Appliquons ce principe à quelques exemples

1" exemple. Soit donnée une spirale d’Archimède 3 ayant pour équation :

Sa transformée A (en coordonnées rectangulaires et par le premier mode de transformation) aura pour équation :

x’=rosr (*)

Ainsi la transformée A est une parabole , et le pâle o est situé sur cette courbe A

(/ÿh).

Si nous construisons la transformée A' pour un rayon vecteur p' faisant avec la droite X origine des angles u un angle m, la courbe polaire 3 aura pour équation : p = a («'-+• m') , et la courbe transformée A' aura pour équation :

x ' = ^^r + *^) <w ar" » mV

Ainsi, la courbe A' sera encore une parabole; et comme les équations des diverses transformées A, A', A".... ne différent entre elles que par la valeur attribuée à m, on en conclut que toutes les transformées de la spirale d'Archimède sont des paraboles.

Cela posé :

20. Voyons si toutes ces paraboles sont des courbes identiques ou non.

On voit de suite que si l’on fait tourner le rayon vecteur p' autour du pâle » pour amener ce rayon vecteur sur la droite X, la courbe A' viendra en A.', et que la courbe A,' aura pour équation :

Il suffît donc de voir si les deux paraboles, ayant pour équation l’une l’équation (i) , et l’autre Icqualion (5) , sont identiques, sont superposables.

Or, en regardant ces deux équations, on voit de suite que les deux paraboles ont même paramètre, et qu ainsi elles sont deux courbes identiques.

27. Mais pour la suite de nos recherches , il est nécessaire d’appliquer tout ce que nous avons dit précédemment et ainsi de chercher le point o et les axes X et Y, de la courbe A,'.

Or, il est évident que les axes rectangulaires auxquels se trouve en ce mo-

ment rapportée la parabole A, sont parallèles aux unes rectangulaires de Ja courbe A.

Il suffira donc de changer l’origine des coordonnées, en Taisant x — x,+ a. et y — y,+ S, cl transportant ces valeurs dans l'équation (6).

On aura dès lors :

x,* = oy,-f x,(r»'— 2*)-f aO + m'a — «’ (•)

Identifions terme à terme les deux équations (5) et (6) , nous aurons deux équations de condition , savoir :

rri — 2. =r 0

Oo -f- m« ~ •* 0

L'équation (7) donne :

et par suite, l’équation (8) donne :

Ml' 11.

On obtient donc des valeurs réelles pour « et 6 coordonnées du point o’. Ayant construit ce point o', nous l’unirons avec le point o par une droite D, et en faisant glisser la parabole A.' dans son plan et parallèlement à la droite D, celle parabole A,' viendra se superposer avec la parabole A, lorsque les deux points o fixe et o' mobile se superposeront.

Dés lors, si noos voulons connaître Tare ur de la parabole A qui roulera sur l'arc aa de la spirale d’Archimède, il nous suffira de ramener le point a de la spirale à en a' sur l'axe X, en décrivaul du pôle o comme centre et avec le rayon vecteur ou pour rayon , un cercle ; puis de supposer que la parabole A a glissé parallèlement à elle-même en rasant le point fixe o pour prendre la position A,'; et ayant construit le sommet s de la parabole A cl le sommet t,' de la parabole A,', nous prendrons une ouverture de compas égale à *o, et la |K>rlaul de «.’ en o sur la parabole A,’, nous aurous la nouvelle origine o' (de telle sorte que les droites ot et o'm' sont parallèles); ensuite nous unirons les points o et o' par une droite D, et nous mènerons par le point a,' une droite D' qui, parullèle il», coupera ja parabole A eu un point r, ni nous pourrons affirmer que l’are para-

bolique ar esfcgal en longueur à l’arc rectifié «a' de la spirale d’Archimède (’•). 28. On pourrait demander le lieu géométrique des divers sommets s,

des diverses paraboles A , A.', A,"....

