LVI

Nous n'avons, dans le § LV, considéré qu’une seule des faces des plans pour y tracer des cadrans. Il est évident que ceux que l'on tracerait sur la face opposée , sont parfaitement égaux aux premiers, avec cette différence seulement, que si le centre du cadran occupait dans le premier cas la partie haute du cadran , il sera placé dans le second vers la partie basse, et réciproquement : parce qu'ils font alors face à des pôles opposés.

Développement de quelques problèmes de gnomonique par la trigonométrie sphérique.

( Extrait du Mémoire de M. Picakt en MJ99 ).

Planche IV.

FS*. <U

Fig, ».

Deux points d'ombre étant donnés par observation , trouver la hauteur du pôle sur U plan , et ta ligne suushjlaire, supposé comme la déclinaison du soleil.

On mesurera la hauteur AC du style, et les distances AB, AD du pied du style aux points d'ombre B et D : avec cette hauteur et chacune de ces distances, on formera deux triangles rectangles ; l'angle ACB de l’un et l'angle ACD de l’autre, exprimeront les distances du zénith au soleil dans les instants où les points correspondants B et D ont été observés. On mesurera ou l’on calculera aussi l’angle BAD que font entre elles les deux lignes d’ombre AB ot AD.

Cela posé , si l'on représente par ACBK le méridien du plan ; que P soit le pôle du monde, C le zénith du plau, et le soleil supposé aux points E et F dans les moments où l’on a observé les deux points d’ombre : l’arc CE sora exprimé par l’angle ACB, et l’arc CF par l’angle ACB. Avec ces deux côtés, et l’angle ECF qui est celui des deux lignes d’ombre, on calculera dans le triangle ECF la distança EF entre les deux positions du soleil dans les instants où les observations ont été faites : on calculera aussi l’angle EFC.

Si l’on imagine ensuite les arcs PE et PF meués du pôle aux points de position

du soleil , ces arcs étant les compléments de la déclinaison seront connus, mais nous venons de calculer EF , ainsi les trois côtés du triangle PFE seront connus ; on pourra donc calculer l’angle PFE. La différence entre cet angle et l’angle calculé EFC fera connaître l'angle PFC du triangle PFC , dans lequel on connaît d'ailleurs les deux côtés PF et CF. On pourra donc calculer le côté PC qui est la distance du jxile au zénith du plan, et par conséquent le complément de la hauteur du pôle sur le plan , première chose cherchée. On calculera aussi l'angle PCF qui est celui que la soustylaire fait avec la ligne d’ombre AD, ainsi la soustylaire sera aussi trouvée ; c'est la deuxième partie du problème.

La soustylaire et un point d ombre étant donnés , trouver la hauteur du pôle sur te plan, supposé qu’on sache ta déclinaison du soleil nu moment oit le point d ombre a été observé.

Au moyen de la longueur de l'ombre observée et de la hauteur du style, on connaîtra comme au problème précédent la distance CF du zénith C du plan au soleil , au moment de l'observation ; et la soustylaire étant donnée on prendra l’angle qu'elle fait avec la ligne d'ombro , ce sera l'angle PCF du triangle PCF , dans lequel, outre cet angle et le côté CF, on connaîtra encoro le côté PF complément de la déclinaison du soleil ; ainsi l’on aura assez de données pour calculer le troisième côté PC qui est le complément de la hauteur du pôle cherchée.

La hauteur du pôle sur te plan, un point d ombre et la déclinaison du soleil étant donnés, trouver l’angle que fait la soustylaire avec la ligne d’ombre.

L’arc CP est le complément de la hauteur du pôle donnée, on calculera, au moyen du point d'ombre et de la hauteur du style , l'arc CF qui est la distance du zénith du plan au soleil, enfin le côté PF est le complément de la déclinaison donnée du soleil dans le triangle C PF; les trois côtés seront connus, et l’on pourra par conséquent trouver l’angle PCF qui est l’angle que la ligne d'ombre fait avec la soustylaire, ou son supplément.

L’angle de la soustylaire avec la verticale, la hauteur du pôle du lieu et Cincimaison du plan , s'il y en a , étant donnés, trouver la hauteur du pôle sur le plan , la différence des méridiens, et la déclinaison du plan.

Fig. t>.

Fig. ».

ri». <•.

Soit représenté le méridien du lieu par le cercle PGBB ; soit P le pôle le plus voisin du zénith G du lieu; PCB le méridien du pltin , en sorte que C soit son zénith; CGIt sera le vertical commun et CG la distance du zénith du plan au zénith du lieu.

Or dans le triangle GPC , GP est donné, c’est le complément de la hauteur du pôle du lieu; GC est aussi donné par l'inclinaison du plan, et l’angle PCG est également connu , puisqu'il représente celui que la sonslylaire Tait avec la verticale. On pourra donc calculer les autres parties de ce triangle, savoir : le côté CP, complément de la hauteur du pôle, sur le plan; l'angle CPG, qui est la différence des méridiens du lieu et du plan; et, enfin, l’arc GP, qui exprime la déclinaison du plan, ou son supplément.

IU.MARQOE. Dans le triangle CPG , on a : sin : GC : sin PG :: sin CPG : sin PCG, ainsi sin CPG = sin PCG multiplié par sin : GC, divisé par sin PG, c’est-à-dire que le sinus de la différence des méridiens est égal au produit de l'angle de la soutlijlaire avec la verticale par le sinus de f inclinaison du plan, divisé par le cosinus de la hauteur du pâle du lieu.

