S XI
En vertu de ce qui précède, il nous sein facile de démontrer que si l’on s une droite A tournant autour d’un ave O , de manière que chacun de ses points décrive une hélice cylindrique circulaire ayant la droite O pour axe , les tangente t menées aux diverses hélices en les points où elles coupent la droite A , forment un paraboloide hyperbolique.
En effet :
Par son mouvement, la droite A engendre une surface hélicoïdc générale. Dans son mouvement, la droite A reste tangente à un cylindre A, ayant pour section droite un cercle ayant pour rayon la plus courte distance R existant entre lea droites O el A , et ce cylindre A a la droite O pour axe de révolution.
Le pied m de la plus courte distance R sur la droite A décrit une hélice H sur le cylindre A , el tous les les points m', m", m'",... de la droite A décrivent des hélices II', H'', H" 1 ... concentriques à H et ayant même pas h que cette hélice.
Cela posé :
Faisons une projection horizontale de tout le système, et désignons par II l’hér lice décrite par le point m de la droite A, par R son rayon , par 8 sa tangente au point m et par h son pas, fig. 10.
Nous aurons de même l'hélice H'; son rayon sera R', sa tangente sera et elle aura même pas h.
El ainsi de suite.
Pour une hauteur h, la sous-tangente sera 2-It pour l'hélice II, 2rR' pour l’hélice H', 2nR" pour l’hélice II" et ainsi de suite.
Cela posé:
La ligure 10 nous montre que les droites 8, 9\ 8"... qui forment une certaine surface réglée <6, se projettent un des. droite» 8*, 0'\ 9''*,... qui font lo même angle p (angle qui est ici droit) avec les divergentes ou rayons R, R', R''.,.
Ensuite le calcul relatif aux sous-tangentes nous démontre que pour une mémo hauteur h (et è est ici coque nous avions précédemment désigné par x) ees soustangentes sont proportionnelles aux rayons R, R', R"...
En sorte que si l’on prend m*6* = 2 j:R, m'V= 2 itR ! , ni ’*6 "* = 2rR", ... les points é\ b' k , é''*,... seront en ligne droite B*; ce qui, en vertu de ce qui a été dit (§ X), nousdémonlrc que les extrémités b, b', b", ... dessous-tangentes seront en ligne droite B, cctte-droile s’appuyant sur toutes les droites 9, 9', 8",...
Et comme nous pouvons prendre une autre hauteur \ auquel cas les sous-
2rr 2 rr ' Sn
tangentes seront — R, — R’, — R", ...et dès lors seront encore proportionnelles
aux rayons R, R', R", ... on voit que les points c\ c'*, c"*, ... que l’on construira en employant ces nouvelles sous-tangentcs, détermineront une droite C* qui sera la projection d’une droite C s'appuyant sur toutes les droites 9, 9', 9" ...
Ainsi se trouve démontré que la surface >I>, lieu des tangentes 9, 9’, 9", ... aux diverses hélices H, II’, U”.. . est un parabolnïde hyperbolique.
