LIVRE IV

APfl.lCATtrm DK LA OÊOMÊ11HK 0ÜSCRTPT1VK ACX HNrîRRKAOBS.

Diins son Traité des machines, Hveuerre a consacré un chapitre aux engrenages. Il a donné la théorie géométrique des engrenages cylindriques à épicycloïde plane, et des engrenages coniques à épicycloîdes sphériques, ees engrenages étant intérieurs ou extérieure. Il a aussi donné la théorie des engrenages cylindriqucscl coniques à lanternes. Il a développé la théorie des crémaillères droites, dans lesquelles les courbes sont des développantes et des eyeloûles.

Mais il n‘u point parlé des autres engrenages, car il ne dit qu'un mot sur ht vis sans lin , et il cite seulement les engrenages de Wiihe dont il ignorait la théorie.

Je suppose que l’on connaisse , avant de lira ce quatrième livre , le chapitre écrit par HAcifferre sur les engrenages , et je continue les recherches géométriques sur ce sujet important.

Plusieurs des mémoires contenus dans ce quatrième livre ont déjà été pnhliés,

les uns dans le Journal de l' Ecole polytechnique, d’autres dans lo Journal des mnthématiques pures et appliquées, rédigé par M. Uouville ; plusieurs sont inédits et sont déjà anciens, ‘car ce que je dis : 1° sur les engrenages cléipsgdres, a été écrit lorsque j’étais élève de l'École polytechnique en 1815; et 2" sur les engrenages à frottement de roulement et à vitesse variable, a été écrit à l'École d'application de Met* en 1817, dans mon mémoire sur le projet de machines, projet que je devais rédiger comme sous-lieutenant élève d’artillerie.

J’ai classé par ordre de matière les divers mémoires dont se compose ce quatrième livre, sans m’inquiéter des dates de leur publication antérieure.

Apres avoir lu ce quatrième livre, on devra lire l’ouvrage que j’ai publié en 1842, et (jui a pour litre : Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes situés ou non situés dans un ménu’ plan. Cette théorie est le complément nécessaire de ce quatrième chapitre,

c»r ce sont les diverses recherches consignée* ilsns ce quatrième chapitre, qui m’ont conduit à la théorie générale ««posée dans l'ouvrage publié en 18 12, chez li. Bachelier, qui a bien voulu en être te libraire-éditeur et l’imprimeur.

uouvsau sisTfiME rEsuifTAST nt tuas swetihf tta «ouvrer trr dfttroMt eRtak deux axes ou> ne sort pa* um ts dams cr Htiie Mar (*).

I*. Lefebvre, lieutenant-colonel d’artillerie a public, dans le deuxième numéro dn Mémorial d’artillerie, une note sur les engrenages, et dans laquelle il décrit les procédés qu'il a suivis pour la construction des roues dentées employées à la poudrerie du Bouchet et à celle d’AngouIènle.

\ Il à donné aux dents la forme conique, la directrice de chacun des cônes étant une développante sphérique; et il démontre que cette courbe (la développante aphérique) est préférable à l’èpicycloîde sphérique.

Parmi les avantages que présente le système à développantes planes : 1* développantes plane* pour les engrenages cylindriques dans le cas des axes parallèles; et 2" développantes sphériques pour les engrenages coniques dans le cas des axes qui sc coupent, on doit remarquer celui de pouvoir à volonté changer de pignon, et par là de pouvoir rapprocher ou éloigner les deux axes de l’engrenage, en augmentant ou diminuant la vitesse de l’axe du pignon.

La transmission du mouvement uniforme entre deux axes, et au moyen des développantes, était connu depuis longtemps, mais personne , jusqu'à présent, n’avait complètement décrit le* propriétés dont jouit cet engrenage, et n’avait surtout fait remarquer qu’il permettait de rapprocher ou d’éloigner les axes en faisant varier le diamètre des pignons (**).

