STI

niùre continue; et enfin je fis observer que, lorsque les mes n'étaient plus parallèles, l'engrenage ne pouvait être à retour, e'cst-à-diré , qu'on ne pouvait indistinctement faire tourner à droite ou à gauche la roue qui conduisait ou qui était conduite.

Je ne m’occupais point dans cette note de l’engrenage intérieur, dont les propriétés diffèrent en plusieurs points de celles de l’engren-ige extérieur.

De i engrenage intérieur. Soient C et €’ (fiy. 5 ) deux cercles tangents en m (le corclc C' enveloppant le cercle C); soit TT la tangente commune à ces deux cercles, regardés comme les cercles primitifs, et ayant dés lors leurs rayons dans le rapport inverse des vitesses que doivent avoir les axes A et fi parallèles entre eux et passant par leurs centres. •

Si l’on trace les deux développantes mret me do cercle C et les deux développantes mr' et me 1 du cercle G', on voit qoe si l’engrenage tourne de gauche à droite, la développante mv conduira la développante mv', les contacts parcourant la tangente commune mT.

Et que si, au contraire, l'engrenage tourne de droite à gauche, ce sera la développante mr qui conduira la développante mr', le contact parcourant la tangente commune mT'.

On voit aussi sur-le-champ : I* Que l’engrenage esta retour, mais que le contact des dents parcourt toujours la même droite TT', que l’engrenage tourne dans un sens ou dans un autre, tandis que dans- l’engrenage extérieur le contact parcourait une des tangentes aux cercles primitifs, lorsque la rotation avait lieu dans un sens, et parcourait la seconde tangente aux mêmes cercles, lorsque la rotation avait lieu en sens inverse;

2* Que la position des axes doit être invariable; on ne peut les éloigner ni les rapprocher comme dans l’engrenage extérieur; oe qui rend la pose de oes engrenages intérieurs plus délicate que celle des engrenages extérieurs;

3* Que le tracé est très-simple et très-facile, et beaucoup plus simple et plus facile que pour l’engrenage extérieur, pour lequel il faut nécessairement que les deux tangentes aux cercles primitifs se coupent sous un angle obtus; et, de plus, pour lequel un titan ne ment est nécessaire lorsqu’on vient à déterminer la course de la dent et le jeu A conserver entre les dents. (On peut voir à oe sujet le mémoire public par M. Lefebvre, colonel d’artillerie, dans le deuxième numéro du Memorial d artillerie. Dans ce mémoire M. (>cfel>vre ne s’est occupé que de l’engrenage cylindrique cl conique extérieur.)

V Enfin que la puissance doit toujours être appliquée à l axe de la roue intérieure, si Ton veut que les dents se conduisent à partir de la ligne des centres, et uoii avant cette ligue.

Je donne deux tracés. Dans la fig. 5 , les dents ne sont point séparées par un creux ou intervalle.' Aussi ce tracé ne serait applicable que pour de petites roues employées dans des machines de précision, la pointe aiguë des dents pouvant être promptement émoussée ou brisée, si l'on employait ces roues dans des machines de force.

De plus, comme il n'y a pas de jeu entre les dents, l'engrenage tournera dans un sens ou dans un autre sans perle de temps; mais il faut alors que la dilatation des dents soit pour ainsi dire nulle avec les variations de température.

Dans la fig. 6 , les dents ont uno certaine épaisseur à leur extrémité, et sont dés lors sépurées les unes des autres, sur chaque roue, par un creux ou intervalle. On peut de plus ménager un jeu avec la plus grande facilité, et rendre ce jeu aussi grand ou aussi petit que l'on voudra. Il suffit pour cela de rogner chaque dent île l'une des roues, au moyeu de la développante KK', distante de la développante primitive Ad', do la quantité voulue pour le jeu. Ce tracé doit être appliqué aux engrenages de force, et le jeu permettra aux dents de se dilater par les changements de température, sans que la marche de l'engrenage se trouve entravée.

Si je suppose que l'axe B [fi y. 5 et G) restant fixe, la roue C tourne autour de la tangente commune TT’, comme charnière, alors l'axe A viendra couper l'axe B, et sous des angles différents, suivant lu quantité angulaire dont la roue C aura tourné autour de la charnière TT'.

Nais on conçoit que si les dents sont terminées pour l’une et l’autre roue par des surfaces cylindriques, parallèles à l'axe B avant le mouvement de rotation autour de TT', ce mouvement de rotation ne pourra s'exécuter, puisque l’une de» surfaces cylindriques est concave et l'autre convexe.

Il faudra dune terminer la dent convexe de la roue intérieure par une surface «male, et la dent concave de la rouo extérieure par une surface cylindrique; mais alors les dents ne seront en contact que par un point, quelle que soit l'inclinaison de l'axe A par rapport à Taxe B.

Cette construction permettrait de construire des engrenages de précision, mais non de force, et tels que l'un des axes pourrait prendre, d une manière intermittente ou continue, toutes les inclinaisons possibles avec l'autre axe, depuis le parallélisme jusqu à l'angle droit.

Les deux axes pourraient aussi , tout en tournant sur eux-mèmes, preudre ensemble un mouvement d'oscillation dans le plan qui les contient.

Remarquons que pour l’engrenage intérieur, le retour sera toujours possible, c'est-à-dire que les doux roues pourront à volonté tourner dans un sens ou dans un autre, quel que soit 1 angle sous lequel les deux axes A et B sc coupent , eu

supposant que, pendant !c mouvement des roues autour de leurs axes, les plansmilieux de ces roues tournent aussi eux-mêmes autour de la tangente commune TT' : propriété remarquable dont ne jouit pas l’engrenage extérieur.

Des engrenages coniques à développantes sphériques.

L’engrenage conique peut être extérieur ou. intérieur.

Engrenage extérieur. Concevons deux cônes de révolution (fg. 7), ayant même sommet en S, et pour base, l’un le cercle C, l’autre le cercle C', les apothèmes 8m et Sm' de l’un et l’autre étant égaux.

On pourra toujours construire deux plans tangents communs à ces deux cônes, et dans chaque plan langent tracer un cercle ayant son centre au sommet S, et jiour rayon l’apothème Sm ou Sm'de l’un ou l’autre des cônes.

Ainsi , l’on aura deux cercles ayant pour centre commun le point S , dont les plans se couperont suivant la droite SP, et tels que le cercle D sera tangent en m à la base C, et en m'à la base C', et tels encore que le cercle D' sera tangent en n h la base C, et en n' à la base C'.

Cela posé :

Supposons que le cercle D roule sur le cercle C et ensuite sur le cercle C'. Un point du cercle D décrira , par ce double mouvement, d’abord une développante sphérique 3 pour le cône (8, C) et ensuite une développante sphérique 3 1 pour le cône (S , C').

De sorte que si l’on suppose que les cônes tournent autour de leurs axes, les développantes 3 et 3' se conduiront l’une l’autre, leur point de contact parcourant le cercle D et les vitesses angulaires des axes étant dans un rapport constant.

11 en sera do même en considérant le cercle D',

On pourra donc placer sur le cône (S, C) une dent conique, ayant pour base, savoir : pour la face droite, un arc de développante décrit par un point du cercle D, et pour la face gauche , un arc de développante décrit par un point du cercle D', et ayant pour sommet le point S.

On pourra faire la même construction pour le cône (S, C'), cl l’on voit sur-lechamp que la construction de cet engrenage conique offrira des difficultés analogues à celles signalées pour la construction de l’engrenage cylindrique, lorsqu'il s'agira de calculer le jeu entre les dents et la course d'une dent.

Dans son mémoire, M. Lefebvre propose de construire l’engrenage conique, à développante sphérique, de la manièro suivante :

(Extrait du deuxième numéro du Mémorial <f artillerie, page 342. )

« Ayant des roues coniques à construire, on les tracera sur une sphère d’un » diamètre médiocre et exactement déterminé; on se servira avec avantage d’une

» équerre sphérique du même diamètre pour tracer des arcs de grands cercles » tangents à des circonférences, etc. ; les développantes sphériques seront tra-

> cécs avec le compas par la méthode indiquée; on peut môme les décrire aussi » avec un (il - , car s’il est constamment tendu sur une surface sphérique lisse, il

> sera toujours daos le plan d’un grand cercle. Connaissant le tracé des dents » sur celle sphère, on en rapportera toutes les dimensions au rayon que l’on

• veut avoir, au moyen d'une échelle de lignes proportionnelles: on aura ainsi le » tracé extérieur; on achèvera la dent en menant par les points de ce tracé des

* lignes au point du centre, ce qui formera un cône dont on prendra une portion » égale à la longueur que l'on veut donner à la dent, »

Il m’a semblé que l’on pourrait avec avantage remplacer ta méthode proposée par M. Lefebvre par la suivante :

Ayant déterminé d'abord (firj. 8) l’épaisseur rtb à la racine de la dent sur le cercle inférieur D du tronc conique noyau ou primitif qui doit porter les dents coniques, et ensuite le creux ou intervalle bu qui doit séparer deux dents sur ce même cercle; en an mot, ayant opéré la division de la roue dentée, on tracera les courbes ny , bg intersection du cène ayant son sommet au sommet du tronc conique noyau , et pour hase les arcs de développantes sphériques, avec le plan môme du cercle D, et l’on emploiera à cet effet la construction géométrique indiquée dans le mémoire sur les développantes sphériques (*) ; cl l’on se rappelle que ccs courbes ag cl bg sc tracent avec la plus grande facilité sans avoir besoin de connaître les développantes sphériques.

On remarquera ensuite que si l'on coupe la dent conique par le plan du cercle supérieur D' du tronc conique noyau, on obtiendra deux courbes AG et BG, semblables aux courbes ug et bg par rapport au centre o qui sera le pèle ou «entre de similitude des courbes; de sorte que , connaissant la courbe ag, il sera fa- . elle de construire par pointu la courbe semblable AG. En effet, on mènera les rayons oa, ont, ag, etc., et l’on prendra les distances «A, mM, gG, etc., égales entre elles et à la différence des rayons des deux cercles D et D’ bases du tronc conique noyau, on obtiendra ainsi autant de points A, M, G, etc., que l'on voudra de la courbe AG.

Ce tracé exécuté, et il est presque aussi simple que celui exigé pour la construction de l'engrenage cylindrique, on le rapportera sur un tronc cylindrique capable de contenir cl le tronc conique noyau et les dents qui doivent être distribuées sur sa surface convexe.

Pour cela faire, on appliquera (fg. 10) le tracé fait pour le cercle D sur le

(*) Vojct dan» 1rs Développement» de géométrie descriptive, lu chap. U, mémoire »• î.

plan P i!c lu base inférieure du tronc cylindrique, et le tracé Tait pour lo cercle D sur le plan l v de la base supérieure du tronc cylindrique, ayant soin que les rayons homologues o' Q‘ et oQ aient leurs extrémités (Y et O sur une génératrice , QQ' du tronc cylindrique.

Il suffira ensuite d'avoir numéroté des points 1', 2', 3', V, etc., et 1,2,3, l,ctc., respectivement homologues, sur les courbes AG et ag, et au moyen d'un rabot (ou de tout autre outil), d’exécuter les génératrice l\ I — 2*.2 — 3'.3 — Y.i etc. de la dent conique.

Ayant ainsi exécuté séparément les deux roues dentées, il arrivera, lorsqu'on les mettra en présence, que, du cdté des grandes bases, les dents feront une saillie en dehors. Il sera bien d’rnlevcr celle saillie, qui donnerait mauvaise grâce à l’engrenage; pour cela (fg. !>) on placera chaque roue sur le tour et l'on enlèvera l'excédant rga en la partie inférieure de la dent, en dirigeant l'outil normalement à la génératrice oA du tronc conique noyau. On pourrait en faire autant pour la partie supérieure de la dent et enlever aussi l'excédant rfr’A.

Les engrenages coniques extérieurs à développantes sphériques jouissent des propriétés suivantes, savoir :

1* Les pressions sont constantes en chaque point de la mému dévelo|>pantc sphérique, ce qui n’établit pas que le trnrnil du frottement soit constant, mais

ce qui démontre quo l'uïure des dents sera uniforme. Ainsi les dents se déformeront sans cesse, mais toujours suivant des cènes ayant pour base des développantes sphériques;

2* On peut cloigner on rapprocher les axes, pourvu qu'ils se coupent toujours au même point; mais on ne peut pas faire varier la position désaxes, en cosens qu'ils cessent de se couper, ainsi que cela a pu se faire pour les engrenages cylindriques, puisque l'on peut ne pas les rendre parallèles.

On doit remarquer que, de même que pour les engrenages cylindriques extérieurs, il fallait que les deux plans tangents aux cylindres noyaux ou primitifs se coupassent sous un angle obtus, et que, plus cet angle était grand, plus le tracé devenait facile; de môme aussi il faut pour les engrenages coniques extérieurs que les deux plans tangents aux cènes noyaux ou primitifs se coupent sous un angle obtus.

On pourrait cependant ne pas s'astreindre à cette condition; mais alors il faudrait supprimer les dents adjacentes de celle qui est en prise, lesquelles arriveraient à se rencontrer sans se mettre en contact. En un mot, il faudrait supprimer toutes les dents qui, en vertu du tracé, ne permettraient pas à l'engrenage de subsister, les dents tendant dans le mouvement de rotation à s’intercepter le passage. De sorte que deux dents se mettant en prise, deux nouvelles dents ne

viendraient pas se mettre en contact aussitôt que les deux premières cesseraient de se conduire; et alors il faudrait, pour que le mouvement de rotation se continuât, placer sur le même axe plusieurs étages de roues dentées juxtaposées, et tellement disposées que, lorsque deux dents cesseraient d'être en contact pour le premier étage, deux dents de l'étage supérieur arriveraient au contact , et ainsi de suite. Ce mode de construction permettrait de faire des dents très-longues ou très-courtes, à volonté, cl simplifierait le tracé, puisque l'on n'aurait plus à combiner le nombre des dents, de manière à ce que deux dents soient toujours en prise.

Ce fut en 1816 que je vis pour la première fois une machine dont l'engrenage cylindrique était construit d'après ce principe. Celte machine était disposée pour étirer les tuyaux de lunettes et avait été exécutée par Savart père, dans les ateliers de construction de l’École d'application deMetx. Ce fut en l’examinant que je fus alors conduit à la démonstration géométrique des engrenages de Wilhc, de ces engrenages qui jouissent en même temps des deux propriétés suivantes, savoir : 1* vitesse angulaire constante ; 2* frottement de roulement : propriétés qui avaient toujours clé regardées, depuis Euler, comme incompatibles; et cene fut qu'en 1825, lorsque je présentai les mémoires que j'avais écrit sur ce sujet à l'Institut de France, que celte incompatibilité cessa d’èlre une vérité en mécanique.

Engrenage intérieur. Dans le cas des engrenages intérieurs ( fig . 11), les deux cônes noyaux ou primitifs sont en contact par une génératrice , cl n’ont qu’un seul plan langent commun.

La construction est la même que celle employée pour les engrenages extérieurs. Les propriétés dont jouissent les engrenages intérieurs sont aussi les mêmes que celles dont jouissent les engrenages extérieurs, excepté toutefois que l'on ne peut éloigner ou rapprocher les axes à volonté; leurs positions sont invariablement déterminées en vertu du trace.

Construction approximative des engrenages coniques.

Je ne parlerai ici que de la construction approximative des engrenages coniques à développantes sphériques , M. Poncelet ayant donné un tracé approximatif pour les engrenages coniques à cpicycloïdcs sphériques.

Le trace rigoureux de l'engrenage conique à développantes sphériques est assex simple par le proccJé que j’ai indiqué, pour que l'on puisse se dispenser d’avoir recoursà un tracé approximatif. Cependant on pourrait substituer aux dents rigoureuses, des dents npproximativesqui seraient terminées par des cônes de révolution osculateurs aux surfaces coniques ayant pour bases les développantes sphériques.

La construction des dents approximatives est facile , soit dans le tracé graphique, soit flans la construction en relief des modèles propres au moulage, lorsque les roues dentées doivent être coulées en fonte ou en cuivre.

