EXISTER ENTRE DEUX COURBES ET DEUX SURFACES

*1I existe^hiiit espèces ile frottements entre deux courbes ayant un point com-

m un , savoir :

( • , fdirecl.

I roulement { . .

Frottement de '< . j- . jdLwec ou^sajos pifiolem^Rt.

* ,. , (direct , * ^

glissement [,^,,i,^

11 existe seulement quatre espèces de frottements entre deux surfaces en contact suivant une ligne courbe ou droite , savoir :

I, (direct,

roulement { , .

Glissement { , .

^ Uijfuiaire.

•Bar rapport tàidauft emiriie» y^

ii)9pipiMe freitemeÊtl direct celuiqui a Ueii^ciiitFedeux «oiitbes/àyaiil^U'fifAfkH de CQOtactet.ii^a«|ueiMisUint du âno«irement,*mikiie>aogetfCe;

Et y appelle frouemeni fo^gmtmfe Q^liii cfiii >exrs4ie' entre de«rx 'coulées y- «yaift'Au point €omrawii«et iofatcfiie. instant du mouvement y dqs langeotes dtfléfenles»

Lorsque, à chaque înalaot'4iiiifnauw«eiit, Taigte fi^pni^fifr l€Q plaivs^ttes cercles osculat6«irajCMmsp«ii(iM^f V>o(ur,<^^ eoorbes^'aurpoiiMdôiMnun

ou,4ai.<i«niAft»iQAjunia«antvak>(S)il«(y<a pW' de-ptvoteoieM j^i'^etefigte vtith^ »Jlei^ivatMne»tiftflî«ii.

Par rapporta deux surfaces:

J*9ppeile^iiflfiieittcfjf«€0i cd^iiniui ex^îtielorsi^ulune i»»urbe ^qtietMoifm frétant tracée sur Tune des surfaces, elle laisse sur Taulre surfdee^peoéatft'^soti WKMPveiq^At.ideinolaliiie., iitiie;cniprQÎftiQ»(y\ telfeiqu'à chaque* iimtsint>4ii'Wour¥ement, les courbes 9 et 9' ont en leur point de coatact^tnéme 'tangenie;

'Btjj!#ppeMe/rolÉi ia <iK (ig ^n fa te v^ehii «qui ^ *»><■ lors^ les ooutfbeB ^«cft f^ont au 4^111 4(ilî>leurvfVSfcC0iiiBiwi dta lang^iiieddiflrérpiiies.

{*) y»i fiiit |)ub:iiT ce pvtit mémoire en (juillet) 4827,; on n'en lira ^^*un lr^-j[)9Ui. r|Q|iibce ^V^xemplarres. Hachbttb' parle tio ce mémoire dans uvfy noie placée à Sa fin du chapitre sur 'les engrenagit^

Exemptes deé divers frottements existants entre deux courbés.

i* Frottemenl de roulement direct et sans pivotement.

Je suppose deux cônes droits ayant même sommet; les cercles- bases, correspondant à une même longueur d'apothème, jouiront de celte espèce de frottement : en supposant que Tun des cônes restant fixe , Fautre prenne un mouvement de rotation, les deux sommets restant toujours confondus en uu seul point.

2** Frottement de glissement direct et sans pivotenoent.

Je suppose deux cônes droits, en contact suivant une génératrice droite* mais n'ayant pas même sommet.

Deux cercles correspondants glisseront l'un sur Tautre, pendant queTtin des cônes restant fixe, Tautre cône aura un mouvement de rotation tel, que son sommet parcourra un cercle tracé sur le premier cône; les deux cônes étant par conséquent, à chaque instant du mouvement, en contact suivant une généra* trice droite.

3* Frottement de roulement direct, avec pivotement.

Je suppose un cône droit C, ayant pour axe une ligne droite A.

Sur ce cône C je prends un cercle-base c.

Par Taxe A, je mène un plan P, sur lequel on trace un cercle 0e, ayant un rayon r, et ayaiit son centre au point d'intersection du cercle-base cet du plan P.

Le plan P, en tournant autour de Taxe A, entraînera le cercle «, qui dans son mouvement engendrera une surface annulaire y.

Je suppose , ensuite , qu'il existe dans l'espace une surface quelconque i ( une sphère , par exemple), dont le centre ne sera pas situé sur l'axe A.

Je suppose, enfin^ un second côneG', ayant pour axe une ligne droite A' coupant Taxe A; sur ce cône je trace un cercle-base c^, ayant un rayon r égal à celui du cercle a, et cordant, sur le cône C^ à la même longueur d'apothème que le cercle c sîioé sur le cône G.

Je mets les deux cônes G et G' en contact suivant une génératrice droite» leurs sommets se confondant.

Dans cette position , les deux courbes c et c' seront eq contact par un point , et auront, en ce point, même tangente I.

Je fais tourner le cône C autour, de |â tangente 1, comme axe de rotation^, jusqu'à ce que. Taxe A' s'appuyant toujours sur Taxe A> ce cône G' soit tangent & la fois aux deux surfaces y et d.

