Téquation en coordonnées^ pilaires de la courl)e enveloppe cherchée.

Cette ioCégrale est :

(en négligeant la constante arbitraire C, ce qui évidemment est permis d^s ce cas 9 puisque pour p=:0 on a q»=09 et que par suile^on a Cs=:=0); et Ion retrouve bien Téquatton de la spinde d'i

^{Uir-^t

' § Vin.

60. Le premier mode de transfonDatioD , que nous atone examiné % I , n-esl l'un cas particulier d*un mode de transformation plus général , et que je vais

SùiKJig. e) une courbe polaire Jajfant pour équation /(p, q>)=:0, le point o étant le pôle , la droite X étant l'origine des angles a» comptés de gauche à droite, ainsi que l'indique la flècbe.

. Prenons sur la droite X un point o. distant du point o d'une quantité a. Cela tàhf prenons sur la courbe i une suite de points m^ m', m"', etc., dont les rayons vecteurs'seroot respectivement p\ p", p"', etc., ces rayons vecteurs faisant avec la droite' X et respectivement des angles fùj^m'^ ta" 9 etc. Du point o comme centre commun , décrivons des cercles C\ C", C'"f etc. et respectivement avec les rayons p^ p\ p"\ etc. ; c^ cercles couperont respectivement la droite X aux points q% q\ q"\ etc.

Cela fait ,^u point o, comme noqveau centre commun , décrivons les cerdés ly, K', D"\ etc. et i;^spectivement avec les rayons q'o, =p' h-a^, çV =p" + «, q'"ot =p'" + a*> etc. Puis prenons sur ces cercles D', V", 0"', etc. des arcs 7V, q"x'\ ^" V, etc. tels que Ton ait : arc rectifié . q'x = arc rectifié. qW] arc rectifié. q"a>:=arc rectifié . q"m\ etc. Les divers points x\ x", x"\ etc. détermineront une courbe A qui sera la transformée de la courbe d» et les deux courbes d et A coti« peA>nt la droite X en un même point m en lequel elles seront tangentes l'une k Taiitre.

51. L^quation de la courbe A seraisKsile à trouver ; et en eOet :

Désignons par X un, des rayons vecteurs de la courbe A» et par pt langle que ce,

rayon vcci^r X fait avec la droite X; #n aura , en se rappelant que le pôle est le

point o\ :

p = \-^m et «ip=s:pX

De ces deux équations on tire :

pS=X— •• et USS-^— y.

SalmtUoaot ces yaleurs de pet de a> dans l'équatioD /(py«»)s=0, qui est celle de la courbe 8 , on aura :

qui sera Téquation de la tranrfarmée A#

1 IX

52. Si I au lieu de chercher la transformée A de la courbe 9 par rapport à la droite X, on cherchait la transformée A' par rapport à une droite X' (fig. 1) pas* sant par le point m' de la courbe dt et faisant avec la droite X un angle ai', on devrait prendre sur la droite X' un point fixe o/ qui (distant du pôle o d'une quantité f^') devrait être considéré comme étant le pâle de la transformée A^ et faire , pat rapport à la droite X' et aux deux pâles o et o/, des constructions analogues à celles que nous avons exécutées ci-dessus § VIII. On construirait dès lors par points la courbe A\ laquelle serait tangente à la courbe d au point m^

53. Pour obtenir Téquaiion de la transformée à\ il faut au préalable trouver l'équation de la courbe d, en passant de la droite X à la droite X'^ comme origine des angles ça.

Or» en sait que dans ce cas Féquation de la courbe d sera , en désignant Fangle w' (qui reste constant pour toutes les constructions subséquentes) par n :

np, K + n)] = (1)

Il suffira donc de remplacer, dans cette équation :

p ptr X— a' et «. pwj^^jjp et l'on aura :

qui sera Féquation de la courbe A'.

54. On voit que si Ton cherche les transformées A, A'» A", à"\ etc. correspondant aux divers points m, m\ m\ m"", etc. de la courbe polaire donnée d, les divers pâles (nouveaux) o.» oj, o!\ o"\ etc. pourront déterminer une courbe non arbitraire et dont l'équation sera évidemment :

Téquation de la courbe i étant :

fiff^y^^ (i)

De sorte qu'à une valeur de p prise dans Cé iftî o ^ i ■ ■■ Km | Wi bn mte ^Ê J om , de u qui , sabstituée dans léquation (3) , donnera une certaine valeur pour le rayon vecteur a.

Nous désignerons la courbe polaire doat Téquation est (3) par B. Ainsi la courbe B sera le lieu des pâUs des diverses transformées A^ A', A^', A'^'i etc. de la courbe poUarire dMttee 8».

Btt. b'tfnès ce qui précède , on volt que Ten peut prendre arMfrafreiéeM ttt Mniht pdkaire B, «t quii diaqtie courbe B, nouvelle , cerreipMdbevit 4e$*fMiM^ rorméesdffiërenti» A. , A^, A/\ AT'* etc. de la ooerbeDoVaire doMrée^.