Rappelons-nous ce qui a clé dit (*) au sujet de la construction géométrique du centre de courbure pour un point d'une développante sphérique.

Je suppose que le cercle D (fig. 12) est la base du cène noyau ou primitif de l’une des roues dentées, et que l'on ait tracé sur son plan les courbes ag cl l/g, intersection du cône à développantes sphériques qui termine une dent rigoureuse.

Sur ag et bg je prendrai les points milieux m et n. Je mènerai par m et n deux tangentes mq et np au cercle D.

Les droites mq cl np seront les rayons de courbure des développantes sphériques engendrées par les points m et n; et si par mq et np je mène des plans |>erpcndiculaires aux génératrices du cène noyau dont les projections, sur le plan du cercle D, sont oq cl pu, on aura les plans des cercles osculalcurs des développantes sphériques engendrées par les points m et n.

Il sera dès lors facile de construire en relief (fig. 13) la dent conique approximative, ayant son sommet au sommet du cène noyau, et ayant pour base, des arcs de ces deux cercles osculalcurs.

Car, si l'on suppose un cylindre AB capable de contenir la roue dentée, ce solide étant terminé par deux faces parallèles AR et BT, on tracera sur la face supérieure le cercle D’, et sur la face inférieure le cercle l), leurs centres o et o étant sur une perpendiculaire aux plans parallèles AR, BT (aiusi qu'on a opéré dans la Jlg. 10).

Sur le cercle D on fixe les points p et q tels qu'ils sont placés dans la fig. 12. On trace les tangentes pr, qr se coupant au point r.

On exécute deux plans passant par ces tangentes et perpendiculairement aux génératrices G cl G' du noyau ; ces deux plans se couperont suivant une droite ry qui tendra à aller couper l’axe du cène noyau en un point x. Dans chacun de ces plans on tracera des points pet q comme ccutre cl avec le même rayon que ceux employés (fig. 12), des cercles qui se couperont en un même point y de la droite ry.

Chacun des plans normaux aux génératrices G et G' coupera le cène noyau suivant une section conique; chacun des cercles osculalcurs tracés dans les plans normaux viendra couper la section conique en un point v. Dès lors la dent approximative sera composée de deux cènes do révolution ayant pour sommet commun le sommet du cène noyau , et pour base, l'un l’arc de cercle C, l'autre l’arc de cercle C'; ces deux cènes sc couperont suivant une arête K, et le premier

(*) Voyez dons les Développement t de géométrie detcripli ve , le chap. Il , mémoire n* i.

coupera le cône noyau suivant la génératrice H, et le second copiera ce môme cône noyau suivant la génératrice H',

Dans la prntiipte il sera préférable d’employer la méthode suivante lorsqu'on voudra construire un modèle en bois pour couler une roue dentée.

On construira d’abord le tronc conique noyau (Jig. 14), on le divisera suivant le nombre île dents qui devront être appliquées sur la surface convexe; les génératrices G, G', G", etc., passant par les points de division seront les milieux des dents. Ainsi la génératrice G ( fit/ . 1 1 ) passera par le point l (Jig. 12).

Remarquant que le tronc conique noyau [Jig. 15) a pour demi-angle au sommet l’angle a que l’on peut calculer, puisque Ton commit la hauteur du trône, et la différence des rayons des deux bases: remarquant que le plan du cercle oscillateur base du cône de révolution dont une partie doit former la demi-dent approximative, doit être perpendiculaire à une génératrice du cône, on voit que le plan X du cercle base inférieure du tronc fait , avec le plan C du cercle base de la dent, un angle «; de plus, le demi-angle y nu sommet du cône oscillateur pourra facilement êtro calculé, puisque l’on pourra calculer la longueur totale de la génératrice G du noyau , et que l’on connaît le rayon du ccrclo osculateur.

On pourra donc (Jig. 10) construire un tronc conique MN, ayant pour base le cercle C tracé avec le rayon qm [Jig. 12), et ayant pour demi-angle au sommet un angle y.

On prendra un point arbitraire k sur le cercle C; on tracera kr passant par le centre q ; et qr étant pris égal h qr de la lig. 12 , on mènera ro perpendiculaire à kr; par la droite kr on Sera passer un plan X faisant avec le plan C un angle égal au supplément de l'angle a; ce plan coupera le cône suivant un arc dk de section conique; dans ce plan V on tracera oq perpendiculaire à kr, et l’on prendra le point o sur la droite oq sultisammont prolongée, de telle sorte que oq soit égal au rayon de la base inférieure du tronc conique noyau ; on tracera sur le plan X le cercle !> du point o comme centre et avec m/ pour rayon, ce cercle coupera l’arc dk au point d ; oo tracera la génératrice S d du tronc de la dont, puis on joindra o et r par une droite qui coupera le cercle D en I; on exécutera la portion de surface conique concave (SD), laquelle s'appliquera sur la surface convexe du tronc noyau: la droite S / s’appliquera sur la droite G (Jig. 14); on exécutera le plan S IrV, qui, lorsque la demi-dent sera placée, SI étant sur G (Jig 14), passera par l’axe du tronc noyau et par la ligne milieu G; on exécutera la demi-dent symétrique de la môme manière , cl l’on pourra ainsi exécuter et rapporter sur le noyau le» dents qui doivent être distribuées sur son ponrtour.

Il est inutile d'entrer dans plus de détails à ce sujet , car ce que j’ai dit doit suffire à ceux qui savent la Géométrie descriptive et qui sont habitués à s'en

servir et à appliquer le trait sur le bois, pour concevoir de suite la marche à suivre dans l’exécution en relief des modèles qui devront servir au moulage. Il leur sera facile de suppléer à ce qu’il y a d’incomplet dans ce qui précèJc ; je n'ai point voulu entrer dans tous les détails d’exécution, car j'aurnis dépassé les bornes imposées à un mémoire dans lequel j’avais plus en vue d’exposer la théorie et ses applications à la pratique, que d’entrer dans tous les détails de la pratique.

IV 3

recherches géométriques sur çes engrenages de withe (*).

Le mécanicien Withe, lors du concours pour les prix décennaux, en 1810, soumit à I examen de l’Institut des engrenages cylindriqnes et coniques d’une construction nouvelle, et dit en les présentant qu’ils jouissaient des deux propriétés regardées jusque alors comme incompatibles, savoir : 1* vitesses angulaires dans un rapport constant , et 2° frottement de roulement; et qu’ ainsi : 1* le pignon décrivant des arcs égaux faisait parcourir à la roue dentée des espaces angulaires aussi égaux , et 2' les courbes par lesquelles les dents étaient en contact sc roulaient A la manière de deux cercles tracés sur uri même plan.

Withe u était pas géomètre, aussi ne put-il démontrer rigoureusement l'existence des propriétés qu’il annonçait appartenir à ses engrenages. On voyait bien qu’en effet les vitesses angulaires étaient dans un rapport constant, on sentait bien que le frottement était très-doux, mais cependant le frottement pouvait être de glissemement. Jusqu'à présent la question est restée indécise.

En examinant les procédés pratiques que Withe employait pour la construction de ses engrenages, procédés qu'il a décrits dans une petite brochure que je n’ai pu me procurer qu’à U bibliothèque de l'Ecole royale de l'artillerie cl du génie à Metz , on voit qu’on peut traduire géométriquement tes procédés de mécanique pratique, par uncconstrucliou géométrique qui consiste: l“à faire passer un plan M (/ÿ. 17) par les deux axes parallèles entre eux, savoir : I* de la roue dentée et U du pignon; 2° à tracer dans ce plan une droite R parallèle aux axes, et dont les

{*) O raémnim qui fol présenté R l'Institut de France ( Academie royale Ces sciences ) le 5 décembre <SÏ5, a i: lé public plut lard, dans le Journal de mathématique furet tl appliquât de U. Lwcvuu.

dislances p à P et q à 0 seront dans le rapport inverse des vitesses des axes, puis 3* construire deux triangles abc et a'b'c , le premier coupant la ligne R par son côte ab au point m, et le second ayant son sommet a' placé en ce point m , les deux triangles n’ayant d'ailleurs aucun autre point commun; 4* faire mouvoir le triangle abc autour de l'axe P, tous les points du côté ab décrivant des hélices de même pas, que j'appellerai H , nommant S l’hélice décrite par le point m; - 5* faire mouvoir le triangle a'b'c autour de l'axe Q', le point a' décrivant une hé-

lice s dont le pas sera h , et l’on devra avoir l'équation

c’est-à-dire que

les pas des hélices S et s seront dans le même rapport que les rayons des deux cylindres sur lesquels clics sont tracées. Ainsi les dents sont formées par des filets de vis, et ne se mettent successivement en contact que par les courbes S et *.

Si les axes P et Q se coupent, la droite R passe alors par leur point d’intersection et elle divise l’angle compris entre P et Q en deux, dont les sinus sont dans le rapport inverse des vitesses des axes , et les courbes S et s sont des spirales coniques d'Archimède dont les pas sont aussi dans le rapport direct des rayons des roues coniques sur lesquelles elles sont tracées.

Les dents ainsi construites se conduisent-elles en cflct par un frottement de roulement , et le rapport des vitesses angulaires est-il constant?

Telle est la première question que je me propose de résoudre dans ce mémoire.

Examinons d’abord les engrenages cylindriques.

Par la droite R (flg. 18), je mène un plan M' perpendiculaire au plan M qui contient les axes. Je trace sur ce plan M' une droite g passant par le point m situé sur la droite R. (Au lieu d’une droite, l’on pourrait tracer une courbe arbitraire, mais dans les arts l’on doit préférer la droite parce qu’etle donne sur le cylindre une hélico, courbe que l’on peut tracer facilement par un mouvement continu , ce mouvement continu étant procuré par un mécanisme simple.) Puis j’enroule ce plan M' sur le cylindre dont R est une génératrice, p le rayon de la hase cl P l’axe; la droite g so déformera suivant une hélice S dont le pas II sera l’un des côtés de l’angle droit du triangle mxg, construit dans le plan M' ; la ligne mx étant horizontale cl la droite mg étant une partie de la droite g, et nuétant égale au développement de la circonférence du cercle dont p est le rayon ; H sera dès lors égal à xij. Si ensuite j’enroule le plan M' sur le cylindre dont R est une génératrice, g le rayon de la base et Q l’axe , la droite g se déformera suivant une hélice », dont le pas h sera égal à x'y', le côté mx' étant égal au développement de la circonférence du cercle dont q est le rayon , et l’on aura

l’équation - = -. Gela posé : si je fais rouler le cylindre (q, Q) sur le plan tangent

H', la courbe t se développera sur la droite g. De même si je fais rouler le cylindre (p, P) sur le même plan tangent M', la courbeS se développera sur la même droite g. Ainsi au point m les courbes s et S sont en contact , ayant eo ce point pour tangente commune ladroitejr-Sidonc le cylindre (p, P) prenant un mouvement de rotation autour de son axe P, entraîne par le frottement de roulement le cylindre (q, Q), les deux courbes r et S rouleront l’une sur l’autre et auront une tangente commune, en chacun de leurs points de contact successif, et le point de contact parcourra la droite R.

Maintenant je trace dans le plan M, qui contient les axes P et Q , une droite arbitraire G passant par le point m de contact des deux hélices * et S, puis je décris deux courbes arbitraires 9 et q ayant pour tangente commune au point m la droite G; l’une de ces courbes q étant au-dessus, l’autre q étant au-desaoua de la droite G et toutes deux situées dans le plan M.

Cela posé : j’imprime au plan M un mouvement de rotation autour de l’axe P, de manière que la courbe 9 se meuve le long de la courbe S; on obtiendra par ce moyen u ne f u rfaçe liéjicoidé Si de même je fa is mou voir la courbe 9' le long

de la courbe t, je formerai une seconde surface htïïrcôTdr<pVct ces dfüx surfaces $ et <t>* seront en contact au point m, car elles auront en ce point même plan tangent, déterminé par les droites g et G , et ces deux surfaces n’auront évidemment que ce seul point commun (*). Dans les engrenages de Withe la courbe 9 est une droite, par conséquent la surfaco $ est une surface liélicoïde, telle qu’on l’emploie dans les vis à filet triangulaire ou à fdet carré. La courbe 9' se réduit à’ un point; donc la surface se réduit à une hélice , de sorte que la dent <J> conduira ou sera conduite par ladenl/î>' par un frottement de roulement, les vitesses angulaires étant dans un rapport constant.

Ainsi les engrenages construits par Withe satisfont aux deux conditions regardées jusqu’à présent comme incompatibles. Mais pour que ces deux conditions soient en efl’et remplies à la fois, il faut que les engrenages soient exécutés avec une rare précision. Examinons si I on n obtiendrait pas dans des engrenages construits d’après le même principe, un frottement de glissement provenant d’une exactitude dans le rapport des pat H et h , frottement de glissement qu’il serait impossible cependant de reconnaître et de détruire entièrement. Prenons l’engrenage exécuté par Withe, c’est-à-dire celui où les courbes 9 et 9' sont de» triangles. Chacun des points de la droite ab décrit une hélice dont le pas est H ;

n Voyez S ce »ujui , ci-spfèe , le mémoire a* 6.

mais, d’aprcs ce qui précède; l'hélice décrite par le point m .est la seule qui puîate se rouler avec l'hélice décrite par le point V et dont le par est h, si l'équa-

lion T = - est satisfaite. i .• . ' • , .

• Les -deux hélices S et « ont au point de contact m une tangente commune ; et pour tous les points de l'hélice S , la tangente fait avec l'axe P le mémo angle; il en est de même pour tous les points de l'hélice ». Si les hélices décrites par les points de ab, au lien d'avoir le pas II , avaient un pas H' peu différent de II , alors le point a' lie pourrait se mettre en contact avec le point m. Car alors l’hélice S' 1 décrite par le point m n’aurait pas même tangente que l'hélice * décrite par le point a' (les deux axes P et Q étant supposés dans le même plan ) ; et aussi comme les hélices décrites par les divers points de oh , ont des tangentes qui font avec Paxe P des angles de plus en plus petits, à mesure que les points qui les décrivent serapprochont de cet axe, l'on voit que l'on trouvera en avant ou eu arrière du point m , et sur ab, un point m' tel que l’hélice qu’il décrira fera avec l’axe P le meme angle qqe l’hélice s fait avec l’axe Q.

Alors ces deux héliecs pourront être mises en contact , clics auront une tangente commune, et nécessairement on aura : p'(distancc du point m'à l’axe P)cst à q (distance du point a! à l’axe Q) dans le rapport qui existe entre H' et A; car l’hélice décrite par le point m' pourra être formée en pliant sa tangente au point m 1 sur le cylindre dont le rayon estp'.

Ainsi, en ne considérant que deux dents, si l’une n’est pas construite avec exactitude , ai donc les hélices qui composent la surface hélicoîdc qui doit conduire ou être conduite par l’hélice s décrite par le point a', n’ont pas rigoureusement leur fias égal à II , il sera toujours possible de rapprocher ou d’éloigner les axes P et Q, de manière ce que le point a 7 trouve un point m situé sur ab, lequel décrira une hélice faisant avec Taxe P le même angle que fait l’hélice s avec l’axe Q. Et [’hclicc s décrite par le point a' ne pourra être mise en contact qu’avec l’hélice décrite par oo point m', tant que les axes P et Q , ainsi que la droite R lieu des points de contact successif , seront assujettis à être situés dans un même plan; car toute autre liélice faisant avecl’axo I* un angle plus petit ou plus grand, donnerait un point de contact pouT lequel los tangentes se croiseraient; parconséquent l’hélice s ne serait |«a tangente à la surface hélicoide , au point considéré : elle la pénétrerait en ce point; les dents ne pourraient donc se conduire. Mais aussi

les vitesses des axes P et 0 ne seront plus dans le rapport demandé * , mais dans

le rapport - , p' étant le rayon de l’hélice S” suc laquelle se roule l’hélice s.

Mais un engrenage ne peut être formé par des roues n’ayant chacune qu’une

seule dent. Il faut forcémqut placer .sur ces roues, plusieurs dents et dans des posilions telles que le mouvement de rotation puisse se eontinuer sans être ai roté.