Puis supposant que le cône C reste fixe, et que le cône G' se meuve de manière il ce que son axe A' s'appuyant toujours sur Taxe A, il reste, à chaque inéiaU-du

flioQvenient tangent, à la fois aux deux surfaces y et [d, les deux cercles cet c' . rouleront en pivotant l'un sur Tautre.

4'' Frottement de glissement direct , avec pivotement.

Ce frottement aurait Heu entre deux cercles c et c' qui , se trouvant d'ailleurs dans les mêmes circonstances que celles énoncées n* 3 , ne correspondraient pas i une même longueur d'apothème.

5* Frottement de roulement angulaire, sans pivotement.

Deux hyperboloides à une nappe, de révokition et égaux ^ peuvent toujours être mis en contact suivant une génératrice droite G, en sorte qu'en chaque point de cette génératrice G, les deux surfaces auront même plan tangent.

Deux cercles tracés respectivement sur chacune de ces surfaces gauches, et ayant un point commun situé sur la génératrice de contact G, rouleront angulairement l'un sur Tiautre, en supposant que l'un des hyperboloides reste en repos, et que Tautre se meuve, en se mettant en contact suivant les génératrices successives et du même système que G.

6"* Frottement de glissement angulaire, et sans pivotement.

Je suppose un paraboloide hyperbolique droit, ayant par conséquent ses deux plans dirj^teurs perpendiculaires l'un à l'autre. ,

Je prends sur cette sur&cedeux génératrices droites G' et G'', quelconques, mais appartenant au même système.

Je suppose ensuite que la génératrice G, du même système que G' et G'\ et coupant à angle droit tontes les génératrices de l'autre système , tourne respectivement autour de G' et de G", ces deux droites étant considérées chacune comme un axe de révolution .

Cette génératrice engendrera deux hyperboloides à une nappe et de révolution, qui seront en contact suivant cette droite G.

Mais l'on doit observer , qu'en disant que G' et G'[ sont deux génératrices quelconques , je suppose qu'elles ne sont pas également distantes de la droite G.

Si, maintenant, je considère deux cercles ayant un point commun situé sur la génératrice G, ils glisseront angulairement F un sur l'autre, en supposant ton* jours que l'un des hyperboloides restant fixe, l'autre se meuve en se mettant en contact suivant les génératrices successives.

7* Frottement de roulement angulaire et de pivotement.

Les deux hyperboloides du n* 5 étant donnés, je suppose que les courbes dont on veut examiner le frottement, soient les deux cercles de gorge.

Dès lors, l'un des hyperboloides restant fixe, je suppose que l'autre hyperlKH lolde prenant un mouvement de rotation, son axé, au lieu de décrire un troisième hyperboloîdé à une nappe et de révolution autour de l'axe de la surface Axe^

Exemplet de$ dkoen frottement» exUtanùi L

«• Froltemenl de roulement direct et sans p' ^ '

Je «oppose deux cônes droits ayant mèw ^ t pondant à une même longueur d*apolhè^/| i ment : en supposant que Tun des côiy /^J | .J ment de rotation, les deux sommets r 2<» Frottement de glissement dîr/ i^ ?

Je suppose deux cônes droi is . / i c * n'ayant pas même sommet. . / Deux cercles correspondr/^' cônes restant fixe, lautr /|f sommet parcourra un c J I / ^ conséquent, à chaqu ? f f.

rpar la cou-

te de lliy- Mouvement

tomi ï ces

it '^ ^

fi'

àlr

^/û/int, et étant d^au. .^.4tffeclement Fun sur Tautn^»

et de révolution y décrits n* 5, roulent

trice droite.

3* Frottement Je suppose r Sur ce côr ' Par Fax

rayon r^.

Le ^

son r

ornent angulaire.

^..ii^l^boloides à une nappe et de révotutîooy décrits n* 6, glissent .«jtirement l'un sur l'autre.

' l*al donné Texamen détaillé de ces diverses espèces de frottements, d^abord dans deux mémoires présentés à l'Académie royale dés sciences de Stockholm « la premier aystnt pour titre : Nauoettes recherches sur les engrenages , qui fut préf» sente au mais de septembre 1822; et approuvé par lIH . Lagerhjelm et Svanbergg eommissaires nommés par rAcadémfe;

Le second ayant pour titre : Des retalions gui doivent exister entre deux surfaces em contact suivant une ligne courbe ok droUe, pour gue te frottement stni de roulement ou ée glissement , qui fbt présenté dans Tannée 1823, approuvé par les mêmes commissaires/ traduit en suédois, et imprimé dans les Acte$ de FAcadémie poor rannèal824';

Amtiie , dana deux mémoires présentés à rtnstîtut de France » Tipi av nioi% 4e décembre M2», ayant pour titre : Recherdies sUr tes engrenages cgtindrigues et

rL

Whiie; et Faut engrenage lufpei rotatUm entre dt

^olalion C^ ayant son sommet au point m, et ayant ^^on sera celai de courbure maximum de la surface \ \* le cône C et la surrace développsd>le D étant "^ce droite G»

'çne de courbure nuuAmum j et Tautre la

me borne

ent dM

'>osc \

de

\ \ Vuivant tous les poinls de la généra»

§ 1 1 V^ôo'® Ordre qu'en le point n , par

^X%. ^\^ correspondant à la droite G, "1 ^ ^ ,.^ Are osculalrice en le point ii,«

génératrice les deux sor-^ "< \t ^correspondants au

i^\\Vt> au point ji.

