S IL

Deuxième mode de transformation .

5. Soit donnée une courbe plane 9 {fig. c) ayant le point a pour pâle et la droite X pour origine des angles u, l’équation de celte courbe 3 étant :

Ap. *)=<>•

Du point o comme centre et avec un rayon égal à l’unité décrivons le cercle C coupant la droite X au point p.

Cela fait : considérons un point quelconque a' sur la courbe polaire 9 donnée, et décrivons du point a comme centre et avec le rayon vecteur p=aa un cercle qui coupera la droite X en un point a, ; élevons en ce point a, et perpendiculairement à la droite X une droite a,b\ et portons sur celte droite et à partir du point a, une longueur a, b' égale à l’arc rectifié pq' compté sur le cercle C ( entre la droite X et le rayon vecteur oa) ; en faisant la même construction pour les divers points a, a, a".... de la courbe polaire et donnée 9, on obtiendra une suite de points a, b', b".... qui détermineront une courbe 9, qui sera la transformée en coordonnées rectangulaires de la courbe polaire (donnée) 9, et il est évident que l’équation de la courbe 9, sera : f(x , y) — 0. Car il est évident que dans l'équation /(p, <u)=0 de la courbe9, il sullîra de remplacer pparzet u par ij, pour avoir l'équation de la courbe 9/, puisque la courbe C a pour rayon l'imite et que ses arcs mesurent

les angles a'oa , a'oa ..... que les rayons vecteurs de la courbe polaire 9 font avec la droite X origine des angles &>.

6. Au lieu de prendre a, b' égal à l'arc rectifié pq' du cercle C, on aurait pu prendre a, b' égal à m fois l’are rectifié pq', et dans ce cas les divers points b', b ". ... auraient déterminé une courbe 9.' dont l’équation serait : f{x, m. jf)=0.

7. Nous devons faire remarquer que la courbe 9, ou 9, 'est tangente à la courbe 9 au point a en lequel l’une et l’autre de ces courbes coupe la droite X (origine des angles ai), car nous pouvons ici, comme précédemment (§ I, articles 3 et 4), appliquer le même mode de démonstration.

8. Quel que soit le mode de transformation employé pour passer d’une courbe 3 à une courbe 3', lorsque ces deux courbes 3 et X ont un point commun o , ces deux courbes ne peuvent alTecler en ce point a que deux manières d'étre l’une par rapport à l'autre , et ainsi :

Ou 1* elles se couperont en ce point a ;

Ou 2* elles seront tangentes l'une à l’autre en ce point a.

Or : soit par les considérations de V analyse infinitésimale , soit par les considérations géométriques des infiniment petits que j'ai exposés dans le septième chapitre des Développements de Géométrie descriptive , il est évident que, si les deux * coordonnées (lignes droites ou lignes courbes ) qui passent par le point a, l’une appartenant à la courbe X et l'autre à la courbe 3 , se coupent en ce point a, les deux courbas 3 et X sc couperont en ce même point a ; et que si les deux coordonnées sont tangentes en ce point a, les courbes 3 et X seront aussi tangentes l’une à l’autre en ce môme point a.

9. Ainsi , élaut donnée une courbe polaire 3 (fig. d) ayant le point o pour pôle cl la droite X pour origine des angles u, l’équation de la courbe 3 étant : /(f,, u) = 0; nous pourrons prendre sur la droite X un point o’, et de ce point comme centre et avec les rayons op , , op , , o'p,,.... décrire des cercles sur lesquels

, on portera des arcs p.b', p,b", p,b'", — 1 " égaux ou 2" proportionnels aux arcs p, a', p.a", p, a"’,.... les divers points b', b", o'".... formeront une courbe X qui sera tangente à la courbe 3 au point a.

40. Ainsi , étant donnée une courbe polaire 3 (fiy. e), nous pourrons prendre un point o, hors de la droite \ comme pôle de la transformée X, et alors les deux courbes ÿ et 3 se couperont au point a ; car les deux ordonnées courbes et circulaires, l’une appartenant i la courbe 3 et l’autre i la courbe X, se couperont en ce point a, puisque ce point a ne sera pas en ligne droite avec le centre odes arcs circulaires coordonnées de la courbe 3 cl le centre o. des arcs circulaires coordonnées de la courbe X-

Et les deux courbes 3 et X se croiseront au point a sous un angle égal à celui sous lequel sc coupent les deux arcs qui sont les coordonnées correspondantes à ce point a.

H. Ce que nous venons de dire louchant la transformation d’une courbe polaire en deux courbes distinctes en coordonnées rectangulaires, suivant que nous emploierons le premier et le second mode de transformation exposé ci-dessus, peut aussi sc dire de la transformation d’une courbe à coordonnées rectangulaires

en une courbe polaire. On doit donc remarquer qu'à la question résolue précédemment correspond une question réciproque.