Dans le mémo triangle, on a :

Ainsi :

sin P : sin G :: sin CG : sin PC

sin PC

sin GC x sin G siu P

sin incl. X sin décl.

sin P

mettant pour sinus P sa valeur trouvée ci-dessus, on a:

sin PC —

sin déri. X cos ht.

sin PCG

C'est-à-dire que te cosinus de l’élévation du pâle sur le plan est égal au sinus de la déclinaison du plan multiplié par le cosinus de la latitude du lieu, divisé par le sinus de l’angle gue la soustglaire fuit avec la verticale.

V PBOBLÈME.

IjO plus courte ombre ou la hauteur du pôle sur le plan , la hauteur du pii le du lieu et l'inclinaison étant données, trouver la soustglaire , la différence des méridiens et la déclinaison du plan.

On connaît par les données du problème les trois côtés du triangle CPG, car PG est le complément de la latitude du lieu ou de la hauteur du pôle du lieu, PC est le complément de la hauteur du pôle sur le plan, et CG, la distance du zénith du plan au zénithdn lieu , est donné par l’inclinaison donnée; on pourra doue calculer les trois angles, qui sont les inconnues cherchées dans ce problème

Il faut remarquer que la détermination précédente par l'angle de la soustylaire avec la verticale, est préférable à celle-ci lorsque le plan décline peu, parce qu'alors pour beaucoup de changement à l’angle de la soustylaire avec la verticale, il en arrive peu à la hauteur du pôle sur le plan; mais quand il y a beaucoup de déclinaison du plan, c'est tout le contraire.

Ce problème cl le précédent sont , dans la pratique , toujours préférables au Vel au 5*.

l’n point tf ombre, la déclinaison du soleil, la hauteur du pôle, du lieu, et l'inclinaison du plan étant donnés, trouver la hauteur du pôle sur le plan.

P étant supposé au pôle, G au zénith du lieu , et C au zénith du plan, et le soleil placé en S au moment de l'observation , le point d’ombre donné fera connaître la longueur de l’ombre , et par la hauteur du style la distance du soleil au zénith du plan : c'est l'are CS; la distance CG entre les deux zéniths est donnée par l'inclinaison du plan; enfin l'angle CGS compris entre ces deux côtés est égal à l'angle qu’une verticale du plan lait avec 1a ligue d'ombre; ainsi dans ce triangle on pourra calculer SG , qui est la distance du soleil au zénith du lieu, ainsi que l'angle CSG.

Mais dans le triangle PSG nous venons de trouver SG ; PS est le complément de la déclinaison du soleil , PG le complément de la hauteur du pôle du lieu ; on pourra donc, dans ce triangle, calculer l'angle GSP; la différence de cet angle et de l'angle CSG trouvé dans le premier triangle donnera l'angle CSP, en sorte que dans le triangle l’CS, outre cet angle, on connaît les côtés PS et CS entre lesquels il csfc compris, on trouvera donc CP, qui est le complément de la hauteur du pôle sur le plan. Ce qu'il fallait trouver.

Si le point d’ombre était pris sur la verticale du plan, le problème aurait une solution plus prompte et plus simple; en effet le soleil se trouverait alors en un point S du vertical commun, et l’on connaît CS par la longueur de l’ombre et par la hauteur du style, CG est connu par l'inclinaison du plan; ainsi on connaîtra GS par une simple soustraction , de manière que les trois côtés du triangle GSP seront connus; ainsi on pourra calculer l'angle PSG, son supplément sera l'angle PSC du triangle PSC , dans lequel on connaît d'ailleurs les côtés PS et CS ; ou trouvera donc CP, complément de la hauteur cherchée.

Le mêmes choses que dans le 8* problème étant données , trouver la déclinaison du plan.

On connaîtra GS cl l'angle CGS comme dans le problème précédent, on chcr-

Fig. d.

chera dans le triangle SPG , où les côtés sont connus , l’angle PGS ; la différence de cet angle avec l'angle CGS donnera l’angle PGC , qui est la déclinaison du plan ou son supplément.

Par C observation du soleil qui est faite lorsqu'il rase le plan, trouver la déclinaison du plan, supposé que P on sache la déclinaison du soleil , la hauteur du pôle du lieu et C inclinaison du plan.

Pour connaître par observation quand le soleil rase le plan , c’est-à-dire quand il est dans le plan du cadran , il faut avoir une grande régie sur le plat de laquelle il y ait deux pinnules dressées aux deux bouts, dont l’une soit percée au centre pour laisser passer les rayons du soleil , et l’autre disposée de manière à les recevoir sur un cercle dont le centre soit correspondant au trou de la première pinule; cette régie, ainsi préparée, sera appliquée de plat contre le plan, et pointée continuellement vers le soleil , jusqu'à ce que l’image du soleil tombe justement dans le oerclc de la deuxième pinnule ; alors sans déplacer la règle on tracera une ligne qui représentera le rayon du soleil au moment où il aura rasé le plan, supposé que le côté de la régie soit bien parallèle à la ligne des centres des pinnules.

On mesurera ensuite l’angle que la ligne ainsi tracée fera avec la verticale.