* ^\ \ Quelconque \*%ceDsoit

^en

de la ^ «ans tangents'W .(^nts de Ta surface iTv.

^Hlces M et P pourront être d^El^» ^ , au Ken de considérer Tes Tîgnes de c^«.

j*av2rts empToyé ses Tîgnes de courbure maximum ^ j^a dont les lignes de courbure auraient été, tes unes dévefopp cmirbure mîmmum de M) et les autres développées des Tîgnes de courbni*^ immr de la même surfece.

Ct les plans tangents des surfaces Q et H auraient été réciproquement pTans normaux de M et Q. ^

Si f on opère ensuite par rapport â Ta surfaco P comme nous Tavons fait par rapport k la surface M, /on obtiendra une nouveTIe surface 1^.

Et les surfaces P^ et M seront, par rapport a P, ce que les sirrfaces P et Q sont par rapport à m. '

De la surfbcc Q Pon pourra déduire une snrface Q*, et afnsf d'e suite J de «rorfe que Ton formera la serre de surfeces^ ete^.... P^^, P", P, M, 0, CT» Ô"» ^tc., les surfaces P et Q seront dites : surfaces éts centres de rotation de la surface M, et Uon iterra plus loin pourquoi je leur danœ ce nwu

C^ Ce q«i suit est extrait dn mémoire pubtfé en f Stl dans Tes Jcté^ de l^cadémîe ropfe des sciences de Stockholm. T/A

4e-fei^MeMMiit> dMl M Idi sem déterminée par h cou» dition suivante : *

Supposant un conoida'«BgenAré.piir «ne^otte «'appuyant aur Pare de lliy^ fartiÂUe fisB^ct sd» acm eerate^to^gorge > faxe de rbyperboKnde en mouvement «MM^paar dm/fm^f^Miog^âB aMtMtangttlatre dessein edrclles éefforgp^ pèr» pendiculaire à la génératrice dn conoide, passant par le pmkt cornmnn à ces deux cercles.

BF JErotloMni dar glîsaeBieai angulaire ^ ame pîfol cawbt . fiha.Mp|^oaau|i|a las éetn faf perMoMea dn n^j^amt donnés, et qnefes cercles de gorge dft aajt 4 tou » s^rAieea^oM «# aMweineM de rotation assujetti à Ik M énOMétj^ 7, déa4ar» «ea^ d o » » aa w>l ^ jtnîfMi» dn^ kMtetteni énofneé; ~.- ^.. ,'*

' Efpempies des diverscê etpêceê defioitemenU çai petîaeiil exiWr entre deux wr^çiceu

I* Frottement de roulement direct

Deux cônes droits ayant même sommet et étant eb oonUKt suivant une gênéaatricedroite, roulent directement fnn sor Tautie.

2* Frottement de glissement direct. . .

Hanx cônes drorits n'ayant paslenrs sommets an même point, et étant d'ailleara en contact suivant une génératrice droite, glTssent directeiAent Tun sur Taulre.

S^^rotiement de roulement angulaire.*

Les deux byperbobides à ane nappe et de révolution ^ décrits xf 5, roulent angnliatrement*rnn sur f autre.

V Frottement de glissement angulaire.

Les deux hy perboloides à une nappe et de révofutîon , décrits n* 6 , glissent angulairement Tun sur l'autre.

l'ai donné Texamen détaillé de œs diverses espèces de frottemenls , d^abord dans deux mémoires présentés à T Académie royale dès sciences de Stockholm/ la premier ayilnt pour titre : Nmêvettéê recherches sur les engrenages , qui fut prér aenfé au mois de septembre tBfSt^ etapprouvé par HH . Lagerhjélm et Svanbeiy^ aemmissaîres nommés par T Académîe ;

Le second ayant pour titre : Des r^ûbns qtd dbiveni exister entre deux svrlofies en contact suivant une ligne courbe ou ârcite^ pour ifué tè frottement scii de routementou es glissement , qui fat présenté dans Tannée 1823, approuvé par les mêmes commissaires,* traduit en suédois, et imprimé dans les Acte^ deTAcadénue [^ur l*annéaM24t;

Bkianite, thine deux mémoires pr^ntés à flnslitut de France» ^t^l aur mai* éa décembre 1495^, ayant pour tître : Rechercàés itir tes mgrenages cgBndrigues es

Wfiiie; et Tautre , au mois de février |f SB , ayant pour titre : Qmêiruction d^mk mgrenage hyperbolddiquey au moK^n duquel ^Con peiÊt tranameUce le moÊmmmV^ ràiatim entre deux axen qui ne sont pas siUiés dans un

Je me bornerai y dans cette note, à donner ce qui est refatîT au frottement dé roulement direct entre deux surlhces f^.

le strppose que Ton Ibsse mouvoir tin plan tangent & nue surface conrhe quelconque M , de manière qne les pointa de contact se trouvent sur une ligne de courbure minîmton d de cette snrfece.

