DEUXIÈME PARTIE

Dét ennioêlion de la courba de séparation d’ombre «t de lumière ■tir une surface hélîcolde générale.

Ji-

Soient donnés {fig. a) un axe vertical O et une droite A parallèle au plan vertical de projection , celle droite A faisant avec le plan horizontal un angle arbitraire 6.

Construisons la plus courte distance entre les droites O et A; o*m* perpendiculaire à A* sera la projection de celte plus courte distance ; le point m sera le pied de celte plus courte distance sur la droite A ; et cette plus courte distance étant horizontale, nous sera donnée en véritable grandeur en o h m* , grandeur que je désigne par R.

Cela posé :

Concevons un cylindre de révolution vertical A et ayant la droite O pour axe , et ayant pour leciion droite le cercle C du rayon R.

Cela posé :

Faisons décrire au point m une hélice II sur le cylindre A , et telle que ses tangentes fassent avec le plan horizontal un anglo arbitraires.

La droite A, en tournant aulourdo l'axe O (son point m décrivant une hélice H, et celto droite restant toujours tangente au cylindre A et faisant toujours avec l’axe O un angle constant complémentaire de l'angle 6) engendrera la surface liélicoïde gauche X , sur laquelle on se propose de déterminer la ligne de séparation d'oinbre et de lumière , en supposant que celle surface est éclairée par un rayon

de lumière L, que nous ferons (pour plus de simplicité pour les construction* subséquentes) passer par le point m.

Si l’on prend une suite de points m*, m'*,... sur la droite A\ nous savons que les droites m h q, m'V/'*,... respectivement perpendiculaires aux divergentes o*m‘, o*m',... seront les projections horizontales des génératrices 9, 9',... du paraboloide hyperbolique <I>, formé par les tangentes 9, 6',... aux diverses hélices H , H',... décrites par les points m, m’...dc la droite A ; et nous savons que ce paraboloide 4> est tangent à la surfoce hélicoïde 1 tout le long de la droite A. Nous savons encore que si l’on mène dans le plan vertical passant par la droite A une droite Z parallèle à A et distante d’elle (verticalement) d’une hauteur *= R tanga (h étant le • pas commun des hélices H, H',...) les sous-tangentes seront respectivement égales aux rayons R, R',...

§ III

D'après ce qui précède, nous pouvons exécuter les constructions suivantes :

9° Portons le rayon R de m* en q.

2“ Projetons le point q en q ' sur LT (ligne do terre).

3° Menons par le point q' une droite 9’, faisant avec LT l’angle donné « que les diverses tangentes 9, 9'... font avec le plan horizontal.

, La droite 9" coupera la projection O’ de l’axe O eu un point m’.

4° Menons par le point m" une droite A* faisant avec la ligne de terre LT l'angle donnés.

5* Menons par m r la droite L% et par le point m* la droite J/, nous aurons les projections de la direction de la lumu-re.

El ainsi nous aurons établis les projections du tijstim* de la manière la plus simple pour la solution du problème proposé.

5 iv.

En vertu des données particulières de l’épure, et établies précédemment, le point q situé sur le plan horizontal est un point de la droite B, génératrice du second système du paraboluide *>, cl cette génératrice B est lu lieu îles extrémités des sons-tangentes des droites 9, 9’, 9",... lesquelles sous-langentes sont égales respectivementaux rayons R, R’, R".

— es —

Pour déterminer B‘ et B* il suffit donc de déterminer les projections d’un seul point de la droite B.

Or, si nous prolongeons R de m*o‘, le point q' h sera la projection d’un

point q' de la droite B.

Et, en eiïel, si l’on construit sur o‘</\ comme diamètre, un cercle, il coupera A* en m'*, et l'on aura évidemment la sous-tangente m'ty* — o*m'* , ou égala au rayon R’.

B* étant déterminé, construisons B*.

