XII

Ainsi, le théorème que nous connaissions déjà, savoir : que les tangentes aux diverses hélices de la surface hélicoide gauche i, filet de vis carrée ou filet de vis triangulaire, en les points ou elles coupent une même génératrice droite G (de cette surface gauche) déterminent un paraboloïde hyperbolique tangent à la surface hélicoide 1 tout le long de la génératrice droite G; ainsi, dis-je, ee théorème est général et appartient à toutes les surfaces hélicoïdes gauches.

Et en vertu de çc qui a été dit ( Sjlll ) , on voit que si l’on projette sur un plan Y perpendiculaire à l’axe O du cylindre A, auquel la droite A reste tangente pendant son mouvement hélicoïdal , les tangentes aux diverses hélices de môme pas, décrites par les divers points de la droite A , on' voit , dis-je, que les projections de ces tangentes seront les enveloppées d’une paral»le ayant pour foyer le point en lequel l'axe O est coupé par le plan Y, et ayant pour tangente en son sommet la projection de la droite A.

| XIII

Dans tout ce précède, nous avons supposé (fig. 2), que le point o était situé hors de la droite A ; mais s’il était placé (fig. Il) sur la droite A , alors les droites K, K,, K, seraient parallèles et feraient avec la droite A un angle constant p , qui pourrait être aigu ou droit.

Dans ce cas, les droites B,, C„ ... qui devraient partager en parties proportionnelles les droites K, K„ K,, ... iraient concourir en un point unique, qui ne serait autre que le point o.

Si au contraire (fig. 12) on suppose que le point o est situé à l’infini sur la droite A, alors les droites A,, C, , ... seront parallèles entre elles et à la droite A.

§ XIV

Si l’on passe des figures planes H et 12 aux systèmes de l’espace dont ces

figures peuvent être la projection horizontale , on voit de suite que la fig. 1 1 pourrait être considérée comme étant, ou 1" la projection d'une figure tracée dans un plan P oblique au plan horizontal, mais parallèle aux droites K, K„ K,... ou2“la projection des génératrices droites des deux systèmes d’un paraholoïde liyperboliqueiayanl le plan horizontal pour l'un de ses plans directeurs , l'autre plan directeur étant vertical et parallèle aux droites K, K, , K,, ...

On voit encore de suite que la fig. 12 pourra être considérée comme étant, ou 1* la projection d'une figure située dans un P parallèle au plan horizontal, ou 2* la projection des génératrices droites des deux systèmes d’un paraholoïde hyperbolique I, dont les deux plans directeurs sont verticaux, l’un étant parallèle aux droites K, K,, K„ ... l'autre étant parallèle aux droites A, B„ C,.