On formera alors une surface dfivefoppable D, dont |e désigne Tarèle de rebroussement par 9. -

Si fopére de la même manière, par rapport â toutes les lignes Se courburci minimum d, <f, (tj etc. , de la surface M , la série des arêtes de rebroussement ST/ 3^9 ^\ etc. , fbrmera une surface courbe , dont Tes lignes de courbure seront les dëvebppées des lignes de courbure minimum ^ et fes développantes des lignes de courbure maximum de la surface M; et cette snriàce, qne Je désigne par P, sera tefle, que ses plans tangents seront normaux par rapport à fa surface M , et que tes plans tangents de h surf^ HT seront normaur par rapport & la Surface P; Tes émrx emrftees M et P pourront être dîtes r turfaces réciproques*

91 y an Kcu dé considérer Tes Kgnes de courbure minimum de la surface If, j^avats employé ses figues de courbure maximum , j'aurais formé une surface Q, Ifcmt les frgnés de courbure auraient été^ les unes développantes des lignes de emirbure mmimmn de llf , et les antres développées des Tfgnes de courbure nrnficimttm de la même surrace.

Ct les ptans tangents des surfaces Q et If auraient ^é réciproquement pfans normaux ne ni et v»

' 8î f on opère ensuite par rapport à h surface» P comme nous Tavons fait par rapport i la surface M , Ton obtiendra une uouveTle surfbce P'.

Et les surfaces P^ et Sf seront, par rapport a P, ce que les sinrfaces P et Q sont par rapport à W.

De hr surftice Q Yen pourra déduire trae surface Q*, et nfnsr (Te suite ; de s^orte qne Pon fbrmera la série de surfaces^ etc.,... F*, P**, P; M, 0, Q*» 0*, etc., les surfaces P et Q seront dites : surfaces des- centres de rotation de la surface M, et Ton verra plus loin pourquoi Je leur dxmne ce nom,

f*JCe qii 9mi est extrait du mémoire pabKé en fStt dans Tes Acwt de îTVcadémte royafe des sclefï<;e§ de Stockholm. T. 0^

* in.

^U donnée une sarr^ce dé?eloppab1e D, ayant ponr arête de rebroussement une ligne à double courbure i.

Je suppose un plan tangent T à la surrace D, et passant par une génératrice ^ de la surface D, et la tangente t menée au point m de d, point m en lequel cette courbe 8 est coupée par la droite g.

Ce plan T coniiemlra le cercle osculateur de la courbe 3, au point m.

Je désigne par r le rayon de ce cercle au point m. Tous les rayons de cour* bure r forment une surface gauche. Perpeniliculairemcnt au plan T, et par le point m^ je mène une droite h. Si en chaque point de la courbe ^je fais la même construction, la série des droites h formera une surface développable , dçnl Taréte de rebroussement Z aura pour développante la courbe i. La portion de la droite A comprise entre les deux courbes 8 ei Z sera le rayon de flexion de la tourbe S pour le point m. Je désigne ce rayon par R.

Si je déroule la surface déveIop[>able D sur le plan T, la courbe 9 se transformera en une courbe y, dont les rayons de courbure formeront la série des rayons r. Cette courbure y est dite : ligne de courbure simple de Tarête de rebroussement d»

On peut replier la surface D, planifiée , de manière à varier la loi dos rayons de flexion R. Par conséquent, Ton peut former une série de surfaces développables D', D'', D'^, etc., ayant pour arêtes de rebroussement des lignes 8\ i'\

8^j etc. , qui auront toutes pour rayons de courbure la série des rayons r, mais qui auront chacune des rayons de flexion diderents et formant des séries R', B'^yCtc. il est évident, maintenant, que si Ton prend deux de ces surfaces déve** loppables D et D', qu'on les melle en contact suivant une génératrice droite, passant par un point m de la courbe 8 et un point m' de la courbe d', points tels que les rayons de courbure qui y correspondent soient égaux, supposant que la surface D reste fixe et que la surface D' prenne un mouvement de rotation, cette surface V roulera sur D en se mettant en contact suivant les génératrices droites successives, et les deux arêtes de rebroussement d et ^ auront toujours en leqr point de contact, une tangente commune. On peut donc dire que deux surfaces développables , dont les arêtes de rebroussement ont même ligne de courbure simple y, étant mises en contact convenablement, rouleront Tune sur Tauirc^ et le frottement sera celui que j'ai désigné par le nom dcfrottement de roulement direcU

S ni.

Sur la surface développable D, je suppose une des développées dde Tarête de rebroussement d, et ime génératrice droite G coupant la courbe d au pointu, et tangente à la courbe d au point m.

Je wppose «n oAne de révolaiion C , ayant son sommet au point m , et ayant pour base un cercle dont le rayon sera celai de courbure masnmum de la surrace Pv lequel correspond au poini n; le côneC et la surface développable D étant d'ailleurs en contact par la génératrice droite G.

