Du nombre des dents en contact
Dans le tracé que j’ai donné {fig. 4) l’on voit que trois dents de la crémaillère sont en contact (en prise) avec deux dents du pignon , les points de contact étant . ' 49
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en M, N dO; l’on voit en même temps que la dent V^CV* de la crémaillère est en contact au point C , en même temps , avec les deux dents K' et K du pignon;
En sorte que chaque dent de la crémaillère ne cesse pas d’être, pendant le mouvement, en contact avec l’une des dents du pignon.
Si je suppose que le point K", extrémité de la dent du pignon, arrive en <j', point d’intersection de la droite CD et du cercle { 06 ), il y aura, dans cette position de la crémaillère, par rapport au pignon, autant de dents en eontactqu’ily aura d’extrémités de dents du pignon situées sur l’arc çç' et d’extrémités de dents de la crémaillère situées sur la droite oà' ; les points 8 et i' étant las intersections de la droite ZZ' avec les droites ^'ô'et ^ 8 , qui sont respectivement parallèles aux côtés VV" et VV” de la dent de la crémaillère.
On pourra augmenter le nombre des dents en contact (ou en prise) en diminuant la base VV' du triangle qui forme la dent de la crémaillère; mais alors le nombre des dents du pignon, augmentera, et par suite la longueur ou saillie de ses dents diminuera. -
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0. Observations sur les crémaillères à dents rectangulaires et n dents triangulaires.
On doit observer : • . " •
t” Pour la crèinaillèrc à dents rectangulaires, la dent du pignon glisse constamment sur le même point de la dent de la crémaillère avec laquelle elle se trouve eu contact, tandis que pour la crémaillère à dents triangulaires, le point de contact change de position sur la dent de la crémaillère à mesure que 'ce point de contact parcourt, la ligne brisée DCD 1 ; ‘v. ...
2* De ce que les développantes de gauche des dents du pignon sont en contact avec les côtés de droite des dents de la crémaillère (que celte crémaillère ait des dents rectangulaires ou triangulaires) avant le rayon oà perpendiculaire à la direction de la crémaillère; et de ce que, en même temps, les développantes de gaucho des dents du pignon sont en 'contact avec les eûtes de gauche des dents de la crémaillère après ce même rayon ou: il s’eusuil que, si le pignon ayaul tourné de droite à gauche vient à tourner de gauche à droite, il conduira la crémaillère, iiumédialomenL et sans perle de temps, puisqu’il u y a pas de jeu entre les dents du pignon et les dents de la crémaillère;
3’ Dans l'engrenage à dents rectangulaires, le cercle primitif (oC) (fig. 3) est en mème'temps le cercle développa de toutes les développantes qui terminent les denudu pignon ; mais dans l’engrenage à dents triangulaires , le cercle primitif (oC) (fig. 4) est dtUëreui (il est autre) du cercle développé des courbes
développantes qui terminent les dents dn pignon , car ce dernier ( le cercle développé) est le cercle (od).
Dans ce qui précède, je n’ai pas eu égard à l’épaisseur que l’on doit donner J la crémaillère et au pignon, épaisseur qui est déterminée par deux plans parallèles entre eux et perpendiculaires à l'axe de rotation du pignon (*).
En ayant égard à cette épaisseur, l’on voit sur-le-champ que les dents de la crémaillère peuvent être :
1* Des parallélipipèdcs droits ou obliques;
2* Des prismes triangulaires droits ou obliques.
7. Cas où les dents de la crémaillère sont des parallélipipèdcs ou des prismes trumrfulairet
• droits.
Dans le cas où les dents de la crémaillère sont des parallélipipcdes ou dea prismes triangulaires droits, il est évident que la surface qui termine la dent du pignon se compose de deux cylindres dont les génératrices sont parallèles à l’axe du pignon , et dont les bases (ou sections droites) sont respectivement les développantes de droite et de gauche <>«■■ tu -in milieu .du pignon et de
la crémaillère. «
En sorte que l'extrémité ou arête saillante de la dent du pignon est une droite parallèle à son axe, cl qui n’est uulre que la génératrice droite intersection des deux surfaces cylindriques ( jig . 3 et 4).
8. Cas où les dents de la crémaillère sont des parailétipipèdes ou des prismes triangulaires
« obliques.
Dans le cas où les dents de la crémaillère sont des parallélipipèdcs o"u des prismes triangulaires obliques, la surface d’une dent dn pignon se compose de deux surfaire* développables dont je vais examiner la nolure géométrique.
Si sur un cylindre (C) droit et à base circulaire on trace une hélice è, on sait !
4 • Quo toutes les tangentes à I hélice 5 font avec l’axe du cylindre un même angle * cl déterminent une surface développable I, nommée liélieotde développable , ol dont Varcte-de rebroussement n’est autre que l'hélice i;
2* tjue tout cylindre à base circulaire , et ayant môme axe A que le cylindre (C), coupe Ijiélieoïde développable X suivant une hélice dont les tangentes font avec l'axe A un angle qui est égal à «;
(•) Les tracés donnés ( /S J. 3 cl «) sont supposés effectués dons le plan milieu de l’engrenage.