Pour cela, remarquons que si par le point p (situé au-dessous du point m de la quantité * = R tang*, ce qui établit ce point psur le plan horizontal), on mène une droite Z parallèle A la droite A; le point p\ extrémité do la sous-tangente projetée en ç'm’*, sera situé sur celte droite Z.

Si donc l’on mène par le point p'‘ une parallèle à la ligne de terre , on aura la projection verticale de la sous-tangente. Cette droite coupe la droite O* précisément au point </'*; dès lors, en unissant q' c et m ’ on aura la droite S'% et en unissant les points q " et q 1 ' on aura la droite B*. Mais comme la ligure {q*q T p’p'‘) *-‘st un parallélogramme, il s’ensuit que les droites 8“ et 6'’ sont parallèles , et quo les droites B’ et A' sont aussi parallèles.

Et comme les droites 6, 6'... sont les génératrices du premier système, et que les droites A, B... sont les génératrices du deuxième système du paraboloîde 4>, il s'ensuit que toutes les génératrices de ce paraboloîde <1> sc projetteront sur le plan vertical suivant des droites parallèles.

Le plan vertical de projection est doue perpendiculaire à la droite intersection des deux plans U et V directeurs du paraboloîde 4>; ecs plans U et V sont dono perpendiculaires uu plan vertical de projection, l’un C étant parallèle à la droite 8’, et l’autre V étant parallèle à la droite A”.

En vertu de ce qui précède, le paraboloîde <5 étant construit, il faudra mener par la droite A un plan P parallèle au rayon de lumière L, et chercher en quel point x de la droite A ce plan P est langent à la surface <8; ce point x sera un des points de la ligne de séparation d'ombre et de lumière de la surface liélicoide Z. On détermine facilement la trace H' du plan P, puisqu'elle passe par les traces horizontales r et a des droites A et L.

Cela fait,

Il faudra déterminer le point d un lequel la droite R perce le plan P.

Pour déterminer ce point d, nous mènerons par la droite B un plan X pa-

rallè'eà la droite A; par un point q de la droite B, nous mènerons donc une droite A', parallèle à la droite A , et les deux droites B et A' détermineront le plan X.

Mais comme les droites A’ et B' sont parallèles, il s'ensuit', que le plan X est perpendiculaire an plan vertical de projection ; il sullit donc (sans aucune construction préalable) de mener par le point q une droite H 1 , perpendiculaire à A* pour avoir la trace horizontale du plan X.

Les deux plans P cl \ se couperont suivant une droite A", parallèle à la droite A (car le plan P passe par la droite A et le plan X passe par une droite A” parallèle li A), il sullit donc de construire un point de cette droite K" pour qu’elle soit connue de position. Or, les traces H* et H" se coupent au point è; en menant par ce point b une droite A"* parallèle à A*, on aura la projection horizontale de la droite A"; cette projection coupera la droite B* en un point rf* qui sera la projection du point J demandé.

Cela fait ,

II faudra du point d mener une génératrice du premier système du paraboloîde <t>. Or, si sur o*d* comme diamètre, on décrit un demi-cercle, il coupera A’* en un point .r*, qui sera la projection horizontale du point x, contact du plan P et du paraboloide <]>, et par suite contact do ce même plan P et de la surface hélicoide 2.

§ VI

Nous avons supposé dans ce qui précède que la droite A faisait avec le plan horizontal un angle arbitraire S. Quel que soit cet angle S, les constructions seront toujours les mêmes, cependant lorsque eci angle S est nul, elles se trouvent simplifiées, et en elfel :

La droite A ( fig . b ) étant supposée horizontale et parallèle au plan vertical de projection, l’on voit de suite que la droite B est située dans le plan horizontal, puisque B’, étant parallèle à A’, doit se confondra avec la ligne de terre LT.

Dès lors, le point q' est sur le plan horizontal , et la trace H" est parallèle à A% ou à la ligne de terre LT.

Il est facile de lire sur la fig. b toutes les constructions à exécuter pour trouver lu point x, point de contact du plan P avec la surface hélicoîde 2.