On sait que d et G seront, Tuiie la ligne de courbure nuvdmumj et Tantre la ligne de courbure minimum de la surface D*

Le cône C sera tangent à la surface D, suivant tous les points de la génératrice G y et en chaque point le contact sera du même ordre qu'en le point n, par conséquent tous les centres de courbure maximum correspondant à la droite 6^ seront sur la ligne qui joint : 1* le centre de la sphère osculatrice en lé point n^ et 2° le sommet m.

Si je mets 'en contact les surfaces développables D et D' par la génératrice droite G, et de manière à ce que le roulement ait lieu , Ton voit que les deux sur-»* faces D et D' auront leurs rayons de courbure maximum^ correspondants a u même point de la génératrice de contact, dans un rapport constant*

De sorte que si le rayon de courbure maximum de la surface D est, au point n , représenté par t; , e't par u pour la surface D'; et que^ pour un point quelconque n'de la génératrice droite G , le rayon de courbure maximum de la surlàce Dsoit

v\ et it' pour la surface D\ Ton aura toujours :- = -;• Et cette équation aura tou"

jciurt lieu pour un point quelconque de deux génératrices droites se mettant en contact pendant le mouvement de rotation.

Les deux cônes qui auront même sommet m, et pour base, Tun te cercle oscu-

lateur de la surface D en n, et Tautre celui de la surface D' au même point, pourront être considérés comme pWiwint rouler T un sur rautredaas le premier instant du mouvement, le sommet commun m pouvant être regardé. comme centre

de rotation..

C'est pourquoi je donne à Tarête derebrous&ement d'une surface développable le nom de Ihjne des centre» de rotatUm de cette surface ; et c*est aussi par la même raison que j*ai désigné la surface Q et la surface P par celui de surfaces des centres de roiatUm de la s^rface M •

5 IV

Revenons à la surface H. *

D*aprèsce qui précède, il sera facile de construire une surface conrbe N, et

l'on pourra en construire une infinité, telle qu'elle ait même lighe de courbure

maximum que la surface M, ses lignes de Courbure minimum étant ceque deviennent

les lignes de courbure mtnimiimde M, lorsque l'on transforme les surfaces déte^

éUM Muwm à 4»U«uloi, Mwir : iiwIm râj^^oa rfe cattrhq go jbéwwi tkn ^ffg» N »t il ,.<|tti a>cf esp oad# i H à im mèmepoifil de aligne île «oelact, liqwUe sera une ligne de courbure tmmnmn de9 surfiioee M et N » WM dons «n npporl CMUStaut 9 quel quaiiâit 09 fmiM*

Ainsi les lignes de courbure maxhtmm^é^h Bwri»^ Il éMuit d ié§ Ê mà parl^

. Et sea lignes de eouriMire mkmmmy par d, 4^ i\ ete« ; ies Ug!Dea da«oiiirbure v na sAm im «u w uMiiiiw i de lâ sarfece M aeroeft mm \^

Ëtseslignesdetourbure mtftiinutn ou maxtnitim seront désignéeeperM^n'^n'', 606;. . Les surlacQi M el N étant dane le premier b^ani en cosiect shK^hm la eeurl>e ( r par ^Mi»pie4

LûSi rajena d^courbttre des. courbas «, -À y yi\ ete« , eerteapeadant a«i ponts où ces lignes coupeftl la courbe l , élani désignés par 9, 9', 9" y ete; ;

i.cs coujrbesaàOt tf» % et 4r ^t^> atvwt chacune en contact par uopoiel, et seffuot oonfttnéœ Ugnes bam(d^9m^*

£i ic& ra>OMS cle cMurbttc«^ ^ «tMAfb^ d» d", tf\ coerespendaiil aux nèmes

points, étant désignés i)ar r, r', r", etc., on devra avoir U proportion suivante :

»tr fri'^r*^!: #•*••/*, etc. ? •

fit jceMa «ps e p ae tk i» devra euheiaier par rapport à tow let ponts des autres ^SQuebee ty ^9 •te. ;

Oie^esrte 4|ue , ieeeqoe la propenien précéd^nf» sutisisceff», Isa dem s a rifc ee a Il ^ K a«MBl oAmes lignes de eewèure Ahm m sens ;

Et lorsque ces deux surfaces auront mêmes lignes de courbure dans un setta", •Me peépatien snbsîalera , eaeeplé dans deux eaa , od celte proportion pourra M^tter ou apa ; aa^etr : lersfM ias âenx surAces awronf pour ntêoMs Kgnea de eeurimvo'dene un sens d^s ligMs droite» , ou dM Kgnea égttles entre etiee.

Ainsi, lorsque les deux suriaces seront développaMes ou seroni dérévdmfik», si Von suppose que les surfaces M et N étant en contact suivant la courbe Ç, par exemple t M restant ûxe, N prenne un mouvement de rotation , cette surface tendra à rouler wr M, en se mettant en contact suivant, les lignes ds oaurbere successives (' , 1^'', ^'\ et,c. i ek Toa peut éaeneer ce liiéofàiw général :

Si d^ju wr£iicea courbes onft mÀmes lîgnos de oourbuire timiMitiin ou «aanmiue^ ]orsqu*ea les4n«ttra en coiUacl suivanA une de ces lignes , eUes aeroat une te»* éeiesà se. rMl^4»sc leurs Ugpies de CMMrbujna nMuneuian ou mkdmtm.

