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Engrenage lùmifmté ét'éatx remet êeatéèi':

64. Si {yig, c) lloA conçoit^un cylindre ayant ^s\générairices droîtë&.:|^aeaîlj^êS'*^ à la droite X« et tai^g^nt à la règle suivant cette drcyte^ X^; Tiin^^iotinra ^nft)u]er.tà ^ ' • bande de papier DD' j»ur ce* cylindre , et Tqn o^tieiid^a tik|8;G0iirb(néà>kiii^ courbure ^ qur y lorsque la cylindre pafaboles A ,:!.•, ^ ,^etc. ; et ii est évident •le place tangentiellément au pfetfeau tour /cylindre eiMournant autour de son axe borîzontal A/iesa tourner le^^ale^-is^ ^ * 'tour de son axe vertical Zt - -/•'•. *^ ■ • ^

Et les surfaces des dents du 'cylindre , jaihsi qtie* le% si/rfat^es des q^s ^du ^ - ; plateau étant «construites comme poift les engrenage%de:>îV3&ite,ion àurti,*uii ça- . * •

Ire 9 et rgn olj^tiend^a ae8;G0WMSé«^^^ . .

sera planiGé, se transfortneropt,e4l0 fàc^'-^ . ' ». évident ^que si Ton preiid .c^cyljiftdrë;. et qdtoflt u tonrnalit, comme rîndique. W ()î^/o >,'«*•" /.

^û^ 9 et arnsi dé suite ; et de telle'' i^oVte que jebiaittu d,enté touAiant unilbr^ ^ méifient^aulpuc de son axe Z , Ja roue cylindrique^ prendra 'deux rnoo-vemepts^ \ '; > . Fun dé rotatioQ autaur^.de son ^e A indique paf la,îlèchVG, et Tau trèfle trana*- • laiion et parallèle à cet axe et indiqwjé par la flèche/ ifig. o).V^dsikl quê^deè dents () et A se conduiront, le mopjreipent de translation^sera varié ainsi que le

mouven^nt de rotation du cylinàre denté. • " \* '..•••'•

65. On Voit donc c|ue par cejDt^yBA oq peut t(ansm«tlre un mbiîvement de rots^ -,

66/ Ri^n n'empèclierai> d'enrouler sur un cône le plal^^ (consii||^é coidme'. 'liite feuille dé papi^r), alors on o&tiendrait un en|#enage.comgosé*d'vQe roué . coYiiqué et d'une roue\;ylindriqué; Taxe du cylindre serait ^al(v*s parallèle à'uiie% génératrice .droîuS' du' cône^ et dés lors les axes des digux roues ^entéetf ne se ctqperaient plus sous Tangie droik Les propriétés, de cet engreoag)e seraient * identiquement les mêmes que celles, de rengrena^e^précëdenk * • . 67« Pour que» (e mo^vemém de rotation puisse sé^contii]|^«er non pas indtfini^ • • ^meni^ car celsr estiiftposslbi^ dans ces sortes d^edgrenages^ mafe ddibanièrei Ce pque je cyl^drepiûsse^fiiM^e* plusieurs révélu^i(SDs autourde ^n>xe, ob ne peut pjilpr^dV^JIpVliânvàtreite'ce^^^ , *^ ' ^''V^ *

ft »

. art omicra dpiio«U|ipo»«f^V8 4»«»-' . ^^. iiii.fi —m

«ii-dégigwwppBrKte

il.>çoS7sc-dii.

l'é^uaiîoa:

' ^ -T~fftii»r - . f

2* Une roue conique dentée h sa surface convexe ^ conduisait une t^iéiiitïUÔP»

*iJf&ftr.. 0h;*re-p?u^ pas fâife cancfuîre- xm plàiéau iSlenlér par une ^crémaîttêre' draite^'parce que les dents ne pourraient pas se dégagerfes unesde&arotres, dpléif' qi»^^ atirarepl cé88éM*être ejt prUe. J \

'"' ^;' Remarquons que dans tous ces engrenages fë point dé contact ,àeB/iÉm^ . dents en prife se meut sur la d'roile X , par laquelle se mettenten contact lès sur- . . fecei coniques et cylindriques; ainsi il arrive ici là m6me chose que pour {es engrenages dôWhiie. • -

71*. Remarquons encore' que les distances du^iointula contact au^ deux axes '. dès «rgues dentées^ pe sont point dans on rappoi} constant /car la^ distance âh' print de confacl- à Taxe de la roue cytimirique^est toujours Isr même j quelle que; Mit là posiMonde ce poinrdè contact sur la dl*oiteX', tandis f|ue la distance dtr • poibi de centact: à Taxe de la roue conique varie de grandeur à" nieapre que*oi * . poihf di&H»ntQct s'approche ou s'élOîcne du sommet dû cône. ^ , * .