Dans les applications suivantes, nous ferons usage tantôt de la transformation d’une courbe polaire en une courbe à coordonnées rectangulaires , tantôt et réciproquement de la transformation d'une courbe à coordonnées rectangulaires en une courbe polaire.

5 iv.

Propriété remarquable dont peut jouir certaine transformée en coordonnées rectangulaires (et obtenue par le premier mode de transformation) par rapport « sa courbe polaire.

12. Supposons une courbe polaire 3 (Jig. f) ayant pour équation /( p, u)=0 , le point o étant l'origine des rayons vecteurs p ou le pôle de la courbe, et la droite X étant l’origine des angles s>. Supposons que la courbe 3 coupe l'axe X au point a, et que nous construisions pour le rayon vecteur p e=no (l’angle a> étant alors nul) la transformée en coordonnées rectangulaires A, dont l’équation sera :

f(x, ^ = 0 ; la droite X étant l’axe des x et la droite Y étant l’axe des y, le pôle

a étant l’origine des coordonnées rectangulaires de cette courbe A, les deux courbes 3 et A seront tangentes l'une à l’autre au point a.

Cela posé :

13. Prenons un point ci quelconque sur la courbe polaire 3, son rayon vecteur sera oa' ; prolongeons ce rayon vecteur et désignons-Ie par X’. Transformons la courbe 3 à partir de la droite X' comme nous avons- transformé celte même courbe à partir de X, nous obtiendrons une courbe A' tangente en le pointa', h la courbe 3.

14. Si du point o comme centre et avec un rayon égal à l’unité, nous décrivons le cercle C, nous pourrons représenter l’arc pq de ce cercle C par m', et dés lors l’équation de la transformée A' sera en coordonnées rectangulaires ( les axes étant X' pour les abscisses x, et Y' pour les ordonnées y', et le pôle o étant

l’origine des coordonnées) f |V, 4- m^j J = 0, l’équation de la courbe 3 étant,

par rapport à la droite X', prise pour origine des angles a, /[p , (w’-f m')] — 0. Cela posé :

15. Si l’on fait tourner la courbe 3 et la courbe A' autour du pôle o comme centre de rotation (et dans le sens indiqué par la flèche F) pour amener le point

a en. a,' sur lu droite X,, alors luxe X' se Miperposor.i sue l’axe X , et l’axe Y' se superposera sur l’axe Y; la courbe 4 prendra la position 4, et la transformée a' prendra la position A,'.

Dès k>ra l’équation de la courbe A,' sera (- 4-m' j =»0.

Cette courbe A.' sera rapportée, ainsi que II» courbe A, au môme centre n et aux mêmes axes rectangulaires X et Y.

Cela posé :

16. La courbe A,’ identique et superposable A la courbe A' sera-t-elle identique et superposable à la courbe A?

Pour que les deux courbes A et A, soient identiques et superposables . il faut évidomineflt.troiisporter l’origine des coordonnées a ( fit/, g ) en un point «'(ayant pour coordonnées a et S), et changer les axes rectangulaires X et Y en de nouveaux axes rectangulaires X, et Y, , les deux axes X et X, comprenant entre eux un angle y.

Ce double changement s’opérera en substituant dan* l’équation /Jje, C +m ’)H

de la courbe A,’ à la place de x, (x—x, cos<j-4- y, sinç 4- a), et A la place dey, (yr^x.sinç — y, cosç-t-6).

Et dés lors l’équation :

/■{(*, co*t 4*

l'far-.

(x, *in 9 — y, cos ? -|- 6) cos ? -f y, sin ? -f «)

sera l'équation de la courbe A,’ rapportée au point o comme origine des coordonnées rectangulaires dont les axes seront les droites X, et Y,.

Cela fait :

17. On fera tourner la courbe A,‘ autour du point o’ comme centre de rotation et dans le sens indiqué par la flèche F f pour amener l’axe X, à être en X, parallèle à l’axe X , et l’axe Y, eu Y r , parallèle à l’axe Y, la courbe A,’ prendra dès lors la position A,'.

Or, si les deux courbes A et A' sont identiques cl superposables , les deux courbes A et A,' seront aussi identiques et superposables, par conséquent il suffira de faire glisser la courbe A,' parallèlement A la droite oo jusqu’il ce que le point u se confonde avec le point o pour que ces deux courbes A.' et A se superposent.

18. Toutes les opérations géométriques et mécaniques que nous venons d indiquer se traduisent eu analyse d une manière facile, car il sullii de dire que les deux équations

■2) |) = ° et (3) /jV«*»V-M* lo r+ , ‘)i(j

x sirif — ÿco*f+ï

I COSf -)- y tin f -f- a

seront identiques terme à terme.

Si donc l’on identifie terme à terme les deux équations (2) et (3), on aura un certain nombre d’équations de condition, qui serviront à déterminer les indéterminées , a et G.

Si la solution de ces équations conduit à des valeurs réelles pour <ç, a et S, •lors la courbe polaire 3 aura toutes ses transformées A, A’, A"... identiques et superposables.

