V. Ce qui précède nous permet de résoudre divers problèmes

i" PROBLÈME.

Etant donnés une droite A , un point a sur cette droite A et un point f hors de celte droite A (fig. 5. À") , construire la parabole 3, tangente en ad la droite A et ayant le point f pour foyer.

Solution. On mènera la droite fa, laquelle fera avec la droite A uti angle' connu u ; on prendra un point p sur la droite A et l'on mènera la droite fp\ ensuite l'on mènera par le point p une droite 9 , faisant avec fp un angle égal i l’angle u ci-dessus : cette droite 9 sera tangente â la parabole demandée.

On pourra done construire les diverses tangentes 9... enveloppées de la parabole demandée 3.

Pour déterminer le point de contact m de la tangente 9 avec la parabole de-

mandée 3, il faudra mener par le poinl / une droite fin, faisant avec fp un angle p/mégalà l'angle connu pfa, et la droite fin coupera la droite 9 en un point m, qui appartiendra à la parabole demandée 3; on pourra ainsi construire les divers points m... de la parabole demandée 3.

Étant donnés m point f et deux droites A et 9 (lig. 5, 5°), construire une parabole ayant le point f pour foyer et les droites A cl 9 pour tangentes.

Solution. Les deux droites A et 9 se coupent au point p. J’unis les poinls/et p, et

je désigne par p. l’angle fpm et par X l'angle fpa.

Je mène par le poinl / une droite fa, faisant avec la droite A l’angle p; je mène

par le point f une droite fm, faisant avec la droite 9 l’angle X; si l'angle afin est divisé en deux parties égales par la droite fp, il existera une parabole ayant le point / pour foyer cl étant respectivement tangente en a et en m aux droites données A et 9.

Etant donnés deux droites A et 9 et un poinl a sur la droite A , construire une parabole ayant la droite 9 pour tangente cl étant tangente en a à la ilroile A ( fig. 5 , 5° ).

Solution. Il est évident que le problème sera résolu, si l’on construit lo foyer de la parabole demandée.

Par le point p, en lequel se coupent les droites données A et 9, je mène une

droite arbitraire pf faisant un angle arbitraire p avec 9 et un angle X ( qui est dès lors connu) avec A.

Par le point a je mène une droite af faisant le même angle p avec la droite A, et j’obtiens, par l'intersection des droites af et pf, le foyer /de la parabole demandée.

Je puis ensuite mener par le foyer / une droite fin faisant avec pf un angle égal

à l'angle afp, et j'obtiendrai le point >n, contact de la parabole demandée avec la droite donnée 9.

Il est évident que le problème a une infinité de solutions. On peut donc se proposer le problème suivant.

On demande le lieu des divers foyers f des diverses paraboles ayant les droites A et B pour tuugentes communes tu gui seront laiigenu-s entre elles au poinl a.

Solution. Je mène per le point p, en lequel *e coupent les droites données A et 6 {fg. 5, 0*), une droite arbitraire pf, laquelle divise l’angle y que font entre elles les droites A et 9 en deux angles inégaux et arbitraires p el }.. Par le point a je mène une droite af faisant avec la droite A un angle égal à a; celte droite af coupe la droite pf en un point /, qui est le foyer de l’une des paraboles.

Or, dans le triangle paf, l’angle afp sera constant, puisque l'on aura toujours

fap +fpa = y.

Le point /sera donc sur une circonférence de cercle décrite sur ap comme corde, puisqu'il snflira pour trouver 1 le lieu des foyers / de construire sur ap un segment capable de l'angle (180* — y).

Etant donnés 3 jtoinls a, b, et p ( non en ligne droite ), on demande déplacer le sommet s el de déterminer f amplitude de C angle dont les côtés passeront respectivement par les points a et b et dont la bissectrice passera par le point p.

Solution. En joignant le point p aux points a et b on aura (fig. 5, G*) un angle

apb que je désigne par p; l'angle cherché étant désigné par 2a, on aura : « —

Sur ap je construirai un segment capable de l'angle «;

Sur bp je construirai un segment capable du même angle a ;

Ces deux segments se couperont en un point s qui sera le point demandé.

A'«rt a. D'après ce qui a été dit ci-dessus on voit de suite que l’on pourra construire une parabole 3, qui ayant le point s pour foyer, sera tangente en a et b

aux droites ap et bp.

Remarque. Il est évident que les quatre points a, b, p el s ne pourront dans aucun cas être situés sur une même circonférence de cercle.

Deuxième système de f espace.

