S XII

Détermination de la ligne de séparation <f ombre et de lumière sur la surface du filet

de vis carré.

La droite A sera dans ce cas supposée parallèle à la ligne de terre. La lig. / nous démontre que les constructions sont les mêmes que celles de la fig. e pour déterminer le point et qu’aprés la détermination de ce point, les constructions subséquentes pour la détermination du point x sont indenliques à celles exécutés lig. b.

S XIII

Dans le Cours de géométrie descriptive (chapitre des surfaces gauches) , nous avons résolu le même problème, mais par une méthode différente; et dans tous les cas que nous avons eu à étudier, nous avons choisi parmi tous les paraboloides de raccordement, celui qui avait pour l’une de ses génératrices droites, la génératrice du cylindre À auquel la droite A était tangente.

Dans le mémoire actuel, nous avons employé le paraboloïdc direct, celui qui est formé par les tangentes aux hélices décrites par les divers points de la droite A.

§ XIV

Si l’on examine la fig. a, ou voit que la plus courte distance existant entre

l'axe O et la génératrice droite A de la surface hélicoïde 2 étant égale à R, et le plan horizontal étant mené au-dessous du point m età une distance x — R tang. a, (a étant l’angle que la tangente 9, à l’hélice H décrite par le point m, fait avec le

plan horizontal, en sorte que l’on a : tang. «= h étant le pas de tous les hélices H, H',...) on voit, dis-je, que les points q, ret a resteront les mêmes si, en faisant varier s, on incline les droites A, 9 et L d’une manière convenable.

Et en effet désignant par S, « et 3 les angles que les droites A, 9 et L font avec le plan horizontal, on aura :

tang C= tang a= -, tangi=Trp-

m r k ma

m k r, R, et m\i restant constants , il est évident que si l’on fait varier z, il faudra nécessairement faire varier les angles S, a, 3 de manier© à ce que les trois équations ci-dessus soient satisfaites; et dès lors la courbe lieu des points x f restera la même.

Or l’on peut supposer s «= 0 et alors /< = O, et alors toutes les hélices se confondent en un seul cercle situé sur le plan horizontal, et les trois droites A, 9 et h se confondent avec leurs projections A‘, t et L*.

Dans ce cas la surlace hélicoide 1 se transforme en un plan qui est le plan horizontal de projection.

Kl les points o\ m*, r, q et a ne variant pas de position entre eux, la courbe lieu des points x* peut être considérée, non plus comme la projection horizontale d’une courbe de l’espace, mais comme une courbe plane et géométrique dont les divers points x* sont déterminés par une construction géométrique, particulière, opérée dans le plan même de la courbe et sans aucune considération de r espace.

Même chose a été signalée dans le Cours de géométrie descriptive, et ainsi par exemple, lorsque l’on a construit la courbe d’intersection de deux surlaces coniques ou cylindriques.

On voit donc que l’on peut se proposer de trouver directement quelle est la courbe lieu des points**, construits ainsi qu’il a été dit fig. c où la construction plane est seule représentée.

î XV.

Si la tangente 9 à l’hélice H décrite par le point m de la droite K(Jig. g) fait avec le plan horizontal un angle S égal à celui que la droite A génératrice de la surface hélicoïde 2 fait avec ce même plan horizontal , alors l’on sait que la surlace 1 est

développable et que les diverses tangentes 9, 9', S",.-, aux point* ni, m', m",...dc s hélices H, H', H",... (cas [joints ni, ni', étant sur la droite A) sont dans un même plan X qui remplace la surface paraboloïde >I>. Or, dans ce cas particulier, la construction étant exécutée lig. g comme en la lig. a, on voit que la propriété des sous-tangentes subsiste, cl que la droite B lieu des extrémités des sous-tangentes respectivement égales aux rayons R, R',... est avec la droite A dans un même plan X perpendiculaire au plan vertical de projection. Ce que nous savions devoir être, puisque ce plan X devait être tangent à la surface 2 tout le long de la génératrice droite A.