J VI

La propriété énoncée ci-dessus, § V, aura lieu , que l'épicycloide E soit extérieure ou intérieure au cercle C.

Si donc le cercle C' a son rayon R' égal à la moitié du rayon R, Fépicycloide E ne sera autre que le rayon R du cercle C. Dès lors la surface hélicoidc-épicydoïdale 4> deviendra la surface du filet de vit entrée.

La surface du filet de vit carrée jouit donc des mômes propriétés que la surface hélicoïde-épieycloïdale , et elle en jouit non parce qu’elle appartient à la famille des surfaces hélicoîdes-reclilignes , mais parce qu’elle appartient à la famille des surfaces liëlicoïdes-épicycloïdalcs (*), et ainsi parce qu’elle es t une particularité entre les surfaces hélicoides-cpicycloïdales infénVurr,*.

Mais lorsque la surface hélicoïde-épicyeloïdalc est extérieure, le rayon R' du cercle C' peut devenir infini ; dans ce cas , la surface $ devient une surface développable, car ello devient une surface hélicoîde développable , puisque l’épicycloide E devient une développante du cercle C; et en effet, ne sait-on pas que , quel que soit le pat de l’hélice S tracée sur le cylindre de révolution (C), le plan Ode section droite de ce cylindre coupera la surface développable formée par les diverses tangentes à cette hélico S suivant une développante du cercle C? El dans ce cas, les cylindres 2', 2/, 2,',... ( § V ) ne sont autres que les plans tangents au eyiindre (C) , et les hélices de section ne sont autres que les tangentes de l’hélice S.

Ainsi, la sur (h ce hélicoîde développable appartient à la fanütte des surfaces hélicoules-épicycloidales dites extérieures. Elle en est une particularité.

- § Vil.

Lorsque l’on considère un cercle C du rayon R et un cercle C' du rayon R'=| R et qui lui est tangent en un point m , l’on sait que le cercle C\ roulant intérieurement sur le cercle C, le point m décrit le rayon R ( fig . 4).

Si l’on construit donc une série de cercles C, , C, , C,,... concentriques au cercle C et ayant respectivement pour rayon R,, R,, R,,... et si l’on construit les cercles C/, C,', ayant respectivement pour myon R, == ; R, , R,'= ; R it R,'=r les cercles C, et C,', C, et C, 1 , C, et C,',... étant tangents l'un à

(•) Voyez dam le» Développement» de géométrie detent rive, du$. I",p5î, un» déra*»tr«mOè»eta

ce l'existence de cea propriélé-j pour la surface du filet de vis carrée.

l’autre et respectivement aux points m, , m, , m lt ... en lesquels le rayon R prolongé est coupé par les cercles concentriques C, , C, , C„... l'on voit de suite que les cercles G/, C/, C/,... roulant respectivement dans le même sens et intérieurement sur les cercles C t , C,, C,,... les points m, , m,, m,,... engendreront tous la même épicycloîde intérieure qui ne sera autre que le rayon R supposé prolongé indéfiniment.

En sorte que l’on peut , en vertu de ce que l’épicycloïde intérieure et rectiligne R a une infinité de cercles générateurs , énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une surface de filet de vis carrée , si on la coupe par un cylindre de révolution 2 d'un rayon arbitraire p, et ayant pour axe taxe A de la vis, on aura pour section une hélice Sel si t on coupe la même surface par un cylindre de révolution passant par l'axe A ct langent au cylindre 2 on obtiendra pour section une hélice S', et les deux hélices S et S' auront même inclinaison par rapport à l'axe A.

8 vin.

Tout ce qui précède étant compris, cherchons si un cylindro no pourrait pas toucher la surface hélicoïde-épicycloîdale suivant une hélice.

Concevons deux cylindres de révolution ayant pour sections droites les cercles C et C' (fig. 5) tangents au point m.

Traçons sur le cylindre (C) une hélice S parlant du point m et faisant avec Taxe (o) de ce cylindre un angle a.

Traçons sur le cylindre (C') une hélice S' partant aussi du même point m et faisant avec l’axe (o') de ce cylindre le même angle a.

Les deux hélices rampant l’une de droite à gauche et l’autre de gauche à droite, de manière à ce qu’elles roulent l’uue sur l’autre pendant le mouvement de rotation uniforme des cylindres (C) et (C') autour de leurs axes (o) cl ( o ' ).