Il faudra donc placer sur le cylindre (y, Q) une suite, d hélices équidistantes , leurs points de départ sur le cercle .C tracé parie point ,a étant aussi équidistants entre eux, et divisant ce cercle C en arcs égaux,; puis faire rouler ca cyjiudrc(y, Q) sur le cylindre (p, P). Toutes les liélieesdu yylindre (y, laisseioulsurlcçyluidce (p,P) pour trace < des hélices aussi équidistantes, mais dont les points de déport sur le cercle Ç' décrit par Je point m ne seront équidistants qu autaulq.ne.le cercle 0, dont le rayon est y, se développera un nombre exact de fois sur le cercle C' dont le rayon est p, o'oct-ù-diro.qu’autant que p et q serunl entre, ftux dans un rapport comiiH-iiiuiui.io , et »•«. -o'..fiiinii doit. être, évidemmctjt, satisfaite pQur;<uio le .mouvement de rotation ne soit pas interrompu.

Mais supposant le pignon terminé pur le cylindre idéal (y, Q) sur lequel se trouvent tracées des, hélices équidistantes j , etc. , . dont les pat sonL tous égaux

à A, et les points de départ de ces hélices divisant eu parties égales le cercle base du cylindre (q, Q), nous ne potivousipas supposer queJa roue soit Jormiuée pfft lecyliudre idéal inJ'i, -parce que les dents doivent avoir, un excès de longueur pour que l’hélice * conduise son homologue $ uqfreuicnJ^quOj.par |y contact, c'est-à-dire ne puisse pas s'échapper, si la résistance devient plus, grande que colla que peut vaincre le frottement de roulement. Le cylindre idéal aura donc pour la roue un rayon p" plus grand quep, et nous appellerons ce cylindre (p", P) (fig. 17).

Puisque nous supposonsque le cylindre (y, Q) se développe ua, nombre exact de fois sur le cylindre (p, P) , et que nous supposons eu même temps que tes surfaces des dents de la roue sont formées par une surface hélicoîde, il s’ensuit que l'on aura sur le cylindre (p”, P) des hélices équidistantes entre elles, et dont les points de départ diviseront le cercle qui lui sert de hase et doul le rayon cslp", aussi en parties égales; et les distances de ces hélices, distances mesurées sur les génératrices du cylindre (j> v , P) , seront toutes égales entre elles et à celles des héljees tracées sur le cylindre (y,Q) du pignon. Dans ce cas, les hélices du pigoon ne pourront se mettre en contact qu’avec celles tracées sur le cylindre (p,. P), supposant le point , de contact dans le plan des deux axes P et 0* ' ■ 1 '

Mais si , par un vice de construction , les hélices composant les surfaces hélicuides qui foruionl les dculs de la roue n'avaient pas leur pn» dans le rapport

5=^, il arriverait nécessairement, ou que les points de départ des hélices

sur le cercle des hases ne seraient point également distants, les distances des hélices dans le sens des génératrices du cylindre n'ayant point varié, ou que ces distances auraient varié, si les points de départ étaient restés les mêmes, c'est-

à-dire divisant le cercle base en arcs égaux. Dans le deuxième cas , les hélices du pignon et de la roue ne pourraient se mettre en contact , car les dents ne pourraient s'enchâsser les unes dans les autres; et dans le premier cas, te mouvement de rotation ne pourrait être continu. Ainsi l'engrenage de Withe ne peut marcher qu’autant que les hélices sont parfaitement exécutées, toutefois, en supposant, ainsi que nous l'avons fait dans tout ce qui précède, que le point de contact sera dans le plan des axes.

Withe est parvenu à vaincre toutes les difficultés que l’exécution présentait, comme on peut s’en assurer en examinant un modèle d’engrenage cylindrique qui existe dans le cabinet de l’École polytechnique. Les hélices sont construite» avoo une rare Drécision 1- ucs s un aces cylindriques de la roue et du

pignon est d'une grande égalité. Mais malgré la perfection de son travail, est-il vrai que ces engrenages, mis en place , jouissent du frottement de roulement?

Nous venons de démontrer que tant que le point de contact des hélices qui se conduisaient était dans le plan des axes, cela avait lieu. Nous avons aussi démontré que la moindre inexactitude dans l'inclinaison voulue des hélices , conduisit à des roues et pignons qui ne pouvaient s’engager, si l’on cherchait à mettre le point de contact dans le plan des axes. Mais le pignon ne peul-il pas avoir son contact hors du plan des axes? Et dans ce cas, les vitesses angulaires seraientelles toujours dans le même rapport, et le frottement ne pourrait-il pas être de glissement? C’est ce que je vais examiner.

Supposons (fig. 47) une surface hélicoïde E engendrée par la droite ab tournant autour de l’axe P, puis une hélice s engendrée par le pointa' tournant autour de l’axe Q; la tangente à l’hélice s fera, je suppose, avec l’axe 0 un angle».

Sur la surface E je prends un point arbitraire m ; par ce point je fais passer un plan tangent T à celle surface. Par le point m passe une hélice S de la surface hélicoïde dont le pas est H. La distance du point m à l’axe P étant p, la tangente

à l'hélice S fait avec l'axe P un angle dont la tangente trigonométrique sera .

Par le point m j’élève une parallèle Y à l’axe P, puis je fais passer par ce même point une droite faisant avec cette parallèle l’angle «. Cette droite engendrera par son mouvement de rotation un cône droit dont l’axe sera Y. Le plan T pourra : 4° ne rencontrer le cône qu’en son sommet ; 2° toucher ce cône suivant une génératrice; 3' couper le cône suivant deux génératrices.

Dans le premier cas, de quelque manière que l’on place les deux axes P et Q en les supposant toujours dans le même plan, l’hélice s ne pourra être tangente au point m à la surface E : elle la pénétrera toujours.

Dans le deuxième cas, les axes P et Q devront être à une distance déterminée

pour que l’hélice s soit tangente à la surface E, et il n’y aura qu’une position de contact.

Dans le troisième cas, il y aura deux positions de contact.

Voyons, d’après ce qui précède , ce qui doit arriver dans les engrenages de Withe.

La surface E d’une dent de la roue est composée d’hélices dont les pas égaux sont avec celui de l'hélice s du pignon dans le rapport ~ p el q étant les

rayons des cercles bases des cvlindres «>!•• cnnt 1 <k hatiooe s et *,

qui se conduisent , et ces cercles se développant un nombre exact de fois l'un sur l’autre, c’est-à-dire que p et q sont commensurables entre eux, et que les hélices Sels ont pour tangentes des lignes qui font avec les axes P et Q des angles égaux.

J'appelle (S la tangente à l’hélice S, et ts la tangente à l’hélice s, m un point quelconque de S, et a' un point quelconque d o », p la distance du point m à l’axe P, et q la distance du point a' à l'axe Q.

Et rappelons-nous que la surface E est engendrée par une droite ( qui ne sera autre que le cété ab du triangle générateur employé par Withe) , laquelle s’appuie sur l’axe P et l’hélice S, et qui se meut en restant parallèle à une surface conique droite dont P serait l’axe, ou bien en restant parallèle au plan perpendiculaire à l'axe P. Désignons par d la position particulière de cette droite lorsqu’elle passe par le point m.

Si nous prenons sur d un point m' dont la distance p' à l'axe P soit plus grande que p, par ce point m passera une hélice S' dont la tangente tS’ fera avec l'axe P un angle #’> «.

Par le point faisons passer une droite Y parallèles P, et dans le plan qui passe par Y et iS’, traçons une droite/ passant par m et qui fasse avec l’axe P un angle a.

Si je fais tourner la droite f autour de l’axe Y, elle engendrera une surface conique droite 1 dont Y sera l'axe et f la génératrice , et il pourra arriver deux cas (en se rappelant que la droite u est comprise dans l’angle formé par les droites Y et tS’, puisque «’> «), ou que ce cône ne rencontre pas le plan T tangent à la surface E en m, plan qui passe par les droites d et <S’, ou qu’il lui soit tangent ; car le plan qui passe par les droites Y et tS’ n'est point perpendiculaire au plan langent T. (Cela n’aurait lieu qu’aulant que la droite d serait perpendiculaire à l’axe P, c'est-à-dire lorsque la surface E sera engendrée par une droite, s’appuyant sur l'axe P et sur l’hélice S, tout en restant parallèle au plan perpendiculaire à l’axe P; et dans ce dernier cas, le cène X ne serait tangent au plan T que lorsque le point m' se confondrait avec le point m.)Si le cène I ne rencontre pas le plan tangent T, lorsque l’on mettra l’hélice s en contact avec l’hélice S', et qu’ainsi

les points a cl m seront seulement supeqiosés , que l'on faste éloigner ou raf>procher les axes P et Q l'un de l’autre en les faisant tourner autour de la droite Y, dans quelque posiliou, enlin, que l’on placo les hélices S' ela l'une par rapport à l'autre, il arrivera toujours que l'hélice « coupera la surface E ; par conséquent les deux roues dentées ne pourront être mises en contact par les points a et m.

Si le cène est tangent au plan tangent à la surface E, l'hélice s pourra être mise en contact avec cette surface E, et sa position sera celle où sa tangente ts se confondra avec l'arête de contact du plan tangent T avec le cône décrit par la droite / tournfliU autour *1** l’atp Y.

■Mais alors les deux hélices s et S' n ayant point les rayons des cylindres sur lesquels elles sont tracées dans le rapport exact cl inverse des vitesses des axes P et CI, elles ne rouleront point augulaireiuenl l’une sur l'autre, mais glisseront angulairemeul l'une sur l'autre. J'ai employé l’expression angulaire , parce que dans les positions qu'occupent les hélices * et S', l'on voit que leurs tangentes ne se confondent point, mais se croisent au point qui leur est commun, celui en lequel les points a' et m' se confondent.

Mais si nous considérons le point m appartenant à l’hélice S , et si nous établissons que les points a' et m se superposent, alors la tangente ts pourra prendre deux positions sur le plan tangent à la surface E, lequel plan passe par les droites <1 cl iS. Car le plan qui passera par la droite iS et sera parallèle à l’axe P, ne sera point perpendiculaire au plan tangent au point tn à la surface E, à moins que la droite d ne soit perpendiculaire à l'axe P; et dans ce dernier cas la tangente ts ne pourra prendre qu'une seule position, et ce sera cello où elle se confond avec la tangente fS. Dans le premier cas les hélices s et S pourront avoir un frottement de loulumcnl direct ou anguluire , et dans le deuxième cas elles auront un frottement de roulement direct seulement. En prenant un point m" sur la droite d et situe entre I axe P cl le point m, et établissant que lu point a se superpose avec ce point m", alors la droite ts pourra toujours prendre deux positions sur le plan tangent à la surface Eau point m". Ainsi l'on doit conclure de tout ce qui précède :

Que si la génératrice d de la surface lu-licoïde E, qui forme la surface des dents, est inclinée par rapport à l'axe P, lors même que les hélices s et S ( qui doivent •e développer l’une sur l'autre en roulant) seraient en conioet, il pourra arriver, ou que leurs tangontes se confondent ou qu'elles se croisent, sans que l’on puisse en être averti par autre chose que par le calcul que l’on fera de la somme des distances p cl q. Si la distance des axes P et Q'dnns la position de contact égale (p-4 - q), les tangentes se confondront; Bi elle'est plus petite , les tangentes se croiseront. Dans le premier cas le frottement sera direct cl de roulement , et dans île deuxième Usera angulaire et do roulement.

Mais comme nous avons vu (pie l'hélice 1 » peu! se mettre en rontaet'dans deux positions différentes ou dans une seule (la droite rf étant toujours inclinée par rapport à l'axe P), avec une héliceS' autre «pie S, il pourra arriver qucla distance des axes I* ot Qsoit > ou< ( p -4- <j), e» que le frottement soit, dès lors , un frottement angulaire et de glissement. Et Ion ne pourra le reconnaître qu'autanl que Ion aura calculé les épaisseurs des roues, de manière que les cercles supérieurs et inférieurs soient dans le même plan , les points a' et m étant en contact, et que le mouvement de rotation soit bien donné par le travail des hélices « et S ; si donc par une pose défectueuse de l'engrenage le mouvement de rotation est donné par le travail des hélices « et S’, les cercles supérieurs et inférieurs ne seront point dans le même plan (la droite d étant toujours inclinée par rapport ù l'axe P). Mais dans le cas où la droite rf sera pcrpcndiculairoà l'axe P, quelque position que l'hélice » prenne; les cercles supérieurs cl inférieurs qui terminent la roue et le pignon seront toujours dans le même plan, et aussi dans ce cas sera-t-on assuré que l' hélice s est en contact avec l'hélice S lorsque la distance des axes Pet Q sera égale à (p -H?).

On doit donc préférer pour les engrenages de Wiihe la génération de la surface hélicoide E par une droite d perpendiculaire ù l’axe P. Mais on voit par tout ce qui précède, que même dans ce cas, on ne pourra afliruier que le frottement est direct cl de roulement , car les moyens mécaniques manquent pour mesurer avec une exactitude mathématique la distance des deux axes P et Q, de sorte que l'on ne pourra jamais être sur que le frottement ne soit pas angttlaire et de glissement. Le glissement sera , il est vrai, très-petit, et do plus sora constant , c'està-dire que les dents glisseront l'une sur l'autre de la même quantité |>our des espaces angulaires parcourus en temps égaux.

On voit d'après ce qui précède que l’on doit reconnaître quatre espèces de frottement, que je désignerai ainsi (*) :

1° [de roulement

de roulement

Frottement direct < cl

et angulaire

et

( de glissement

de glissement.

Les premiers auront lieu lorsque les courbes en contact auront même tangente au point de contact, les seconds lorsque leurs tangentes se croiseront au point commun. Mais , dans les engrenages de Withe , il ne pourra exister que trois de ces quatre frottements :

1" Frottement direct et de roulement, lorsque les hélices qui sont en contact ont même inclinaison , et que le point de contact est dans le plan des axes ;

(*) Voyez, ci-aprtB , le mémoire sur la nature géométrique dei frottement! , etc.

2* Frottement angulaire et de roulement, lorsque les hélices qui sont en contact, ont même inclinaison et que le point de contact n'est pas dans le plan des axes;

3* Enfin , frottement angulaire et de glissement, lorsque les hélices qui sont en contact n'ont pas la mime inclinaison , et que le point de contact n’est pas dans

le plan des axes.

Pour rendre plus clair tout ce que je viens de dire sur la difficulté que l'on éprouve à mettre en place les engrenages do Wilhe , et pour mieux faire comprendre la nature des divers frottements que je viensd’indiquer, je vais construire géométriquement des courbes qui pendant leur mouvement jouiront de l’un ou de l’autre des deux frottements angulaires remarqués dans les engrenages de Withe. Je supposerai que ces courbes sont tracées sur des cylindres droits dont les bases sont des cercles ou des courbes arbitraires; car ce que nous dirons dans le cas des cercles sera vrai pour le cas des courbes arbitraires.

Fig. 19. Supposons deux cercles de rayons inégaux tracés dans un même plan. Le centre du premier étant le point P, son rayon étant égal àp; le centre du deuxième étant le point Q, et son rayon égal itq. Ces deux cercles se couperont aux points m et n, et supposons deux cylindres verticaux ayant ces cercles horizontaux pour bases.

Nous nommerons P' l’axe du premier, Q' l’axe du deuxième , et M et N les génératrices d’intersection , lesquelles passeront respectivement par les points m et n. Supposons par M un plan dans lequel nous tracerons une droite d ou une courbe f (nous emploierons dans les arts la droite d); puis enroulons ce plan, soit sur le cylindre P', soit sur le cylindre Q'. La droite d laissera pour trace sur le premier cylindre une hélice G, et sur le deuxième cylindre une hélice g, qui se croiseront au point m situé sur la génératrice d’intersection M; la droite d passant par ce point m, les droites m'T'et mi tangentes au point m’et respectivement à l’hélice G et à l’hélice g, se projetteront suivant les droites mT et ml tangentes respectives en m aux cercles décrits des rayons p et q.