{*) Extrait du Bulletin de la société d'encouragement pour l'industrie nationale (année 4629).

(**) On peut éloigner ou rapprocher les arts , soit dans l'engrenage cylindrique , soit dans l'engrenage conique , sans avoir besoin de changer le diamètre du pignon. Seulement dans la cas où l'on conserve les mêmes roues de l’engrenage, on diminue le jeu entre les dénia quand on rapproche les axes, et l'on augmente le jeu entre les dents quand on éloigne les axes. Cet engrenage ( par développantes), qu'il soit cylindrique ou qu'il soit conique, a donc un grand avantage , c’esl de permettre de maintenir le jeu constant entre les dents à mesure que le frottement usant les dents tend à augmenter le Jeu.

A ce sujet M. Lefebvre s’exprime ainsi :

« Il |)cul arriver que l'on ait à transmettre le mouvement d’une roue à une

• autre, en se réservant de faire varier la distance de leurs axes; alors les don-

• nées primitives étant changées , la forme des dents ne satisfait plus aux condi-

• lions exigées et ne convient plus dans beaucoup de machines, surtout dans ■ celles qui doivent fonctionner avec une grande précision , telles, par exemple, u que les machines a tailler les vis.

» On y fait varier les vitesses angulaires en employant des pignons de diainè- » très différents qui engrènent avec la même roue ; or un seul de ces pignons

• engrène exactement, les autres ne peuvent être tracés rigoureusement, puis- » qu'en construisant ce premier pignon on a arrêté la forme des dents de la roue, » et que celte forme dépend de son diamètre; d'ailleurs le seul effet du frotte- > ment sullit pour changer cette forme.

• Ces inconvénients indiquent déjà suffisamment que la forme épicycloîdale » n’est pas la plus convenable; la développante du cercle, exempte de ces dé-

• l'auls, est donc préférable; celte courbe jouit encore d’autres avantages que

• nous ferons connaître , etc., etc. (*). »

J’ai remarqué que les engrenages cylindriques (les axes étant parallèles) dont les dents sont terminées par des développantes planes, jouissent encore d'une propriété remarquable , et dont les mécaniciens pourront , je crois , tirer un parti avantageux dans diverses circonstances. Au moyen d’un engrenage cylindrique à développantes de cercle il est possible (lorsque cet engrenage est extérieur) de transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes non situés dans un môme plan , et comprenant entre eux un angle quelconque , depuis l'angle nul jusqu'à l’angle droit.

Ce problème mécanique n’a jamais été résolu jusqu’à présent, en employant seulement deux roues dentées ; on ne connaît encore que le mécanisme nommé i’f* sans fin, qui résolve en partie ce problème.

(*J On doit remarquer que l'on peut cependant , avec la forme épicycloîdale, faire varier le» diamètre» des pignon» sans nuire à la précision du mouvement; mais, alors, au lieu de prendre pour le flanc do la dent du pignon , le rayon do ce pignon , on doit prendre l'épie; cloïdc Intérieure engendrée par le cercle qui a servi à décrire l’épicycloïde extérieure qui termine la dent de la roue.

Ainsi , quant A la facilité du changement de pignon , M. Lefebvre est dans l'erreur, ce changement peut s'opérer dan* les engrenages tracés avec des épicycluïdes, tout aussi bien que dans ceux qui sont tracé» avec de» développante», et cela , que l'engrenage soit cylindrique ou conique.

Mais ce qui doit faire doaaer la préférence A la développante , é’est que dans les engrenages ainsi tracés on peut rapprocher les oies , ce qui n'est pus possible dans le» engrenages épicycloïdaux . et do plus c’est que, dons les engrenages A développantes, le pignon peut indifféremment conduire ou être conduit, ce qui ne peut avoir lieu sans arrqueboutement dans les engrenages épicycloïdaux.