Soit AD le grand cercle de ta spbére parallèle au plan du cadran ; C son zénith ; P le pôle clevé sur le plan ; G le zénith du lieu qui sera dans le plan du cadran s'il n'y a poiut d’inclinaison ( fig-f ) ; S le centre du soleil placé dans le plan du cadran au moment de l'observation ; H le point d’intersection du même plan avec la verticale commune CG. L'arc SH sera mesuré par l'angle formé par la verticale du plan et par le rayon mené du pied du style au soleil au moment où il rase le plan. ,

Ainsi dans le triangle SPG ( Jig. f ), lorsque le point G se confond avec le point H à cause de l'inclinaison nulle, on connaîtra SH et SG par l'angle de la verticale avec la ligne tracée dans l'observation. PS complément de la déclinaison du soleil , et PG , complément de la hauteur du pôle du lieu ; on pourra donc calculer l’angle SGP dont le complément CGP sera la déclinaison du plan.

Si le plan est incliné, le zénith G du lieu se trouvera hors du plan. Mais le triangle GSII sera rectangle et l’on y connaîtra SH comme au cas précédent, et GU par l’inclinaison du plan : on trouvera donc SG et l’angle SGH ; en sorte que duos le triangle SGP, où PS et PG sont donnés par la déclinaison du soleil et par la latitude du lieu, on connaîtra les trois côtés avec lesquels on calculera l’angle

SGP; ainsi en prenant !a somme ou fa différence de cet angle et de l’angle SGH, on aura l'angle PGC qui détermine la déclinaison.

Il* PROBLÈME.

La déclinaison du plan étant donnée , trouver la hauteur du pâle sur le plan , la ligne soustylaire et la différence des méridiens , supposé la hauteur du pâte du lieu et f inclinaison du plan.

Par les données on connaît dans le triangle PCG , CG distance du zénith du plan au zénith du lieu , connue par l’inclinaison du plan, PG complément de la hauteur du pôle du lieu , et l’angle PGC connu par la déclinaison ; on pourra donc calculer toutes les autres parties de ee triangle; le côté PC sera le complément de la hauteur du pôle sur le plan ; l’angle PCG , qui est celui que la soustylaire fait arec la verticale, et enfin l’angle CPG, qui est la différence des méridiens du lieu et du plan.

La déclinaison du plan et son inclinaison étant donnée , trouver C obliquité de la ligne méridienne.

Dans les (ig. f, g et h, h» ligne méridienne du lieu sera dirigée du pied du style au point où le méridien du lieu PG est coupé par le plan du cadran ; or dans la fig. où l’inclinaison est supposée nulle, le méridien du lieu ne rencontre le plan du cadran qu’au zénith G ; ainsi dans ce cas la méridienne du lieu est verticale dans le plan du cadran.

Dans les fig. gel h, la méridienne du lieu va du pied du style au point où le méridien du lieu PG est coupé par le plan du cadran ; or dans la fig. /, où l’inclinaison est supposée nulle , le méridien du lieu ne rencontre le plan du cadran qu’au zénith G; ainsi, dans ce cas, la méridienne du lieu est verticale dans le plan du cadran.

Dans les (ig. g et h la méridienne du lieu va du pied du style au point I , et la verticale du plan va au point H , où ce point coupe la circonférence CG du vertical commun ; ainsi l’arc 111 sera la mesure de l’obliquité de la ligne méridienne; mais dans le triangle GUI , GU est connu par l’inclinaison; l’angle 1HG est droit, . et l’angle 1GH est la déclinaison donnée du plan ; on pourra donc calculer l’anglu ou l’arc cherché GI.

Remarque. Dans le triangle rectangle GHI on a : tang Iil = - — —

Fui. i

e’esl-à-dire que la tangente de Cangle que ta méridienne du lieu fait avec la verticale du plun, est égale n la tangente de la déclinaison du plan inult iplic par le cosinus de son inclinaison , divisée ensuite par le ragon.

l.T PROBLÈME.

La différence des méridiens étant donnée, trouver f heure de la soustglaire.

On réduira celle difl’érencc en temps à raison de 15° pour une heure, el le produit en sera complé depuis midi si le plan est vers l'occident ; si au contraire le plan tourne à l’orient, ce produit sera retranché de 12 heures, le reste sera l'heure de la soustraire.

La hauteur du pôle étant donnée, trouver la moitié du plus grand jour.

Soit III. l’horizon parallèle au plan du cadran , AO l'équateur, P le pôle, S le point de l'écliptique où le soleil a la plus grande déclinaison. Si l’on imagine l'arc PS mené par le pèle au soleil prolongé jusqu'à l’équateur qu'il rencontre en I), l’angle D sera droit et l'arc OD marquera l'excès de la moitié de l’arc diurne du plus grand jour sur la moitié AO de l’arc diurne équinoxial , c’est-à-dire son excès sur six heures. Or dans le triangle rectangle OSD on connaît DS , qui est égal à la plus grande déclinaison du soleil ou à l'obliquité de l'écliptique; on conii'dt aussi l'angle O, qui est l’élévation de l’équateur, et par conséquent le complément de la hauteur du pôle du lieu ; on connaîtra donc l’arc OD, que l’on réduira en temps pour l’ajouter à six heures et avoir pour leur somme la moitié du plus grand jour.

Or : sin OD— ™ l ' < ~ * ■— , ainsi le sinus de l'arc qu'il faut ajouter à 5)0“ pour la

moitié du plus grand jour, est égal au. produit de la tangente de la hauteur du pôle du 'lien pur la hauteur de /' obliquité de l'écliptique, divisée par le ragon.