Le*^rapp(Hrtr des vitesses ne peut- donc pas être constant, et l*6iï^ort dés Ibrr

. jwnirquoi lé moavement d^. rotation de IHine des roues dentées étant ùniïprme",

ié'ewû^vefknent dé rotatioq de loutre roue* doit èire^variable. ' ^ * *

lu. •Nous devons encore faire remarquer qucle cylindre devrai) a.volr une icth";' ' l^eulp^indéfitiie^ peur^qoMé^^uOTOi^emeiTtdéHroiati^n'pui^s^ coittipyer indéfi^i-r *

* Par conséquent ces engrenages ife ponrront être employés qtaé^pobr ^és ntdu-' pemmtv aUeme^p de im^jèoo» éé> b^ noué eonique^ iftquaHe impftme^-des ammi- • yéso^h^g^^hie^^ c]flimlrique,.etd^ plus^i^riffieT^

. ; ||^& te«n[^ UA . mw vemeol de mreirnieni à Taie, de la. roue cyjindr iq iws« . *

Deujnème engrenqge dans lequel les axes ne sont pas situés dans le^ tnéme^plan* -

jk ••

jtôiol a fiauii f^ ^QU^ur p€|iiu.>asim lU^ . droite. X.paftsapts^ te point

^^*u»^.taA|^aie:4»2^u^ppiiitidïe|^ iMqp^.La.xirQib^XQaupd ln^ qoucbe d^ 4f tiufi. droite y pa$«iQi«||arJép4Mjit|iO^^ PAWWdiculjûre à la^dirmtç X., ei.cQMponJlla U^lr

§«te^'ib ett 'imipoiAiî9v^^*^*<^*>>^ Ç^^V^I 1^ point-oi pour oMre obii^piuf

nj6n^ ^4t no eerde €' d^ini raytm ariiitniret.niats^plHft peiit ^e mt>y ^ini lê même 4y>int o pour centre et coupant la spirale i&t\ivk point a"» ' v * ^ /

\ .GélaVaits * * ! .

Si nous faisons tourner la courbe d autour du poinl o jtisqu-à ce t)uf lejpoiaj^^' fienaie en a/ sur la droite S , cette courbe d aura tourné d'un ânglè^y À prèndwi Irposition 3,. • .'*•..

£t si pendant ce mouvement la courbe i a entraîné avec elle sa tangente ii, eeltedroitc vicncira prendre,* S la fin du mouvement de rotation, la î)osition Ât^, en; laqifelleeUe sera tangente à la courbe d; au point a/; ainsi la*dkpiie A peut être iDonsidérée comme apnt décrit autour du point q, un angle 6. : . ' ; •

Si donc on suppose qu'au delà de la droite A se trouve une droite A, tahgente/ i la«spirale d, au point p, cette droite A, faisant avec A un angle 6 et'pas^ntl^ussf v

par le point 9, les arcs a a, et a a, seront égaux, et dès lors en faisant tourneriez v

rayons A., A , A. , autour du poinl q^ ils conduiront avec uit Trotteniem de rcmle- ' ' * * '*/inént les courbes d., d, d., en les faisant tourner autour du point o. * *

; Mai^ comme les vitesses de rotation étant supposées uniformes poilr Iei5/;)0ur£îes . < \ * }èjM seront p%i uniformes pour les droites A / il faudrsp que pendâqt qu^unie des / "tangentes A <^nduit'rune des courbés d«, oo'est conduite par elle , l^aautrbs tan- -'-

gentj^ et cdurl^ liomologues ne se trouvent point en contact. Or il évident; par ' • ' f Je-ipacc^graphique et tout ce qui a été dit dans la première partie de (feœémoirèt * /

gu^j^la aiyra liev . . ^ • • . • •

. ,. Xà/'V43Iù9 que fè mouvement^de rotation puisse se continuer indèfiniroeiK » il ,^Ujlfaiiri|ue.raFc paesurant Tangle y soit^égal à *-, m étant un nombre entier, *

ftt il faudrait aus*si que Tare mesui|int l'angle 6 soit égal à -^, n étant un nombre. '