Celte propriété remarquable, dont jouit un engrenage cylindrique à développante et extérieur, peut permettre de construire un engrenage oscillant; ainsi pendant que l’axe de l'une des roues restera immuable en sa position , on pourra faire varier suivant une loi arbitraire la position du second axe |>ar rapport au premier, en ce sens que si l'on prend la plus courte distance entre les deux axes, on pourra faire mouvoir le second axe autour de la plus courte distance et d'une manière variable , pendant que les deux roues dentées se conduiront uniformément.

El en eiîet on sait :

1' One si l’on trace sur un plan deux cercles C et C' ( fig . 1), et qu'on leur mène une tangente commune aa, on peut prendre un point arbitraire m sur celle <

tangente; et que, considérant ma comme un lit , en l'enroulant sur le cercle C, le point ni décrira la développante plane d; que, de même, considérant ma' comme un fil et l'enroulant sur le cercle C', le point m décrira une développante plane tt.

2° Que lorsque le cercle C tournera uniformément autouj de son centre o , la développante d conduira la développante cf, de telle manière que le cercle C’ tournera aussi uniformément autour de son centre o', le point de contact des deux développantes ( qui est primitivement en m) parcourant la tangente au, et que les deux développantes auront en leur contact m une tangente mt perpendiculaire à la droite aa 1 , et que cela aura lieu en les divers points de contact m, m, m"...

Tels sont les éléments du tracé de l’engrenage cylindrique et extérieur, dont les dents sont terminées par des surfaces cylindriques ( d ) et (</') ayant pour section droite, pour l’une des roues (Ç), la développante d, et pour l'autre roue (C'), la développante d'.

Dans l'engrenage ainsi construit deux dents sont en contact par une portion de la génératrice droite de contact des deux cylindres (d) et (d'), et lo plan langent commun à ces deux cylindres est perpendiculaire au plan ( ua ), qui est langent à la fuis aux deux cylindres (C) et (C’).

Ainsi, ayant un engrenage cylindrique et extérieur dont les deux axes (o) et (o’) sont parallèles, si ou le coupe par un plan perpendiculaire aux deux axes, cl partageant l'épaisseur des deux roues en deux parties égales, on obtiendra pour section la fig. 4. (Je nomme ce plan, plan milieu.)

Cela posé, on voit sur-le-champ que si, supposant que la roue (C) reste horizontale, on fait tourner la roue (C) autour de la ligne aa, il arrivera ce qui suit :

4° Le centre o 1 du cercle C' (fig. 2) décrira un cercle-/, dont le plan sera perpendiculaire à la droite aa, dont le centre sera lo point a' contact du cercle C'

et de la droite «m* ; et dont le raye» sera égal A celui du cercle C', et l’axe ( d ) prendra une position (<*") 5 la développante d* prendra une positron d", et la roue dentée (C') prendra une position (C").

2* L'axe (o") de la roue (C") ne sera plus contenu dans on même plan arec Taxe ( 0 ) de la roue dentée (C).

3* Les deux cylindres (d) et (d") ne seront plus en contact par une portion de génératrice droite, mais seulement par un point m, qui sera celui du contact angulaire des deux développantes de t if tracées dans le plan milieu.

4° Les deux développantes d et d' 1 n’auront plus au point de contact «1 mêmes tangentes, mais des tangentes distinctes rnt cl mf", qui comprendront entre elles un angle égal b celui que font actuellement (après le mouvement de rotation autour de la droite on') les deux axes (o) et (a"), et qui détermineront «n plan perpendiculaire A la droite <t«'; et ce [dan sera un plan tangent commun aux deux cylindres (d) et (d").

Et 5* la roue (C) transmettra toujours son mouvement de rotation uniforme à ♦a roue (C"), quel qim soit l’angle compris entre les deux axes (o) et (o") ; et même pendant que l’axe ( 0 ") s'inclinerait successivement par rapport A l’axe (o), et quelle que fût d'ailleurs la loi de son mouvement de rotation autour delà droite aa‘, et cela [vendant que la ronc (C") tournera autour de son axe(o"), conduite qu'elle est par la roue (C).

