J II
Troc^ dune courbe sur utie êurface cylindrique au mm/en de Cexcenlrique* .
80. 1* Ck>ncevon8 un cylindre 2 de ré?olutiaii dont le cercle E de section droite aura Mn rajon égal ^f{fig* x);
3* Désignons par B son axe;
3* Imaginons que ce cylindre étant transporté sur la fig. v se trou\o tangent . au plan (sur lequel est tracée la courbe i)^ suivantia droite X ;
4* Enroulons le plan de la courbe i sur le cylindre 2, la courbe plane se (rtins* formera. en une courbe à double Courbure ^ (fig^x) , et les arca égaux entre eux
tnq\ (fif\ q"q"\.... du cercle E seront, étant rectifiés, égaux aux parties égalée
-entre elleô mm y m'm'\ m'W", ( fig. v) de la droite D, ^ . •
L'angle 7 mesuré par Tare vfuf du cercle E {fig. x) sera donc connu et Vam^ ptitude de cet angle dépendra de la grandeur du rayon p.
Le rapporl^ entre les angles cù {fig. tr) sera donc connu et sera construit gra^ priquemeni sans, difficulté aucune.
Cela posé :
Si Ton place le cylindre 2 sur la fig. v^ de manière à ce qu'il soit tancent suivant la droite X, on pourra remplacer, dans les systèmes ou machines dont les éléments sont indiqués ( ji^. 2^ et a), la courbe i par là courbe l\ de telle sorte que si {fig. z) le cylindre 2 tourne autour de son axe B et uniformément , Vexceu'
trique K tournant aussi uniformément autour de son axe I^ les vitesses angulaires
étant dans le rapport constant - , les points homologues des courbes 9 et (, savoir : «'et 2', n" et V, n " et a'",... viendront en même se superposer sur la droite X.
Si. Nous allons indiquer entre tous les systèmes mécai\iques qui pourraient être employés pour transmettre le mouvement demandé entré les' axes I' étB^ celui qui nous paraît le plus simple '(^). ^ ^.
Le cylindre 2 sur la surface convexe duquel on devra tracer la courbe Ç prendra un mouvement de rotation autour de son axe B, au moyeh d^uoe bague ou anneau denté C {fig. z), qui sera conduite par une roue dentée G' du même rayon porté par Taxe I parallèle à Taxe B est situé avec lui dans un plan vertical» .
(*) Dans tout ce qui va suivre jusqu'à la fia de ce mémoire, nous n'exposerons que les priiicipe^^^Tapfl»^ lesquels les machines doWenI être consiruites^ et nous n'indiqiieroni^ que les élémeiAà do cet mpcmne^ '
En sorte que Taxe I traûsmeitra par Tengrenage cylindrique G et C\ son moù« véinéni à Taxe B , et les deux axes l et B tourneront dans 16 même sens.
Cela posé :
On devra transmettre le mouvement de rotation de l'axe I à Taxe V de Texcentrique K. Les deux axes I et V. se coupent sous Tangle droit , et les trois axes 1% I et B sont. dans le même plan vertical. On transmettra le mouvement de rotation de Taxe I à Taxe T au moyen d'an engrenage conique C" ei G'", mais il faudra
diviser l'angle droit I^ l\ en deux angles <» et 6 tels que l'on ait : - =: - , pour
que l'axe l' tournant de l'angle co transmette à Taxe B au moyen de l'axe I un mouvement tel que cet axe B tourne sur lui-même d'un angle y.
L'excentrique K poussera ou 1"* une tige ou verge F qui sera parallèle à Taxe B du cylindre plein 1 et dont la pointe m tracera la courbe (sur la surface convexe du cylindre 2 {fig. «) , ou 2* une tige ou verge F' qui sera parallèle à l'axe B' du cylindre creux 2' et dont la pointe m' tracera la courbe l sur la surface concave du cylindre 2' {fig* 6). On ne doit pas oublier que le rayon p de la surface cylindrique est celui de la surface convexe dans le premier cas (fg* z) et qu'il est au contraire celui de la surface concave dans le deuxième cas ( fig. 6).
Tracé fTune combe nar une surface cylindrique , au moyen du calibre.
82. On peut tracer sur une surface cylindrique 2 une courbe donnée au mojem du calibre d; mais il faut remarquer que l'on ne peut alors tracer Ja courbe que sur la surface convexe du cylindre.
Et en effet :
Étant donnés un cylindre 2 et un plan T qui lui est tangent suivant une de ses génératrices droites X j on pourra couper tout le système par un plan perpendiculaire à la droite X, on aura donc un cercle E section droite du cylindre 2 et une droite D tangente à ce cercle E et au point m en leqiiel la génératrice X se ^uve coupée par le plan sécant.