Si le cylindre P 1 tourne autour de son axe, l’hélice G conduira l’hélice g et le frottement sera angulaire et de roulement, car les points homologues de ces deux hélices se conduiront angulairement les uns par rapport aux autres de la même manière qu’ils se conduiraient directement si le cylindre Q', prenant un mouvement de rotation autour do la génératrice M , venait se mettre en contact avec le cylindre P' suivant cette même ligne M, auquel cas les deux hélices G et g auraient une tangente commune et rouleraient directement l’une sur l’autre.

Si donc par les deux tangentes m' T' et m'i je fais passer un plan , il coupera les deux axes P' et Q', le premier au point o, le deuxième au point o. Je joins les points o et m', o' et m' par des droites , puis dans le plan passant par m et P' je

trace une courbe L tangente en m' à la droite om ' , et dans le plan passant par m et Q' une courbe L' tangente en m à la droite oV.

Je fais mouvoir la courbe L le long de l'hélice G , de manière qu’elle soit toujours dans un plan passant par Taxe P', et que la droite o'm, dans ses diverses positions, reste parallèle à une surface conique droite engendrée par o'm' tournant autour de l'axe P', le point o' étant le sommet du cône.

Je fais mouvoir de la même manière la courbe L' autour de l'axe 0 ' et le long de I hélice g\ j'aurai alors formé deux surfaces hélicoïdales E et e qui seront pendant le mouvement de rotation toujours tangentes l'une à l’autre, et le point de contact se mouvra sur la droite M.

Les deux cercles décrits des rayons p et q se coupent , par conséquent le rayon pétant > q, l’arc mbn appartenant au cercle (q) et qui tourne sa concavité vers l'arc mb'n appartenant au cercle (j>) sera plus grand que lui. Par conséquent l'hélice g aura un point dont la projection sera en n et qui se trouvera au-dessus de celui de l'hélice G qui a le même point n pour projection horizontale; il faudra donc que l'hélice g conduise en dessous l'hélice G ou soit conduite en dessus par elle. Ainsi la courbe L' sera au-dessous de la courbe L par rapport au plap tangent commun aux deux surfaces Ect «(plan tangent qui n’est autre que cefui qui passe par les deux tangentes m'T' et m't'), et ces deux surfaces e et E se conduiront par un frottement angulaire et de roulement.

Dans le cas des engrenages de Withe, la surface e se réduit à l'hélice g et la courbe L' se réduit à un point de cette hélice, et la courbe L n’est autre que la droite om'.

Mais si au lieu de tracer sur le plan passant par lu génératrice M une seule courbe 9 ou une droite d, nous traçons deux courbes 9 et 9' ou deux droites d cl <f passant par le point m' situé sur la droite M (et ce que nous dirons pour les droites d et d' sera vrai pour le cas où l’on aurait les courbes 9 et 9'); en roulant ce plan sur le cylindre P", la droite d laissera pour trace sur ce cylindre une hélice G , et la droite d 1 laissera pour trace ou empreinte sur le cylindre Q' une hélice g'. Ces deux hélices G et g' auront des tangentes qui se croiseront en m, mais si je fais tourner le cylindre Q' autour de la droite M pour venir se mettre en contact avec le cylindre P', suivant cette même génératrice M , alors les deux hélices G et g' auront bien pour plan langent commun le plan vertical passant par la génératrice M et les tangentes aux hélices G et g' ; mais ces tangentes ne se confondront plus en une seule, clics se croiseront. Les deux hélices G et g? dans cette position ne pourront plus se rouler ; et pour qu’elles conservent un point commun le long de la génératrice M pendant le mouvement de rotation, elles devront glisser l une sur l'autre, de sorte que, quoique dans leur position pri-

mitive angulaire , je puisse leur mener un plan langent commun par leurs tangentes ni T' et m'i' (tangentes qui ne sont autres que les droites tf et d ), plan qui coupera les iluux axes I 1 ' cl Q', et me permettra de construire deux hélicoïdes E et e tangents l’un à l’autre au point m , le frottement entre les deux courbes ti et g' sera nécessairement angulaire et de glissement, et non de roulement.

Nous n’avons encore dans In construction de ces engrenages à frottement angulaire considéré que deux filets ou deux dents en contact. Mais pour que le mouvement de rotation puisse être continu, il faudra disposer sur chaque roue une série de filets équidistants.

Dans le cas où les rayons p et q seront conimensurables entre eux et seront dans le rapport inverse des vitesses des axes, on voit que les hélices tracées sur les cylindres P' et <J' ont des pat qui sont dans le rapport des rayons des cerclesbases de

ces cylindres, c’est-à-dire que l’on a T

Ainsi la construction sera absolument

la même dans le cas du roulement angulaire cl dans celui du roulement direct.

Mais lorsque p cl q sont incommensurables entre eux ou ne sont pas dans le rapport inverse des vitesses des axes, si les hélices do l’hciicoïdc E ayant pour pas II, l'hélice tracée sur le cylindre Q' avait pour pas h, de sorte que l'équation ^ subsiste, on ne pourrait avoir sur ce cylindre des hélices *, s', s", etc.,

équidistantes entre elles sur la génératrice M et de la mémequaniite que les hélices des surfaces E, E', E", etc., le sont sur celte même génératrice , et de plus divisant par leurs points de départ le cercle base du cylindre Q' en parties égales. Alors il faudra incliner ces hélices, en les fuisant pivoter autour de leurs points situés sur la génératrice M , jusqu'à oc que l'on obtienne un pat lt‘ tel que les poiuts de départ sur le cercle base du cylindre Q' soient équidistants. Dans ce cas on voit que les hélices s et S no seront plus également inclinées par rapport à leurs axes respectifs P’ et Q‘, et que l’on aura un frottement angulaire ou de glissement.

Il faut encore remarquer que si l’on avait pour bases des cylindres, des courbes autres que des cercles, (ig. 20, il faudra que, pendant le mouvcniont de rotation, les petits arcs de la courbe y interceptés par la courbe y‘ soient toujours plus (H)(iW ou plus grands que ceux que cette courbe y interceptait sur y', parce que l’on a vu qu’il fallait, pour que les hélices pussent se conduire, quelle* n’eussent pas de point commun sur la deuxième génératrice d'intersection désignée par N, mais seulement sur la première, que nous avons désignée par M.

Nous avons démontré que les engrenages de Wilbe, tels que ce mécanicien !«■* a construits, on supposant que i’héiicoîdc E est engendré par une droite, etqoe la surface e se réduit à un liéttcc , pouvaient être nés en contact de inù* manières

différentes , de sorte que Ton pouvait avoir trois espèces de frottement ; mais cela ne tient-il pas à la nature des surfaces E et e que Wiihe a choisies, et si l'on employait îles surfaces E cl e dont les courbes génératrices L et L* seraient autres qu’une droite et un point , ces trois positions de contact seraient-elles possibles? Ainsi l'engrenage étant construit avec précision , pour une position de contact, lorsqu’on le mettra en place, ne sera-t-il pas forcé de prendre la position voulue, sans pouvoir en prendre une autre, comme cela arrive à ceux construits par Withc, quelque précision d'ailleurs qu'on apporte à leur exécution?

Je suppose que le point m situé sur la courbe I, décrive une hélice dont le pat est II , et que la distance de ce point m à l'axe P soit p; qne sur la courbe L’ j’aie un point a qni décrive une hélice dont le pas est h, que la distance de ce point a

à l’axe Q soit q, et que l'on ait ïr = ^ ; dès lors, les deux hélices rouleront l'une

sur l'autre, et le plan tangent à la surface E au point m, fera avec la verticale passant par ce point m le même angle que le plan langent à la surface e au point a, fait avec la verticale passant par le point a. J'appelle cet angle 3-

Supposons maintenant un point m! situé sur la courbe L entre l’axe P c '.o point m ou au delà du point m , par rapport à l'axe P ; le plan tangent A la surface E pour ce point m, fera avec la verticale passant par ce point m' un angle 6. Sur la courbe L' je prends un point a' placé d'une manière quelconque par rapport à l’axe Q cl le point o; je mène le plan tangent à la surface e en ce pointa’ : ce plan fera avec la verticale un angle S’.

Si les angles 6 cl 6’ sont égaux , je pourrai mettre les deux surfaces E et e en contact par les points m’ et a', alors les hélices décrites par ces points m' et a se croiseront et l'on aura un frottement angulaire de glissement.

On voit donc qu'il faut que tous les plans tangents à la surface E fassent avec l'axe P des angles plus grands ou plus petits que l'angle 3, et que tous les plans tangents à la surface e fassent avec l'axe Q des angles plus petits ou plus grand* que ccl angle 3, les plans tangents aux surfaces E et e aux points m et a étant les seuls qui fussent avec les axes P et 0 un angle égal à J; et alors les denx surfaces E et e ne pourront être mises en contact que par les seuls points m et a; mais aussi, en satisfaisant à cette condition, l'exécution des surfaces E et e deviendrait plus difficile dans la pratique.

Tout ce que j'ai dit sur les engrenages cylindriques est applicable aux engrenages coniques. Car si l'on mène un plan tangent aux deux surfaces coniques sur lesquelles sont tracées les spirales, ce pian pissant par leur arête de contact, on voit que les deux couAcs se développeront sur c« plan langent suivant une même spirale d’Archimède, ayant le sommet commun aux deux cènes pour pôle(si toutes

fois les pas H et h des spirales coniques sujit dans le rapport des rayons des cercles bases des cônes) ainsi ces cercles auront pour pôle commun le sommet des cônes, et pour rayon vecteur l’apothème commune.

Ainsi les engrenages coniques de AVithc jouissent des mêmes propriétés et des mêmes inconvénients dont nous avons parlé en examinant les engrenages cylindriques.

Dans ce qui précède, j’ai discuté les propriétés qui appartenaient aux engrenages exécutes par Withe; j’ai fait remarquer les inconvénients qui résultaient de la forme que ce mécanicien avait donnée aux dents ; enfin j'ai indiqué les conditions géométriques auxquelles devraient satisfaire les surfaces des dents afin que ces inconvénients n’eussent pas lieu, c'est-à-dire pour qu'on fût toujours assuré que le point de contact était dans le plan des axes, lorsque les roues étaient en place. Mais en même temps j'ai fait sentir que l'exécution mécanique des surfaces hélicoldes des dents serait sans doute beaucoup plus difficile.

Au lieu donc de surfaces hélicoïdes, je pense que l’on démit employer des surfaces coniques ayant pour courbes directrices les hélices équidistantes tracées sur l'un des deux cylindres ou sur l’un des deux cônes idéaux que nous avons désignés précédemment par (p,P) ou (q,Q) , toutes ces surfaces coniques ayant pour sommet commun un point de l’axe de la roue dentée.

Je vais donner la construction de ces surfaces coniques, et les avantages qui résulteraient de leur emploi par là même deviendront évidents. J'examinerai seulement le cas des engrenages cylindriques , tout ce que j’aurai dit pour eux s’appliquant aux engrenages coniques.

Ayant deux cylindres, dont les axes sont parallèles et mis en contact suivant une génératrice G ; appelant P l’axe du premier et Q celui du deuxième ; nommant p lo rayon du cercle base du premier et q celui du deuxième, et supposant que p et q sont commensurables entre eux , on a vu que si l'on traçait sur le.premier une hélice q dont la tangente faisait avec l’axe P un angle a, cl sur le deuxième une hélice (dont la tangente faisait avec l'axe Q le même angle a, ces deux hélices étant en contact suivant un point m situé sur la génératrice G; on a vu, dis-je, que ccs deux hélices roulaient directement l'une sur l'autre pendant le mouvement de rotation des deux cylindres. Supposons que j’éloigne l’axe Q et qu’il prenne la position Q', en le faisant mouvoir parallèlement à lui-même dans le plan des axes ; le point m glissant sur une droite mo perpendiculaire à l’axe P, (ce point o étant sur cet axe), dès lors le point m prendra une position m* sur la droite mo, et par ce point m' passera une droite m'G' arête du cylindre (q, Q'). Cette arête, en tournant autour de Taxe P, engendrera une surface cylindrique ayant om’ = p' pour rayon du cercle qui lui servira de hase; cl si l’on imprime un

mouvement de rotation à ce nouveau système , l'hélice ç aura pour homologue sur le cylindre (p',P) une helice g dont Ih tangente fera avec l’axe P un angle *. En faisant passer successivement le point m par les divers points de la droite mo, et à chaque position nouvelle faisant les constructions précédentes , on voit que par les divers points m, m, m", m etc. de la ligne mo passeront des hélices g , g', g", g'", etc., dont les tangentes feront toutes avec l’axe P le même angle*, ces hélices étant tracées sur des cylindres concentriques , dont les cercles bases auront respectivement pour rayons les distances des points m, m', m", m", etc. au point o situé sur l’axe P, distances que je désignerai par p, p, p", p"\ etc. et p',p"> p"', etc. , étant les unes > et les autres < que p.

La surface formée par les hélices g , g, g", <j'" étant désignée par E , on voit que suivant la droite mo, qui sera une génératrice de cette surface , il existera un plan langent unique qui passera par les tangentes aux courbes ç, g', g", g", etc., et menées respectivement aux points m, m', m ", m'", etc. de ces hélices. Maintenant démontrons que celte surface E est un cène dont le sommet est au point o.

Pour cela (fig. 21), supposons trois cercles concentriques (o,p"), ( o,p ), (o,p')- Désignant par o leur centre commun et parp '<p<p’ leurs rayons , coupons ces trois cercles par une droite ob passant parle centre. Lespointsd’intcrsection étant m" , m, m', supposons que ces trois cercles sont les bases de trois cylindres verticaux, et par chaque génératrice passant respectivement par les points m", m, m', menons à ces cylindres des plans tangents M ", M, M'. Dans chacuu de ces plans traçons des droites parallèles entre elles et passant par les trois points situés sur les cercles de base, ces trois droites faisant avec l’axe commun aux cylindres le même angle a; désignons ces droites par m"d, md, m’d. Les trois plans tangents couperont le plan horizontal sur lequel sont tracés les trois cercles suivant des tangentes A ces cercles et que nous désignerons par m"t, mt, m't.

Par le point o menons une droite oc coupant les trois langeutes aux points n", n , n' ; élevant par ces trois points des verticales qui seront respectivement situées dans les trois plans tangents, elles couperont les droites m"d, md, m'd, en trois points g", g, g', qui seront sur une droite oG passant par le point o.

Si maintenant j’enroule les trois droites m"d,md, md, sur leurs cylindres respectifs , j’aurai trois hélices g", g, g, faisant avec l’axe un angle constant «, et chacun des points g", g, g se placera sur les hélices correspondantes en des points h", h, h', qui seront évidemment sur une droite oïl passant |>ar le point o. Ainsi toutes les hélices g", g, g seront sur un cône dont le sommet sera au point 0 .

Nous avons jusqu’ici supposé qu’il n’existait sur le pignon (q,Q) qu’une seule hélice Ç. Supposons qu’il existe ê hélices équidistantes entre elles [la distance entre deux hélices étant mesurée sur une génératrice du cylindre (tyQJl, ces be-

liées t, ç‘, Ç", n. été. divisèrent le cercle ljnse du pignon en 3 . 1 res égaux. Si je fais thôuvoir cé CJlihrtre sur celui dont loiiyonégale/ict dont l’axe est P, alors comme le cylindre (ij.O) sC dé*eldppera exactement sur le cylindre (p, P), on obtiendra . s'j liélices sur ce cylindre, et toutes équidistantes entre elles cl de la môme quantité qui existe pour deux hélices consecutives 5, Ç', tracéessurIccylindre(q,0).

Nommons 5, 9', h",... etc. les liélices obtenues sur le cylindre Q>,P), nous pourrons les regarder comme les directrices d’une série de cènes ayant tous pour sommet commun le point o.