£l 4mk let^daus cm puMicoifoif éncmcéft ei^essm , si Iti proportion entré fiés rayons de cowteve-MlMîite» Im demLMtliieeft (eoéronti rouler Fudb sur rautro'; jM'dieiMrsabMile^piiSi eesMrfii6es^lelldf<Ml^à glisser Fom sur f autre, et te fiotiejaumLfieiaaIùafmi , ^o-de^glisseoieiit ^nt «nnhtreQ , est cetni que f tfi désigné par le non defagmemêm^r ^ MMtefNmf ou 4eytiê$ement^ 4hwi.

Les deux surfaces M et N ^iMt dan» les Hsoitdiiîons étabtîes^ d-Aessus ^ on pourrf^.€MMniaft, fff iupporHi te surfaee N, deux iurfbces X et T qui seront les Mmi9fmu da>surfiMet Pm Q;

^ i«>FM|iie ki deu^Mtfews M «1 N se faettroiit tm coirtact par leurs lignes (k courbure du même genr^^ \m Mrfaees PetX, Qiet Y se-mttrottt aussi en coutactl par des ligiMS^ ëa^eosrbuM d*uti même geiif« ;

Ainsi (par eMOipie ), les aurfiioea II et N-senm&tnt par teurr lignes de Seconde courbure , keaaçrftttaai^ et X, Qet Y, ae rmiferonraussi par leurs Kgiies de seconde

Mais dans les deux cas particuliers énoncés ci-dessus , lorsque les surfaces tl ei N glisseai Tuae sur Taotre, les surfaces P et X , Q et Y, ne sont point en conlaet; de sorte que Ton peut énoncer ce théorème :

Si deux surÛBices M eiN étaut mises eu contact suiTant une lîgne de courbure, les sur&ces des centras de rotation sont en contact, les deux surfaces H et K lendront à rouler Tune sur l'autre;

Si les surfaces des centres de rotation ne sont point en contact, alors les deux suafacea H et ■ teandaent à glisser Vune-sur Feutre (^. ^

Je suppose que sur la surface M, on trace une courbe arbitraire f , la surface

(*) On doit faire remarquer, que lorsque Ton dit que les deux surfaces M et N UmJÊdkt à rouler «i4 glisser l'une sur l'autre , on n'entend jmis dire t^m e4fer , la sorface S restant fixe , et te snrfaee N.|Nre> Haut na oMovenefti , elie roulara ea stismia t§ÊM$mMmt mt la surfim 11 ea se naClairt ea comaoc avec elle par ses lignes de courbure successives^

On entend dire : si certaines conditions , que nous n^avons point exasmées ioisqiiB'i) s'agitde soitoii fftidfaleft ( eC ntm partietilières) M el N, subsistent ; les surfaces saii^isant i ces cooditkms rouleront ou glisseront efecthemnnt Tune sur l'autre, et le frottement sera direct ; si ces con W sSi aasahiistgat pMi; les surfaces H el N auront Miitenml une tendanos à leuleren àffiseerdliHHwBiU r«aiisar taalre« quoique la surface N ne puisse elfecHvemèni changer de place une fois qu'^ll# est-ea eentact anrecla sb9* lace il. Cest ainsi que pour les surfaces particulières M et N , savoir : (feux surfiices dîveloppables quet neafrtea»eu dem dmn^ ouéiva cyMadrei* Il ealétideni qn» la a aa ive aa mf 4s» MtàtXfHwtr te surface II peut effeelivmnint atoir lieu, quoique nous u% déduisions* |ISs eeae poMîbiMiéa nknMUM^ 4b rexislence de eerCaines conditions générales , qui subsistent néceMairomeni dans cet cas partîcuiisNi*

M, en roulant ou glissant sur H, recevra de ^ une edipreînle f', telle qtietf et f auront une tangente commune en chaque point de contact successif.

Il est évident que^ pour chaque contact de ces courbes , les plans contenant leurs cercles osculateurs se conrondront; de sorte que les courbes f et f' auront, pendant le mouvenoent de rotation des deux surfaces M et N , un frottement, de roulement ou de glissement , direct et sans pivotement*

Deux courbes telles que 9 et 9', peuvent être nommées lignes homologues.

Ainsi , deux surfaces en contact suivant une ligne courbe ou droite ne peuvent pivoter Tune sur Tautre en prenant un mouvement de rotation, parce que leurs lignes homologues ne pivotent pas pendant la rotation.

Je suppose maintenant que perpendiculairement à la tangente commune aux courbes 9 et 9', je fasse passer un plan B, dans lequel je trace deux courbes arbitraires a et a, mais tangentes Tune i Tautreet précisément au point de coniact des courbes 9 et 9', et ayant en ce point pour normale commune, rinierseclion du plan tangent commun aux surfaces M et N , avec le plan B.