Cela posé :

Traçons dans le plan horizontal l’épicycloîde engendrée par le point m du cercle C' supposé rouler sur le cercle C et faisons mouvoir horizontalement celte courbe épicycloïdale de manière à ce que son point de rebroussement parcoure l’hélice S, nous engendrerons une surface hélicoïde-épicycloîdale E, qui sera coupée par le cylindre (C') suivant l’hélice S'.

Cela posé:

Coupons la surface E par une suite de plans horizontaux et équidistants entre eux, nous aurons les courbes épicycloïdales 4, J 1 , 4",... coupant l’hélice S’ et respectivement aux points * , x’, x'\... et rencontrant l’hélice S et respectivement aux |«jmts n, u,

Les tangentes aux points x, x’, x",... des épicycloïdes de section seront désignées par t, t', et leurs projections sur le plan horizontal seront t\ f'*, t"*,... droites passant toutes par le point i extrémité du diamètre mi du cercle C' qui est le cercle générateur <le l’épicycloïde ayant le point m pour origine ou point de rebroussement.

Les tangentes aux points x, x', x",. . de l’hélice S', étant désignées par 9, 9', 9",... leurs projections sur le plan borizonlal seront 9*, 0 ,k , 0” 4 ,... tangentes aux points x*, x' 4 , x"\... au cercle C' qui doit être ici considéré comme la projection horizontale S' 4 de l’hélice S'.

Cela posé :

Désignons par T, T', T",... les plans tangents menés à la surface hélicoïde E et aux divers pointsx, x', x",...

Il est évident que le plan T passera par les droites t et 9

t* et 9'

f" et 9”

etc.

etc.

Or : les pians T... seront les enveloppée» d’une surface développable A tangente & Ihélicoide E suivant l'hélice S'.

Mais pour que la surlace développable A soit uu cylindre, il faudra que les plans T... se coupent deux à deux suivant des droites parallèles entre elles. Et il est évident ^jue ce résulat aura lieu , si l’ou peut mener par une certaine droite de l’espace une suite de plans O, ... respectivement parallèles à la série des plans T. ...

Mais si nous nous rappelons que nous avoua mené des phms de section équidistants entre eux , désignant par s , s', x",... les hauteurs' respectives des points x, x\ x",... au-dessus du plan horizontal, on aura *' = 2.s, *"=:3.*,...

Si l’on abaisse tous les points x, x’, x",... de l’espace dans le plan horizontal, ils viendront se superposer respect ivement sur leurs projections X 4 , x’ 4 , x" 4 ,... et l’on aura supposé dès lors que l’hélice S' est transformée en le cercle C'.

Et les tangentes 9, 9', 9",.- descendront en des droites G , G’, G",... passant respectivement par les peints x 4 , x*, x" 4 ,... do cercle C'.

— as —

Et comme ces droites G, ... sont également inclinées sur le plan du cercle C, et sc projettent horizontalement suivant des tangentes à ce cercle , elles seront les génératrices du premier système d'un liyperboloide à une nappe al de résolution 1 ayant la droite ( o ) pour axe et le cercle C' pour cercle de gorge.

Par les mêmes raisons, les droites l, t', descendront sur le plan lioriaootal , et ainsi sur le plan du cercle G', pour se placer respectivement en les droites

Cela posé , il est évident :

Que le plan 0 passant par les droites

G et t* sera

parallèle au

plan T

G’ et i*

.-mu.

G" et <"*

— etc. —

etc.

etc.

Or tous les plans 0,... passent tous, cl évidemment, par la droite B menée par le point i parallèlement à la droite A tangente en m à l’hélice S' ; car la droite X est une génératrice du premier système (du système G...) de l'hyperbotoîde 2 et la droite B sera évidemment une génératrice du second système de ce meme hyperboloïde 2.

Ainsi se trouve démontré d’une manière très-simple que tous les plans T, T’, T 1 ',... se coupent deux à deux suivant des droites parallèles entre elles, ou en d’autres termes : ainsi sc trouve démontré que la surface développable A est un cylindre dont les génératrices droites sont parallèles i la droite A, laquelle est une tangente commune en m aux deux hélices S et S'.