Étant donné en projection horizontale lesystèmo de droites représenté en la figure 2, nous pourrons concevoir par le point o une verticale O, et élever des plaus verticaux par les diverses droites, A, B, C,... A, B,, C,,... K, K,', K.',... Cela pose :

Concevons dans l’espace un plan oblique P, coupant {fig. 6) l’axe O en un point

t, ce plan P sera coupé par les plans verticaux menés par les droites A‘, B‘, C*,... suivant des parallèles A, B, C,... qui se projetteront verticalement suivant des droites parallèles A', li", C',... cl si par l’axe 0 et par chacune des divergentes G‘, G'*, G"*,... on fait passer des plans, ils couperont le plan P, suivant des droites G, G', G",... qui divergeront du point s cl qui se projetteront verticalement en G”, G'”, G"',... lesquelles droites divergeront du point s*.

Cela posé :

Dans la lig. 2, pour passer (sur le plan) du la droite B à la droite B, on fait tourner la droite B d’un angle « autour du point o, pour passer de la droite C & la droite C, on fait tourner la droite C d’un angle S autour du point o, et ainsi de suite; donc pour passer de B* à B,*, de C* à C,*,... on fera tourner (fig. 6) la droite B (situé dans l’espace) d’un angle * autour de Taxe O, la droite C de t'espace d’un angle € autour de l’axe O , cl ainsi de suite.

Les droites A, B,, C de l'espace formeront donc une surface réglée, uno

surface gauche ; mais les points b, c,... sont sur une droite G qui fait avec l’axe O un certain angle y.

Quand la droite B tournera de l’angle a autour de l’axe O, le point b décrira un arc horizontal i mesurant l’angle a.

Quand la droite C tournera de l’angle S autour de l’axe O, le point c décrira un arc horizontal l mesurant l’angle S.

Et ainsi de suite.

Or ces points b, c,... étant sur la droite G, il s’en suit que les arcs i, /,... sont les sections droites du cône droit A décrit par la droite G autour de l’axe O.

Par conséquent le plan vertical mené par la droite K* coupera le cône A suivant une hyperbole dont les asymptotes feront entre elles un angle qui sera double de l’angle y que la droite G fait avec l’axe O.

Ainsi le système de droites parallèles A, B, C,o. situées dans le plan P, se

trouvera déformé et amené au système des droites A, B,, C génératrices d’une

surface gauche qui est coupée par chacun des plans verticaux menés par les droites K*,... suivant une hyperbolu K. On obtiendra ainsi par les hypeiboles K, K’,... le second mode de génération de la surface gauche en laquelle le plan P se trouve transformé.

8 vi. • .

D’après ce qui précède on peut énoncer le tliéorime suivant :

Ayant un point t dans l’espace et une droite A , si l’on prend sur la droite A

une suite de points a , a, a", a'",..- et qu’on les joigne respectivement au point s , par des droites G , G’, G", G'",... si l’on mène par le point * une droite O de direction arbitraire, si l’on mène par les points a, a, a", a"',... des plans M, M', M", H'",... parallèles à la droite O et faisant un même angle y et respectivement avec les plans (O, G), (0, G'), (O, G"),... ces plans M, M’, M",... couperont, suivant des hyperboles K, k', R”,... et res|>eciivement , les cônes A, A', A",... engendrés par la rotation , autour de l’axe O, des droites G, G', G",.**

Ces diverses hyperboles k, k', k",... détermineront une surface réglée. Ainsi, la droite A, en se mouvant sur trois de ces hyperboles, s'appuiera sur toutes les hyperboles construites ainsi qu’il vient d’être dit.

S vu.

Troisième système de l’espace.

Étant données une parabole jet ses diverses tangentes 9, 9.’, 9”, 9’",... les points de contact étant respectivement m,m', m", m’",.., on sait que l’on peut considérer la droite 9 comme la projection d’une droite T de l’espace passant par le poil »n, et considérer les droites 9’, 9", 0”’,... comme les projections d’une suite de droites T’, T”, T'”,... s’appuyant sur la droite T et sur la parabole 3.

La série des droites T, T', T", T’",,., forme un paraboloïde hyperbolique 5; en faisant varier l’angle que la droite J fait avec sa projection 9, on fera varier dans l’espace la position des droites T', T”, T"',... et l’on obtiendra un nouveau paraboloïde 2'.

Les deux paraboloïdes 2 et 2' auront en commun la parabole 3 et se toucheront suivant cette courbe.

On peut donc construire une infinitédeparaboloïdes hyperboliques 2, 2', 2", 2"',— en contact par la parabole o, et dont les génératrices droites des deux systèmes se projetteront sur le plan de la courbe 3, suivant un même système de droites, savoir : les tangentes à la courbe 3.

Au lieu de faire varier la droite T de position dans l’espace, on peut varier le plan de la courbe 3.

Ainsi, concevons un cylindre A ayant la parabole 3 pour section droite, et menons par les points m, m, m", m'",... les génératrices droites M , M’, M ", M”',... du cylindre A.

