Vérifions ce qui précède |Uir un exemple

Soit x' — ay l’équation de l’enveloppée.

En dilTérenlialttpon'trouve :

ijrrfjr = ady

‘Remplaçant *, dx,-y,<dy par les vtileurs indique*» oi-rtewMis, ontrouve l'équation dillérenlielle : " *

‘J., d . — fl (td*.

dont l'intégrale

2 ÿdî = udp)

sera l'équation en coordonnées polaires de la courbe enveloppe eberebée, ,

Cette intégrale est :

ou » = •»

(en négligeant la constante arbitraire C, ce qui évidemment est permis dans ce cas, puisque pourp = Oon a&» = 0,et que par suite on a C = 0); et ion retrouve bien l’équation de la spirale d’Archimède.

$ vin.

50. Le premier mode de transformation , que nous avons examiné 8 I , n'est qu’un cas particulier d’un mode de transformation plus général , et que je vais exposer.

Soitf/ÿ.e) une courbe polaire Payant pour équation /(p,»>) = 0, le point o étant le pâle , la droite X étant l’origine des angles w comptés de gauche à droite, ainsi que l’indique la flèche.

Prenons sur la droite X un point o, distant du point o d’nne quantité a. Cela fait, prenons sur la courbe 3 une suite de points m\ m", m'", etc., dont les rayons vecteurs seront respectivement p', p", p'", etc., ccs rayons vecteurs faisant avec la droite X et respectivement des angles ta', ta", ta'", etc. Du point o comme centre commun , décrivons des cercles C', C", C", etc. et respectivement avec les rayons p', p", p", etc. ; ccs cercles couperont respectivement la droite X aux points q', q", q'", etc.

Cela fait , du point o, comme nouveau centre commun, décrivons les cercles D‘, D", D'", etc. et respectivement avec les rayons q'o, =p' -)-o, q"o. =p”-l- a, q'"o,=xp" + a , etc. Puis prenons sur ces cercles D', D", D'", etc. des arcs q'jeîfc q"x", q“x", etc. tels que l’on ail : arc rectifié . q'x — arc rtclfié . q'm ; arc rectifié. q"x" =arc rectifié . q"m", etc. Les divers point* x", x'", etc. détermineront une courbe A qui sera la trannfarmte de la courbe 3, et les deux courbes J et A couperont la droite X en un même point m en lequel elles seront tangentes l’une à l’autre.’ ■ «

51. L’équation de la courbe A sera facile à trouver ; et en effet :

Désignons par X un des rayons vecteurs de la courbe A , et par p l’angle que ce

rayon vecteur X fait avec la droite X; on aura , en se rappelant que le pâle est le point o, :

p=X— o ci ..p — pi

De ccs deux équations on tire :

, .■.vp*'»*- rf VtïO'.J'J "■ 1 • *

Substituant ces valeurs de p et de « dans l'équation f(p, u) = 0, qui est celle de la courbe 3, on aura :

i ’• (rr;)H

qui sera l'équation de la iraïuformée A.

§ IX

52. Si , au lieu de chercher la transformée A de la courbe 3 par rapport à la droite X, on cherchait la transformée A' par rapport à une droite X' (fig. I) [tassant par le point in' de la courbe 3, cl faisant avec la droite X un angle on devrait prendre sur la droite X' un point fixe o,' qui (distant du pôle o d’une quantité n') devrait être considéré comme étant le pôle de la transformée A', et faire, par rapport A la droite X' et aux deux pôles o et o', des constructions analogues A celles quenousavons exécutées ci-dessus $ VIII. On construirait dès lors par points la courbe A', laquelle serait tangente à la courbe 3 au point m.

53. Pour obtenir l’équation de la transformée A', il ft«M ao préalable trouver l’équation de la courbe 3 , en passant de la droite X à la droite X' comme origine des angles ta.

Or, on sait qne dans ce cas l’équation de la courbe 3 sera , en désignant l’angle m' (qui reste constant pour toutes les constructions subséquentes) par n :

fl?, !», + «)] = <> 0)

Il suffira donc de remplacer, dans cette équation :

p par et «•,

et l’on aura :

'[<>—'>• fâ + ")]=° »

qui sers l’équation de la courbe A'.

54. On voit que si l’on cherche les transformées A, A', A”, A 1 ", etc. correspondant aux divers points m, m, m", »«*", etc. de la courbe polaire donnée 3, les divers pôles ( nouveaux) o,, o.', o,", o"‘, etc. pourront déterminer une courbe non arbitraire et dont l’équation sera évidemment :

l'équation de la courbe 3 étant :

fi ».* *) = 0 (i)

De sorte qu’à une valeur de p prise dans l'éqvatMin \(A) correspondra «ne vatev de u <|ui , substituée daus l'équation (3) , donnera une certaine valeur pour le rayon vecteur a.

Nous désignerons la courbe polaire dont Péquation est (3) par B. Ainsi la courbe B sera le lieu des pôle» des diverses transformées A, A', A", A'", etc. de la courbe polaire «humée 3.

55. D’éprès ce qrri préçéde , en voit que l’on peut prendre arbitrairement In courbe prdaire Tl , et qu’à chaque coorbe B, nouvelle, correspondront des tram» formées différentes A, , A/, A.", A.’”', etc. delà courbe polaire donnée 8.

g KL