. Déterminer les heures qui doivent être marquées sur tut plan donné.

Si le plan est horizontal, le problème se trouvera résolu en déterminant les heures du plus long jour.

Si le pian regarde le môme pôle que le plan horizontal , il faudra chercher l'heure de la soustyluire, en retrancher la moitié du plus grand jour du plan pour avoir l’heure du lever relativement au plan , et ajouter à celle heure de la souslylairc la moitié du plus grand jour du plan pour avoir 1 heure du coucher pour

ce plan : mais il faul savoir si le soleil , aux heures trouvées, sera sur l’horizon du lieu ; ce qui est facile , en employant l'heure du lever ou celle du coucher au plus grand jour du lieu.

Pour les plans méridionaux dans un lieu septentrional , au contraire il faul trouver [heure ù laquelle te soleil se couche où se lève à f égard du plan propose; ce qui suppose la hauteur du pâle du lieu et la déclinaison du plan : on fera donc (la proportion), comme le rai/on est au sinus de la hauteur du pôle du lieu , ainsi lu tangente de la déclinaison du plan est à la tangente tf un arc , qu'il faudra ôter de 00“ oh de six heures si le plan est orientât j ou bien qu'il faudra ajouter à si c heures si le plan est occidental. L'Iieurc ainsi trouvée sera la première ou la dernière qu'il faudra marquer sur le plan.

Celte partie soulignée de la solution du problème est copiée littéralement sur le mémoire de M. Picarl ; mais il parait que la proportion qui fait connaître la quantité qu’il faut combiner avec six heures est fausse , car dans le cas dont il est ici question, le plan du cadran et le plan horizon! il font face à des pôles opposés. Aiusi, quand les arcs diurnes croissent pour l'un, ils décroissent pour l’autre, et le plus grand jour pour l’un et pour l'autre , en supposant qu'ils puissent se porter empêchement respectivement par leurs horizons, sera celui où le soleil se lèvera ou se couchera au point d’intersection de ces horizons ; et ce plus grand jour qui a lieu pour le plan j parce qu’eu effet il reçoit empêchement par l’horizon du lieu, ne sera jamais de plus de douze heures, parce que les deux horizons se coupent en des points communs avec l'équateUr et le partagent en deux parties égales : ce plus grand jour sera donc au temps de l'équinoxe. Or, le soleil étant dans l’équa- leur, la différence entre les origines des arcs diurnes pour le plan horizontal et pour un plan vertical déclinant est évidemment égale à la différence île leurs méridiens ; et quelle que soit l'inclinaison du plan supposé, son horizon coupe l’horizon du lieu aux mêmes points où celui-ci est coupé par l'horizon du plan vertical , de même déclinaison que le plan supposé. Ainsi , quelle que soit la situation du plan supposé , la différence de l'origine de son arc diurne avec l'origine de l'arc diurne du lieu sera égale h la différence des méridiens du plan horizontal et du plan vertical de même déclinaison que le plan supposé : c’est-à-dire quo, s’il est oriental , le lever pour le plan devancera six heures d’une quantité égale à celte différence des méridiens, et s’il est occidental il retardera au contraire de cette quantité. L’inverse aura lieu pour le coucher.

Mais ( § XXXI ) la différence des méridiens du plan horizontal et d’un plan vertical déclinant est égale au produit de la tangente de la déclinaison multipliée par le rayon , divisé |>ar le sinus du la hauteur du pôle du lieu. Ainsi , la proportion ci-dessus est fausse; car elle donnerait celte différence égale au produit de la tangente de la déclinaison multipliée par le sinus de la hauteur du pôle divisé

Du gnomon et de

k iouityklre.

la déclinaison.

Méridienne.

Ce qu'il faut connaître *- pour faire un cadran sur un pian donné.

Fig. 1.

Êqulrmial.

Ci mite* de l’ombre.

Grandeur dn cadran, on hauteur du point portant l’ombre.

porte rayon. Donc la môme formule qui sert à trouver la susdite différence des méridiens servira à la solution de ce problème.

Tracé graphique Uct eadram sur toute» sorte* de plans.

f . Une plaque opaque, percée d'un trou évidé pour laisser passer librement un rayon de lumière, étant soutenue au-dessus d'uu plan au moyen d'un ou plusieurs supports , forme un gnomon. Le point qui répond dans le plan perpendiculairement au trou de la plaque est le pied du gnomon. Si du pied du gnomon on trace un arc de cercle sur le plan , et que l’on marque sur cet arc les dent points où la lumière du soleil se portera en passant au travers du gnomon . et que l'on divise la partie de cet arc comprise entre les deux points observés, par une ligne menée du pied du gnomon, eetle ligne sera la soustylaire du plan.

2. Si l’on imagine un plan quelconque coupé par un plan horizontal sur lequel on a tracé, comme nous venons de le dire , une soustylaire ou une méridienne ; l’angle que la méridienne fera avec la section de ces deux plans marquera la déclinaison du plan qui n’est pas horizontal.

3. La soustylaire se confond ou , pour mieux dire , devient elle-même la méridienne du lieu où l’on est , lorsque la déclinaison du plan sur lequel elle est située est nulle.

4. Il sullit de connaître la soustylaire d'un plan ou sa déclinaison pour y pouvoir tracer un cadran , pourvu que l’on connaisse aussi la latitude du lieu et la situation du plan relativement à l’horizon du lieu.

