ML

Ayant déterminé le point x de la ligne de séparation d’oiubre et de lumière,

qui est situé sur la droite A, il faut construire les points 2, 2,,... situés sur tes diverses génératrices droites A,, A >( ... de la surface liélicoïde I.

Étant donc donné ( fig . c), la projection A* de la génératrice A, et la projection L,*du rayon de lumière, qui parallèle à L passe par le point m, de l’hélice H (décrite sur le cylindre A par le point tn) ce point m, étant celui en lequel la génératrice A r touche le cylindre A, nous pourrions prendre un plan vertical l,T parallèle à la droite A, et effectuer les contractions précédemment expliquées et nous trouverions le point 2. de la même manière que nous avons trouvé le point 2; mais ces divers changements de plan vertical de projection, rendraient l'épure très-confuse, il vaut mieux opère? au moyen d’un mouvenfent de rotation.

Comme la droite A, fait avec le plan horizontal le même angle £ que la droite A, en faisant tourner celte droite A, autour de l’axe O de l’angle y et en supposant que le point m, parcoure l'hélice M, cc point m, viendra se superposer sur le point m, et la droite A, viendra se superposer sur la droite A.

En même temps le rayon L, viendra prendre la position L' en laquelle L'* fera avec L*un angle dégai à l’angle i que les projections A* et A* faisaient entre elles.

Et comme les rayons de lumière L et L.sonl parallèles et font dés lors un même angle avec le plan horizontal , il s’en suit que les droites L et L' font avec la verticale passant par le point m des angles égaux et qu’ainsi ces droites L et L' sont situées sur un cône de révolution vertical , et ayant le point m pour sommet.

Cela posé ,

Le problème à résoudre sera donc le même que précédemment; seulement, au lieu de supposer que le rayon de lumière a la direction L, on doit supposer qu’il a la direction L'.

Pour déterminer la trace horizontale a du rayon L', il suffira de décrire du point ru* comme centre et avec m'a pour rayon un cercle D qui coupera L* au pointa' demandé.

Ce point a' étant construit toutes les autres constructions s’effectueront comme . dans la fig. a.

On déterminera donc le point x'* et on le ramènera par un arc de cercle ayant le point O* pour centre en 2,* sur A,*, et par suite on trouvera 2/ sur A,".

§ VIH.

Dans le cas où la génératrice droite A de l’hélicoîde 2 serait horizontale, on opérerait de la même manière indiquée § VII, pour déterminer les divers point* 2, x,, 2,,... de la ligne de séparation d’omhreet de lumière.

§ IX

Au lieu de se donner Ja surface hélicoïde générale 2 par la génératrice droite A faisant avec le plan horizontal un angle constant S et par l'hélice H décrite par lé pied m de la plus courte distance U existant entre l'axe O et la droite A , on au* rail pu se donner la surfaces par la même génératrice A et une hélice II' décrite par un point quelconque m' de cette droite A, en assujettissant toujours la droite A à être tangente au cylindre A ayant la plus courte distance R pour rayon de sa section droite.

Dès lors, connaissant : 1* la distance R du point m de la droite génératrice A à l’axe fixe O, et 2* l'inclinaison d ' de l’hélice H' sur le plan horizontal (inclinaison a j que i on peut facilement calculer ou construire graphiquement, le pa» h commun aux diverses hélices H, H', H",... décrites par les divers points in, m\ m"... de la droite A étant connu), on pourra opérer comme précéderrimeni> et la construction dog divers points de la courbe de séparation d'ombre et de lumière se construiront très-facilement.

Et, en effet ,

Concevons (fig. d) l’hélice 11' décrite par le point m' (les données étant les mêmes que dans la (Ig. rt), nous prendrons R'rrOVi* et nous le porterons dem* en q"' sur 9'* (tangente en m‘ au cercle H'*), et ce point q' k sera la projection du point q' de Ja droite I>, génératrice du second système du paraholoïde <t>.

Si nous ramenons la droite 9' u être parallèle au plan vertical de projection, le point m' viendra en m',’ sur 0% et le point m'* viendra en m\ k sur le prolongement de 0‘m‘; en sorte que 9',* sera parallèle à la ligne do terre LT.