Aussitôt que les deux axes ( 0 ) et (o) ne seront plus parallèles , les dents ne seront plus en contact que par un point, att lien de l’étre par une portioa de droite; dés lors toute la pression s’exercera sur ce point : le frottement sera angulaire et non direct , et il sera, pat conséquent, plus grand que le frottement direct.

Le nouveau mécanisme proposé semble pouvoir être employé avec avantage dans les machines où l'on ue considérera pas la force dépensée, et où l'on «'emploiera que des forces qui ne seront pas très-grandes.

f,a lig. 3 représente l'engrenage dans le cas où les deux roues dentées R et R' sont horizontales, leurs axes étant parallèles.

Les développantes qui terminent les dents ont pour cercle générateur, savoir : I” celles des dents de la roue R', le cercle (oa‘) (désigaani le cercle par sou rayou) et 2* celles des dents tic la roue R , le cercle (on).

La ligne droite an', tangente commune à cos deux cercles, est la ligne parcourue par les contacts successifs des dents, pendant le mouvement de rotation uniforme.

La roue R' est portée par uno manivelle coudée M, tellement disposée que l’axe de la poignée est dans le prolongement de la droite oa' des contacts: o» sorte que si l’an fait tourner dans sou logement la poignée de ia manivelle, le système

de la roue H’ prendra un mouvement de rotation autour de la ligne droite an'; dés lors les deux axes des roues R et K’ ne seront plus situés dans un même plan. '

La fig. 4 représente l’engrenage dans le cas où, ayant imprimé un mouvement de rotation à la manivelle coudée qui porte la roue R', le plan de celte roue R' serait devenu oblique par rapport à celui de la roue R, lequel est resté horizontal.

D’après les Hg. 3 et 4 , on voit que l’on peut donner, au moyen de la manivelle M elà l’axe de la roue R', toutes les inclinaisons possibles; et que, par conséquent, les deux axes des roues de l’engrenage peuvent comprendre entre eux un angle quelconque, depuis l’angle nul jusqu’à l’angle droit.

oui. On doit faire remarquer que le tracé tel qu’il est représenté par la lig. 3 n’a été adopte que pour mieux concevoir le système. Les dents y sont trop longues et le contact se fait trop avant et trop après la ligne de» centre » , ce qui est défectueux.

I.e mouvement de rotation de l’axe (o') de la roue R' autour de la ligne un' dus contacts peut s’obtenir par d’autres mécauismcs que la manivelle U; l’un devra donc chercher le mécanisme le plus convenable, suivant le travail de la machine à laquelle on ferait l’application du système nouveau et décrit succinctement dans celte note. •

Il me semble que ce nouveau système d'engrenage peut recevoir le nom d’rngrenage extérieur oscillant.

IV 2

APPLICATION DE LA THÉORIE DSS DATONS DS COURBURE DES ÉPICYCLOÏDES SPHÉRIQUES A LA CONSTRUCTION DES ENCRENAUES CONIQUES (’).

Lorsque l’on veut transmettre à un axe la force appliquée à un autre axe, on emploie des roues dentées, et l’on donne au système le nom d engrenage.

Les axes peuvent affecter l’un par rapport à l’autre trois positions :

1* Us peuvent être parallèles ; 2* ils peuvent se couper; 3° ils peuvent faire un angle entre eux sans se rencontrer.

(•) Elirait du mémoire publié dons le 33* cahier du Journal de l'École |»oly technique. CYrtlu seconde partie de ce mémoire que je public de nouveau ici.

Voyez les Complément » de géométrie ietcrip lice , chap. Il, où le mémoire n* J coa lient la t" partie.

On donne le nom A' engrenage cylindrique au système de deux roues dentées qui ser rent à transmettre le mouvement de rotation , entre deux axes parallèles, parce que ordinairement on emploie des surfaces cylindriques pour terminer les dents.

