XI
Tout ce que nous avons dit précédemment est vrai, quelle que soit la nature de la courbe S, ainsi lorsque cette courbe Scsi une courbe arbitraire^et non une hélice, mais étant toujours tracée sur un cylindre de révolution.
Concevons deux cercles C et C', l’un du rayon R cl l’autre du rayon R', et tracés tous deux sur le plan horizontal et tangents l’un à l’autre en un point m; désignons par (C) le cylindre de révolution et vertical ayant le cercle C pour section droite cl étant dit : cylindre du rayon R; désignons par 3 lépicycloïde engendrée par le point m du cercle C', ce cercle C' roulant intérieurement ou extérieurement sur le cercle C; désignons par (C') le cylindre de révolution et
(*) Voyez ci-avant ce que mw avens dit ail premier livre (d« entrer) dans le mémoire h* g, pi 113,
(**) Voyez ci-avant ce que nous avons dit nu premier livre ( de* ombres) dans le mémoire n* 4 . p. « 7 .
vertical ayant le cercle C' pour section droite et étant dit : cylindre du rayon R'.
Celaposé:
Traçons sur le cylindre (C) une courbe 9 arbitraire et passant par le point m origine ou rebroussement de l'épicycloïde 3 .
Faisons mouvoir horizontalement la courbe 3 , son origine m parcourant la courbe 9, nous engendrerons une surface 2 qui sera dite : surface épicyclaüdale générale et cylindrique ( épicycloïde parce qu’elle est engendrée par une épicycloïde, générale parce que la courbe ®, ligne de rebroussement de celle surface, est arbitraire , cylindrique parce que la courbe 9 est tracée sur un cylindre )
Cela dit :
Coupons la surface £par le cylindre (C 1 ), nous aurons une courbe q, et il est évident, en vertu de ce qui a été dit précédemment et en vertu du mode de génération de la surface 1 que la courbe q sera telle, que si l'on fait rouler le cylindre (C') sur le cylindre (C) supposé fixe, elle roulera sur la courbe 9, les courbes 9 et 9, ayant en chaque point de contact même tangente; en sorte que leurs arcs compris entre deux plans horizontaux auront même longueur.
Cela posé, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Si l'on coupe la surface épicyctoïdale-générate et cylindrique Zpar une suite de cylindres du rayon R' (R' étant le rayon de C épicycloïde génératrice ) tous tangents au cylindre du rayon R sur lequel se trouve tracée la ligne de rebroussement q de la surface , l'on obtiendra une suite de courbes q', q', 9,'... qui pourront toutes rouler sur ta courbe 9.
On peut engendrer la surface 2 d’une autre manière :
Concevons le cylindre (C) et une suite de cylindres (C'), (C/), (C,')... du même rayon R' et tangents au cylindre (C); traçons sur le cylindre (C) une courbe arbitraire 9, faisons rouler le cylindre (C) sur le cylindre (C'), la courbe 9 laissera pour empreinte sur ce cylindre (C') une courbe 9' ; faisons rouler successivement le cylindre (C) sur chacun des cylindre (C/), (C,')... (ces cylindres étant supposés fixes), nous aurons les courbes 9/, 9.',... et toutes les courbes 9, 9', 9/, 9.,... détermineront une surface qui ne sera autre que la surface 2, et qui jouira dès lors de la propriété, savoir : qu’une suite de plans horizontaux la couperont suivant des épicycloïdcs toutes du rayon R' et ayant chacune leur origine, ou leur point de rebroussement, situé sur la courbe 9.
8 xi».
Toutes les remarques faites au sujet de l’engrenage cylindrique de While, peuvent être faites au sujet de l’engrenage conique.
El en eSet :
On sait que si l'on a deux cercles C et C situés dans des plans différents et tangents l’un à l'autre en un point m, on peut toujours faire passer une sphère A par ces deux cercles , cette sphère ayant pour centre le point d en lequel se coupent les droites menées par les centres o et o' des cercles C et C', et qui seront respectivement perpendiculaires aux plans de ces cercles.
On sait encore que , si l’on fait rouler le cercle C' sur le cercle C , de manière à ce que l'angle des plans du cercle fixe C et du cercle mobile C' reste constant , le point m décrira une épicycluïde sphérique 3 située sur la sphère A.
On sait encore que si l’on regarde le point d comme le sommet commun à deux cônes de révolution O et O' ayant respectivement pour base ou section droite les cercles C et C', pendant que le cône O tournera autour de son axe, la courbe 3 conduira le cône O' en le faisant tourner autour de son axe, et cela en pressant sur le point m et le forçant à cheminer circulairemcnt sur le cercle C'-, de telle sorte que si Ton considère le cône épicycloidal (d, d) il conduira la droite (d, m).
On sait encore que si l’on construit des sphères concentriques a', A", A'”,.. . ayant toutes le point d pour centre commun, elles couperont 1* le cône épicycloïdal (d, 3) suivant des épicycloïdes 3', 3", 3"',... 2* la droite (d, m) en des points m, m", m"',... 3* le cône (d, C) suivant des cercles C., C,, C,,... 4* le cône (d, C') suivant des cercles C/, C,', C,',... et l’on sait, dis-je, que les cercles C,', C/, C,',... roulant respectivement sur les cercles C,, C t , C,,.., leurs points respectifs m', m", m'",... engendreront les épicycloïdes 3', 3", 3"',...
Cela posé :
Si l’on trace sur le cône (d, C) une courhe arbitraire 9 passant par le point ni, et si l’on suppose que celle courbe coupe les cercles C, C lf C,, C,,... en les points m, n'y n", en faisant tourner la courhe 3' jusqu’à ce que son point m' vienne
en n', elle prendra une position 3,', la courbe 3" jusqu’à ce que son point m vienne en n"... , elle prendra une position 3,", et ainsi de suite , les diverses épicycloïdes
3/» ôi ”, 3 , formeront une surface dite turfnce épicijcluidnle-générale et conique 2, et cette surface 2 sera coupée par le cône (d, C') suivant une courbe 9' qui sera telle , que si l’on suppose le cône (d, C) lixe et le cône (d, C 1 ) roulant sur le cône (d, C), celte courbe 9' roulera directement sur la courbe 9, en sorte que ces deux courbes 9 et 9' auront même tangente en chacun de leurs contacts successifs.
Et si l’on coupe la surface 2 par une suite de cônes (d, C' t ), (d, C',) (d, C',),... de révolution et ayant môme angle au sommet que le cône (d, C'), ayant tous