Ce problème est facile à résoudre, et en effet :

Toutes les paraboles A , A,', A,".... qui passent par le point fixe o, et dont les axes infinis sont parallèles entre eux, peuvent tire représentées par l'équation :

x* = ay -f mx

m étant une quantité qui varie de parabole à parabole.

Si nous faisons y=0 dans l'équation (11), nous aurons x=m,

et dés lors :

sera l'abscisse du sommet remplaçant x paT sa valeur (12) dans l’équation (11),

on aura : — = aij ■+• — , d’où l’on tire pour l’ordonnée du môme sommet t ,

Éliminant m entre les équations (12) et (13), nous aurons l’équation du Km géométrique des sommets s; cette équation sera :

En sorte que le lieu des sommets s est une parabole £ ayant son sommet au pâle o ( [fig . i ) et ayant pour axe des y la droite Y parallèle à l’axe infini de chacune des paraboles A, A/, A /',.... et la parabole £ se trouve identique à la parabole A (puis* quelle a même paramètre) , mais elle est tournée en sens opposé.

20. 2* exemple. Soit donnée une spirale hyperbolique Payant pour équation :

Sa transformée A (en coordonnées rectangulaires et par le premier mode d» transformation ) aura pour équation :

(*) Vuyn, (lara les Décelop[wmntidc gtomttrit drteriplice, ch;ip. II. p. 1 34 cl suivant-a, l'emp'oi que nous »runs fait de lu propriété de celte parabole pour construire lu tangente à In spirale d'Archimède.

Itoberval est le premier, à ce qu'il i «irait , qui o trouvé In propriété de la rectification de la spirale d’Archimède au moyen de lu parabole ; su démonstration n’est point parvenue jusqu'A nous. Biais * Pascal a démontré celte propriété dans le mémoire qui a pour litre : De l égalité des lignes spirales el paraboliques. 1 . 1 démonstration que jo donne dans ce mémoire est tout a fuit différente de celle de Pascal ; celle de ce savant est une démonstration géométrique au moyen des incréments et décréments ; celle que je donne est véritablement une démonet re l ien mécanique. Voyez dans les Développements de géométrie descriptive la note placée nu bas de lu page 434; voyez aussi dans le Cours de géométrie descriptive la note placée du bus de lu page 290. ,

Ainsi la transformée' A sera une ligne droite. »! ■

Pour un rayon vecteur p’, l'équation de la courbe 3 sera : p(« + m')=a, et l’équation de sa transformée A' sera : y'+ m'x' = a.

La courbe A' sera donc encore une ligne droite , et dés lors on en conclut que toutes les transformées A , A', A”... . seront des lignes identiques et superposables, puisque chacune d'elles sera une ligne droite.

30. Si l'on fait tourner la droite A' autour du point o comme centre pour amener le point a en a,', et la droite A' en la droite A/, on aura pour équation :

ce qui nous apprend que toutes les transformées, après leur mouvement de rotation autour du pôleo, forment une série de droites qui coupent toutes l’axe Y, mené par le point o perpendiculairement à l’axe X qui est l’origine des angles s, lequel est en un même point dont la distance au pôle o est égal à : a(fg. k).

31. De ce que toutes les transformées de la spirale hyperbolique sont identiques et sont des droites, on en conclut que la spirale hyperbolique est une courbe rectifiable.

32. Cherchons maintenant In longueur rectifiée d’un arc aa' de spirale hyperbolique.

Pour cela , nous amènerons la transformée A,' en la position A,' en nous servant des formules :

= en*? -f-y.ginr -{- a j y = x.stnf — y.cosf 4-S J

Substituant les valeurs de x et y, données par les équations (17) dans l’équation (16), nous aurons :

X, tin f — y, 00Sf + 6 -f ml (x, eo*f -f j, »in T + •) t= •

x, (sio V -f m'eos ?) 4- y, (m sin f — oo*j ) = a — t —

i sinf4- m 'c <M T a — S — m ’a

ÿ ‘ msiiif — cos y ’ = msin f — cia?