Cela fait :
On pourra remplacer le cercle E par une^roue dentée et la droite D par une crémaillère.
Dès lors le mouvement de rotation imprimé au cylindre 2, forcera le plan T i prendre un mouvement de translation et parallèlement à la droite D.
Dés lors ayant Jracé sur le plan T une courbe i^ elle dirigera une poinie ou
sur le cjliadr^x;âPArQ8ie^«qe'<XM^^ h^êmb^^ésmwêm^ e'MkMîpe
la courbe à double courbure, dont la transformée {le cylindre 2 éttMdlitoriappé sur son plan tandem T)^ n'.est auti^ qw kiMiiriie'|^lM« (flfliMAi«e)f#*
Il est bien évident » d'après ce qui précède « fue la courbe ^fliei|^l éMtemméd j^ue sur la siurfacc.cojptvexe Ju cyliiuii>e^ ei/iêmMfBmrm h— fc» — cowb, jgrf tie rpn cpnstruira «ne xnaahine à tcacer ba^iée aiir S'emipliM àm,caliilme.
Trac4 (fyne cçurbe sjur me glfrfypefikme4t emmtme.
ft8. Concevons {fig. y) un plateau circulaire A tournant autour de $on,|ixe Q. <je /plateau étant terminé par un cercle C , l'axe O passera p^r le centre o du •erdeC.
ïta^oos utt diamètre X du cercle G et une courbe d iy^ p^i^sse par Je jy)îi4 m «I t^ud ia droite X et le cercle C se coupent. ^
.*Ge1alait:
Prenons sur la droite X un point o. , et de ce point o. comme centre et avec o,m pour rayon, décrivons le cercle G,.
Les deux cercles G et C, seront tangents Fun à Tautrc au point m.
Cela fait :
PartagiMl^ «le^MiHtlefC en ^rtles égales entre ëtles par les points m , q\ q'\ q"... et tirons les rayons ç'o, q^'of q"o..., ces rayons couperont la courbe à en les
JPu jH>iAt.o. comme centre eta^ec les «ayons om\ om\ otriT... décrivons les cercles P', P", P'",,,. lesquels couperont la droite X, et respectivement, aux points p, p\ p'\..*
,P#«*l*8WO*5 l^«ârele C, «en parties égales emre <*llc8 jïar les points /, r'^, r^,,,.
et éeiaileioaniére que l'on ait : arc rectifié mr' = arc rectifié mq\»^. çlc. BnsQÎie fnenoBS les rayons or\ o/\ or*** y... et portpns sur ehncun d'eqji
ryc=mp', r"y':=fnp\ r Y"=wtp'">— le» divers poinU 9?, y", y'",.^ 4ôlttPWiîneront une courbe <f. •
Cda posé :
Si Ton suppose que la co.grbe ^ towne autour $le^q jc^li^e p.et dsins le ijpns kdiqué par la flèche f^, elle Torpera le point tç ji ^.eiP^vfùr jOJ^jMidf^oito iéJ»Q$ le sens indique par ta O^che^^^^t si en m4in^ t^qyps Jp WBfil^ C JU>ur4iç Mtpor
de son i ceatJCft: «r du». ItkMot* ÎDéiqiié' pw 1» BMm^fet de Mite BMiiMère^ <)He te cercle C. tournanl de Tangte o , le cercle C tourne de Fangle y (^u^ee qfoi reykmt aiknièiM^aianîèra4c^qjU6'l6Si4ief€|eft € ebOi r—itiit Tunsig Vautre, comine les cercles^ pcimitifs d'un engrenage)^ la pointe m tracera suv le piat^u tonj^ nant A ta courbe d.
El récipratfuement.
Si là courbe d conduit la pointe m en la forçant à se mauvoir le long de 1a droite X dans le sens indiqué par la flèche/, , cette pointe m tracera sur le pb-teau 4> (tournant autour de son centre o.) la courbe 9.
84. On voit donc sur-le-champ qu'en dentant les deux. cercles primitifs. C et C. j on pourra construire deux machines à trader 9 dont je ne donne ici qti& les éléments , savoir : Tune {fig. o»), dans laquelle Y excentrique $ poussera la. pokite m et tteir fmr fl«0e« silr^ le plateau- tournant P la courbe d; et Tautre , dans laquelle faisaa^ tourner (jîgu e) la calibre; à^W poussera fa* pointe m, et lui fera, tracer sur le plateau tournant Qi la eourbe 9^
Tracé dune courbe sur une surface conique , au moyen de F excentrique.