Faisant ensuite mouvoir les deux courbes a eia^ la première sur la courbe 9, la deuxième sur la courbe 9', de manière que dans toutes les positions de contact de 9 et 9', tout le système soit dans les conditions que je viens d'énoncer, j'obtien* drai deux surfaces*canal qui , pendant le mouvement de rotation de la surface If sur M, rouleront ou glisseront Tune sur l'autre, suivant que N roulera ou gJi^era sur M.

Je puis multiplier sur les surfaces N et M , le nombre des courbes telles que 9 et 9', et former dès lors un engrenage composé d'autant de dents qu'il y aura de sttrfaMa*canal,

§ VI

Ce sont les considérations précédentes qui m'ont amené à. envisager la théorie des engrenages , sous un point de vue tout nouveau.

Dans les arts mécaniques , il est important que l'on puisse engrener et désengrener avec promptitude et facilité. L'uniformité de mouvement est indispen* sable; et, pour la solidité, il est nécessaire que les surfaces dentées tournent autour d'axes fixes.

Ces diverses conditions seront remplies si Ton prend pour surfaces M et N dea surfaces dé révolution.

. Et comme dans les surfaces de révolution, les lignes de première courbure sont les méridien» , et les lignes de deuxième courbure sont les cercles dont les plans sont perpendiculaires i Taxe^ les deux surfaces M et N, pour pouvoir se

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laeUreeii contact suivant une ligne decourbure, devront avoir leurs axes de ré-* volation dans un même plan.

Si les axes se coupent , on pourra prendre pour les surfaces M et N deux cônes ayant leurs sommets au point d'intersection de ces axes;

Si les axes sont parallèles, on pourra prendre deux cylindres. . ^

En opérant 9 par rapport à ces deux surfaces particulières , comme je l'ai fait cs«deasus. pour ï» siir&ces générales M et N , on obtiendra un engrenage à la White ; et comme pour un cône, la sor&ce des centres de rotation se réduit au sommel , et que pour un cylindre ce sommet est situé à Tinfini , on pourra affirmer que le frottement des dents sera de roulement direct ^ et sans pivotement.

Et les lignes de courbure par lesquelles les deux cônes ou les deux cylindres se roulent, étant des cercles, il s'ensuit que les vitesses angulaires sont constantes.

On parvient donc, au moyen des considérations développées dans cette note, à démontrer rigoureusement que les engrenages coniques et cylindriques que le mécanicien White présenta à l'Institut pour le concours décennal de 1810, jouissent en effet de la propriété qu'il leur attribua, savoir : celle de satisfaire à la fois aux deux conditions : l'' de frottement de roulement; 2"* de vitesse angulaire constante; conditions qui avaient été, jusqu'à lui, regardées comme ne pouvant avoir lieu, en même temps, dans un engrenage (^). Mais >^hite, qui sentait bien que la matière agissait, ainsi qu'il l'annonçait, ne put le démontrer mathématiquement; et le mémoire qu'il publia en 1811 , bien loin de présenter la question sous son véritable point de vue géométrique, ne servit qu'à confirmer les géomètres dans Tancienne idée de l'incompatibilité des deux conditions.

Si y au lieu de prendre pour oowtbe méridienne des surfaces de révolution M et N une ligne droite , on trace sur le plan des axes une courbe arbitraire z; par son mouvraaeot de rotation autour de chacun des axes, cette courbe z engendrera d^x surfaces de révolution , sur lesquelles on pourra opérer comme sur les sur^ faces générales M et N.

Mais alors l'engrenage obtenu aura un frottement de glissement direct et sans pivotement , et les vitesses angulaires seront encore constantes. Le frottement sera de glissement, parce que la surface des centres de rotation pour une surface de révolution , n'est autre que l'axe de révolution , et que dans le cas que nous examinons, les deux surfaces des centres de rotation ne seront point en contact. Les vitesses angulaires seront constantes , par la même raison qui fait que cette condition est remplie pour deux cônes ou deux cylindres.

(*) Voyex !• mémoire publié par Boudiu

. La différence entre les engrenages dont je viens de donner une idée, et cens ordinairement en usage, consiste en ce que , dans ceux-ci : 1" les dents sont en contact par une portion de surface cylindrique ou conique , suivant que l'engrenage est cylindrique ou conique, puisque l'on est obligé de donner aux dents une certaine épaisseur, pour qu'elles résistent ; 2* le point de contact des épycicloîdes planes ou sphériques qui terminent les dents, ne sort pas d» plan qui contient ces courbes, pour l'engrenage cylindrique ou de la sphère sur laqudfo ces courbes sont tracées pour l'engrenage conique , tandis que dans les engrenages à la White, les dents ne sont en contact quo par un point, et ce point, pendant que l'engrenage fonctionne , se meut sur la courbe s tracée sur le pèui des axes ; et il y a autant de dents en contact , en même temps , qu'il y a de sur- Êu^-canal coupant la courbe méridienne »

DD TRACÉ ET DE l' EXÉCUTION DE l'eNOREMAGE DIT VIS-SANS-PIN {*).