5. Soit tirée la ligne ab (fig. I) pour représenter une méridienne et ayant lait l’angle bac égal à la latitude du lieu , soit menée par un point quelconque c de la ligne ac la perpendiculaire cb(') : le point 6 ainsi déterminé fixera la position de la ligne équinoxiale fg , que l’on mènera par cc point b perpendiculairement il la méridienne.

Si l’on fait chacun des angles bce , bal, de 23* 28', les points e et d ainsi déterminés seront les limites de l'ombre du point c du style ac sur la méridienne; ainsi l’ombre du style entier occupera la longueur ad. Mais si , au lieu d'un style on n’euiploic qu’un seul point c, comme le trou d'une plaque, alors il suffira de donner au cadran ta longueur e d, pour que l’ombre soit toujours ù midi sur le plan.

t». Lorsque l’on emploie un style, il n’importe guère que l'ombre soit terminée sur le plan : mais c’est d’après ce qne nous venons de dire que l'on peut toujours juger de la grandeur que doit avoir un cadran , lorsque le style en donne la

{*) e6 est perpendiculaire t> ac. T. O.

grandeur ; ou de la hauteur que doit avoir le point c au-dessus du plan , si c'est la grandeur du cadran qui est donnée.

7. La méridienne AB d'un plan horizontal étant donnée, tracer le cadran de manière que les heures soient marquées par un style.

Ou déterminera l'équinoxiale GF (n" 1) ; puis, ayant pris sur AB, à commencer du point B d'un célé ou de l'autre, la ligne BH=éc(/ïÿ. 1) , on décrira du point il, comme centre, la dcmi-circonférence lit K à laquelle GF sera tangente ; ensuite ou divisera celte demi-circonférence en douze parties égales aux points 1, 2, 3, 4, etc.; on mènera, par ces points de division , des rayons prolongés jusqu'à l'équinoxiale GF, et du point A on mènera aux points où celle ligne aura été cQU|iée des lignes qui marqueront les heures comprises entre six heures du malin et six heures du soir. La ligno VI — A — VI , menée par le point A perpendiculairement à la méridienne, sera la ligne de six heures tant du malin que du soir. Les lignes qui doivent marquer les heures, avant ou après, sont déterminées par le prolongement de leurs correspondantes déjà tracées ; en sorte qu'en prolongeant, par exemple, la ligne de cinq heures du soir, on aura, de l’autre célé du point A , la ligne de cinq heures du malin ; ainsi des autres. Les lignes ho raires étant tracées, il ne reste plus qu’à placer le style ac ( fig . I) dans le plan verli cal élevé sur la méridienne, le point a sur le point A et de manière qu'il fasse avec AB un angle égal à l’angle bac ( fig . I).

Si l’on voulait avoir des lignes pour les demi ou les quarts d’heures, etc., il n'y aurait qu'à subdiviser proportionnellement les arcs 12-1, 1-2, 2-3, etc., qui ont servi pour trouver les lignes des heures entières, et achever la construction comme pour les heures.

8. Si au lieu d’un style on voulait employer un gnomon, il faudrait faire AO c- ao (fiy. I) , cl placer le gnomou de manière que lu trou dosa plaque fût élevé perpendiculairement au- dessus du point O et éloigné de ce point d'une quantité égale à co{Jig. 1).

Si le gnomon était placé d'avance sur le plan, le point Oserait donné cl le point A indéterminé. On porterait alors la hauteur connue oc du gnomon sur un célé on d’un angle droit won, et parle point c ainsi déterminé, on inèiieraillaligncruqui, faisant avec co l'angle aco égal au complément de la latitude du lieu , lixerait sur l'autre célé de l'angle droit la longueur ao, que l’on porterait du O en A (fig. Il) le point A ainsi trouvé , on construirait le cadran comme il a été dit ci-dessus.

0. Pour marquer le point où doit se porter l'ombre d’un point déterminé c du style (fig. I), où la lumière passant par le trou c d une plaque dans un instant donné, dans lequel ou connaît la décliuaisou du soleil, il faudrait revenir aux lignes qui ont servi à la construction.

Fig. n.

Fie. Il rl 111.

Km. III

Fixer le pointoo te porte l'ombra dans un Instant donn*.

Fig. Il fl IV.

Méridienne tlti terni* moyeu.

{'.ad uni vertical déclinant, fa MMiatylaire étant donnée.

Fut. V »»t VI.

Ayant Tait or— à la partie AR de la ligne horaire qui répond à l'instant donné, comprise entre le point A et l’équinoxial, on décrira sur celte ligne une demicirconférence sur laquelle on marquera le point c, en faisant ac = à la partie du sty! e comprise entre le point donné c et l’origine A du style, ou égale à la distance du trou de la plaque au point A, et l’on tirera la ligne cr; on fera ensuite l'angle rcs égal à la déclinaison du soleil, ce qui déterminera le point x en dehors de l'angle acr, depuis l'équinoxe du printemps jusqu’à l'équinoxe d’automne, et en dedans le reste de l’aimée ; on portera ensuite rs sur AU , de R en S, cl l’on aura ainsi le point S que l’on cherche.