85. Si Ton enroule le cercle C (fig. y), et toutes les* lignes et points de division qui s'y trouvent placés , sur un cône l{fig- 7:) la circonférence C s'enroulera sur le cercle E*, section droite du cône 2. Les points m, </', 9", <y'",... du cercle C viendront se plaeer en les points t, I', t", î"',... du cercle E, et ces points seront équidistants entre eux, puisque ceux du cerde G sont équidistants entre eux. L'arc mq' d\i cercle C mesure un angle 7, Tare correspondant iV du cercle E mesurera un angle 7, qui sera plus petit que Fangle 7.
86. ITsera facile , en enroulant le cercle C sur le cône 1, d'obtenir la courbe à double courbure J, , dont la transformée sera la courbe d, ce cône 1 étant planifié sur son plan tangent.
Cela posé :
87. On devra calculer le rayon du cercle E, de manière à ce que la circonférence E renferme un nombre exact de fois l'arc rectifié mq' ; ainsi désignant par R le rayon du cercle E , et par / la longueur de Tare rectifié mq\ on devra avoiv :
d'où :
n étant un nombre entier.
Dès loi*8 , pD pdurra employer Tune ou Tautre des deu dîspOMtioiis iodiqoéas (,)i> ^) et (/^. pi).
88. Dans la fig. /a» on suppose un axe I parallèle à la génératrtee droite X du
cdne ly et l'on divise en deux parties égaies par la droite L, Fangle I, B formé par Taxe i et par Taxe B du cône 2.
Or place un engrenageconique (C, C^ qui transmet le mouvemeni de rotation de Taxe 1' à l'axe B. En sorte que les vitesses des deux axes I et B seront les mêmes , seront égales.
Cela fait :
On divise Tangle droit formé par Taxe I et par Taxe O. de l'excentrique (Faxe O; étant supposé verlical et Taxe I étant supposé horizontal ) en deux parties par
une droite L el de telle manière que Ton ait : ^ i=: ^'; on construira lengrenage
conique {C"y C'); et Ton voit que Taxe O. transmettra à Taxe B par Tintermédiaire de Taxe Tune vitesse telle que pendant que Texcentrique 9 décrira un angle a> , le cône 2 décrira un angle y,.
. L'excentrique ^ poussera une tige F qui se mouvra lelong de la droite X et sa pointe m tracera sur le cône 2 la courbe demandée d,. ^ 89. Dans la ûg. X, on divise Tangle formé par les axes B du cône 2 et O, de
l'excentrique 9 en deux parties a et 6, telles que l'on siit : ^ === -. Des lors Taxe O,
transmettra son mouvement à l'axe B, de telle manière que pendant que l'excentrique $ tournera d'un angle w» le cône 2iournera d'un angle •/,.
La lige F se mouvra parallèlement & la génératrice droite X du cône 2, et suivant que Ton voudra tracer sur la surface convexe ou concave du cône 2, on disposera la tige F comme riiidiqueou la ûg. X, ou la tig. p.
90. La première disposition {fig^ in) exige deux engrenages coniques ^ la deuxième disposition {Jig. X) u' exige qu*un seul engrenage conique.
s VI.
Tracé d*une courbe sur une surface conique , au moyen du calibre.
91. Si Ton place le cône 2 de la fig. ir sûr le cercle C de la lig. y, le, sommet du cône étant au centre o du <^rde G, et l'apothème du cône étant égale au rayon du cerdje C, il est évident que le cercle E, section droite du cône, se dé* roulera sur le cercle G, lorsque Ton planifiera le cône sur le plan du cofcle C et qui ne sera autre qu'un plan tangent à ce cône.
Si dtac 1*00 dmie l6 cercle C pour en foire ude crémaillère circolaire, et fti Ton (ieiiltf le cercle E pour en faire une roue conique , on délerminera unjengre-' nage à crémaillère « cl le système sera tel que la courbe 9 (ou lé calibre A) y polissant une pointe à tracer m le long de la droite X, celte pointe tracera sur la surface convexe du cône 2, la courbe d. < . '
il est évident que par ce moyen mécanique on ne pourra pas tracer la courbe i, sur la surface concave du cAne 2*
§ VH.
92. Dans tout ce qui précède, nous avons exposé les principes géométriques d'après lesquels devaient être construites les machines à tracer une courbe voulue ; nous allons indiquer très-succinclement certaines dispositions mécaniques qui permettent de réaliser la conception géométrique.