48. On voit de suite que de même que parmi les courbes planes, le cercle est la seule courbe dont toutes les développantes sont identiques et superposables, de même il doit arriver qu’il n'y ait qu'un nombre limité de courbes polaires pour lesquelles toutes les transformées en coordonnées rectangulaires ( et obtenues par le premier mode de transformation ) seront identiques , seront superposables.

20. Si par hasard il existe une ou plusieurs courbes polaires 3 jouissant de la propriété d’avoir toutes leurs transformées A identiques, sMptepanMcs , il existera entre la courbe polaire jet la transformée A une propriété remarquable et que nous allons étudier.

21. Si nous avous une courbe polaire à coupant l’axe X (origine des angles sa) eu un point a et ayant un point 0 pour pôle et pour équation /( p, u) = 0 ; et si nous avous construit pour le point a la transformée A , qui aura dès lors pour

équation j(x, =0. Et si la courbe 3 est telle que pour un quelconque de ses

points n' sa transformée A' soit identique et superposable à la courbe A, alors, en faisant tourner la courbe & autour de son pôle 0 comme centre de rotation , elle imprimera à la courbe A un mouvement pendant lequel ecs deux courbes 3 et a rouleront l’une sur l’autre.

Et en effet :

22. Imaginons la courlie polaire 3, la droite X origine des angles u (/>?• o). le pôle o, et concevons la transformée A par le point a en lequel la courbe 3coupe la droite X. Nous savons que les deux courbes A et 3 sont tangentes l’une à l’autre en ce point a.

Cela posé :

Concevons les points « , a, a".... successifs et infiniment voisins de la courbe 3. La courbe A aura en enmmun.avec la courbe 3 les deux points successifs. a tlu, ou, en d’autres termes, l’élément rectiligne aa\ puisque ces deux courbes 5 et A

«ont tangentes l'une à l'autre au point a. Par conséquent les points successifs et infiniment voisins de la courbe A seront a, a', b", b'"....

lorsque j'imprimerai à la courbe 3 un mouvement de rotation autour du pâle o pour amener le point a' en a,' sur la droite X , j'aurai amené la courbe A en la position A,', et la courbe 3 en la position â,'; le point h" de là courbe A sera venu en b," sur A,', et le point a" de la courbe 3 sera venu en a," sur J,'. Or, il est évident que sur la courbe A,’ les deux points a,' et b," seront des points successifs et infiniment voisins, et qu'ainsi les points a,' et a," seront sur la courbe 3,' des points successifs et infiniment voisins (*) ; et comme les deux courbes 3/ cl A,' sont tangentes au pointa,', il s’ensuit qu’elles ont en commun les deux points " et b/', ou , en d'autres termes , que les deux éléments rectilignes a, a" de la courbe 3,' et a,'/»," de la courbe A,’ se superposent.

Et il en sera de même en continuant le mouvement de rotation de la courbe l>olaire 3 autour de son pôle o, comme centre de rotation. Ainsi, chacun des côtés du polygone infinitésimal (aa'a'a"'....) qui remplace la courbe 3 vient, pendant le mouvement de rotation , se superposer avec le côté qui lui est homologue et appartenant au polygone infinitésimal (aa'b 'b'"....) qui remplace la courbe A.

23. On peut donc affirmer que les deux courbes 3 cl A roulent l’une sur l'autre pendant le mouvement de rotation.

24. Puisque les deux courbes 3 cl A roulent l'une sur l'autre, elles auront des arcs égaux, par lesquels elles se rouleront ; cl ainsi , supposant la courbe 3 et sa transformée A tangentes entre elles au point a , prenant un arc aa! sur 3, on devra pouvoir construire sur la courbe A un arc ar égal en longueur à l'arc ua.

Et en effet : . ü.

Si nous revenons à la lig. /, nous devons nous rappeler que , pour passer de la courbe A,’ à la courbe A,’, il a fallu construire la nouvelle origine o' et faire tourner la courbe A,' autour du point o' d'un angle y égal é celui que la droite X, des abscisses x, faisait avec la droite X origine des angles «. Le point a' viendra donc en a,' sur la courbe A,', et ce point a,' s’obtiendra en décrivant du point o comme centre et avec on,' pour rayon un cercle qui coupera la courbe A,' au point a ' demandé.

On sait qu’en faisant mouvoir la courbe A,’ parallèlement à la droite oo\ elle Rendra se superposer sur la courbe A. Si donc on mène par le point a,' une

(*) Voyex ce que j'ii dit au sujet des infiniment petits , chap. Vit de* Développements de géométrie dteniptioe.

Cela fait :

droite parallèle à oo\ elle viendra couper la courbe A en un point r, et l'arc ar de la courbe A étant rectifié sera égal en longueur à l'arc aa de la courbe polaire 3, ce dernier arc étant aussi supposé rectifié.