» Nous pourrons couper ces cènes par deux cylindres (p',P) et (p",P), le rayon p' étant < que p et le rayon p">p, et les zones coniques interceptées formeront les surfaces des dents de la roue ayant pour axe P. Et comme les liélices intersections de la série des cènes et du cylindre (p",P) seront équidistantes, mais d’une quantité plus grande que celle qui existe entre deux hélices consécutives ç, du pignon ; et que celles qui seront l’intersection do la série des mêmes cènes cl du cylindre (p',P), le seront d’une quantité plus petite; il est évident que le cylindre (</,Q)du pignon ne pourra sc mettre en contact qu’avec le cylindre (p,P)dc la rou% ie mouvement de rotation ne pouvant être continu qu’aulant que les liélices (, ç', etc. conduiront respectivement les hélices 0, 0', etc. j et comme les contacts des diverses dents seront situés sur une génératrice du cylindre (p, P), et que par ces points passeront respectivement des génératrices des divers cènes formant la surface des dents en contact, ces génératrices feront avec Taxe P des angles differents, puisqu’elles partent toutes du meme point o. Les plans tangents aux points de contact feront donc des angles différents avec l’axe P; par conséquent le pignon ne pourra pas tourner autour de la ligne qui contient les points successifs de contact, pour prendre une autre position que celle que la couslruclion a déterminée.

On appliquerait facilement les mêmes raisonnements cl les mêmes constructions à l'engrenage conique (*).

Dans ce paragraphe, je me propose d’exposer en peu de mots toute la théorie

('fiai pubié co mémoire sans y rien changer, ni modifier; il est conforma au taxe du manuscrit pré- •enté à l'Institut , sauf les corrections de style qui arrivent toujours lors du l'impression. J'ai pensé que je devais Imprimer ce mémoire textuellement pour que l'on pût s'assurer qu’en effet la question so trouvait fé^oloo des 1BÎ5 , et qu’uinsl Wiihe a voit raton. Je crois devoir «Jouter qiio la démonstration expoaéo dans ce mémoire , avail été trouvée dès 4 $4 8, lorsqu# j'étais vlevo sous-lieulananl d'artillerie 6 i'Écote d’application de MuU, olque je oui (ail que transcrire ce que j’uvai» écrit, à celte époque, sur les engrenages do Willic.

géométrique des engrenages de ^ itlio, et de démontrer d’une manière Ircs-simplè, qu’en efTet, on peut construire des engrenages à la Withc qui jouissent à volonté des trois espèces do frottement, savoir : flottement de roulement, t* direct ou 2* angulaire, fl 3* frottement de glissement angulaire; pouvant d'aillem s rendre aussi considérable qive l'on voudra, ou aussi petit qne l'on voudra , le glissement d’une dent sur l'autre, pendant le temps que ces deux dents emploient à se conduire*

Supposons deux axes parallèles P et 0 distants l'un de l’autre d’une quantité*, cl supposons que dans le plan de ces axes on ail une droite R parallèle * l’une et l’autre droite P et O et telle que la distance/) de la droite R à l a ve P soit à la distança </ de la même droite R à l’axe Q dans le rapport inverse des vitesses des axes P etQ.

Ainsi V étant la vitesse de Taxe P cl » celle de l’axe 0 , on aurh ;

La droite R, en tournant autour de l’axe P, engendrera un cylindre (p,P,)elcn tournant autour de t axe <J elle engendrera un cylindre

Coupons ces deux cylindres par deux plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la droite R , cl désignons par s la distance entre ces deux plans.

Le premier plan coupera le cylindre (p,P) suivant un cercle C, et le second plan coupera suivant un cercle C’.

Le premier plan coupera le cylindre (q,Q) suivant un cercle c, et le second plan coupera suivant un cercle c .

Supposons ccs quatre cercles liés deux à deux respectivement aux axes P et Q , on voit que lorsque l’axe P tournera sur lui-même avec la vitesse V, les cercles C et C’ entraîneront respectivement les cercles c cl c cl forceront l’axo Q à se mouvoir avec la vitesse v; les cercles homologues C etc, C'etc roulant l'un sur l’autre.

Si l'on mène suivant la droite R un plan langent commun aux deux cylindres (p,P) et (q,(J), et que dans ce plan on mène une droito D, en pliant ce plan sur le cylindre (p, P), la droite D se déformera suivant une hélice S, cl , en pliant le niètiic plan sur le cylindre , la droite D se déformera suivant une hélice t.

Lt si nous désignons par a l’angle sous lequel la droite D coupe la droite R, ou aura, en désignant par U lu pas de l'hélice S cl par h le pas (le I hélice s :

(2ll .p) cot« = H cl ( 2ii. q )col«= h

On aura donc :

Ainsi les pas des hélices S et * seront dans le rapport inverse des vitesses des «es , ainsi que le sont les rayons des cercles homologues C et c.

Cela posé :

Il est évident que la portion de l’hélice S , ainsi que celle de l'hélice *, comprises entre les deux plans distants entre eux de la quantité s seront égales entre elles, et dès lors pendant le mouvement de rotation, ces deux portions d’hélices rouleront l’une sur l’autre, ayant en chacun de leurs points de contact une tangente commune; et le point de contact décrira la droite R. On aura donc le frottement de roulement direct (1" cas).

• Si maintenant on fait tourner le cylindre (q,Q) autour de la droite R , sans rien changer à ce qui a été construit précédemment ( sinon que la distance des deux axes P et Q sera plus petite que k ) , les deux hélices S et * sc croiseront en un point situé sur la droite R , et pendant le mouvement de rotation , elles se développeront l’une sur l’autre, mais le frottement de roulement sera angulaire, puisque pour chaque point de contact angulaire , leurs tangentes se croisent au lieu de se superposer. On aura donc le frottement de roulement angulaire (2* cas).

Mais si l’on prend deux cylindres ayant pour axe l’un P et l’autre Q, ces deux cylindres se coupant suivant deux droites M et N, et si l’on mène deux plans perpendiculaires à la droite M et distants entre eux d’une quantité s; en sorte que le cylindre ayant P pour axe soit coupé par le premier plan, suivant un cer- . de C, du rayon p t , et par le second plan suivant un cercle C’, du même rayon p, ; et que le cylindre ayant Q pour axe soit coupé par le premier plan suivant un cercle c, du rayon q, et par le second plan suivant un cercle c', du même rayon q,.

Si les axes P et Q se meuvent avec les vitesses V et t>, les cercles homologues C, et c,, C', et c', ne rouleront angulairement l’un sur l’autre qu autant que l’on aura :

Mais si celte équation ne subsiste pas, alors les cercles homologues glisseront angulairement l’un sur l’autre.

Supposons donc que l’équation (1) n’a pas lieu, et menons |>ar la droite M un plan et dans ce plan une droite D coupant la droite M sous I angle a. Enroulons ce plan sur le cylindre (p., P) ; la droite D se déformera suivant une hélice S., et en enroulant le même plan sur le cylindre (^f„Q) , la droite D se déformera suivant une hélice .

El désignant par H, le pas de l’hélice S, et par h, celui de l’hélice*,, on aura :

on aura donc :

(2n.p,)cot« = H, et {2(1 f,) cot s=A,

Mais comme l’équation (1) n’est pas satisfaite , les pas des hélices S, et », ne seront pas dans le rapport ipverse des vitesses des aies ; si donc l’on veut que les deux axes P et Q ne changent pas de vitesses , il faudra nécessairement, en supposant que l'hélice S, coupe la droite M sous l'angle «, supposer que l’on a une hélice »’, autre que s, qui soit chargée de conduire l'hélice S,. .

En désignant par h', le pas de cette hélice particulière *,’, on devra avoir :

Désignant donc par «' l’angle sous lequel l’hélice *,’ doit couper la droite M , on

aura : .......

(an . p,)cot «= H, et (2u . y,) col »' = *'.

et en vertu de ce que l’équation (2) doit être satisfaite, on aura :

P.- cota v 9,. cota’ Y

Ainsi , cette équation (3) servira à déterminer l'inclinaison a' de l’hélice *,' nécessaire pour que cette héliee », conduise angulaircmcnt l’hélice S, et de telle

manière que les vitesses des axes soient toujours dans le rapport constant

Mais la position de l’hélice S, comprise entre les deux plans distants de la quantité s, ne sera pas égale en longueur à la portion de l’hélice comprise entre ces deux mêmes plans; et la différence qui existera entre la longueur rectifiée L de la portion de l’hélice S, et la longueur rectifiée ( de la portion de l’hélice *,', sera aussi grande ou aussi petite que l’on voudra; pour cela il suffira de faire varier convenablement les rayons p, et q,.

Ainsi plus ^ différera de ^ , plus la différence (L — f) sera grande; plus au

contraire p -' approchera d’être égal à ^ , plus la différence ( L — /') sera petite.

On aura donc, dans ce cas, un frottement de glissement angulaire qui pourra devenir aussi petit que possible ( 3* cas ) .

Et remarquons que pfns approche de - , plus l'angle a approche d’être égal à l’angle «.

D’après ce qui précède, on voit: 1* que dans les deux premiers cas, Lts rayons p cl q doivent être commensurakles entre eux pour que le mouvement de rotation puisse être continu , car il faut que le cercle c se développe un nombre exact de fois sur le cercle C, pour que l’hélice t puisse venir reprendre l'hélice S ; et 2" que , dans le troisième cas , les rayons p, et </, n’ont pas besoin d'être commensurables entre eux ; ainsi il suffira dans les trois cas de diviser les cercles homolbgues C et c ou C, et c, en un nombre d’arcs égaux entre eux et tels que si

on en place m sur C ou C, et n sur c ou c,, on aura : — = Dès lors , si par les

points de division des cercles C ou C, , on fait passer des hélices telles que S ou S lt et si par les points de division des cercles c ou c, , on fait aussi passer des hélices telles que s ou , le mouvement de rotation so continuera sans interruption.

CONSTRUCTION cêouCtrique d’un engrenage

DANS Liocn

Jjes axes des deux 'rouet dentées ne sont pas situés dans un même pian et comprennent entre eux un angle plus petit que C angle droit , les vitesses étant dans ta rapport constant et le frottement étant de roulement angulaire ( ¥ ).

Étant donnés deux axes P et Q qui ne se rencontrent point et qui sont dirigés d’une manière arbitraire dans l'espace , comprenant par conséquent entre eu* un angle quelconque *, on demande s'il est possible ( d’après les principe* géométriques sur lesquels repose la construction des engrenages cylindrique* et coniques de Withe) , de construire deux roues dentées sc conduisant par un frottement de roulement, et les vitesses angulaires de ces axes étant dans un rapport constant.

Jusqu’à présent l’on a cru qu’il n’était pas possible de transmettre le mouvement d’un axe à un autre dans Le cas où ces axes n’étaient point dans un même

*) Ce mémoire , qui fut présenté à l'Institut de Fronce ( Académie royalo dos sciences ), on décembre n été publié dans le Journal des mathématiques pures et appliquées de M. IjMvlW.

plan, par un engrenage formé du deux roues seulement, excepté lorsque les axes étaient à angle droit , et alors on avait le système connu sous le nom d'engrenage ê ri* mus fi n. Mais lorsque l'angle compris entre les deux axes était plus petit ou plus grand qu'uu droit, l’on avait recours à une troisième roue doublement dentée, dite supplémentaire, dont l'axe coupait les deux axes donnés, et le mouvement se transmettait par le système de deux engrenages coniques, la roue intermediaire étant formée de deux roues dentées coniques juxtaposées par leur grande basa (*).

Supposons que le plan vertical de projection soit- parallèle aux deux axes donnés et que le plan horizontal de projection soit perpendiculaire à l’un des axes 1’, par exemple , l’autre étant désigné par Q (fig. 2*2). Dés lors l’axe P aura pour projection verticale la ligne oV perpendiculaire à la ligne de terre LT, et pour projection horizontale le point o. ( Nous supposons que l'axe P est situé dans le plan vertical de projection.) L’axe Q aura pour projection verticale la droite oll luisant avec cV un angle a arbitraire, et pour projection horizontale la droite nll' parallèle à la ligne de terre ; de sorte que la ligne on perpendiculaire à la ligne do terre sera la projection horizontale de la plus courte distance entre les deux axes P et Q , et le point o sera la projection verticale de celte plus courte distance.

Les vitesses de rotation des deux axes sont données. Désignant par V la vitesse

de l’axe P et par v celle de l'axe Q , — sera le rapport des vitesses des axes du système.

Si sur la ligne on je prends un point p tel que l’on ait op'.pn v : V, c’est-àdire tel que ses distances aux deux axes donnes P cl Q soient dans le rappor 1 inverse des vitesses de ces axes, je pourrai regarder le point n comme le centre d'un cercle dont le rayon serait égal à np et dont le plan serait perpendiculaire à l'axe Q. J’appelle ce cercle c.

Je pourrai aussi regarder le point o comme le centre d’un cercle dont le rayon serait égal à op et dont le phm serait perpendiculaire à l’axe P.J*appelle ce cercle C.

Les plans de ces deux cercles se coupent suivant la droite on située sur le plan horizontal , et ces deux cercles ne se coupent que suivant le seul point p ; si Ton fait mouvoir les deux axes P et Q et que par leur mouvement de rotation ils entraînent avec eux les deux cercles c et C , ces deux cercles rouleront l’un sur l’autre, c’est-à-dire qu’un point de l'un d'eux ne se mettra jamais en contact qu’avec un seul point de l’autre cercle. Mais comme au point commun les tan-

(•) Voyez le chapitre U de la Théorie géométrique iee engrenages , etc., quo j’ai publiée en 1 842 chez M. Bachelier, libruirc-éJitçur.

gentes à ce» cercles font entre elles un angle , nous avons désigné ce genre de roulement par les mots roulement angulaire.

Ainsi le frottement qui existera entre les deux cercles c et C ne sera point un frottement de glissement, mais bien de roulement, et qui , dans ce cas, vu la position qu'affectent les deux courbes l'une par rapport à l’autre, n'est point de même nature que lorsque les tangentes au point commun se confondent. Dans ce dernier cas, les courbes ont un contact, et depuis longtemps le frottement de cette espèce est connu et désigné ainsi : frottement de roulement direct.

Mais dans le cas que nous examinons les deux cercles se coupent et nous adopterons la dénomination de frottement de roulement angulaire.

Si maintenant on construit une ligne D passant parle point dont les projections sont p et o, et telle que les distances de chacun de ses points aux deux axes P et Q soient dans un rapport constant et inverse do celui des vitesses des axes, cette ligne D engendrera par son mouvement de rotation autour de l'axe P une surface de révolution P, et par son mouvement de rotation autour de l'axe Q une deuxième surface de révolution Q, , qui se couperont suivant la ligne D et une courbe d. Chacun des points de la ligne D décrira, soit autour de P, soit autour de Q, des cercles qui se couperont deux à deux de la même manière que les cercles c et C; de sorte que si sur la surface P, je trace une courbe arbitraire J et que je fasse mouvoir cette surface P, autour de son axe P, elle entraînera la surface Q, sur laquelle la courbe £ laissera pour empreinte une courbe Ç, et ces deux courbes seront évidemment telles qu'un point de l'une d’elles ne se mettra jamais en contact qu'avec un seul point de l’autre.

Ainsi les deux courbes (et £' auront un frottement de roulement, et comme il est évident que leurs tangentes au point commun font un angle entre elles (comme on peut s’en assurer en construisant ces tangentes par la méthode de Roberval ), ce frottement sera angulaire.

Si maintenant, pour une position de rencontre des courbes £ cl Ç’, je fais passer un plan T par les deux tangentes à ces courbes , ce plan sera tangent à ces deux courbes ; et si dans ce plan je mène une droite quelconque R passant par le point commun aux deux courbes, et par celle droite un plan N perpendiculaire au plan T, et qu’ensuite dans le plan N je construise deux courbes y et / ayant pour tangente commune la droite R, l’une de ces courbes étant en dessus, l’autre en dessous de la droite R , ou en d’autres termes, deux courbes se tournant leur convexité, et que je fasse mouvoir le plan N de manière qu'il soit toujours perpendiculaire aux différents plans T', T", T'", etc. passant par les tangentes qui se croisent aux points successifs de rencontre des courbes £ et £', et que la droite R soit toujours l’intersection du plan N avec ces différents plans tangents aux deux courbes £ et £*,

les courbes y et y auront formé (leux surfaces I et l ' qui seront tangentes l’une à l'autre dans toutes les positions qu'elles prendront par le mouvement de rotation des axes P et Q ; ces deux filets ou dents 2 et 2' se conduiront par un frottement

de roulement annulaire , et le rapport des vitesses des deux roues dentées sera con-

stant et égal à celui des axes, c’est-à-dire à — .