Identifiant terme à terme les deux équations (18) et (16), on lions de condition :

liiiv + m'coscasO

Étifoi, ■ ■

l'équation (19) peut s’écrire ainsi :

aura les équa- (1»)

= 0, d'où l'on a , (angt= — «'

(ai;

V I 4 - laog> J 4 - tnng>

l'équation ( 20 ) peut s'écrire ainsi :

\V l-f-lang >/

Remplaçant dans l’équation (22) lang ? par sa valeur donnée par l’équation ( 21 ), on aura :

VKTTnTv

Ce qui nous apprend que l'on peut placer la nouvelle origine des coordonnées partout où l’on voudra , pourvu que scs coordonnées « et S satisfassent à l’équation (23), et que l'on pourra toujours, l'équation (23) étant satisfaite, amener la droite A,’ à être parallèle à la droite A.

83. Mais, si l’on supposait , comme dans la ftg. 4, qne la droite A ne soit pas parallèle à la droite X, et si dès lors la spirale hyperbolique J avait pour équation p(a + m) = a, la droite A aurait pour équation :

et la droite A, aura toujours pour équation : y 4 - m'xzsa (10).

Alors , en identifiant les deux équations (18) et (24), on aura les deui équations de condition :

m (m’sin ? — cos ?) = *in ? ■+- m’coif

— m'ai ri f — cos f

l’équation (25) peut s’écrire sous la forme :

mfm'tangf — f) = tangf+m tang f (mm'— 1) = m’+ m

d’où l'on tire :

d’où

m’+m •* n gf = mm '7j

L’équation (28) peut s’écrire sous la forme :

«l/l 4 - tangv =

a — * — m*« m' tang p — I

Mettant dans l'cquatioa (28) la valeur de langui donnée par réijiutiou (27) , on aura :

et nous retombons sur un résultat tout à fait semblable à celui que nous avions trouvé précédemment , savoir : que l'origine o est indéterminée , en ce sens que ses coordonnées a et S doivent satisfaire à l’équation (29).

34. Le résultat auquel nous arrivons est conforme à ce qui doit être, et ne doit pas nous surprendre; en effet, une fois qu'une droite A,' est parallèle à une droite A, on peut la faire mouvoir parallèlement à elle-même pour la transporter sur la droite A , d’une infinité de manières.

36i Nous voyons donc que la méthode rigourense qui noos a permis , dans' I» cas de la spirale 4' Archimède , de construire l’are de In parabole ( transformée) qui était égale en longueur à un arc donné de In spirale d’Archimède, se trouve' en défaut. Nous sommes donc forées de chercher une autre méthode pour leaas particulier de La spirale hyperlmliquc.

36. Remarquons que la courbe 9 étant armée en 9‘, après avoir tourné autour du pèle o , la tangente A est venue en A.’, et qu’en toutes les positions que prendra la courbe i en tournant autour du puinl o , lu droite A prendra des positions correspondantes qui toutes passeront par le point q, qo étant égal à o.

Cefii posé :

37. Lorsque la courbe reviendra ( fig . k) en la position 3, le point a, vien-

dra se placer sur le point u, le point a, tournant autour du centre o; et la droite A,' viendra sc placer sur la droite A, le point a,' venant se placer en r sur la droite A, ce point a,' ayant tourné autour du centre q.

Dès lors il est évident que l’arc n.n, de fa spirale hyperbolique aura roulé sur la droite A,' en sc développant sur celle droite d’une longueur égale à : nr.

Ainsi la droite tir sera égale en longueur à l’arc a, fl,, lequel arc est égal en longueur à l’arc aa de la spirale 3.

38. Si donc on veut construire la longueur rectifiée d’un arc aa' de spirale hyperbolique, on mènera les deux rayons vecteurs on cl on'; du point o comme centre et avec le plus petit rayon vecteur on', on décrira un cercle qui transportera le point a en a,' sur le grand rayon vecteur on ; on unira le point fixe q avec le point a' ; et du point q comme centre avec qa' pour rayon , on décrira un cercle

coupant la droite gn (tangente en a à la spirale) en un point r; et la droite -ra sera égale à l'arc rectifié an de la spirale donnée ,(*).