Si donc je mène une droite L'T' parallèle à la ligne de terre LT et à une distance du point m',’ égale à : s=R' tanga', j’aurai en g'° (sur L'T') la projection verticale du point , et la droite O',', qui unit les points m',* et q’ t fera nécessairement avec la droite L'T' un angle égal ù l’angle x que la tangente S’ au point m’ de l’hélice II' faisait avec le plan horizontal.

Cela posé ,

Le point q' de la tangente 9' se projettera en q'" sur la droite L'T'; et menant par ce point q’’ une droite Z c parallèle à A', on obtiendra la même droite Z’ que dans la iig. a; et la projection horizontale de la droite Z ne sera autre que la droite A*.

La droite Z“ ne sera autre que la projection B’ de la droite B, lieu des extrémités des sous-tangentes, égales eu longueuret respectivement, aux rayons R, R'... Pour avoir B*, que nous savons déjà devoir passer par ie point </'*, nous porte-

rons sur A* de m" eu tf une longueur égale à : Il =<V»i k (égale à la plus courte distance qui existe entre les droites O et A), la droite B* passera par le point tf, la point q de la droite B aura sa projection verticale en q ' sur la droite Z r ; et menant par le point q t une droite L"T" parallèle à LT, eu prenant le plan L"T" pour nouveau plan horizontal de projection, on achèvera les constructions par rapport à ce plan L"T", comme on l’a fait ( lig. a etc) pour le plan LT.

Cela dit, on voit que l’on pourra très-facilement achever l 'épure.

Ce que nous venons de dire ci-dessus $ IX nous permet de généraliser la solution donnée fig. a, et de l’appliquer au cas où la plus courte distance R existant entre l aite O et la génératrice A serait nulle. Dans ce cas particulier, le cylindre A se réduit à Taxe O, et la surface héiicoide 2 devient 1* la surface du filet de vis triangulaire, si la droite A est inclinée sur l’axe O , et 2* la surface du filet de vis carré, si la droite A coupe rectangulairement l’axe O.

S Xi.

Détermination de la ligne de séparation tf ombre et de lumière sur la surface de la vis

triangulaire.

Prenons l’axe O vertical; la génératrice A qui engendre le filet de vis, sera supposée parallèle au plan vertical de projection. Les divers points m,m', m".... de la droite A, engendreront des hélices H, II', H ',... qui auront toutes même pas h.

Le point m, situé sur l’axe O, engendrera une hélice H qui ne sera évidemment autre que cet axe O. .

Cela posé : . . ■

prenons un point m' ( fig . e) sur la droite A, et dont la distance à l'axe O soit égaie à m*0* que je désigne par R'.

La tangente 8' à l’hélice H', décrite par le point m, fera avec le plan horizontal qn angle «' dont la tangente sera connue, car l’on a :

taug J—

*rll'

Nous pourrons donc construire graphiquement l’angle a.

Cet angle *' étant connu , nous mènerons par le point m‘ une droite m’g, fai-

saut avec la ligne tic terre LT l’angle a’. Celte droite m’g coupera 9*' en un point g, et menant gp", parallèle à la ligne de terre LT, elle coupera O* en un point p'\ nous aurons donc en m’p* la hauteur i = R'. tang. %.

Par conséquent , en menant par le point p ' la droite Z", parallèle à A r , on aura en même temps en cette droite V la projection B’’ de la génératrice B du second système appartenant au paraboloïdc hyperbolique <t> , formé par les tangentes 9, 9', 9",... et celte droite B sera le lieu des extrémités des sous-tangentes des droites 0,9',... lesquelles sous -tangentes sont respectivement égales aux distances H', R",... des points m, m ",.. . de la droite A. à l’axe O.

En prolongeant la droite Z” jusqu’en q' r sur la droite 9'*, nous pourrons mener par ce point q’ une droite LT parallèle à LT, et considérer le plan horizontal L'T' comme étant le plan horizontal LT de la lig. a.

Les constructions pour déterminer le point x seront identiquement les mêmes que dans la üg. a, ainsi qu’on peut s’en assurer en jetant les yeux sur la lig. r.