Cherchons maintenant quelle est la nature de la ligne D. Je dis que ccttc ligne sera une droite dont la projection horizontale sera pg parallèle à la ligne de terre, et dont la projection verticale sera oG partageant l'angle a en deux , dont les sinus seront dans le rapport inverse des vitesses des axes P et Q.

En effet , il faut qu'un point de l'espace dont les projections sont m sur le plan vertical et m’ sur le plan horizontal , soit tel que scs distances aux deux axes P et Q se trouvent être dans le rapport inverse des vitesses de ces axes. Si par ce point je mène les droites mh et mq respectivement perpendiculaires aux projections verticales des axes Pet Q, elles seront les projections verticales des distances du point de l'espace aux deux axes. La distance du point (ni, m) à l'axe P sera donc en véritable grandeur la ligne om', hypoténuse d’un triangle rectangle dont l'un des eûtes est m'o'=op, et l’autre la ligne mit'. La distance du poinl(>n, m'j à l’axe Q sera donc en véritable grandeur la ligne mV, hypoténuse d'un triangle dont l'un des côtés est mV=pn, et l'autre la ligne n'r=mr=mq. Or il faut que l’on ait :

om' : mV mV ; mi n' :: op : pu v : \ .

Par conséquent n'r’= mq doit être à o'o — mh dans le même rapport ti : V. Ainsi les deux lignes menées du point m perpendiculairement aux projections verticales des axes P et Q seront dans le rapport inverse des vitesses de ces axes ; par conséquent, tous les points de la droite (oG, pg) satisferont à cette condition. Ainsi la ligne D est une droite dont les projections sont oG et pg , la projection verticale oG partageant l’angle a en deux angles S et 6' tels que leurs sinus sont dans le rapport inverse des vitesses des axes P et Q ; la projection horizontale pg étant parallèle à la ligne de terre.

Ainsi les deux surface» P, et Q, sont deux hyperboloïdes à une nappe et de révolution se coupant suivant une génératrice sur laquelle se mouvra le point de contact des deux dents 2 et 2'.

Ces deux hyperboloïdes se couperont encore suivant une courbe du troisième degré; mais on ne doit y faire aucune attention, puisque l’on peut' ici faire la même remarque que pour le cas des engrenages cylindriques dans lesquels les surfaces cylindriques idéales, contenant la ligne droite, lieu des contacts successifs des dents, n'étaient point tangentes suivant cette ligne, mais se coupaient

suivant clic; ainsi les deux filets 2 et 2' n’ont qu'un seul point commun dans chaque position , cl ils ne peuvent point avoir de contact suivant aucun point de la courbe du troisième degré , mais seulement suivant les points de la génératrice d' intersection par rapport à laquelle on a fait les constructions.

Dans la pratique on peut, pour plus de facilité, supposer que les courbes £ et £' sont des spirales tracées sur les hyperboloïdes, réduire la surface 2‘ à la courbe £' et supposer que la surface 2 est engendrée par une droite au lieu de l'être par la courbe y.

Dès lors la surface 2 sera un fdet de vis hypcrboloïdique, et l’on voit que les surfaces hyperboloïdes P. et Q, sont idéales, c’cst-A-dire n’existent que par la pensée. Il n’existe de l'hyperboloïdc P, que la spirale £ qui fait partie de la surface 2 du filet de vis, et il n’existe de l’hyperboloïdc O, que la spirale £'. On pourra construire autant de filets qu’on le voudra , mais pour que le mouvement de rotation puisse se continuerai faudra que ces filets ou dents soient équidistants sur l'une et l’autre roue.

Ainsi, autant il y aura de spirales telles que £’, £", etc. qui couperont la génératrice des hyperboloïdes idéaux , autant il y aura de dents par lesquelles les roues seront en contact.

On doit remarquer que , pour le point p situe sur la plus courte distance des axes P et Q , les deux byperboloïdcs sont tangents , et que les deux surfaces 2 et 2' le seront aussi en ce même point ; que par conséquent , pour ce point , le plan T sera . vertical cl parallèle aux deux axes P et Q. ( Les deux courbes £ et £' étant supposées avoir pour point commun ce point p.’ - •

Lorsque les deux surfaces 2 et 2' par le mouvement de rotation seront en contact suivant un autre point m de la droite (oG, pg), alors le plan T 1 * 1 correspondant à ce point commun aux deux courbes £ et £' coupera l’axe P, et l’on prendra pour génératrice de la surface 2, en supposant que 2' se réduise à la courbe £', la droite qui passera par le point in commun aux deux courbes £ cl £ et par celui où le plan T w coupera l’axe P.

On voit donc que la surface 2 sera engendrée par une droite qui s’appuiera sur l’axe P et la courbe £ et qui aura son mouvement réglg par la condition qu’clic soit toujours contenue dans le plan passant par les deux tangentes aux courbes £ et £' au point qui leur est commun. Celte génératrice pour le point p sera parallèle à l’axe P, et pour le point situé ^ l’infini sur la droite (oG, pg), elle sera horizontale.

On doit encore remarquer que la droite (oG , pg) n’est pas la seule qui satisfasse au problème; on peut encore, par le point p situé sur ia plus courte distance, faire passer une droite (oG 1 , pg) qui soit contenue dans un plan parallèle aux deux

axes P et 0 . et qui divise le supplément de l'angle a de cos axes en deux dont les sinus seront dans le rapport inverse de leurs vitesses.

On peut encore, sur la plus courte distance, prendre un point p' tel que l’on ait p'o : p'n : V, et par ce point Taire passer deux droites respectivement parallèles aux droites (oG , pg) , (oG', pg).

Ainsi, l’on peut satisfaire au problème par quatre systèmes différents formant ou deux engrenages intérieurs, ou deux engrenages extérieurs. Si l’on voulait résoudre le problème par l’analyse , on aurait un nombre infini de solations. Car on trouverait que la surface qui jouit de la propriété d’avoir ses points distants des deux axes P et O, dans un rapport constant, est une hyperboloïde à une nappe non de révolution et passant par les points p et p de la plus courte distance; par conséquent l’on peut prendre pour la ligne IJ une courbe arbitraire tracée sur La surface hyperboloïdo que nous venons d’indiquer; mais je n’ai voulu donner ici que les lignes D qui pourraient être déduites par la géométrie.

Dans un mémoire intitulé : Théorie des engrenages, etc., j’ai donné (*) la solution analytique et complète de ce problème.

Dans les engrenages hypcrboloïdiques dont je viens de donner la construction, l’on n’a point à craindre l’inconvénient que j’ai signalé dans les engrenages cylindriques ou coniques construits par Withe, savoir : que lorsque la génératrice de la surface hélicoïde de la dent était perpendiculaire à la ligne droite sur laquelle se mouvait le point de contact des dents, les roues pouvaient prendre deux positions différentes de contact, et trois positions de contact lorsque la génératrice de la surface était inclinée par rapport h la ligne des contacts des dents.

Cet inconvénient n’existe pas ici, parce que les plans tangents aux divers points où les surfaces des dents coupent la droite (oG,pÿ) , lieu des contacts, ne sont point parallèles entre eux. En effet , supposons une surface courbe 2 et une courbe Z et l' ayant un point de contact. Nommons il' la tangente à la courbe .. 4' au point m , et T le plan langent au point m à la surface 2, ce plan T contiendra la droite il'. Par le point m, élevons une droite N perpendiculaire au plan T.

Si l’on fait tourner la courbe l' autour de N comme axe , on engendrera une '

surface de révolution S tangente à 2 au point m, et la courbe l' pourra prendre autour de N une infinité de positions dans lesquelles elle sera toujours tangente à la surface 2.

Mais si par le point m on mène une droite N' inclinée par rapport au plan T et telle que l’angle formé par les droites N' et soit l’angle de la droite N' avec le plan T, alors la courbe t' ne pourra plus tourner autour de la droite N' en

(*) Voyez lot Développements it géométrie descriptive, rhtip. Vt , pag. 331 , 3T7 el 3<G.

restant tangente an point m à la surface 2 ; dans toute autre position que celle qu’elle affecte primitivement , elle coupera la surface 2. Si la ligne N' ne fait point avec t(' l’angle le plus petit ou le plus grand qui existe entre elle et le plan T dans la position qn’on lui a donnée , alors on pourra , par le point m , mener dans le plan T une droite (' qui fasse avec N' un angle égal à celui que font entre eux la droite N' et le' plan T; et dès lors, si l’on fait tourner la courbe l' autour de N', il y aura un moment où la droite /£' prendra une position t", telle que l’angle tint', et en cette position la courbe £’ sera encore tangente à la surface 2; mais dans toute autre position £' coupera 2.

Si donc nous désignons les deux axes par P et Q ; si nous nommons R la génératrice suivant laquelle les deux byperboloïdcs se coupent ( désignant par HP l’hyperboloide qui a pour axe P, et par IIQ celui qui a pour axe Q); si nous supposons (fig. 23) que l’on ail trois dents sur la surface HP et coupant la droite R aux points m', m", m’", la surface de la première dent étant désignée par 2', celle de la seconde par 2", et celle de la troisième par 2"', l’on aura sur l’hyperboloïde HQ trois dents correspondant à celles situées sur la surface HP. Ces dents seront terminées par trois courbes J', £", la première passant par le point m, la deuxième par m" et la troisième par m'" ; sur la surface 2' existera une courbe correspondante de et telle que ces deux courbes pendant le mouvement de.rotalion se conduiront par un contact angulaire , les points de contact étant successivement sur les divers points de la droite R et le premier contact étant en m'; de môme sur la surface 2" on aura la courbe passant par le point m", et sur la surface 2'" la courbe passant par le point m'".

La génératrice de la surface 2' correspondant au point m sera une droite contenue dans le plan qui contient les deux tangentes aux courbes £' et nu point m* et passant par l’axe P. Nous nommerons t' la tangente à la tangente à et g la génératrice. Nous aurons de même au point m", les tangentes t", t", et la génératrice ‘ g " de la surface 2"; nous aurons de même au point m" les trois -droites t'", t,'" cl g'". .

Les droites g', g", g 1 " ne feront point avec l’axe P le môme angle, d’après ce que nous avons dit; ainsi le point m étant le plus près de celui qui est situé sur la plus courte distance des axes P et Q , il arrivera que l’angle t’ formé par l’axe P et la droite g sera plus petit que l’angle i" formé par l’axe P et la droite g", et plus petit que i 1 " formé par l’axe P et la droite g"’.

Par conséquent, les trois points in', m", m'", en tant qu’appartenant à la surface HQ, ne pourront se placer que sur les points m’, m", or' des droites g', g", g'". Aucuns autres points n", n", en ligne droite et situés respectivement sur les génératrices g', g ", g", ne pourront se mettre en contact avec eux ; par consé-

quenl la posilion respective des deux hyperboloïdes HP et HQ est déterminée d'une manière invariable. Les roues de l’engrenage ne pourront donc prendre une autre position que celle qui leur est assignée par la construction.

La génération de la surface 1 qui doit terminer la dent de la roue HP pourrait présenter des dillieultés dans l'exécution pratique; je proposerai donc de construire les dents de l'engrenage de la manière suivante :

Étant donnés deux axes P et Q et une droite R telle que tous ses points soient distants des deux axes dans un rapport constant et inverse de celui de leurs vitesses respectives, l’on obtiendra , ainsi que nous l'avous dit plus haut , en faisant tourner la droite R autour de l'axe P une surface de révolution , un hy perboloïde à une nappe HP; de même en faisant tourner la même droite R autour de l'axe Q, on aura la surface HQ. Ces deux surfaces se couperont suivant la droite R passant par un point de la plus courte distance qui existe entre les axes P et Q, et une courbe du troisième degré y qui passera aussi par le point où la droite R coupe la plus courte distance.

Cela posé : si l'on divise la droite R en (n — 1) parties égales entre elles , par les points tri, tri', i ri"... tri et que par chacun de ces points on mène des plans perpendiculaires à l'axe P, l'on aura pour intersections dans la surface IIP des cercles. Désignant l’un de ces cercles par C ; si par l’axe P l'on mène une suite de-plans méridiens au nombre de (n — I), ils diviseront le cercle C en (n — 1) arcs égaux, ainsi que tous les cercles parallèles à celui-ci , et la courbe qui passera par le premier point situé sur le cercle Cm', par le deuxième point situé sur le cercle Cm", par le troisième point situé sur le cercle Cm'" et enlin par le dernier point in'" 1 ou le (n — t)* situé sur le cercle C tri", sera une spirale h) perboloïdique dont le puisera mesuré sur la droite R parla distance comprise entre les points tri et m w .

Nous nommerons II ce pas et £ la courbe spirale. On voit évidemment que celte courbe peut être tracée mécaniquement par un mouvement continu. Si l’on divise de même un cercle C' appartenant à la surlace HQ, |>ar une suite de plans méridiens passant par l'axe Q en un certain nombre de parties égales enlreelles, ce nombre étant représenté par (ri — i ) et tel que le rapport entre (n — 1 ) et (n’ — 1) soit celui qui existe entre les distances respectives d’un des points de la droite R aux deux axes P et Q , on construira une spirale £, qui sera la corres-

H fi f

pondante de £ ; son pas h mesuré sur la droite R sera tel que = n ,— , et ces deux

courbes £ et £, se conduiront par un frottement de roulement angulaire.

Maintenant , par chacun des points de la courbe £, l'on fera passer des droites perpendiculaires à l'axe P et qui formeront une surface spirale hy perboloïdique; cette surface sera nommée 2. De môme par la courbe £ on fera passer des droites

perpendiculaire# à l'axe Q et formant aussi une surface spirale hyperboloïdique 2'. Ces deux surfaces pendant le mouvement de rotation ne seront en contact que par des points situés respectivement sur les courbes £ et £,. On ne prolongera les surfaces 2 et 2!, du côté des axes P cl Q , et respectivement , qu autant qu’il sera nécessaire pour que la courbe £, puisse passer, puisqu’elle pénètre dans l’intérieur de la surface HP, et pour que la courbe £ puisse aussi passer , puisqu'elle pénètre aussi elle-même dans l'intérieur de la surface HQ. De sorte qu’il y aura un noyau fixé à l’axe P et à la surface duquel la surface 2 s’arrêtera; de même aussi la surface 2' s’arrêtera à la surface d’un noyau fixé à l’axe Q et assez rapproché de cet axe pour permettre un libre mouvement a la courbe £.

Lnsuite l'on donnera à la dent une épaisseur suffisante ( comme à un filet de vis). On n’aura pas besoin de lui donner un excès de longueur : on pourra la terminer à l’hyperboloïde 11P ou 11Q , parce que les deux courbes £ cl £, n’ayant point leur plan tangent commun en chacun de leurs points de contact successifs ( excepté pour celui situé sur la plus courte distance), parallèle aux deux axes P et Q , les dents ne pourront s’échapper pendant le mouvement de rotation. *

Cette construction pourra s’exécuter facilement sur le tour , et par conséquent l’on peut, je crois, regarder le problème qui fait le sujet de ce mémoire , comme résolu, soit en théorie , soit en pratique.

Il faut cependant démontrer que la surface 2, dans quoique position que ce soit, ne rencontrera la courlte £, qu'au seul point de contact angulaire existant entre les deux courbes £ et £,.

Soient I’ et Q (fiij. ‘24) les deux axes donnés. Soit H la génératrice commune aux deux hyperboloïdes HP et HQ, et en môme temps la droito des contacts angulaires successifs des dents de l’engrenage. Soit y la courbe du troisième degré, seconde ligne d intersection des deux surfaces HP et HQ. Soit ab la plus courte distance entre les axes, le point d étant situé sur celte plus courte distance, de telle manière que ad et db soient dans le rapport inverse des vitesses des axes; la droite U et la cunrije y passeront par le point d.