^ . entier* Mais tomme les dents <Jt)urbes el droites sont enchevêtrées les unes dans * jes autres, et de telle manière qu'elles ne pourraient se dégager l^s unes des • «' . atflre^ tant que Ton voudrait les coi^idére/ comlhe placées sur deux plateaux'cir^..^ '• ^ . eulaireset horizontaux, Tun tournant autour du poiol\>etraul|'ë tournant autour du'point^, ilous alloi&s voir qu'il suffira de prendre l'angle 6 tel que Ton ait f

EteA effiat^ potfr .gue les deh&, courbes i ^p^issent se dégager de» dents droites^* ou fl(pws A , 41 suffit de s'arranger dé manière à,c^qu*elies ^asser^t au-des8ous^do , plan des droites A avant et après le contact ^ui a Jieusnr là droite X« ^ ^ - * Or c'est ce que l'on obtiendra eti pljai^ je plan cyralaire sur foqoel sejrou^efti

tracées les courbes 9 ^ sar un cône ayant son sommet au point o et qui sentit tangent à ce plan tout le loDjg de Ja droite X. On déterminera ce cône de la manière suivante :

. Ayant tracé la roue plane* à flancs (fig. i)» et ayant dès lors tracé les divers rayons A 9 A> A, ,••• tels que les angles 6 étant égaux entre eux 5 on aura :

fl.tss360%

ôû tracera la droite X et on flxera le point sur cette droite X, lequel sera donné* par le pied de la perpendiculaire abaissée du centre 9 sur cette même droite X«

•On tracera la spirale hyperbolique i avant le point pour psSte ou pour point ^ssympiotè, peite courbe d étant tangente à la droite A au point a en lequel les à{p\ies A et X se coupent. - /. :

Du'point comme centre et avec oa/ pour rayon , on décrira un cercle C cou- ^^nt la courbe 9 au point a' ; et Ton remarquera que le point a/ est celui en lequel se coupât les droites A, et X.

Cela posé ^ on cherchera le rayon d'un cercle qui serait tel que sa circonférence

«era égale à p ibi3 Tare rectifié a a/.

Et ainsi dcsigiiant oa/ par L, par R le rayon du cercle cherché , et par d la

longueur de Farc rectiflé aa/| on aura :

2ir.Rs=:p.li

d'où :

2ic

"l On construira donc un cône 2 ayant i* son sommet au point o, ayant 2* le .plandes droite A poui^pian tapgent tout le long de la droite X, qui sera Tapo-

. thème de ce cône 1 , et ayant S"" pour section droite un cercle du rayon R , ce

: , cercle passante par le point a, •

• , Cela fait :

Supposant (fg. s) que les courbes d., d, d.,.*«. sont également espacées entre

elles , et que les aKS a! a, aa,\... de la fig. (s) sont égaux entre eux et à Tare a.V ^dè la ftgl (1), il suffira d'enrouler sur le cône 1 le plan sur lequel se trouvent tra- • cées les courbes i , et Ton aura Sur le cône 1 des courbes i double courbure qui

conduiront par^h rrottemontde roulement Jes raypns ou flancs du plateau dont

le centre est en a; . '

;.75. Jl suflSra d*Aiift(//er les courbes du cône 2 et les rayons ou flancs du plateau, *de la même nianière qu^m* Vjà fait pour les engrenages de White , et Ton obtiendra

itfr norufli tikgtefmfi^ yfrèC^ttiw l t 9t ra«1râl«it'eC «olff|toêi ^R ffféfiMirtfMlS et d'une roue conique dentée ; et dmis cM eiigfeni^ (M ne&^M'. détient fiaififf I wtoés dans un même plan y dém ttenfs lieront cir ^tr^'iKf sé^Km^lierant que

I par an ponM, «tie pofnt 4e.eofiflaet aè mouvra sut ffr-droke'X, dreHe mirant

ï laquelle sé'ItoucfttEnfit^le'etHH^'Sel le pt^ • .