On donne le nom d 'engrenage conique au système de deux roues dentées qui servent à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes qui se coupent, |mrcrqneordinairemcntou emploie des surfaces coniques pour terminer les dents.

La base des surfaces cylindriques ou coniques qui terminenent les dents |>eut être arbitraire, en ce sens que celle de la lient qui conduit étant déterminée , on conclut celle de la dent qui est conduite , de manière à ce que la condition suivante soit satisfaite, savoir : que les vitesses des deux axes soient dans un rapport donné , constant ou variable suivant une loi donnée.

Dans les machines il est presque toujours indispensable que le rapport des vitesses des axes soit constant ; et il serait à désirer que l’on pût, par le tracé seul, introduire une nouvelle condition, celle de l'uniformité de mouvement; mais les frottements s’y opposent, et cette condition ne peut s’obtenir qu'au moyen d'un volant.

Les mécaniciens emploient deux formes de dents pour les engrenages ; dans les tins les dents sont terminées par des épicycloïdcs , dans les autres par des développantes , parce que avec l’une et l’autre forme le rapport entro la puissance et la résistance est constant; mais avec l'une et l’autre forme, le travail du frottement est variable; en sorte que, pour que l'uniformité de mouvement subsiste, il faut nécessairement employer des volants pour régulariser le mouvement de rotation. %

Dans les engrenages à épicycloides la pression entre les dents est variable, tandis que la pression est constante dans les engrenages à développantes.

En sorte que les dents se déforment par le travail, suivant des développantes dans le second engrenage, et non suivant des épicycloides dans le premier engrenage.

Celle propriété des engrenages à développantes doit les fairè préférer avec raison pur les mécaniciens.

Cependant une légère variation dans le frottement ou dans le rapport entre la résistance et la puissance pendant le temps employé par une dent pour conduire son homologue, ne peut être nuisible dans les grandes machines, et cette considération permet de simplifier le tracé des engrenages cylindriques cl coniques en substituant aux arcs A’ épicycloides ou tic dévclop)Hintes , qui doivent servir de bascsaux surfaces cylindriques ou coniques qui terminent les dents, leurs cercles oscillateurs (sauf à établir des volants pour régulariser le mouvement de la machine ).

Jusqu’à présent, les mécaniciens ont employé des aie» do cercles pour terminer

les dents des engrenages; mais le centre de ces cercles, ainsi que leurs rayons étaient mal choisis, car ces cercles n'étaient point les cercles osculatcurs des arcs de courbes qu'ils devaient remplacer. Aussi est-on obligé de donner un giand jeu entre les dents de l'engrenage. Aussi remarque-t-on que lorsque deux ou trois dents sont en prise , elles ne fonctionnent pas toutes en même temps , mais alternativement; ce qui produit des chocs et des intermittences qui sont nuisibles à la durée de l’engrenage, et de plus donnent naissance à des vibrations qui, à la longue, déboîtent et déchaussent les assemblages des diverses parties de la machine; et de plus encore, les vibrations dues à ce tic-lac perpétuel consomment une partie de la force motrice.

Il n’est donc pas sans quelque importance de connaître une méthode géométrique simple au moyen de laquelle on puisse construire promptement le centre de courbure d'un arc d'épicycloïde plane ou sphérique, puisque l'on pourra en faire des applications utiles aux tracés des engrenages cylindriques et coniques.

J’ai dit plus haut que l'invariabilité de la pression entre les dents devait faire préférer les développantes planes et sphériques pour le tracé des engrenages cylindriques et coniques; mais il existe encore une autre raison non moins importaiHc et qui est évidente, c'est que Ton est forcé de placer rigoureusement les axes dans la position déterminée en vertu du tracé, lorsque l'on emploie des épicycloides (cl cola a lieu pour les engrenages intérieurs et extérieurs) , tandis que l’on peut, pour l'engrenage extérieur seulement (mais dans les machines on se sert plus d’engrenages extérieurs que d’engrenages intérieurs), éloigner ou rapprocher les axes, en les laissant parallèles dans les engrenages cylindriques, ou en les faisant se couper et toujours au même point, dans les engrenages coniques, lorsque l'on emploie des développantes.