H est évident que si par un point m- pris arbitrairement sur la droite R je fais passer deux plans respectivement perpendiculaires aux axes P et Q, l’un coupera la surface HP suivant un cercle C, l’autre coupera la surface HQ suivant un cercle C\ tels que le premier coupera la courbe y en un point m"et le deuxième en un point m’, et que ces deut points seront toujours dans la même position relative, savoir : que «a* sera toujours au-dessous do m ’, et qu’ainsi, si la droite mW représente l'intersection des pians des deux cercles, la partie mm' du cerele G' sera toujours att dessous du plan du cercle C et que k partie mm" sera lue jours audessus do ce même plan.

Les deux cercles C et O* sont des courbes correspondantes, e’est-à-diro qu’elles se roulent angulairement , le point de contact se plaçant toujours au point m : pour deux courbes correspondantes, telles que £ et £,, on aura les mêmes résultats, seulement le point de eontact variera de position sur la droite K.

Ainsi (fig. 25) les deux courbes correspondantes £ et £, étant en contact angulaire au point m situé sur la droite R , si je prends sur la courbe £ un point m" qui soit le correspondant du point m'" situé sur la courbe £,, cos deux points seront tels que les cercles Cet C' passant l’un par m", et son plan étant perpendiculaire à l’axe P, l’autre par m'", et son plan étant perpendiculaire à l’axe Q, secoupcront en un point in' situé sur la droite H. Il est évident que toute la portion mm" de la courbe £, sera au-dessous du plan du cercle C, et que tous les points de l’arc mm' seront au-dessus de la surface spirale hyperboloïdique formée par les droites perpendiculaires à l’axe P et s’appuyant sur la courbe £ ; qu’il en sera de même par rapport à la surface spirale ayant Q et £, pour directrices, c'est-à-dire que la partie mm" de la courbe £ sera au-dessus d’elle.

Ainsi les deux surfaces spirales hyper boloïdiques n'auront jamais, dans quelque position que ce soit , qu'un seul point commun , qui sera celui en lequel les courbes £ et £, ont leur contact angulaire.

Les deux roues dentées étant supposées mises en place, il arrivera , en vertu de la forme géométrique que nous avons donnée aux dents, que la roue qui a pour axe P restant lixe dans sa position , celle qui a pour axe Q, pourra prendre un mouvement de rotation autour de la droite R comme charnière, l'axe Q décrivant un hypcrboloïdc à une nappe et de révolution autour de R , et que par conséquent les deux roues pourront donner des systèmes différents, dans lesquels les axes P et 0 comprendront des angles variables; et comme la ligne R dans chaque système sera la ligne des contacts et que les distances do ses points aux axes P et Q n’auront point changé, il s'ensuivra que le rapport des vitesses sera toujours le même, et que le frottement sera de même nature, c’est-à-dire , de roulement angulaire.

Cependant l'axe Q ne pourra pas prendre une infinité de positions par rapport à l'axe P et à la droite R restés invariables, ces positions auront des limites déterminées par la considération suivante, savoir : que l’axe Q dans son mouvement de rotation autour de R , entraîne la courbe £,, et que lorsque cette courbe rencontrera la surface liélicoïde 2 quia pour directrice la courbe £, l’axe Q ne pourra dépasser la position qu’il affectera alors. Que de même lorsque la courlie £ touchera la surface hélicoïde 1’ ayant £, pour directrice, l'axe Q ne pourra plus continuer à se mouvoir autour de la droite R ; mais entre ces deux positions extrêmes l'axe Q pourra prendre toutes les positions intermédiaires. On voit aussi que pour ces diverses positions intermédiaires de l’axe Q , la droite R ue passe pins par un

point de la plus courte distance des deux axes. Çetle considération du mouvement de l'axe Q autour de la droite ît , qui lui permet de prendre une infinité de positions sans que les propriétés du système résultant soient changées, excepté l’angle des deux axes, nous démontre que la surface qui doit jouir de la propriété d’avoir ses points distants des deux axes dans un rapport constant, est nécessairement engendrée par une ligne droite. J'ai dit ci-dessus que l’on savait par l'analyse que cette surface était un hyperboloide à une nappe et non de révolution.

Dans le système que nous venons de construire, la droite R, en tant qu’appartenant à la surface HQ, ne poorra se placer sur aucune des génératrices du paraboloîdc hyperbolique engendré par des droites perpendiculaires à l'axe P et s’appuyant sur l'axe P et sur la droite R, la droite R étant une génératrice de cette surface paraboloïde et supposée appartenir aussi à la surface PH ; parce que comme les dents doivent être équidistantes, les génératrices perpendiculaires à l'axe P couperont bien toutes les génératrices du deuxième système du paraboloïde en parties égales entre elles, mais non égales i celles qui existent sur la droite directrice R. Ainsi l’engrenage ne pourra se mettre en contact que par des points situés sur la droite idéale R dont tous les points sont distants des axes P et Q dans le rapport inverse des vitesses de ces axes , le frottement dès lors sera de roulement angulaire , car on ne pourra meure les roues dentées en présence de manière à avoir un frottement de glissement angulaire ; la pose sera donc facile (*).

NOTE SUR LES ENCRENAGES DE W1JITE (**)•

La démonstration relative aux engrenages de Whitc, que M. Delaunaj a publié dans le Journal des mathématiques de M. Liouville , n’est pas nouvelle. CeUc démonstration est la première qui sc soit présentée à mon esprit

(•) La construction géométrique exposée dans ce mémoire a été trouvée en 1817 , à l'École d application de Meli alors que j'étais élèvo sous-iieutenanl d'artillerie; à celle époque j'avais â faire .comme travail d'étude , ua projet do machines ; je donnai alors les dessins d’une machine propre a tailler les aenta de l’engrenage précédent. On peut lire è ce sujet une note de Hachette , imprimée dans la deuxième édition de son TVaité des machine» , à lu Un du chapitre <ur les engrenages.

(•*) Celte nolo, accompagnée des pièces justificatives, a été communiquée à la Société philomatique, dans sa séance du ît mars 4 840 , et elle a été publiéodans le /ournai de mathématiques pures et appliquées do H. Ljociiixe , tome V (4840). T '

lorsque j'ai commencé à m'occuper de la théorie des engrenages. Je l’ai communiquée à plusieurs personnes, et en particulier;! M. Arago, lorsqu’il était chargé du Cours de machines à l’École polytechnique. Enfin je m'en suis constamment servi dans mes leçons à l’École centrale des arts et manufactures , depuis <829. On ne peut en effet imaginer rien de plus simple quand il s'agit seulement de faire voir que les engrenages do Wliile ont, en effet, les propriétés que leur attribuait ce mécanicien. C'est à cause de cette simplicité même que je tiens à mon droit de priorité. Ce droit, je l'établirai d'une manière incontestable par l’extrait suivant d’un mémoire que j'ai composé en <817 , à l’École d'application de Metz, et qui a été visé (ainsi que le sont les travaux des élèves sous-lieutenants) par les officiers placés alors à la tète de l’École.

Extrait du mémoire sur le projet de machine (École de Metz ).

• La première idée qui conduit à l’engrenage de Whitc est celle-ci.

• Considérons l'engrenage composé d'une crémaillère et d’un pignon,

> Supposons la crémaillère composée de m bandes dentées réunies ensemble et de manière à ne former, qu'une seule bande dentée ; considérons le pignon comme composé aussi de m rondelles dentées ; donnons à chaque rondelle du pignon un mouvement proportionnel de rotation autour de l’axe et à chaque bande de la crémaillère un mouvement de translation, correspondant à celui de la rondelle qui est chargée de la conduire.

> On voit qu’après ce mouvement, les extrémités des dents formeront une série d’hélices sur le cylindre du pignon et des lignes droites parallèles entre elles et obliques sur la crémaillère, et ce système se conduira parfaitement.

> Mais de cette idée on est conduit à celte conséquence , que vu le grand nombre de ces bandes dentées et des rondelles dentées ( ou pignons) correspondantes, on peut diminuer la longueur des dents dans chaque système , et la diminuer d'autant plus, que le nombre des bandes sera plus grand ; et en effet, la longueur de la dent n’est nécessaire que pour que , vu l’écartement des dents , lorsqu'une dent quitte, une nouvelle puisse prendre, et elle doit sc mettre en prise un peu avant, cl cela , pour qu’il n’y ait pas d'interruption dans le mouvement de rotation, ni de perle de temps; mais l'on voit que si la première dent de la première bande quille, et que la deuxième dent de cette même bande ne puisse encore se mettre en prise, la première dent de la deuxième bande n’aura pas encore quitté, et ainsi de suite. De sorte que de proche en proche , on voit que pendant tout le temps du mouvement, on aura des bandes qui, alternativement , conduiront et ne serviront pas à conduire le pignon , et vice versd.

— S4fl —

» On sari que fa quantité etc glissement qui s'opère snr une dent d’aire première roue par h dent correspondante (te la deuxième roue, peut étte rendue aussi petite que l’on veut, en rognant la longueur des dents; par conséquent, plus on augmentera le nombre des bandes , plas on arrivera à avoir un engrenage parfait, un engrenage dans lequel le frottement ira toujours en diminuant.

» Enfin, la surface sur laquelle s’opère le frottement esi réduite à un point, au premier point de contact des deux dents en prise, lorsque l’on suppose les bandes en nombre infini.

» Les dents ont donc changé de forme; auparavant, la eourbe qui les terminait était contenue dans un plan perpendiculaire à l’axe du mouvement de rotation ; maintenant cette courbe se réduit à la ligne formée par le premier point de chaque dent de ce nombre infini de bandes , en sorte que la forme de la dent a disparu, elle n’est plus néceseaise, puisque son premier point seul suffit pour obtenir la ligne de contact qui seule forme actuellement la dent, et cette ligue est tracée sur la surface extérieure du noyau à denter au moyen dé la machine. Pour une crémaillère , celle ligne est une droite ; pour une roue elle est une hélice tracée 9ur le cylindre noyau de In roue ou pignon.

» De plus , on voit que chaque point de la ligne de contact de la première surface a son homologue sur la ligne de contact correspondante de la seconde surface, et que ces points homologues se louchent , pour se quitter immédiatement en tendant à glisser l’un sur l’autre.

• Le frottement est donc ici l’effet d’un roulement des lignes de contact tes unes sur les autres, ce qui donne te frottement lo plus doux que l'on connaisse dans le* arts, celui dit efe deuxième espèce.

» De celte discussion nous conclurons : que la forme primitive des dents ne doit plus être prise en considération, puisque le premier point de contact de chaque (lent est seul nécessaire , le seul considéré et employé ;

, Que le mouvement est uniforme, puisque l'on est parti d’un mouvement uniforme qui dépendait alors (te la ligure de la dent, et qui ne dépend plus maintenant que de ce que les ligues de contaet qui forment l’arèle extrême des dents , se roulent sans se glisser. Et l'on voit évidemment que cet engrenage, par l’usage continuel, le traçait, tendra nécessairement à se |>erfectionner.

• La ligure des dents du nouvel engrenage est arbitraire; elle ne dépend plus

que de la ténacité de la matière employée , etc »

Meta, t9aoèt (817. ' '

Si dans les deux mémoires présentés à l’institut en 1825, je n’ai pas consigné celte démonstration , c’est qu’ellu n’est pas assez générale.

J'avais besoin d'un autre mode de de-monslraliou pour bien faire voir que l'on pourrait , d'après les procédés mécaniques de Wliite , construire trois especes d'engrenages : le premier ayant un frottement de roulement angulaire direct, le second ayant un frottement de roulement, et le troisième ayant un frottement de glissement angulaire. Wliite n’avait pas aperçu les frottements angulaires ; je crois être le premier qui ait signalé ce genre de frottement.

I.a méthode que j’ai employée dans les mémoires présentés à l'Institut, avait non-seulement l’avantage d'être vraiment géométrique et rigoureuse, mais encore celui de bien faire voir, sans aucun doute , que pour les engrenages cylindriques et coniques, le frottement de roulement direct existait lorsque la ligne £, lieu des contacts successifs de deux dents, était uuc droite située dans le plan des axes, et que le frottement de roulement angulaire existait lorsque celte droite £ n’était pas située dans le plan des axes ; dans l’un et l'autre de ces deux cas, les distances 4

de chacun des points de la droite £ aux deux axes, étant toujours dans un rap|K>rt constant cl inverse de celui des vitesses de ces deux axes.

Celte même méthode me permettait aussi de faire voir que le froltcmeul de glissement angulaire , imu-seuleuiciil existait toujours dans les engrenages cylindriques et coniques à la Wliite, lorsque les distances dos putois de la droite £ aux deux axes u' niaient pas dans le rapport inverse des vitesses des axes, mais qu’il fallait impérieusement, dans ce cas, que la droite^ fût hors des plans des axes, pour que l’engrenage lût possible.

bailleurs, c'est par la considération des surfaces idéales et de révolution engendrées par la ligne 4, lieu des contacts successifs de deux dents en prise, que j’ai pu établir le théorème qui, à mou avis, constitue toute la théorie géométrique des eugrenages à la VVhitc , de ceux daus lesquels les surfaces des deuts ne se mettent successivement en contact que par un seul point. Voici ce théorème :

Étant donnés : 1" deux axes A et A’ animés, le premier d’une vitesse v et le second d'une vitesse 2° deux surfaces ; et ('.fixées , b première à l'axe A, la seconde à l’axe A’.

Si ces deux surfaces en tournant respectivement autour de l’axe auquel cha- r *

cuiicse trouve liée, se metteul successivement en contact par on seul poiul »t , • m, lesquels points forment dans l'espace une courbe £ dite lieu des contacts v * *

successif» des surfaces de deux dents homologues ou en prise ;

En faisant tourner la courbe £ autour des axes, on obtiendra deux surfaces de révolution, l’une <t>, fixée à l'axe A ; l'autre 4>' , fixée à Taxe A'.

Les deux surfaces 'I 1 et £ se courront suivant une courbe i, les deux surfaces <!>’ et (’ se couperont suivant une courheè’ ; et l'on pourra remplacer les surfaces t et < par les courbe* i et è, en ce gens que si l'na repartie oes deux courbes

comme rigides, elles se conduiront l'une par l’autre, ainsi que le Taisaient les deux surfaces ç et ç' ; et le frottement qui se manifestera pour les courbes à et i 1 , sera de même nature que celui qui se développerait sur les deux surfaces ; et ç'.

Cela posé :

1* Si les distances aux deux axes de tout point m de la courbe $ sont dans le rap|>orl inverse de celui des vitesses v et le rapport de ces vitesses étant supposé être constant /être le même à chaque instant du mouvement, le frottement sera de roulement;

2* Si le rapport des distances aux axes n’est pas constant ou n’est pas inverse du rapport constant des vitesses, le frottement sera d c glissement ;

3* Chaque point m de la courbe Ç engendre un cercle en tournant, soit autour de l’axe A , soit autour de l’axe A'; désignant par C et C’ les cercles engendrés par le point m, et respectivement autour des axes A et A', il pourra arriver que C et C' soient tangents l’un à l’autre au point m, ou qu’ils se croisent en ce point m. Lorsque les deux cercles sont tangents, le frottement est direct; lorsque les deux cercles se croisent, le frottement est angulaire; car dans le premier cas, les courbes 9 et i' ont même tangente au point m ; dans le second cas, ces courbes se croisent en ce point ni;

4° Si les deux cercles C et C’ sont tangents , alors le point m et les deux axes sont dans un même plan , dans ce cas les deux axes et la courbe £ seront dans un même plan ; dès lors les deux surfaces $ et seront tangentes l’une à l'autre , suivant la courbe £. Dans ce cas, on retombe sur les engrenages cylindriques et coniques , et la courbe £ doit impérieusement être une droite , si l’on veut que le frottement de roulement existe , et dès lors le frottement est de roulement direct. On ne peut pas construire un engrenage à la ’Whiie dans lequel le frottement soit de glistement direct ;

5* Si les deux cercles C et C' se croisent, alors les axes peuvent être dans un même plan ou non; le point m est hors du plan des axes dans le premier cas; les . ■leux surfaces <t> et dans tous les cas, se couperont suivant la courbe g.