[ 76. Il est évident que la roue conique tournant uniformémeqt , le plafeau aura

«n aouvement de rotation variable ^ car si' t/^- «) on considère un point de oonlact i{.da deux d<mta en pme^ les di$iances«de ce-point Of iSavoir : aq à Taxe Q gerpeoiticid^jtêâii. plateau et passant par son centre ç» et oft à ra:ie du cikîe £ et.pagsMU^py sonjsommeta, ne seront point dans un rapport constant lorsque tenfiwa varier la .position die ce poîoLa sur la droite X {*).

n. Il est encore évident que cet engrenage ne peut donner jpn^euiie vanécé comme Tei^itenage précédenL II doit ëtreTangé dans la classe des engrenages .. iy>éjpaiIIAfe.cir<Hriaige yH est seul et unique deeon genre* * •

Nous allons dans cette troisième partie donner la constniction géoméurique âe$ 6xct*nlrrqUes'destfn8s à'tracei' rl^sar un plan et '2* sur lasuiface eonçave o» cMh vexe, iCabard d'un cylindre et efmiiu d^un^sèfte^ miee»«rtie4dfrtfinwfeééterHÛttéef '

Tracé ^tme courbe mr unemu^qte pbme et redanytdmte.

78. Soient données la droite X et une droite D perpendiculaire à cette droite X et là coupant au pcfini tn'ji'Jig. v)i d'un point 6 pris sur ta droite X et comme * centre et avee en ra^on oni, décrivons un cèrele C; traçons tmecourbe d ïit/bi^ traiV*e et pessani par té point m. ' • '

Cela Tait : divisons la droite D , et à partir du point m, en un certain nominrede parties ^ales entre elles, par les points m , m\ m'\ m"\.^^en menant parces ' . ^Ints ttes paràHetes à tap droite X , nous wrons fes divers poiteUiii, i^, x'% jJ**,... Ae^a^eeUi^é^/ *

%^«M«é^tte te'p<Ahl4ii MimHiofafMêré'COift^

îl'rôïtés'X eiD comme axes dès cobrdonnées , le poiik a/' de la courbeî^ttra iW» . pour aiscUsB et mx* pour ordonnée. *

DVoyttâce sujélla Théorie géométrique des engrenaffêê^ ettes'ff^fVfbp^Miainr Ai gimmétwU

Cela posé : ^

Si Ton suppose que la courbe i se mfiiw parallèlement à elle-même , et dans le

sens de la droite D, ainsi que l'indique la Oèclie/', à mesure que les points m\ tn^^.infV** fiiÉdeifOÉ. m. au p atyé w y - wrh pmM iit, iioitMlw'^ansi et en même temps, les points x\ x'\ x",... de la courbe d viendront passer par les

Et si Ton dente le cercle C et la droite D , de Ruanièfe à. formar wt^ MgffenajBii crémaillère, pendant que le cercle C se mouvra wi|S[MWteeiii| teiwAmaîIltire D jP^.4[nâuvfaMssi wifarniémmk

Celïl posé :

$i L'on dÎYtae W cereleC 6n arca égûu]( entre cvx , tm*,,*!^, «V,— et de

•manière à ce qu« Ton ait mni =; are rectifié mn^ on voit de suite que les points vgl M 9', m" et n'vW" et «%««• vimulrout sueoeaskvement aa supwposer sur le ^ïkVm^ parce que le cerde C ek la droite D sont te& lignes. priMÛltMi do \*Wr grenage à crénuûUère^ et que le cercle C et la drQile.D8e.c0adttis«atdw lors par un frottement de roulement.

Gela dit :

TniQons sur le plan du cercle C les divers cajfOQS a», W, ni^'Q W ^WMim respectivement sur ceâ rayons les distances :

/ t f il n // in lit ilf

les divers points m, y% y^j y'^i*- détermineront une courbe jieftrtre ou excen-

Et il est évident que si la roue dentée tourne suivant la ttèébef^ et force la

.erémaillére km nwftvoiv Misant l»flèohe>v les pom^tmmoiofpn^ém^ùathÊ^

et^ viendront en même lemps se superposer sU^ la dreiie &; et ^u'tîaw ies.poàiUs

x' et y' viendront se superposer sur le point p\ x" et y^ viendront se si^ej;|MMr

sur le point p", et ainsi de suite. Ce qui précède étant compris :

79. On voit de suite que si Ton suppose en m un stjile, ou pointe i tracer », ce

styfe sera ou 4* poussé le long de la droite Z par Yexcmrique ^ et dans le sens

indiqué par la flèche/, et tracera sur un plan fixé à la ccémaitlèr^ la courbe d ,

comme Tindique ta fig. a; ou 2* il sera poussé le loqg; de. la droite X ^r le 49a-

' fHàre i et alors il truera sur le plateau tournant Kla courbe^ aipsî i|iie Timl^ue

«affg.y.