S III

La surface développable D peut être engendrée par un plan roulant tangentiellement à deux surfaces données 2 et 2'. Il faut savoir, dès lors, construire la

ligne de séparation d’ombre et de lumière appartenant à cette surface P, suivant que cette surface P est éclairée par un rayon lumineux ou un point lumineux. Pans ce cas la solution sera la même que celle employée lorsque la surface développable était donnée par deux courbes directrices.

Et en effet : -

Premier cas. Surface développable P donnée par deux surfaces directrices 2 et 2* et éclairée par un rayon de lumière L.

On construira deux cylindres A et A' tangents perspectivement aux deux surfaces directrices données A et 2', et ayant l’un et l’autre leurs génératrices droites parallèles au rayon de lumière L. Le cylindre- A touchera la surface 2 suivant une courbe £, le cylindre A’ touchera la surface A' suivant une courbe

On coupera les deux cylindres A et A' par un plan P, et l’on obtiendra pour section deux courbes B et B'. La tangente commune IP à ces deux courbes sera , sur le plan P, la trace d’un plan T tangent à la fois aux deux cylindres A et A’, et aussi aux deux surfaces 2 et A'; ce plan T touchera la surface 2 en un point i situé sur la courbe £, et touchera la surface 2' en un point i' situé sur la courbe £'. La droite ii' sera une génératrice droite de la surface développable D, et elle sera la ligne de séparation d’ombre et de lumière demandée.

Deuxième cas. Surface développable P donnée par deux surfaces directrices 2 et 2' et éclairée par un point lumineux I.

Les cylindres A et A' employés dans le premier cas deviendront deux cônes ayant le point l pour sommet commun, et ils seront tangents perspectivement aux surfaces directrices 2 et 2' suivant des courbes Ç et J'. La construction s’achèvera comme pour le premier cas.

§ IV

Supposons que la surface développable est une surface hélicoïdc 2', ayant dés lors pour arête de rebroussement une hélice H tracée sur un cylindre de révolution K ayant pour axe de rotation une droite A, l’hélice H coupera toutes les génératrices droites du cylindre K sous un angle a. Supposons en outre que le rayon de lumière L est parallèle à l'une des génératrices droites de la surface développable 2.

Il est évident que la droite L devra faire avec un plan P perpendiculaire A l’axe A un angle S complémentaire de l'angle a.

Cela posé :

Prenons le plan P pour plan horizontal de projection , il coupera le cylindre K suivant un cercle C, et la surface 2 Suivant une développante i do ce corde C.

— Mi —

L'hélice H se projettera orthogonalement sur le plan P suivant le cercle C, et t tontes les tangentes G à l’hélice H se projetteront sur le plan P suivant des tangentes au cercle C.

Dés lors, ayant donné les projections du rayon de lumière L , on aura L* parallèle à uneccrtainc tangente G* (Juj. 5) au cercleC.etlcsdroites L et G feront avec le plan horizontal P le même angle S, et il est évident que la droite G sera la ligne de séparation d'ombre et de lumière demandée. Mais si l'on voulait construire la droite G d'après la solution donnée ci-dessus (§2), on devrait considérer la développante 3 comme la Imse d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles au rayon de lumière L, et considérer l'hélice II comme la directrice d'un cylindre A ayant aussi ses génératrices parallèles au inèine rayon de lumière L. Il faudrait chercher la trace Z du cylindre A sur le plan horizontal P, et la tangente commune aux courbes Z et 3 serait la trace, sur le plan P, du plan tangent à lu surface 1 suivant la génératrice droite, qui serait la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Or, pour déterminer la courbe Ç, la construction sera évidemment la suivante :

Ayant pris un point m*8ur le cercle C (ou H* projection de l'hélice 11 arête de rebroussement ;, on mènera la tangente »«*« à ce cercle C , laquelle coupera la développante 3 en un point u. Un point a/ comme ceüUc, et avec m*n pour rayon, on décrira un cercle qui sera coupé en un point /> par la droite L*, menée par le point m* parallèlement à la droite L*, le point p sera un point de la courbe Z- Si l'on prolonge la droite L,*, elle coupera le cercle C eu un second point m'\ et si I on mène en point m * une tangente au cercle C, elle coupera la développante 3 eu un point et si du point m* comme centre, et avec m'V |>our rayon, ou décrit un cercle, il coupera la droite L* en un point </ qui appartiendra encore à la courbe ij.

