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pour sommet commun le point d, étant tous tangents au cône (d, G), on obtiendra une suite de ouvres q q,', qui pourront toutes rouler sur In oourbe y.

La courbe q pourra être «ne spirale conique d'Archimède; alors les courbes ?> q.'i */»-• senaot des courbes coniques d'Arttfiimèdc, toutes superposables entre eHes.

L’épicycloïde J peut être une droite; dans ce cas les deux •cercles C et C' sont forcément situés dans un même plan , et le cercle C' est intérieur au cercle C, son rayoo R' étant égal à la moitié du rayon R du cercle C; alors l épicycloidei est une droite perpendiculaire à l’axe (d , o) ; le centre o' du cercle C' décrira un cercle B ayant le point o pour centre et ayant son rayon égalé fR' = j R.

Sur l'axe (d, o) nous pourrons prendre un point arbitraire d et regarder ce point comme le sommet commun à deux cônes, l’un de révolution et ayant le cercle C pour base , et l'autre oblique et avant le cercle C' pour base.

Coupons le système de ces deux cônes par une suite de filons parallèles entre eux et perpendiculaires à l’axe (d, o) , nous obtiendrons dans le cône (d, C. ) une suite de cercles C,, C,, C,,... et dans le cercle (d, C') une suite de cercles C", “CJ, C/,...; les cercles C,', C.', C,',... en roulant respectivement sur les cercles G,, C , Ç,,. engendreront des épirydoïdes qui ne seront autres que les rayons H , R,, R,,... des cercles C,, C , C,, supposés fixes.

Le plan de tous ces rayons coupera le cône (d, C) suivant nne droite il qui sera la génératrice de contact des deux cônes (d, G) et (d, G').

Cela posé :

Traçons sur le cône (d, C) une courbe <p et supposons qu’une droite G se meuve perpendiculairement sur l'axe (d, 0 ), et en s'appuyant sur la courbe q, nous engendrerons une surface I qui parait être à première vue, par son mode de génération (si la courbe y est une spirale conique), l'analogue, dans le tytlème conique, de la surface qui d.ms le tyttime cylindrique est dite : surface du filet de vit carrée.

examinons si cette surface £ jouit en effet de propriétés géométriques analogues à celles dont jouit la surface du filet de vis carrée.

Concevons le cône (d, G'), il coupera la surface £ suivant une courbe <p’ ; si la surface 2 jouit île propriétés géométriques analogues à la surface du fdet de vis carrée , il faudra que les courbes q et q' roulent l’une sur l’autre pendant que les cônes droit (d, C) et oblique (d, G') rouleront l’un sur l’autre.

Or : il est de toute évidence que ce résultat ne pourrait exister qu’autant que les cercles C et C' rouleraient l'un sur l’autre pendant le mouvement de rotation des cônes (d, G) et (d. G'), et il est évident que dans un semblable système, le roulement des cercles C et C' ne peut avoir lieu , doue , etc.

— »rr —

Ainsi la surface précédente 1 n’est pas dans le système conique l'analogue de la surface dite : filet de vis carrée, qui existe dans le système cylindrique.

La surface du système conique que nous cherchons sera donnée par une suite d’épicycfoïdes sphériques intérieures engendrées ainsi qu’il suit :

Concevons une série de sphères S, S’, S",... ayant toutes pour centre commun un point d.

Menons par ce centre une droite A et une suite de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à cet axe A ; ces plans couperont les sphères suivant des cercles C, C,, C.,... l’axe A percera les sphères en les points a, a*, a'*;... menons par le point a un plan langent au cercle C, il coupera la sphère S suivant un cercle C'; menons par le point a' un plan tangent au cercle C, , il coupera la sphère S' suivant un cercle C.'ct ainsi de suite.

Si nous supposons que tous les points de contact m, m', m",... des cereles Cet C', C, et C.', C^t C,',... sont sur un même plan passant par l’axe A et que les cercles C, C, , C,,... sont tous situés sur une même surface conique droite ayant la droite A pour axe commun, alors les plans des cercles C", C,' C,',... seront parallèles entre eux et feront tous le même angle avec la droite A; di; plus ces cercles C', C,', C/,... seront tous sur un même cène droit ayant le point d pour sommet. Les épicycloïdcs sphériques et intérieures engendrées par les divers points m ) m', m",... des cercles C', C/, C,’,... roulant respectivement sur le» cercles C, C,, C,, supposés fixes, seront toutes sur un même cène ayant Te point d pour sommet.

Si l’on neconsidère qu’une seule de ces épicydoïdes , celle engendrée fpar exemple) par le cercle C roulant sur le cercle C, ow pourra tracer sur fe cône droit (d, C) une courbe arbitraire <ç passant par le point m, et l’on pourra engendrer une surface 2 , épicycloïdale généra le et conique, comme nous l'avons fait précédemment , et celle surface jouira évidemment de la propriété d’être coupée par tout cône droit passant par Taxe A et langent au cône (d, C) suivant une courbe qui sera apte à rouler sur la courbe 9 . Si au lieu de supposer que les points m , m’, m",... sont avec l’axe A dans un même plan , on suppose qu'ils se trouvent distribués sur la courbe q , alors les cpicycloidcs sphériques et intérieures engendrées par les cercles C’, C/, C,',... (qui ne seront plus sur une même surface conique de révolution) roulant respectivement sur les cercles C, C, , C,, seront précisément les génératrices épicycloïdalus de la surface 2 , , elles seront toutes situées sur cette surface 2 ,.

C’est celle surface épicycloidale-coniquc, toute particulière , qui est dans le système conique l’analogue de la surface du fdet de vis carrée qui existe dans le système cylindrique.

§ XIII

Maintenant, en vertu de ce que nous avons dit sur les épicycloidcs sphériques, nous pouvons déterminer, pour les engrenages coniques de Wliile, la forme de la courbe qui doit engendrer la surface d'une dent, celte forme devant permettre aux dents en prise de se dégagée facilement l’une de l'autre nu moment où elles cessent de se conduire.

Nous opérerons comme dans le cas de l’engrenage cylindrique; ainsi ayant les deux cercles primitifs C et C' tracés sur une sphère S ayant le point d pour centre; ces deux cercles étant en contact par un point m, nous tracerons dans le plan du cercle C'qui a son rayon égal à R' et sur R' comme diamètre un cercle C,'. Le point m du cercle C,' roulant sur le cercle C engendrera une épicycloïde 3 qui sera la limite de la forme de la courbe qui doit engendrer la surface de la dent fixée sur le cône (C).

Nous opérerons de même pour la surface de la dent lixëe sur le cône (C'), nous prendrons pour limite l'épicycloîde sphérique décrite par le point m du cercle C, tracé dans le plan du cercle C et sur son rayon R pris pour diamètre.

Ensuite nous terminerons la dent fixée à la roue conique (C) par une surface gauche engendrée par une droite, s’appuyant sur l’axe (d, o) de celle roue (C), cl sur la courbe ^ (spirale conique ou toute autre courbe ) tracée sur la surface de ce même cône (C).

Nous en ferons autant pour la dent fixée à la roue(C').

Et nous serons assurés que les dents ne pourront se mettre eu contact que par un seul point, |>endant tout le temps de leur mouvement de rotation, et que ce point décrira la génératrice de contact des deux cônes [d, C) et ( d , C').

CONSTRUCTION DK II LUX NOUVEAUX ENGRENAGES A FROTTEMENT DE ROULEMENT ET A VITESSE PÉRIODIQUEMENT VARIÉS (*).