Menons par le point m une droite T arbitraire, mais ayant la droite 9 pour projection orthogonale sur le plan de la eourbo 3 (plan que nous prenons pour plan horizontal de projection ).

Cela posé :

Faisons passer par le point m une suite de plans Q', Q", Q' ",... coupant le cylindre A, suivant des parai>oles 3", lesquelles courbes se projettent orthogonalement suivant la même parabole 3.

Le plan Q' coupera les génératrices M, M', M",.— en des points m, m,’, m.",...

Le plan Q" coupera les mêmes génératrices en des points m, m,', m"...

Fl ainsi de suite.

On poun a donc concevoir une surface engendrée par une droite, s'appuyant sur la droite T et sur la parabole 3', et se projetant pendant son mouvement, suivant les tangentes de la courbe 3 ; on aura ainsi un paraboloïde hyperbolique 2,.

Si l'on suppose que la droite mobile, tout en s’appuyant sur la même droite T, s’appuie sur la parabole à", les projections de ses diverses positions étant toujours les diverses tangentes de la parabole <5, on aura un second paraboloïde hyperbolique 2.'.

Les deux paraboloïdes 2, et 2,' se couperont suivant la droite T , on pourra donc construire une infinité de paraboloïdes 2,,... se coupant suivant la droite T, et dont les génératrices droites des deux systèmes se projetteront orthogonalemenl suivant les tangentes de la parabole 3.

S VIII

Nous savons (fig. 2 ) que les droites A , B,, C t , sont coupées en parties proportionnelles par les droites K, K,', K,', et réciproquement que les droites K, K/, K,' sont coupées en parties proportionnelles par les droites A, B,, C,; de plus nous savons que les droites K, K.’, K,' fout le même angle p avec les divergentes oa, o<t M , oa,.

Si donc {fig. 7 ) nous construisons les trois droites K*, K'* K"*, luisant le même angle p avec les divergentes on*, oa'*, oa"*, ct si nous construisons les droites A, B*, C\ telles qu’elles coupent en parties proportionnelles les trois droites K*, K'*, K"*, nous aurons sur le plan horizontal la projection des génératrices droites des deux systèmes d’une infinité de paraboloïdes hyperboliques 2, 2,, 2,,... Proposons-nous de construire la projection verticale des deux systèmes de génératrices droites de l’un de ces paraboloïdes.

Pour cela, il suffira de construire trois droites A", B', C" et trois droites K', K’’, K”% so coupant respectivement en parties proportionnelles; la construction suivante satisfait à celte condition.

Menons A' arbitrairement.

Projetons verticalement les points a, a, a", en o*, a’, a"’ sur A*.

Menons une droite B' parallèle à A', et à, une distance arbitraire de A*.

Projetons verticalement les points b, b‘, b" en b", b 1 ', b"' sur B’.

Joignons a ’ et b " , nous aurons K*. >

Joignons a’ et b'% nous aurons K".

Joignons a"’ et b"', nous aurons K"'.

Cela fait :

Projetons verticalement les points cet c'en, c* sur K* et c'’sur K'*; joignons c*et c’, nous aurons la droite C*, qui évidemment sera parallèle aux droites A* et B*.

Et si nous projetons verticalement le point c", évidemment c"" sera à l’intersection des droites K"' et C*.

Il est évident que la construction que nous venons d'effectuer nous conduit à trois droites divergentes K', K'', K"', et à trois droites parallèles A’, B', C*, qui se coupent respectivement en parties proportionnelles.

Les trois droites A”, 13’, C’ étant parallèles, les trois droites K’, K**, K"' concourent en un point o, qui sera situé à distance finie ou infinie, suivant les données graphiques.

Ainsi les droites K, K', K'' et A, B, C seront les génératrices droites, savoir: les premières du premier système, les secondes du deuxième système d’un paraboloide hyperbolique 2.

De ce paraboloîdc 2 nous pourrions passer à un autre paraboloïde 2,, dont les génératrices droites auraient les mêmes projections horizontales que celles du paraboloïde 2.

Et en effet :

11 suffit d’exécuter la construction suivante ;

Les droites B’ et C* toupepl les lignes de projection monées des points a”* on les points p, p, p" et q, q', q".

Si l’on mène donc par le point p une droite J arbitraire, et par le point q une parallèle J' à cette droite J, en projetant verticalement les points b en b,’ sur J et s en c,’ sur J', les trois points o’, b', c‘ seront évidemment en ligne droite K,'.

Si l’on mène par le point p' une droite arbitraire I, et par le point q' une parallèle l' à I, en projetant verticalement les points b' en b',’ sur I et c en c' t * sur I', les trois points a’, b’,", c? seront évidemment en ligne droite K'\

Cela fait :

Unissons les points é.J et b’’, nous aurons la droite B,*;

Unissons les points c’ et c’’, nous aurons la droite C,’;

Et si nous projetons verticalement les points, b" en b"' sur B'’ etc" en c",' sur

C,', il est encore évident que les trois points a", b"’, c”' seront en ligne droite K",*.