De sorte que l’emploi des développantes facilite la pose île l’engrenage extérieur ; et de plus, lorsque les dents s’usent, on peut rapprocher les axes , pour diminuer le jeu entre les dents; et ce rapprochement des axes s'effectue sans troubler le rapport existant entre leurs vitesses, ce que l'on ne peut faire lorsque l'on emploie des cpiajcldides. * •

Ajoutons encore que le tracé de l’engrenage conique est très-di(Ticile lorsque l’on veut le construire rigoureusement avec des épicycloides, et que C’est ce motif qui engagea M. Poncelet à chercher une méthode approximative suffisante pour la prat't/ue, tandis que le tracé rigoureux de l'engrenage conique avec des développantes sphériques est presque aussi simple que le tracé de l'engrenage cylindrique avec des développantes planes.

Kt à ce sujet je vais entrer dans quelques détails; mais avant je terminerai ces considérations générales, en disant quelques mots touchant la troisième position

que les axes peuvent affecter, celle où iis ne sont (vas situés dans un même plan.

On n'avait encore pu , au moyen d’un engrenage composé seulement de deux roues, transmettre le mouvement de rotation entre deux axes ainsi situés, excepté dans le cas où ils étaient perpendiculaires entre eux, car alors on connaissait la vis sans fin , mécanisme qui ue pouvait cependant être employé que lorsque Taxe portant la roue deutée devait se mouvoir très-lentement.

En 1831, j'ai fait exécuter un modèle fonctionnant, qui est dans le cabinet de i' École polytechnique (et,, avant, la Société d'encouragement en avait fait exécuter un, à ses frais, du même genre) , qui montre que le problème, insoluble jusque alors , peut être résolu très-facilement. L'une des roues est à dents cylindriques ayant pour base des développantes de cercles ; l'autre roue a ses dents terminées par des surfaces hélicdidet développable s (*).

Des engrenages cylindriques à développantes planes.

L’engrenage cylindrique peut être extérieur ou intérieur.

De l’engrenage extérieur. Dans une note publiée dans le Bulletin de Société d’encouragement pour t industrie nationale (octobre 1825)), j’ai montré les diverses propriétés dont jouissait l’engrenage extérieur, savoir (**):

1” De permettre de rapprocher ou d’éloigner les axes ; 2’ de permettre de faire tourner l'une des roues dentées autour de la droite parcourue par le point de contact de deux dents, et d’obtenir ainsi le moyen de transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans un même plan.

Je lis alors remarquer que l’engrenage qui pouvait être employé comme engrenage de force, lors du parallélisme des axes (puisque les dents étaient en contact par une droite dont la longueur variait suivant la hauteur du cylindre quj les terminait, et que , dès lors, l’effort était réparti sur les divers points do cette droite de contact), ne pouvait plus être considéré que comme engrenage de précision, lorsque les axes faisaient entre eux un certain angle, parce que alors les dents, pendant le mouvement de rotation , n’étaient plus en contact que par un point.

Je fis remarquer aussi que, pendant le mouvement de rotation, l’angle des axes pouvait varier à. volonté, soit d'une manière intermittente, soit d’une ma-

Voyez dans l'ouvrage que j’ai publié (en 1342 chez M. ILciiclicr , libraire éditeur), sou& lu litre : Théorie géométrique de* engrenage s destiné* à transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axe. situés ou non situés dans un même flan , !o cbap. Il, p. ?4 et suivantes.

{••) Vt ycz cHeua* le mémoire n° 4.