39. Ce qui précède nous démontre que, pendant que la spirale conduit sa tangente, cette tangente ne glisse pas sur le point fisc q. Mais on doit remarquer que la spirale tournant uniformément autour de son pâte o, sa tangente ne tournera pas uniformément autour du point fisc q.

40. Si l'on suppose que la spirale 3 tourne autour de son pôle o jusqu'à ce que la tangente A prenne la position A en laquelle elle sera parallèle à la droite X , alors la courbe 3 , en sa nouvelle position , aura la droite A pour asymptote, et le point infini de cette courbe é sera situé sur lu droite A et du côté du point l. Et si l'on a décrit du point q comme centre , et avec qr pour rayon , un arc coupant la droite A au point r', l'arc infini de la courbe é', à partir du pointa', sera représenté en sa rectification par la portion infinie r'I de la droite A.

Mais si I on suppose que la courbe é tourne en sens inverse, et que sa tangente vienne passer par le pâle o, alors elle aura pris la position Y, cl en cette position elle sera tangente à la nouvelle position prise par la spirale ê en son point asymptote o.

Si donc nous décrivons du point q cornue centre et avec oq pour rayon (et nous savons que <x< = a) un cercle coupant la droite A en un point k , la portion rk de la droite K sera égale à Tare de la spirale compris entre le pointa' et le pâle ou point asymptote o. En sorte que l'arc a'o de la spirale hyperbolique ri’a que l’apparence d'ètrc infini ; cet arc a réellement une longueur finie.

4t . Il en est donc de la spirale hyperbolique comme des serre» , «lie* lesquelles la somme de leurs termes en nombre infini est pour les unes une quantité finie, et pour les autres une quantité infinie.

42. 3* exemple. Soit donnée la courbe polaire 5 ayant pour équation :

sa transformée A aura pour équation :

r* tf

-r + fr=l <30.

Cette transformée sera donc une ellipse ayant le pâle o pour centre, et ses a ses

(•JVoyei dans le chjp. Il des Développement! de géométrie descriptive , les divers problème»; que iwus «vous résolus sur lu spirale h) perbulique en nous servant de ta transformée ; en coordonnée* reclan-

gulaires) de celle courbe.

seront dirigés, l'un suivant la droite X origino des angles s, et l’autre suivant la droite Y menée par le pôle o perpendiculairement à la droite X.

Cela posé :

Si l’on fait tourner la courbe $ autour du pôle o pour prendre la position i' (l'angle de rotation étant m'), l’équation de celte position 3/ sera :

et l'équation de la transformée A,’ sera :

et après les réductions , on aura :

Nous remplacerons dans l'équation (31) x et y par les valeurs

et l’on aura

x = x, cos T + ÿ, »* n T + ■ y =x,sio? — y.cos* -f «

sin’y

tuf

tlm'cnsysin y

, ço»>

Sm'siiif cosy

2<invrt«r

•im’e ns’y ¥~~

7 COS y

êsin f

rosy

Jm'is in t

aof

Sro»y

lf~

! am'Csin^ H b’

2maco«f

tl faudra maintenant identifier terme à terme tes deux équations (32) cl (30). 13. Mais si l'ou examine l'équation (31) , on voit de suite qu’elle appartient A une ellipse concentrique à l’ellipse A.

■ Par conséquent , il sera inutile de changer l'origine de place pour reconnaître si les deux ellipses A et A/ sont des courbes identiques, superposables; il suffira de changer les coordonnées rectangulaires X et Y en d’autres coordonnées rcclan- * gulaires X, et Y, ; dès lors l’ équation (32) se réduira , après y avoir fait « = 0 el 6=0, à:

sjn>

2 m , co» T .sin T

x '' + (i+î)‘ in ' T

2m'sintcoSf

*'+ a (i 4 v) CO,TSin?