Or if est évident que le point p est intérieur à la développante 3 , et que le point q est extérieur par rapport à cette même courbe 3.

De plus il est évident que lorsque la droite L,* sera tangente au cercle C, et aura pris dès lors la position G*, le point r, en lequel G* coupe la courbe 3, nppartiendra à la courbe L

La courbe Z est donc une courbe présentant au point r un point de rebroussement , et devant avoir en ce point , même tangente IP que la développante 3.

La droite G, qui est la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et qui se trouve, dans ce cas particulier, immédiatement construite (sans avoir besoin de recourir à la courbe Z), détermine le point de contact r commun aux deux courbes 5 et ç. Dans ce cas particulier les deux courbes 3 et Z ont non-seulement une tangente commune IP, mais encore elles sont tangentes l’une h l'autre.

Il est encore évident que la courbe l ne peut offrir un point de rebroussement, qu’aulanl qu’il y aura une des tangentes de l’arète de rebroussement qui soit parallèle au rayon de lumière.

Après avoir exposé la théorie qui nous donne d'une manière générale la solution du problème : déterminer lu ligne de séparation d ombre et de lumière sur un tronçon de surface développable , ce tronçon étant intercepté par deux plans parallèles entre eux ou non parallèles entre eux, la surface étant éclairée par un rayon de lumière ou par un point lumineux , appliquons cette théorie à quelques exemples simples, ee qui nous permettra de reconnaître l’avantage que l'on trouve à l’exposition préalable d'une théorie générale, de laquelle on déduit sans peine la solution de tous les cas qui peuvent sa présenter dans la pratique, cl sans avoir besoin, dès lors, de multiplier les exemples.

8 VI

1" exemple. Ombre d un cône droit éclaire par un rayon de lumière.

Nous supposerons (fg. 0) que le cène a son axe A , de rotation, vertical ; sa base sur le plan horizontal sera le cercle G; et son sommet sera le point s ayant pour projection s ' sur A r et s" au centre du cercle H.

Cela posé :

Supposons que le cône est éclairé par un rayon de lumière L, et cherchons la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur ce cène.

Lorsque l’on connaît le sommet d’un cène et sa base , on peut considérer celle surface développable comme étant donnée par son arête de rebroussement , qui, ici , sera un point qui n’esl.aulre que le sommet du cène.

La base du cône sera la section faite dans cette surface développable par le plan horizontal.

Cela posé, appliquons la théorie générale.

Il faudra , par l'arête de rebroussement , faire passer un cylindre A parallèle au rayon de lumière L, et chercher son intersection avec le plan de la base It.

Or, l'arétc de rebroussement étant le sommet *, ce cylindre A se réduira A une droite D menée du sommet et parallèlement au rayon lumineux L, et son intersection d, par le plan horizontal de projection, sera la courbe de section faite par ce plan dans le cylindre A.

Il faudra mener une tangente commune aux courbes B et d; or, la courbe d n’étant qu'un point, cela revient à mener par le point d une tangente au cprcle B.

ne —

On aura donc deux tangentes IP et II e , qui seront les traces de deux plans T et 0 tangents à la fois el respectivement au premier cylindre A et à un second cylindre, qui aurait la base B pour directrice, et dont les génératrices seraient parallèles à la droite L.

Le plan T louchera la courbe B au point p, ce même plan T touchera l'arète de rebroussement en le point s , donc la droite sp sera la ligne de séparation d'ombre cl de lumière demandée.

Mais en même temps que cette construction donne la ligne de séparation d'ombre et de lumière, elle donuc l’outbre portée du cène sur le plan horizontal de projection.