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et pou»- y,’ ; savoir :

Or, en remplaçant dans les expressions -jr et -gr , lan ® 9 par 53 Ya, ® ur

on aura les valeurs des demi-axes A et B de l'ellipse A/, et il est facile de voir, sans pousser plus loin les calculs, que ces demi-atfes A et B rte seront point égaux ■aux dcini-aves a et b de l ellipse A.

45. Ainsi , |)Our la courbe polaire dont il s'agit , las diverses transformées sont des ellipses ayant toutes môme centre, mais n’clanl point des courbes identiques, superposables.

4». Dam ce qtii précède , nous avons reconnu que la spirale d’Archimède « la spirale hyperbolique jouissaient l une cl l’autre de la propriété remarquable, savoir : que toutes leurs transformées en coordonnées rectangulaires ( d'après le premier mOdctle transformation) étaient des courbes identiques, superposables.

Il est évident que la circonférence d'un cercle est encore une courbe qui jouit de la môme propriété , puisqu'elle s* transforme suivant a» tangente.

» Ainsi, nous connaissons trois courbes polaires: 1* la circonférence du ccrele, 2“ la spirale hyperbolique , et » la spirale <T Archimède , pour lesquelles toutes les transformées sont des courbes identiques et superposables; pour les deux premières, la transformée est une droite qui leur est tangente ; pour la seconde, la transformée est une section conique qui est une parabole.

Mais n'y a-t-il que ces trois courbes polaires qui jouissent de cette propriété^

* vï ;’

Pour résoudre cette question , qui n'est pas sans intérêt (vu les applications aux engrenages, que nous allons faire* ci-après, en utilisant les propriétés géométriques des spirales d'Archimède et hyperbolique ) r on devrait déterminer, per V analyse , quelles sont les courbes pour lesquelles les deux équations :•

SH * îb’0+*)l = “

en supposant que */*«», +,*•* + *

y* = x sia f — y co*j +*

peuvent être rendues identiques, par des valeur» réelles de ç , a ét «.

J'abandonne celle recherche aux analytirt, car elle est ettenücllrmenl du domaine de l‘ analyse; Ie9 problèmes de ce genre ne peuvent èlre résolus que par la lauyue algébrique.