IU. On tracenj par cette méthode une méridienne du temps moyen , en marquant l’ombre du point c pour tous les jours de l’année, ou au moins de cinq en cinq jours , à l'instant où il est midi au temps moyen , ce que l'on connaît par les tables que l’on trouve dans certains almanachs. Si I on sait , par exemple, que le 2 novembre il est midi au cadran tandis qu'il n’est encore que onze heures quarante-quatre minutes au temps moyen, c'est-à-dire que l'équation du temps est de seize minutes, on cherchera l’ombre du point c sur la ligne de onze heures qua rante-quatre minutes, en employant l'angle irx pris en dedans de 14" 18’, qui est la déclinaison du soleil le 2 novembre. On trouverait de mémo les autres points de la courbe que l'on nomme la méridienne du temps moyen.

U. Pour tracer un cadran vertical déclinant dont on a la soustylairc , on choisira un point c de celte ligne pour être le centre du cadran ; de ce point on abaissera la verticale indéfinie CM , sur laquelle on prendra CR à volonté, puis ayant élevé sur une ligne indéfinie ab {fitj. VI) la perpendiculaire bc— CB, on Tera l’angle bca égal au complément de la latitude, ce qui terminera la ligne ab-, on tirera par le point lî une ligne horizontale qui coupera la soustylairc au point K, et à ce dernier point on mènera une verticale ind finie que l’on recoupera en un point A , en décrivant un arc du point R comme centre , et avec ab pour rayon.

On fera ensuite EF perpendiculaire à la souslylaire et égale à EA , et l’on tirera la ligne CF sur laquelle on mènera, par le point F, la perpendiculaire FK qui déterminera sur la soustylairc le point K de l’équinoxiale GH qui doit être perpendiculaire à la soustylairc. On prendra sur la soustylairc, à commencer du point K , KL= KF ; ce sera le rayon du cercle qui doit servir à trouver les lignes horaires dans ce cadran , comme dans un cadran horizontal ( n” 7 ). Mais , au lieu de commencer Indivision de la circonférence au |>oint langent K, il faudra la commencer au point êi do cette circonférence déterminé par la droite menée du point central E au point M , où la verticale CB, abaissée du centre du cadran , coupe l’équinoxiale GH , parce que celte ligne verticale est celle qui doit marquer midi pour le lieu.

On placera le style Hans le plan élevé sur la soustylaire CF. perpendiculairement au plan vertical, de manière que l’origine du style soit au point c, et qu’il fasse avec la soustylaire un angle égal à l'angle ECF.

12. Si l'on voulait, au lieu d'un style , employer un gnomon , on porterait dans l'angle ECF, perpendiculairement à CE, la hauteur SQ que l'on voudrait donner à ce gnomon , et on le placerait perpendiculairement au plan au-dessus du point Q ainsi déterminé.

13. Si le gnomon était placé d'avance sur le plan ; si , par exemple , on voulait employer à marquer les heures celui qui aurait déjà servi à trouver la soustylaire (n“ 1 ), son pied Q serait donné sur la soustylaire , et sa hauteur SQ serait déterminée. Pour achever le cadran, on mènera par un point quelconque C de la soustylaire une verticale CB, et l'on déterminera, comme ci-dessus (n* 11 ), la position de la ligne AB, au moyen de l'horizontale BF. prise à volonté; puis ayant mené par le point Q une ligne horizontale QT indéfinie et une ligne verticale QR égale à QS, on mènera par le point R la ligne QT parallèle à AB, qui, par son intersection avec l’horizontale QT, fixera le point T par lequel on mènera une ligne verticale TX , qui coupera la soustylaire en un point X qui sera le centre du cadran. On tirera la ligne SX en se servant de cette ligne et de la ligne SQ perpendiculaire à la soustylaire, comme on a fait (n* 11 ) des lignes CF, FE (n* 5).

IA. L’angle BAE, déterminé comme nous l’avons dit (n* 11), exprime la déclinaison du plan.

15. L’angle KLM est la différence des méridiens du lieu et du plan du cadran. Quand l’angle se portera sur CM, il sera midi pour le lieu , et quand elle se portera sur la soustylaire CE, il sera midi pour lo plan ou pour l'horizon de la terre qui est parallèle à ce plan.

ltt. Ce que nous avons dit ( n“ 1 et 2 ) , pour ce qui concerne la grandeur des cudrans relativement à la hauteur du gnomon , peut s’appliquer ici , en raisonnant sur le triangle CSQ (fiy. V), comme nous l'avons fait sur le triangle aco (fig. I). Il en est de même pour tout ce qui a été dit concernant la méridienne du temps moyen ( n“0 et 10).

17. Pour faire un cadran sur un plan vprtieal déclinant par le moyen de la déclinaison connue de ce plan , on fera l'angle mon égal à cette déclinaison , puis, ayant mené dans le plan une verticale indéfinie CZ pour servir de ligne de midi du lieu , et pris à volonté le point C de celte ligne pour être le centre du cadran , on mènera par un autre point R de cette ligne, pris à volonté, l'horizontale indéfinie BK , dont on déterminera la longueur en faisant l’angle BCK égal au complément de la latitude du lieu. On portera la ligne BK sur un des côtés de l'angle mon ( fig . VIII) en or, et par le point r ainsi déterminé, on mènera rp per-

P!(. V et vit

Ddetinalttn du plan déterminé* par la aouslylalre.

Différence de* méridien»

Fig. T.

Fig. VIII fl XIX.

< Admis •or do» plans déclinants w-frlmtrioflaui.

Cadrans

méridionaux on rpiituulrfoDitux.

Cadrans orientaux mi orcidentaux.

Fig. X*

Cadran < <|uinoxia1.