Nous aurons donc en K,’, K',*, K",' et en A', les projections verticales de

six génératrices droites (trois du premier système et trois du deuxième système) appartenant à un nouveau paraboloïde 2„ ayant même projection horizontale que le paraboloïde 2.

Nous pourrons donc construire la projection verticale d’une infinité de parabolnïdcs 2, Z„ 2,,... ayant tous même projection horizontale.

§ IX

Concevons dans l’espace ( fig . 8) un paraboloïde hyperbolique 2, les droites A, B, C étant les génératrices droites du premier système, les droites K, K', K" étant les génératrices droites du second système de cette surface.

Menons par la génératrice A un plan P, et traçons dans ce plan, par les points a, a', a" de la droite A, les droites parallèles entre elles Q, Q’, Q".

Traçons enfin dans le [dan P une droite Z parallèle à la droite A et coupant les droites Q, Q', Q" aux points p, p', p".

Joignons les points p et b, nous aurons la droite J.

Joignons les points p' et b', nous aurons la droite I.

Joignons les points p"ct 6", nous aurons la droite II.

Menons par les points c, c', c” de la génératrice C des droites J’ parallèle à J , P parallèle à I , l)’ parallèle à U , ces droites couperont les droites <J, Q', (J" en les points q, q', q ”, qui seront sur une droite Z' située dans le plan P et parallèle aux droites A et Z.

Cela fait :

Menons par les points b, b', b" de la génératrice droite B des parallèles aux droites Q, Q', Q", elles couperont les droites J', I’, 1)' en les points 6. , b,', b,", lesquels seront en ligne droite B. parallèle à B.

Cela posé :

Les droites Z', B„ C seront les génératrices du second système d’un pnraholoïdc $ dont les génératrices du premier système seront les droites J', I', U'; et cela est évident par la ligure , car il est évident que res six droites se coupent en parties proportionnelles.

Cela dit : (

On sait que si l’on projette sur un plan P les génératrices droites J', I', U' d’un même système d’un paraboloïde $ , si deux des projections sont parallèles entre elles, toutes les autres le seront : i ’ ' •

En sorts que si J* el 1" sont parallèles E'" sera parallèle à J* et à I'*.

Par conséquent, si dans la fig. (7) les droites pb‘ et p'b, 1 ’ étaient parallèle» entre elles , la droite leur aurait été parallèle.

Et comme l’on peut donner à la droite pb,’ toute direction , on aurait pu la prendre perpendiculaire à la ligne projetante oV, ou en d’autres termes, on aurait pu la prendre horizontale.

En résumant tout ce qui précède , on voit que l’on aura un paraboloide hyperbolique 2, fig. y. (Ayant, par l’une de ses génératrices droites A du deuxième système, mené un plan vertical P):

Si 1” l’on projette les génératrices droites K, K', K" du premier système sur le plan horizontal , et que les projections K*, K'*, K"* fassent un angle constant p avec des divergentes émanant d’un certain point o k , et aboutissant respectivement aux points a*, a' k , a 1 *, projections horizontales des points a, a 1 , a", en lesquels la droite A est coupée respectivement par les droites K, K’, k”j

Si 2* l’on prend sur K* la longueur a*è* proportionnelle au rayon oV, sur K'* la longueur a‘ k b' k proportionnelle au rayon o*a’*, sur K"* la longueur a" k b" k proportionnelle au rayon oV'*, les trois points b k , b‘ k , b" k seront en ligne droite B*, laquelle droite sera la projection d’une génératrice B du deuxième système du paraboloide 2 ;

Si 3“ Ayant construit la projection B' de la droite B , ou môme des horizontales par les points b", b’’, b"’, elles coupent les lignes projetantes n'u*, a " a' h ,a"’a" k en des points p’, p’, p" r qui seront sur une droite Z'* parallèle à A' ;

Dès lors, les droites de l’espace bp, b'p , b”p" seront les sous-tangentes de» droites K, K’, K" pour une môme hauteur z, mesurant verticalement la distanesdes .deux droites A et Z, lesquelles sont parallèles entre elles et situées dans le pian P.

Et récipnx/uemeiit,

Si l'on a une surface 4> formée par une suite de droites K, K', K", s'appuyant sur uue droite A , et dont les projections horizontales K*, K'*, K font, avec les divergentes oV, oV, oV 1 , un angle constant ju.ctsi pour une môme hauteur s les sous- tangentes pb , p'b', p"b" sont proportionnelles aux rayons oa k , oV\ oV\ les extrémités b, b', b" de ces sous-taugentes seront en ligne droite B, «t la surface 4> ne sera autre qu’un paraboloide hyperbolique.