Dans la quatrième et dernière éditioD de soq Traité des machUes, HACum dit auèujet de la vis-sans-fia :

<c La vis*sans-fin est une roue deotée engreaée daiis les pas d'une aittr^ vis,^ à > laquelle elle imprime un mouvement de rotatioq (^^) . Si la vis est en velo(^>^ au- » tour d'un cylindre, il n^y a qu'une seule dent de la roue dentée qui soit enr » gagée (^^^)î mais on peut en engager plusieurs en tragant la tis sur une sur«* » face de révolution qui serait tangente à la circonférence du cercle passant par » le premier point de contact de chaque dent (***♦),

» La figure du filet de la vis*$ans*fin et celle de la roue menée par cette fis

i*) Extrait du journal da géoifi civil , a* foL, aoato 4S29.

(**) Cette définition n'est pas très-claire; la roue dentée par la via ne peut être eomparée à ane vis*

(***) Ceci eat inaxact» Quand on taiHe une roue âu ttufên ^fane vis eylindrique , ptoieurs denca de la roue peuvent être en contact avec les fileta de la vis ; le nombre des dtnla eo oontaol dépend eu de la roue, de Tépaisseur et du rampant du filet de vis. T. O.

désigBe icr les e ugieuagw et^sffârei , dont il tf a pas parlé dans son ouvrage.

» posmtent d<MBner lieu 4 qm multitude de recherches analogues à celles qui k eoQcernent les roues (tentées en général.

» La meilleure manière de iailler la roue dentée d'une Ti$-san&-fin consiste à » faire lavis en acier, à la tremper, à donner à ses arêtes un bon* tranchant, et i » la faire agir sur la circonférence de la roue dentée (*).

» A mesure que le tranchant de la "vis entraîne la circonférence de la roue^ ùà » les rapproche Tune de Va iflrè JB$<pi*|^ ce qu'elles se pénètrent de toute la pro- 9 fondeur de lavis, et on continue à les faire mouvoir ainsi Tune si|r Fauire^ » jusqu'à ce que la vis n'ait plus d'action sur les dents qu'elle a taillées (**).

D'après cet article, extrait en son entier do rexcellent ouvrage de Hachette, Ton voit que tout reste à faire au sujet de la vis-sans-fin , que l'on ne connaît point encore la nature géométrique de la surface des dents de la roue dentée; que Ton ignore comment s'opère le contact entre une dent de cette roue et le filet de la vis; quel est le lieu géométrique des contacts^ et que Ton n'a point enœre cherché quelle devait être K courbe génératrice et de la dent de la roue et du fiÎQt de la vis pour que les vitesses angulaires soient dans un rapport constant, pondi-tion qui doit nécessairetnent être remplie pour que les. macbii^ de précision dans lesquelles on emploie la vis-sans«fin, comme les machineft^â diviser» elc^ soient exactes.

Je me propose da^s ce. mémoire de remplir la Igcune qui e^ste encore dans le tracé des %ngren^ges à frottement de glissement, en recbcrcbant quelle doit être la construction géométrique de rcngrenagenommém-^ii«-)în, pour qqe le. rapport des vitesse^angulaires y soit constant^ comme cela a lieu dans les autres eor

enages cylindriques et coniques, dont les detttsaont taillées suivant les formes géométriques décrites par jtt acuettk dans son Traite des machines. ^

Dans le méqp^tjre suivant (n"" 10), j'examinerai Tengrenage dit engrenage clep^

', Tracé de la vis-^ansjin.

I^our que l'engrenage dit vis-sans-fin satisfasse à la condition du rapport constant entre les vitesses angulaires de la roue dentée et de la vis, il faut (en n'oubliant

' " ' ' ' ' ■ ■'-III — ^». .. ..■■-. . ■■■■■■■ I ■ , I «^a. ^mmm^^mm^^

(*) La vis «insi préparée ne pourrait enLampria matière de la roue à denter. H faut tr^iD^formcr ia vis, en taraud, e& pratiquant des encoclm, ou sillons équidistants sur la surface du fliet, do manière à se procurer des rabots qui puissent enlainep la roue à denter. T, 0.

(**)Ceci est inexact. A noesure que J'on enfonce la vîs-Caraud , elle mart toujours ; par an travail continu , on finirait par ronger toutes les dents formées, et en poursuivant le travail on reformerait la roue denrée, mais» elle aurait une 'dent de moins que celle que Ton aVait obtenue d*abord et dgiU on à successivement rongé toutes las tlenU-par suite du taraudage soutenu. 'T. 0.

point que dans cet engrenage Taxe de la vis et Taxe de la roue deatée sont rectangulaires entre eux) que la seetion faite par un plan passant par Taxe de la vîs est perpendiculaire à l'axe de la roue dentée , offre le tracé qui convient à une crémaillère.

Pour pouvoir démontrer qu*en eflfet tel doit être la construction de la vm^mins* •fin, et que l'idée, qui , je crois , n'a été présentée avaat moi par aucun mécanicien , de comparer la vu'ians-fin à loi engrenage à crémaillère , est exacte , je rap-^ pellerai d'abord le tracé : i"" des cames et 2* de la crémaillère , en répétant, tex-tuellement et en son entier, ce que Hacheiie a dit dans son Traité des machines au sujet de ces deux engrenages.