93. Lorsque l'on doit employer une courbe S pour diriger une. pointe m , la courbe i tournant autour d'un point o , et la pointe devant prendre un mouvement de va-et-vient le long d'une droite X. il faut matérialUer cette courbe d, ainsi que la pointe m.
94. Or il y a en général quatre manières de matérialiser une courbe, savoir : de faire : ou 1"* une rainure ayant la forme de la courbe d, comme l'indique la fig*<p, ou 2* de prendre une verge et de la plier suivant la forme dç la courbe i comme l'indique la fig. A , ou de découper une plaque suivant la forme de la courbe i , et dans ce cas il y a deux manières de découper la plaque , ou S"" suivant la forme convexe de la courbe d, comme l'indique la fig. ^^ ou i"* suivant la forme concave de la courbe d, comme l'indique la fig. ( (*).
95. Maintenant la "^înle m devant prendre un mouvement de va-et-vient dans le sens de la droite ., son mouvement doit être dirigé.
Il y a en général deux manières de diriger le mouvement de translation de la pointe m : ou 1* en faisant glisser cette pointe dans une rainure A , comme Tmdique la fig. cp, otf 2* en fixant la pointe m à une règle M qui glisse dans deux douilles'oii guides fixes N et P, comme l'indique la fig. A ( la fig. A' est une coupe horizontale qui permet de voir comment la courbe d agit sur le manche de la |)ointe à tracer m* ). ^ -
96. Dans les fig. (^ et A , le mouvement de va-^t-vient de la pointe m est complet.
(*} Voyez ce que j*ai dit au sujet des surfaces terminant les outils à^mployer |X)ur façonner la malière et exécuter les dents d*un engrenage , dans Touvrage que j'ai pubfié sous le titre : Théorie géi trique deê emménages , etc.
fa. droîtofXy lé peinte m aoii forcée et sm» cesvpokU, et qdisnM elle'. se rap[irMba< ou^ ^ilAoi§i» duvceatre! oi àtm^Biare queoe: œBl* ÙBÊhpÊi/ÊtSfét kii courbe d plus éloignés ou plus rapprockésidu^ oeottre. o- qtà viemiraii pawMttMr la^toHe S.
Aussi, lorsque Ton emploie ia forme cancum ou comeme' de^ ki tsuuotte. è» feut-il, outre le ^uicte de la pointe m, placer un ress&rl S qui se trouve comprimé par la courbe d, ou qui presse sur ceilûr courbe d suivant que la pointe m doit 8*éloigner ou se rapprocher du centre o.
Ues^. X ^^ rindrquent cette disposition.
91*. Nous devons faire remarquer que lorsqu'on matérialise la courlieden Ibi donnant' h ftnrme d'une rainure, comme ûg. ({, ou la forme d'une barre rigide, comme fig. A, les faces iatéralesne sont point terminées par deux coutUbs îdènliqties'Â Ta courte d.
Hë\ k{mi(fi^. A^ïpour ifacer lès deux 'courbe^d*; 3^ qui doivent terminer la fâthiff^ à droite et à gaucUe, îT'faut' supposer que la tige de la pointe sera un cylindre vertical U d'un certain rayon p , et portant en son centre la pointe à tracer m, fàquieftè devait être conduite par la courbe d*; et* en décrivant des divers peints ir, t/', tf'^ t/",.-- d^ 'si courbe d comme centres et avec tmrayon p, tes cercles V, Y, Y"; V,... lesr courbes d* et 3" tangentes à ces divers cercles, détermineront h'fbrme et là largeur de la rainure dans laquelle se mouvra la tige cylindrique 0-
US: Ainsi (fig. B) pour tracer les deux courbes 91, i'^, qui doivent terminer à droite et à gauche la verge rigide , il faut supposer que le point m, milieu de là
distance ii des deux couteaux entre lesquels ia verge courbe doit se mouvoir, parcourt la courbe d, puis du centre oon mènera les divers rayons vecteurs oc^ ooy ak, opf,., de la courbe d et sur chacun d'eux on portera à droite et à gauche du point d^la courbe S, des ouvertures de compas égales entre elfes et à ^ / (/étant
la distance îr des deu]^ couteaux); on obtiendra par ce moyen les points et, 6f v^r^,*. par lesquels passera une courbe d,,, et les points cf, b\ v\ r',.., par lesquels passera une courbe d,, et cesMeux courbés détermineront la forme et l'épaisseur dfe ia verge rigide et courbe qui doit ccmdoire la pointe à tracer qui sera fixée au point m de Téquipage qui porte les couieaux.
DE LA NATURE GÉOMÉTRIQUE DES DIVERSES ESPÈCI^S QE FROTTEMENTS QUI fWVEPfT
