PREMIÈRE PARTIE

Vrarillii propriétés de» ptraJboloIdei hyperbolique».

On sait que si l’on a , dans un même plan, une suite de droites parallèles entre elles A , B, C, ... les divergentes d’un point o sont coupées en parties proportionnelles par ces parallèles, et que l’on a, fig, 1 :

oa : oa, : oa ,, etc., :: ob : ob, : ob,, etc., ::oc: oc,: oc,, etc., :: etc. (1).

<*) l’ai composé ce mémoire d'après des notes écrites à Metz en<849.

Cela posé :

Menons par le point a une droite arbitraire K et du point o comme centre et successivement avec ob, oc,... [tour rayon décrit des cercles coupant cette droite K aux points b', c',... la droite ob' fera avec la droite oa un certain angle a, et la droite oc' fera avec la droite oa un certain angle S.

Cela posé :

Du point o comme centre et avec les rayons oa,, oa,,... décrivons des cercles coupant la divergente oa, en les points a',, a',,... et menons par ces points des droites K,, K,,... parallèles entre elles et à la droite K.

Cela posé :

Du point o comme centre et avec ob, oc,,... comme rayons, décrivons des cercles venant couper la droite K, en les points b",, c",...

Du même point o comme centre Cl avec ob„ oc,,... comme rayons, décrivons des cercles venant couper la droite K, en les points b",, c",...

Je dis que les points b’, b",, b",,... sont en ligne droite, ainsi que les points c', e"„ c", ,...Cela est évident , en vertu des proportions (l)ct de la construction.

Par conséquent, si je fais tourner la droite oa , 1“ d’un angle S pour la- ramener sur oa, , et *2* d’un angle y pour la ramener ensuite sur oa, , l’on aura la fig. 2.

Et les points b', b'",, b'",... seront en ligne droite D,, et les points c', c",, c"',... seront aussi en ligne droite C,, car il est évident, par la ligure, que l’on obtiendrait les mêmes points eu supposant que l’on fasse tourner la droite B d’un angle a autour du point o, et que l’on fasse tourner la droite C d’un angle 6 autour du même point o.

Les droites A, B„ C,,... font le même angle l et respectivement avec les divergentes oa, ob', oc',... et les droites K, K',, K',,... font le même angle p avec les divergentes oa, ou„ oa,,... en sorte que les droites A, B„ C,... sont les enveloppée s d’une certaine courbe A, et les droites K, K,', K,', ... sont les enveloppées d’une certaine courbe 4>.

Mous verrons plus loin que ces courbes A et <t> ne sont qu’une seule et même parabole.

Il est évident par la construction , et en vertu des proportions (1), que l’on aura :

ait

oa

oa,

~~ ua *

ac’

ac

oa

oa,

oa,

Les figures \ et 2 peuvent être considérées comme les projections orthogonales de divers systèmes de l'espace ; passons donc de ce qui est sur le plan à ce qui peut exister dans V espace.

8 ni.

Premier système de t'espace.

Considérons la figure 2 comme la projection horizontale d’un certain système de droites situées dans l’espace; ainsi élevons par le point o uno verticale O, menons ( fig . S) par les droites parallèles A*, II*, C*,.-- des plans verticaux P, Q, R... et concevons une série des droites horizontales G, G', G''; ...s’appuyant sur la droite O et sur une droite A tracé dans le plan P. Les plans Q, R,... couperont ces droites G, G', G'',... en des points qui détermineront respectivement les droites B, C,...

En sorte que l’on aura dans l'espace un parnholoïcle hyperbolique rectangulaire 2, ayant pour premier système de génératrices droites, les droites G, G', G",... dont le plan directeur sera le plan horizontal de projection, et ayant pour deuxième système de génératrices droites, les droites A, B, C,... dont le plan directeur sera le plan vertical de projection, puisque dans la fig. 3 nous avons pris la ligne de terre LT parallèle aux lignes A*, B*, C*,...

Cela posé :

Faisons tourner la droite B d’un angle a autour de l'axe O et la droite C d’un angle 6 autour de môme axe O, ccs angles «, g,... étant tels que les points a, 6,*, c*,... soient en ligne droite K*. Il est évident que les points b' , c’,... seront situés sur la droite G’; dès lors si nous menons par le point a'* une droite K'* faisant avec oV* un angle u égal à celui que font entre elles les deux droites o*a*et K*, les points b,", c.",... seront sur G'% et ainsi de stiile.

En sorte que l’on voit Ircs-bicri : 1” que les droites horizontales G, G', G",... se seront transformées on les droites horizontales K, K’, K",... et 2" que les droites A, B, C,... se seront transformées en les droites A r B, , C,,... Les droites A, B, C,... étaient parallèles au plan vertical de projection, mais les droites A, B,,’C t ,... ayant pour projections horizontales des droites A*, B,*, C*,... qui ne sont pas parallèles entre clics, ne seront pas , dès lors , parallèles à un plan vertical.

Mais comme les droites horizontales K, K', K",... sont coupées en parties pro-

portionnellcs entre elles par les droites A, B,, C,,... puisque l'on a évidemment dans la fig. 3 et en vertu de la fig. 2 :

A‘ : «V :a'*6."* : etc. :: oY,‘

etc.

Il s’ensuit que la surface A, doublement réglée et ayant les droites K, K', K",,., pour génératrices du premier système et les droites A , B, , C pour généra-

trices du second système, sera un paraboloïdc hyperbolique oblique, ayant le plan horizontal de projection , pour l’un de ses plans directeurs.