Le frottement sera donc, dans tous les cas, un frottement angulaire, car les courbe 3 et X se croiseront au point m, et l'on pourra construire deux espèces d’engrenage : dans l’un le frottement sera de roulement angulaire, dans l'autre le frottement sera de glistement angulaire ; et pour l’un et l’autre , les vitesses des axes seront dsns un rapport constant.

Je crois devoir consigner ici une idée que j’ai eue depuis plusieurs années , et que j'ai communiquée à plusieurs personnes.

il s’agit d'une espèce toute particulière d'engrenages à la White , et auxquels je

donnai le nom d'engrenages à lire-bouchon, n’ayant pas- trouvé d'expression qui fût mieux en rapport avec la forme de ces sortes d'engrenages.

En se rappelant ce qui a été dit précédemment et ce que j'ai développé dans le S 2 de mon premier mémoire sur les engrenages de White, publié ci -avant sous le n* 3, on voit que l'idée géométrique est de considérer les courbes 3 et 3' intersections des surfaces i; et Ç' de deux dents en présence, par les surfaces de révolution 4> et $' engendrées par la révolution de la ligne £ des points successifs de contact des deux dents autour (et respectivement) des axes A et A' des roues dentées, comme deux lignes rigides, et que Ion peut remplacer les surfaces Ç et ç' par ces courbes 3 et 3'.

Cette idée géométrique me parait devoir être facile à réaliser en pratique, et cela en prenant des liges cylindriques que l'on plierait suivant la forme des courbes 3 et Ü , et dès lors les surfaces ( et ç' ne seraient autres que les surfaces de ces tiges ainsi pliées.

Je développe mon idée.

Prenons l’engrenage cylindrique pour lequel les surfaces idéales et de révolution 4> et <t> engendrées autour des axes seront deux cylindres se coupant suivant deux droites parallèles aux axes, dont l'une sera considérée comme étant la ligne £, lieu des contacts des dents. Les courbes 3 et 3‘ seront deux hélices tracées, la première sur le cylindre 4> , la seconde sur le cylindre et ces deux courbes couperont chacune les génératrices du cylindre sur lequel elle se trouve tracée sous le même angle a.

On sait qu’alors les deux courbes 3 et 3' se conduiront uniformément et avec un frottement de roulement angulaire.

Concevons que le premier axe A soit une tige fixée par son extrémité à une rondelle circulaire V, et que cette rondelle V soit divisée en un nombre de parties égales, et que de chaque division s'élance une lige 3 cylindrique tout d'abord, mais pliée ensuite sous la forme d'une hélice cylindrique et coupant les génératrices du cylindre sous l'angle a. De sorte que celte tige hélicoïdale soit fixée à la rondelle V par une de ses extrémités, l'autre extrémité étant libre comme dans un tire-bouchon.

Imaginons la même chose pour le deuxième axe; mais lorsque l'on mettra l'engrenage en présence, il sera placé létc-béche, c'est-à-dire que les extrémités libres des tiges hélicoïdales. 3 seront tournées vers la rondelle V' sur laquelle seront fixées les tiges hélicoïdales 3* ; et réciproquement , les extrémités libres des tiges hélicoïdales 3 1 seront tournées vers la rondelle V sur laquelle seront fixées les liges hélicoïdales 3.

Si l’on considère deux dents ou tiges hélicoïdales 3 et 3' devant s’engrener ou se

conduire, on peut facilement concevoir qu'elles s’agrafent l’une l’autre à la façon de deux anneaux d’une chaîne, de sorte que la tige 3 tourne autour de la tige 4', son extrémité libre venant embrasser eette lige 3' prés de la rondelle V’, pour qu’ensuile, après un certain angle de révolution des axes, l’extrémité libre de 3‘ se dégage de la tige i et prés de la rondelle V.

On voit tout de suite que les liges hélicoïdales , formées ainsi que nous l'indiquons, ne donneront point les surfaces géométriques rigoureuses qui se mettraient pendant le mouvement de rotation des axes en contact par des points qui se trouveraient rigoureusement situés sur la droite géométrique

On aura donc tout d’abord un frottement de glissement angulaire, et de plus les vitesses des axes ne seront pas dans un rapport constant,

Uais le frottement de glissement sera très -petit et les variations dans l’uniformité du mouvement des axes seront aussi très -petites, de sorte que par un travail soutenu pendant quelque temps, les liges 3 et i' s'useront réciproquement, et l'on arrivera à avoir un engrenage géométrique.

Ce que je viens de dire pour l’engrenage cylindrique s’applique évidemment à l’engrenage conique où les axes se coupent, et à l’engrenage hyporboloidiqne où les axes ne sont pas situés dans un même plan.

Ici je dois faire une remarque qui n'est pas sans importance.

Lorsque dans un engrenage le frottement de glissement, qu’il soit direct ou angulaire, a lieu, les dents s'usent l’une par l’autre, so déforment et tendent è prendre la forme qui permettra au frottement de roulement direct ou angulaire, d’exister. Dans les ongrennges ordinaires le profil des dents qui donne le frottement de roulement, n’est autre que les cercles primitifs; de sorte que par le travail l'engrenage ac détruit sans cesse.

Dans les engrenages à la White, le profil des dents est arbitraire. Il suffit que le point de contact do deux dents se meuve sur In ligne Ç; dés lors l'engrenage par le travail détruit sur les surfaces ï et ç’des dents, tout ce qu'il est nécessaire de détruire pour arriver à la ligne {.

Celte destruction opérée, l'engrenage n’en subsiste pas moins, en ce sens que les dents existent toujours, quoique leur forme primitive soit altérée par le travail, mais perfectionnée et amenée par ce môme travail 4 la forme géométrique voulue.

On conçoit dès lors que pour ces sortes d’engrenages, il faut que l'exécution primitive laisse peu i faire au travail des dents, s’usant l’une par l’autre, afin que l'engrenage puisse être promptement livré en bon étal et satisfaisant à la condition du frottement de roulement.

DE LA FORME QUE DOIT AVOIR LA COURBE GÉNÉRATRICE DE LA SURFACE HÉLICOÏDE QUI TERMINE LA DENT D'UN ENGRENAGE A LA WRITE (*).

Nous avons dit dans le mémoire n' 3, ci-dessus, que lorsque l’on avait deux cylindres de révolution tangents l'un à l’autre suivant une génératrice droite si l’on traçait sur le premier cylindre une liélicc S et sur le deuxième cylindre une hélice S' en contact par un point m situé sur la droite M, nous avons démontré, dis-jo, que ces deux hélices S et S‘ roulaient l’une sur l’autre si elles avaient même inclinaison sur la génératrice M.

Noos avons ensuite ajouté que si l’on menait un plan P par les deux axes des cylindres, et si dans ce plan P et par le point m on menait une droite arbitraire, et, ce qni est mieux dans la pratique, si l’on menait une droite D perpendiculaire à la génératrice M, et puis que par celte droite t> on mena un plan Q (fig. i } perpendiculaire au plan P et dès lors perpendiculaire aux axes des deux cylindres , en traçant dans ce plan Q deux courbes 3 et ÿ tangentes entre elles au point m et ayant en ce point m pour tangente commune la droite D, en faisant tourner le plan P d’abord autour do l’axe du premier cylindre , ce plan P entraînant avec lui la courbe J et le point m parcourant l'hélice S, et ensuite autour de l’axe du deuxième cylindre, ce plan P entraînant avec lui la courbe 3' et le point m parcourant l’hélice », la courbe 3 engendrait une surface hélicoïde A, et la courbe i‘ engendrait une surface hélicoïde A’, telles que ces deux surfaces étaient en contact au point m et en tous les points m’, »n", etc., de la droite M , à mesure qu’en vertu du mouvement de rotation les hélices S et S’ venaient se mettre en contact , et successivement par ces mômes points m', m", etc.

Mai sec qui précède ne suffît pas pour que l’engrenage à la While puisse librement fonctionner, car il faut que les deux dents en contact ou en prise puissent facilement se dégager l’une du l’autre, le mouvement de rotation venant à se prolonger; et de plus il faut impérieusement que pendant que ces deux dents sont en prise, elles ne s'opposent point, par certaines de leurs parties, au mouvement de rotation.

Dés lors les courbes 3 et 3' ne peuvent pas être arbitraires.

(*) GiminuniquiS à I* Société idiomatique d* Paris , don» va séance du 23 mai t *46. t. 0.

Si l'on coupc les deux roues de l’engrenage par un plan Q perpendiculaire aux axes, l'on obtiendra pour section dans le premier cylindre le cercle C' (fig. 2), et dans le deuxième cylindre le cercle C; ces deux cercles seront tangents l'un à l’autre en le point m. Ce même plan Q coupera la surface hélicoîde qui forme la dent de la seconde roue suivant la courbe 3.

Cela posé : si le deuxième cylindre (C) tourne autour de son axe d’un angle a, le premier cylindre (C') tournera autour de son axe d'un angle 6, et les arcs ma' du cercle C et m». du cercle C' étant rectifiés seront égaux en longueur.

La courbe 5 aura dès lors pris la position 3, lorsque la roue (C) aura tourné autour de son axe de la quantité angulaire a.

Or il est évident, pour que les dents des deux roues puissent s'échapper ou ne pas se gêner pendant ce mouvement de rotation , qu'il faut que la courbe 3. soit en arrière du point n, , position que le point m est vonu prendre sur le cercle C'.

Dès lors il est encore évident que si la courbe 3 est telle qu’en tournant autour de l’axe (o) de la seconde roue elle puisse conduire uniformément le point m supposé tourner autour de l’axe (o') de la première roue, la courbe 5 aura la forme limite, c’est-à-dire que l’on devra prendre pour la courbe S une courbe intérieure à celte courbe limite.

Mais la forme de celte courbe limite nous est connue, nous savons qu’elle n’est autre que l’épicycloïdc plane engendrée par le point m du cercle C' roulant sur le cercle C supposé fixe.

Dès lors pour déterminer les courbes 3 et 3' qui doivent être les sections faites à travers deux dents, en prise, par le plan Q, ces courbes 3 et 3' étant telles qu'elles ne sc gêneront pas pendant le mouvement dé rotation de l’engrenage , il faudra employer la construction suivante.

Les deux cylindres verticaux ( fig . 3) sur lesquels sont tracées les hélices S et S’ également inclinées à l'horizon , seront coupés par le plan horizontal 0 suivant les cercles C et C'.

Si l'on fait rouler le cercle C sur le cercle C', le point m engendrera l’épicycloïdc E'; si l’on fait rouler le cercle C' sur le cercle C, le point m engendrera l'épicycloîde E.

Si l’épicycloîde E se meut autour de l’axe du cylindre (C), son point de

rebroussement m parcourant l'hélice S, on aura une surface hélicoîde-épicycloî # dale <t>; si l'épicycloïde E' se meut autour de l’axe du cylindre (C'), son point de rebroussement m parcourant l’hélice S', on aura une seconde surface hélicoïdeépicycloïdale <!>' ; ces deux surfaces hélicoïdes-épieycloïdales 1> et <t>' seront en contact par le point m. Mais si l’on suppose que le mouvement de rotation est indiqué par les flèches P et F', les deux surfaces 4> et <t>' seront en outre en contact suivant l’hélice S’, en sorte que le frottement sera do roulement entre les surfaces 4> et 4>', au point en lequel l’hélice S' est coupée par le plan des axes (o) et (o'); mais il sera de glissement en tous les autres points de l’hélice S’.

L’engrenage ainsi composé sera donc l'analogue de celui que l’on connaît sous ' le nom de cames et pilons, où la dent cylindrique a pour section droite une développante de cercle, et dans lequel la dent frotte continuellement sur une même arête droite du mentonnet du pilon.

Il faudra donc pour que les deux surfaces 4> cl 4>' ne soient pas en contact suivant l’hélice S', que les courbes E et E' soient changées, et il faudra dès lors prendre une courbe 3 intérieure à la courbe E et une courbe X intérieure à la courbe E'; alors les surfaces hélicoïdes 4>, et <!>,' engendrées respectivement par la courbe 3 se mouvant sur l’hélice S , et par la courbe 3" se mouvant sur l'hélice S', ne seront jamais en contact que par le point des contacts succssifs des hélices S et S', point de contact qui sera toujours dans le plan des axes (o) et ( o ) et situé sur la droite M génératrice de contact des deux cylindres (C) et (C').

§ iv.

Mais les cylindres (C) et (C') doivent être évidés l’un et l’autre pour donner res pectivemcnt passage aux dents en contact (3) cl (ê'), fig. 3.

Dès lors la dent (3) doit être reliée au cylindre noyau (B) par une surface , et la plus simple sera un paraboloïde engendré parle rayon om, se mouvant horizontalement sur l’axe (o) et sur l’hélice S ; de même la dent (3 1 ) sera reliée

au cylindre noyau (B') par un paraboloïde <(>’ engendré par le rayon om, se mouvant horizontalement sur l’axe (o') et sur l’hélice S'.

Or les dents terminées, l’une par la surface hélicoïde (3) cl le paraboloïde | , l’autre par la surface hélicoïde (3') et le paraboloïde tj/, se mettront successivement en contact par le point m se mouvant sur la droite M , si dans le plan horizontal Q la droite om ou om ne rencontre pas en d’autres points que le point m la courbe X ou 3 et cela pendant le mouvement de rotation.

Or : l’on sait que l’épicycloïde E, décrite par le point m du cercle C,' (construit

sur le rayon ont du cercle C' pris pour diamètre) roulant sur le cercle G, conduit * le rayon ont; et que de nvènie l'o|H«ycloido K,' décrite p*r le même point m du cercle C, ( construit sur le rayon <m du cercle G pris pour diamètre) roulant sur le cercle G,', conduit le rayon o'm.

Il fauilra donc impérieusement que la courbe 3 soit intérieure à l’épicycloide B, , et qwe la court) e 3* soit intérieure à’ Pépicycloïdo E,’, pour que les dents de l’engrenage ne se mettent deux à deux en contact que par un seul point cheminant snr fa droite M , et cela pendant le mouvement de rotation.

Tout ce qae nous venons de dire aura lieu , que Fengrcnagesc trouve intérieur ou extérieur ; la fig. 3 représente l’engrenage extérieur, il sera facile de faire . l'épure dans le cas de l’engrenage intérieur (*).

Ce qui précède nous révèle certaines propriétés géométriques dont jouissent les surfaces hélicoïdes-cpicycloïdales.

Si l’on engendre une surface <!> au moyen d’une cpicycloide E dont le point de rebroussement parcourt une hélice S décrite sur un cylindre 1 de révolution ayant pour section droite un cercle C du rayon R , cette surface sera un helicoïdc , car il est évident que chacun des points de la courbe génératrice E décrira une hélice située sur un cylindre de révolution concentrique au cylindre 2 .

Et si l’on trace sur le plan du cercle C le cercle C’ du rayon R’, ce cercle C’ étant le cercle généralour de l’épioycloïde E, le cylindre i’ ayant ce cercle C’pour section droite coupera la surface 4>, eu vertu de ce qui a été dit ci-devant, suivant une hélice S’ ayant même inclinaison que l’hélice S.

La surface hélicoïdc-épicycloïdale sera donc coupée suivant des hélices el par des cylindres de révolution de deux manières distinctes :

1" Par des cylindres J,, , X,... de rayons différents ol concentriques au

cylindre 2 , et les hélices auront des inclinaisons différentes ;

2* Par des cylindres de même rayon 1', X,', 2,'... tous tangents au cylindre i, et les hélices auront toutes même inclinaison que I hélice S directrice du mouvement hélicoïdal du point de rebroussement de l’épicycloide génératrice E.

(*) Il y * déjà plusieurs innées que j’ai communiqué cos considéra lions géométriques à mes élèves , soit à l’École centrale des arts el manutaclures , soit au Conserva luire royal des arls et métiers. T. O.