PREMIÈRE PARTIE

Transformation d'une courbe polaire : 1* en non ootxrbe rapportée à des coordonnée* rectangulaires , on 1" en une antre oonrbe polaire.

Nous allons examiner d'abord, entre tous les modes de transformation que l’on peut imaginer pour passer d'une courbe polaire à une courbe à coordonnées rec tangulaircs, les deux modes particuliers suivants, parce que nous en déduirons des applications qui peuvent être utiles.

Premier mode de transformation.

I. Soit (fig. a) une courbe 3 ayant le point o pour pèle et la droite X pour origine des angles », de telle sorte que désignant par » l’angle a'oa ou l'angle que le rayon vecteur o'a (que je représente par p) lait avec la droite X , l’équation de cette courbe 3 soit :

Af.“) = ® (*)

Si du point o comme centre et avec od pour rayon je décris un cercle, il viendra couper la droite X en un point a, ; et si de ce point a, j’élève une droite a, b' perpendiculaire à la droite X, et que je porte de a, en b' une longueur égale à l’arc de cercle a'a, rectifié, j’aurai un point b' qui appartiendra à une courbe $' qui sera la transformée de la courbe 8.

L’équation de la courbe i' s’obtiendra facilement, car on voit de suite qu’il suffit , pour l'obtenir, de remplacer dans l’équation (1) p par x et <a par en sorte

que l’équation de la courbe 8‘ sera : f(x, et cette courbe 31 sera rapportée

O Lm principes géométriques et une partie des résultats exposés dans ce mémoire sont extraits du mémoire que j'ai rédigé en I8IT et qui accompagnait le projet de machine (celto machine avait pour but de tracer des hélices ou rpiratei cylindriques , coniques , clepsydres et hyperboloïdiques ) que j’ai été chargé de faire , comme travail d'étude , alors que j’elaia élève sousdioulenant d’artillerie à l’École d'application de Melx. — Poftz le commencement du mémoire n* 8. T. O.

à la droite X comme axe des x et à la droite Y menée perpendiculairement à la droite X par le pâle o ; cette droite Y sera l’axe des y et le pèle o sera l'origine des coordonnées rectangulaires.

2. Au lieu de prendre l’ordonnée a,b' égale à l'arc rectifié a, a', on aurait pu la prendre égale à ni fois cet are, dans ce cas l'équation de la courbe 3' aurait été :

3. La transformée 3’ ayant pour équation/ (x, = o jouit d’une propriété

remarquable par rapport à la courbe polaire 3.

Si l'on considère le point a, en lequel la courbe polaire S coupe la droite X , on voit de suite que la transformée 3' passe nécessairement par ce point ; mais , en outre, en ce point les deux courbes 3 et ÿ ont même tangente, et en effet :

La tangente 9 au point a de la courbe polaire 3 ( fig . a) a un élément rectiligne et inliniiiicnt petit am en commun avec la courbe 3.

Or , si (fiy. b) on a une droite 9 cou pmi une droite X en un point a , et si l'on prend sur celte droite 9 un point m infiniment voisin du point a, et que d'un point o situé sur la droite X, et considéré comme centre, on décrive l’arc mm, ,

l'angle mou étant infiniment petit, l'arc mm, du cercle C sera aussi infiniment petit et se confondra avec sa tangente T menée au point ni, ; en sorte que , si sur cette tangente T on porte de m, en n l’arc rectifié mm,, on aura un point n qui se confondra avec le point m ; car l’arc mm, doit rigoureusement être considéré connue un élément rectiligne perpendiculaire en m, à la droite X, et dès lors le point m est nécessairement situé sur la tangente T, puisque la tangente T au point m, du cercle C (sur lequel se trouve compté l'élément mm,) a nécessairement un élément rectiligne commun avec cc cercle C.

4. Lorsque la courbe 3* a' pour équation /^r, ^^)=0, la môme propriété

subsiste; car si uous désignons paré' la courbo dont l’équation est f(x, =0

et par 3, la courbe dont l'équation est f(x, ^)s=0, nous savons que ces deux courbes soûl tangentes l’une à l'autre au point a, en lequel elles coupent l’une et l’autre la droite X ( ou , en d’autres termes, l'axe des x) (*).

t*) Voytre le* Pttitnppemtnli dt géom/trie dtteriplirt , chap. Il, p. 84. D'ailleurs ce limitai Ml évident per Vanalyu , puisque l'arc mm, est un infiniment peut du premier ordre dont l'exprattioa est de. et qiArn le multipliant par une quantité finie m, on aura : m.i.d», qui sera toujours uninfinnoent petit du premier ordre.

Ainsi : la courbe polaire 9 dont l’équation est : /( p, u)— 0 coupant la droite X en uu point a , la transformée 3’ ayant pour équation / ^c, -Q = O , et toutes les

transformées 3, ayant pour équation générale : f(x, -~j =0 couperont aussi la

droite X au même point a, et les courbes 3, If a 3, seront tangentes entre elles en ce même point a.