Cela posé :

Comme lorsque l’on considère un cylindre tangent à un paraboloïdc hyperbolique, la courbe de contact est une parabole A, les droites A*, B*, et les

droites K‘, K'*, K' - *,... seront tangentes à la parabole A* projection horizontale de la parabole A, qui est la courbe de contact de la surface A. avec un cylindre dont les génératrices droites seraient verticales et seraient dès lors parallèles i l’axe O.

§ IV

I. D’après ce qui a été démontré dans le $ 111 précédent, on peut énoncer les deux théorèmes suivants :

Ayant une droite A et un point o ( situés sur un plan P), si l’on mène du point o une série de divergentes os, os', os " ,... coupant la droite A, aux points i , s",... et si l’on mène par chacun de ces points s, s', s",... des droites A',

A", A'”,... qui fassent chacune et respectivement avec la divergente qui lui correspond (fig. 4) un anglea, les diverses droites A, A', A”, A’”,... seront les enveloppées d’une parabole à(ou en d’autres termes seront les tangentes d’une parabole 3).

Étant donnés une parabole 3 ,*son sommet t et sa tangente A en son sommet, si l’on prend sur la tangente A une suite de points s, s", s'", et que par chacun d’eux on mène une tangente à la courbe 3, on obtiendra les droites A', A", A"’,...

Tfig- »), et menant par chacun des points s', s", s"',... une perpendiculaire à la tan-* genle qui passe par le point considéré, on aura une série de droites qui se couperont toutes en un même (joint o situé sur l’axe infini *X de la parabole donnée 3.

II. Nous pouvons encore déduire de ce qui précède diverses propriétés dont « jouit la parabole.

Ainsi (/ig. 5 bis), nous savons qu’étant donné un point o et une droite A, si nous menons la divcrgenlc op coupant la droite fixe A au point p et si par le point p nous menons une droite 9 faisant avec op un angle arbitraire p, celte droite 9 sera tangente à une parabole 3, laquelle sera tangente à la droite A en un pdînt a déterminé par la divergente oa faisant avec la droite fixe A un angle a.

Et si l'on fait varier l'angle p de grandeur, on obtiendra toujours une parabole, mais qui sera différente de la parabole 3.

En sorte qu’à chaque valeur attribuée à l’angle p correspondra une parabole particulière, laquelle aura un point do contact particulier avec la droite A.

Ainsi, le point o et la droite A étant donnés de position, en faisant varier l’angle p, on aura :

Pour p t une parabole 3, tangente en un point a de la droite A.

Pour p , une parabole 3, tangente en un point a" de la droite A.

Et ainsi de suite. *

Nous pouvons donc conclure de ce qui précède, ce qui suit:

Étant donnée une parabole 3 et une tangente A à celte courbe, si l’on mène à cette courbe 3, une suite de tangentes 8, 8’, 9",... coupant la droite A aux points p, p, p",... et si l'on mène par chacun des points p, p', p",..- des droites D, D’, D",... faisant chacune avec la tangente 0... qui lui correspond un angle constant p, ces droites D, D', D",... ne concourront en un même point o qu’autant que l’angle p aura une valeur particulière. (En un mot l'angle p ne peut être arbitraire.)

III. Si l'on a une parabole d, construite au moyen du point o et de la droite fixe A, et d’une série de tangente 9... faisant avec les divergentes op, qui leur correspondent, un angle constant p, nous pouvons considérer le quadrilatère paom, dont les sommets sont , l’un le point o donné, l’autre le point p en lequel une tangente 8 coupe la droite A, et les deux autres les points net m contacts respectifs de la parabole 3 avec les droites A et 8, et remarquer:

Que oa fait un angle p avec la droite A (fig. 5 bit).

Que op fait le même angle p avec la droite 9.

Et ces deux angles égaux p sont dirigés dans le même sens (à droite).

Que oui fait un angle X avec la droite 9.

. Que op fait le même angle X avec la droite A.

Et ces deux angles égaux X sont dirigés dans le môme sens (à gauche ).

Les quatre augles d'un quadrilatère valent en somme quatre angles droits, on aura donc:

nom = à.droits — 2(u +X).

Mai*, si nous examinons les deux triangles oap et opm, nous voyons qu’ils sont semblables, puisqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun et que par conséquent le troisième angle est égal de part et d’autre. Nous aurons donc :

aop

pom

et

ao

om

pm

IV. D’après ce qui précède le point o étant un point unique pour chaque parabole, il est de quelque intérêt géométrique de savoir quelle positiou ce point o occupe par rapport à la parabole.

D’après ce qui précède, il est évident que pour déterminer la position du point o nous pouvons prendre une tangente quelconque, et ainsi celle qui a pour point de contact le sommet de la parabole. Or (Jig. 5 ter), étant donnés une parabole 3’, son sommet s cl son foyer /, nous savons que si I on abaisse du foyer / des perpendiculaires sur les diverses tangentes 9... de cette .parabole J”, les pieds p... de ces perpendiculaires (ou normales) sont sur la tangente A menée au sommet s de cette parabole 3'.

Par conséquent, pour celte position toute particulière de la droite A, l’angle P est droit.

Nous pouvons donc conclure de ce qui précède que le point o en lequel concourrent les droites o/j, op'... (fig. 5 bis), est toujours le foyer de la parabole 3.