3» Que tout plan perpendiculaire à l’axe A coupe l’hclicoide développable 2, suivant deux développantes égales cl tournées en sens inverse, ayant le cercle base (ou section droite) du cylindre primitif (C) pour développée commune;
4’ Que deux plans parallèles entre eux et perpendiculaires à l'axe A , coupent les deux nappes de fjiélicoide développable 2, suivant quatre développantes égales et tournées deux à deux en sens inverse, cl que les parties des tangentes de l’hélice 3, interceptées entre ces deux plans, sont toutes égales ontre ellos;
5* Que les nappes qui se tournent l'une à l’autre leur concavité , et qui appartiennent à deux hélicoïdes développables 2 et 2! ayant pour arêtes de rebroussement rcs|>cclivcs deux hélices 3 et 3' parallèles entre elles et tracées sur un môme cylindre primitif (C), se coupent suivant une hélice' 4* située sur un cylindre primitif (C') ayant môme axe A que le cylindre*(C), et dont les tangentes font avec cet axe A le môme angle * que font avec ce même axe A les hélices 3 et 3'.
Cela posé :
Examinons le cas où les dents de la crémaillère sont des fmrallélipipèdrs obliques.
Pendant le mouvement de rotation , lo plan de Tune des faces obliques de la dent de la crémaillère se ment langcntiullemeut à la développante de droite ou de gauche de la dent du pignon , en faisant constamment avec l’axe de ce pignon un angle constant qui est le complément de l'angle 6 qui mesure l'inclinaison de celte face oblique sur le plan milieu du tracé (fig. 3).
La surface de la dent du pignon sera donc composée de deux surfaces développables qui seront les enveloppes île l'espace parcouru par les plans de l’une et l’autre face oblique de la dent de la crémaillère.
D'après ce qui précède il est donc évident : .
1* Que lu surface de la dent du pignon se compose de deux nappes se tournant leur concavité et appartenant é deux hélicoïdes développables ayant pour arêtes de rebroussement respectives deux hélices tracées sur le cylindre droit ayant pour base (ou section droiterie cercle (oC) (fig. 3 ), et ayant pour axe celui
«lu pignon.
T Que les tangentes à ces deux hélices font avec l’axe du pignon un angle qui est égal à celui que l une des faces obliques du parallélipipède fait avec cet axe.
3° Que les deux hélices sont parallèles entre elles et interceptent sur les génératrices du cylindre (oC), des |>ariics égales entre elles cl à la distance verticale h'h" (fig. 5) qui existe entre les plans des faces obliques h' b 1 ' et MM' qui délcrminout le creux existant entre deux dents consécutives de la crémaillère.
4* Que l'extrémité (ou arête saillante) de lu deut du pignon est une hélice dont les tangentes font avec l’axe de ce pignon un angle égal au complément de l’angle C.
9. Cas où les dents de la crémaillère sont des primes triangulaires obliques.
Tout ce que je viens de dire sur la forme des dents du pignon conduisant une crémaillère dont les dents sont des parallélipipèdcs obliques , s’applique mot à mot à la forme des dents du pignon qui doit conduire une crémaillère dont les dents sont des prismes triangulaires obliques; seulement l’on doit faire observer que dans ce dernier cas les deux hélices parallèles entre elles , et qui sont les arêtes de rebroussement des deux héiicoïdes développables qui terminent la dent do pignon, interceptent sur les génératrices du cylindre primitif ( od ) (fig. i) des parties égales entre elles et à la distance verticale existant entre les droites, qui sont les intersections du plan tangent au cylindre primitif (od) suivant la génératrice (d) et des deux faces obliques (C'V'") et ( CV'") qui déterminent le creux de deux dents consécutives de la crémaillère.
10. Du lieu des contacts des dents du pignon et de lu crémaillère.
Le contact entre deux dents du pignon cr dg-tn m^mnilUrn fera suivant une génératrice droite de la surface développable, çtjtindre ou hélicmde , qui termine la dent du pignon ; la face de la dent de la crémaillère étant uu plan tangent à cette surface développable.
Pour la crémaillère à dents parallélipipèdcs droits ou obliques , la droite de contact se moût dans un plan parallèle à Taxe du pignon et passant par la droite ZZ' (fig. 3 ). Celle droite de contact est toujours la même sur la face plane de la dent de la crémaillère, en sorte que le frottement s’exerce toujours aux mêmes points sur la face de la dent de la crémaillère.
Pour la crémaillère à dents prismes triangulaires droits ou obliques , la dent de contact sc meut dans deux plans parallèles & Taxe du pignon , et passant , l'un par la droite DCP', et l’autre par la droite D'CP (fig. 4 ). La droite de contact change de place sur la face plane de la dent de la crémaillère , en sorte que le frottement ne s’exerce pas aux mêmes points sur celte face de la dent de la crémaillère.
H. Tracé de la projection Itoriiontale du pignon.
D’après ce qui précède il est facile de tracer la projection horixontale du pignon dont les dents sont terminées par des surfaces hélicoïdos développables.
En effet : ayant tracé les ûg. 3 et 4, il suilira de supposer que ces figures tournent respectivement autour du centre o d’un angle tel que l’arc «A (fig. 5) soit
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égal ii la projection de la partie (interceptée entre les deux plans parallèles déterminant I 'épaisseur du pignon) de l'Iiélicc tracée sur le cylindre primitif, et dont les tangentes font avec l’axe du pignon uu angle égal au complément de l’angle S.
Ainsi dans la lig. 5 qui représente la projection horizontale du pignon et de la crémaillère dans le os où les dents sont des parallélipipèdcs obliques, l'arc aA étant rectifié est égal à la droite et projection horizontale de l’arète MM’ de la dent de la crémaillère (*).
Des moyens mécaniques qui peuvent être employés pour tailler les dents du pignon.
