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Une surface développable n’est pas toujours donnée par son arête de rebroussement , souvent on se donne deux directrices sur lesquelles doit rouler le plan qui doit déterminer 1a surface développable comme enveloppe de l’espace parcouru par ce plan.

La solution du problème : construction de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, s’effectue alors, ainsi qu'il suit:

Premier cas, la surface développable étant éclairée par un rayon de lumière.

Soient C et C' les deux courbes (fig. 3) sur lesquelles doit rouler tangcnliellemeni le plan qui sera en chacune de ses positions, t'enveloppée de la surface développable D; soit L la direction du rayon de lumière.

On regardera les deux courbes C et C' comme les directrices de deux cylindres dont les génératrices droites seront respectivement parallèles à la droite L.

On aura donc un cylindre A passant par la courbe C et un cylindre A' passant par la courbe G'.

Cela posé :

On coupera les deux cylindres A et A' par un plan P (le plan horizontal de projection par exemple), et l’on obtiendra deux courbes planes B et B'.

La tangente commune H' i ces deux courbes B cl B' sera la trace sur le plan P d’un plan T tangent à la fois aux deux cylindres A et A'.

U’ touchera la courbe B au point b et la courbe B' au point b‘.

On mènera par ces points b et b‘ deux parallèles à la droite L, la première coupant la courbe C au point c et la seconde coupant la courbe C' au point c'.

Il est évident que la droite cc' ne sera autre qu’une génératrice droite G de la surface développable D et que cette droite G (ou ce’) sera la droite de contact de la surface D avec le plan T, lequel sera parallèle au rayon Lde lumière. Celte droite G (ou cc) sera donc la ligne de séparation d’ombre et de lumière cherchée.

Deuxième cas. La surface développable étant éclairée par un point lumineux.

On considérera les courbes C et G' comme les directrices de deux cènes A et A ' ayant le point lumineux l pour sommet commun (fig. 4 ).

On coupera ces deux cènes par un plan P, et la tangente commune aux deux courbes de section B et B' sera la trace II' sur le plan P d’un plan T tangent à la fois aux deux cènes A et A 1 .

On unira les points de contact b et b‘ des courbes B et B’ et de la tangente commune H* avec le point l ; les droites Ib et lb' couperont , la première la courbe C au point c, la seconde la courbe C' au point c, et la droite cc sera la ligne de séparation d’ombre et de lumière demandée.