Cadrans sur des plan»

inclinés.

pewliculairemcjot sur l’autre cété du même angle, ce qui donnera U Ugne rp que l’on portera de B en E sur l'horizontale Blé ; la ligue CE, tirée du point C au point B, sera la souslylaire du pian avec laquelle ou tracera le cadran comme il a élédi.l(nM J).

18. Les cadrans doux on vient de parler sont supposés tracés sur la face des plans verticaux qui est tournée vers le midi ; mais le cadran tracé sur l'autre face est parfaitement égal à celui dont nous avons parlé, avec la seule différence qu'il est dans une position renversée : le centre qui, dans les cadrans dent nous avons parlé , était placé vers le haut du cadran , sera placé pour les autres dans la partie inférieure ; et tout ce que nous avons dit pour la construction des premiers convient parfaitement aux seconda.

,48. Si Je plan vertical n'avait point du tont.de déclinaison, on -le construirait comme un cadran linrixonlal en employant, au lieu de la latitude du lieu, le complément de cette latitude.

20. Si le plat» vertical déclinait de ‘JO , c ert-indiec s'il était parfaitement oriental ou occidental, la souslylaire CB ferait, avec la verticale GZ, un angle égal an complément de la latitude du lieu. Le cadran s aurait point de centre , le style n’aurait pus de hauteur ; MN ou MU. hauteur prise à volonté, se placerait avec des supports dans le plan élevé perpendiculairement sur la souslvtaife, et dans une position parallèle à cette ligne. Toutes les lignes horaires seraient parallèles à la soustylairc; et pour les placer on forait PF perpendiculaire à la souslylaire, et ayant pris sur la soustylairc, à commencer du point B où elle est coupée par la perpendiculaire PP, uu rayon AB — MP ou =NQ, on décrirait une demicircanféreuec que l'on diviserait , en commençant au point B, à raison de 45* pour chaque heure ; les rayons menés par les points de division prolongés jusqu’à la tangculc Pl* détermineront sur cette ligne un poinl pour disque ligne d’heures. Ainsi, en menant par ces points des ligues parallèles à la souslylaire, ou aurait les lignes horaires du cadran ; la souslylaire marquerait six heures du malin ou six heures du soir, suivant que Le plan serait oriental ou occidental. Les heures du matin ne seraient que dans le premier, en allant du haut en 1ms du cadran , et les heures du soir, dans le second , seulement elles y seraient placées en allant du bas au haut du cadran.

21. Lu simple cercle , divise par des rayon* de 45" eu t.V pour les heures et proportionnellement pour des fractions d’heure, étant traversé perpendiculairement par on axe, servirait de cadran , en le plaçant de manière que cet axe fût « « dans le plan vertical élevé sur une méridienne horiaontale, et qu'il fit avec elle

un arigJcégalà la latitude du lieu.

22. Le plan peut être incliné du mémo < été que l uxe du monde et avoir moins

d'inclinaison que cet axe, c’est le premier cas (fig. Tl, TU, X[îl et XtV ou être plus incliné que l’axe, c'est le deuxième cas (fig. XV, XVI, XVTI et XVIII).

Les deux antres eus supposentFincünaison en sens contraire dét l'axe.

Mais, en comparant ainsi l'inclinaison de l'axe & celle du plaii , on suppose les angles d’inclinaison vus dans le même plan. La construction est la même pour tous ces cas : nous allons la détailler de manière qn'on puisse la suivra dans les figures qni ont rapporté chacun d'eux. Nous supposeronsseulement la déclinaison du plan connue.

Soit fait I* un triangle rectangle ade , dans lequel L'angje ead marque la latitude du lieu (fig. XI, XV, XIX, XXIII).

2* Un triangle rectangle g/h, dans lequel l'anglc/gh marque l’inclinaison dti plan prise dans un plan perpendiculaire aux lignes horizontales de ce plan, c’est-à-dire l’angle que ce plan fait avec un plan horizontal ( fig . XII, XVI, XX, XXIV).

3* Un triangle ikl également rectangle , dans lequel l’angle ikl marque la déclinaison du pUn {fig. XIII, XVII, XXI, XXV).

Cela posé on mènera sur le plan une ligne verticale MT , ou pour mieux dire une ligne perpendiculaire aux lignes telles que* op horizontales dans ce plan, puis ayant pris sur le côté ad du premier triangle, la grandeur ab à volonté, & qpmmeneer du pointa, et mené ht parallèlement à de, on portera celte longueur ab sur riiypothënuso kl du troisième triangle de h en g, et Ton mènera qr parallèlement à il , ou perpendiculairement à Ai. Ayant ainsi déterminé l'a longueur kr, on la portera sur le côté gf du deuxième triangle de g en » , du côté opposé & celui vers lequel penche le plan dans les deux premiers cas , et du même côté vers lequel il penche dans les deux autres , en sorl^que pour les deux premiers cas, il Faudra prolonger gf. Dans ce même triangle on élèvera au point g sur gf la perpendiculaire gt égale à bc du premier triangle ; on tirera ensuite st, qui, étant prolongé dans les deux premiers cas , rencontrera le profit gh du plan incliné au point »; on abaissera de ce point » sur gf la perpendiculaire ex; cela déterminera la longueur gx que l’on portera sur le côté Ai du troisième triangle de A- en &, et l'on mènera &: parallèle à : il.

On prendra dans le deuxième triangle go, et on la transportera sur la verticale MN du plan , au-dessus et ati-dessous du point B pris à volonté peur représenter sur le plan le point g du triangle, suivant que le point u se trouvera lui-même au-dessus ou au-dessous du point g. Ayant ainsi déterminé ta position du point K sur le plan, on mènera par ce point nne ligne horizontale KC égale à la ligne Bu du troisième triangle, à droite ou b gauche du point K , suivant que le plan

rifurw:

xi, xti. xm

rtXIV!

XV, XVI, XVII etXVlU; XIX. XX, XXI et XXII; XXIII, XXIV.

XXV et XXVI.

Figure» i

xxvn , xxvm

* XXIX } XXX, XXXI et XXIII ;

xxxm. xxxiv

et XXXV ; XXXVI, XXXYII «I XXXVIII.

aura sa déclinaison occidentale ou orientale. On aura par ce moyen te centre C du cadran. >

’ . ' ri * • * t

Du point (du deuxième triangle on mènera (m perpendiculairement au proMI gv du plan incliné, et l'on portera la longueur gm sur la verticale du plan , de B en S , du côté du point K ; par le point S ainsi déterminé on mènera du centre (1 la ligne indéfinie CS, qui sera la soustylaire du plan.

Du point S on élèvera sur cette soustylaire la perpendiculaire SQ , égale à la ligne <m prise dans le deuxième triangle, et l'on mènera la ligne CQ, sur laquelle ayant pris à volonté CD, pour la longueur du style que l'on veut employer, on mènera par le point D la ligne DE perpendiculairement à CD-, et par le point E', ainsi déterminé sur la soustylaire, on mènera, perpcudiculai rement à cette ligne, fa ligne équinoxiale du plan, qui coupera en un point F la ligne menée du point C par le point B, laquelle doit marquer l'heure de midi pour le lieu ; ensuite en prenant DE pour rayon , on décrira le cercle qui doit servir an tracé des lignes horaires comme dans les cadrans horizontaux ou verticaux , en observant de commencer la division de sa circonférence au point L , déterminé sur sa circonférence par le rayon mené du centre au point F de la ligne de midi.

On placera enfin le style dans le plan perpendiculaire sur la soustylaire, de manière que son origine soit au point C et qu’il fasse avec la soustylaire uu angle égal àl’ angle ECD.

Si c'est un gnomon dont on veut se servir, on observera dans le triangle CDF ce que nous avons dit qu’il fallait observer dans le triangle acb ( fig . 1) des cadrans horizontaux.

23. La construction des cadrans sur des plans inclinés, telle qu’on vient de la voir, suppose la déclinaison du plan connue; mais il est plus aisé de fixer la position de la soustylaire sur le pfctn, que de déterminer la déclinaison; ainsi il est nécessaire de savoir connaître la déclinaison d'après la soustylaire, afin de pouvoir ensuite tracer le cadran suivant la méthode que nous avous donnée.

Soit donc SR la soustylaire tracée sur un plan incliné par un point quelconque S de celte ligne; soit menée une ligne SB perpendiculaire aux lignes horizontales du plan ,el par le point B prisé volonté une horizontale BR; ensuite soit menée du point B ta ligne BD perpendiculairement à la soustylaire, et du point D où elle la rencontre, soit menée sur BR la verticale ou perpendiculaire DE, pour déterminer le point E. «

Soit abc un triangle rectangle en b, dans lequel ab représente une ligne horizontale, et l’angle bac la latitude du lieu.

Soit aussi gpi un second triangle rectangle dans lequel gf représente une ligne horizontale, et l’angle fyh l’inclinaison du plan.

Cela posé, on |>ortera DE sur le côté gh du deuxième triangle, de g en m, ut l'on mènera mn parallèle i fit, qui rencontrera gf au point n, et l'on transportera la ligne gn sur ED, de E en O; puis ayant pris aussi dans le deuxième triangle la ligne mn, on la transportera sur la ligne horizontale ba du premier triangle, de b en p, et l’on mènera par ce point p la ligne pq parallèle à oc, ce qui déterminera ■a grandeur bq.

Du point O comme centre , et avec la ligne bq, dont nous venons de parler, prise dans le premier triangle pour rayon, on décrira une circonférence de * cercle ; et ayant tiré la ligne OB, on décrira sur cette ligne, comme diamètre, un second cercle dont la circonférence coupera celle du premier cercle en deux points; enfin par le point B et par celui K des deux points d'intersection des deux cercles, choisis de manière qu’ayant tiré la ligne OK, elle sc dirige dans le même sens que la méridienne horizontale du lieu, que l'on connaît au moins à peu près ; par ce point K, dis-jc, et par le point B, on mènera la ligne BK , qui fera avec BR un angle RBK égal à l’angle de déclinaison que l'on cherche.

On remarque que la ligne OK étant projetée sur le plan horizontal serait parallèle à la méridienne de ce plan horizontal.

24. Nous n’avons considéré qu’une seule des fhees des plans inclinés, celle qui regarde le midi quand l’inclinaison du plan est dans le même sens que l’inclinaison de l’axe, et à celle des faces du plan qui, dans la situation contraire, regarde le nord, parce que les autres laces des plans ont très-peu d'heures le soleil dégagé sur leur horizon , et que d’ailleurs les cadrans à tracer sur ces faces •ont parfaitement égaux â ceux dont nous avons donné la construction , avec la seule différence dans la position , qui est renversée : ce qui était vers le haut du plan dans les premiers, se trouvera vers le bas dans les autres, et réciproquement.