VII

2* exemple. Ombre d’un tronc de cône droit éclairé par un rayon de lumière.

Concevons lecéne ayant son axe A, de rotation , vertical {/g. 7); sa base sur le plan horizontal sera un cercle B. Supposons que ce cène soit coupé par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection, nous aurons une ellipse E.

Le cène pourra donc être considéré comine étant une surface développable engendrée par un plan roulant tnngcntiellcmenl sur les courbes B el E. Supposons que ce tronc conique est éclairé par un rayon de lumière L, et appliquons la théorie générale pour déterminer la ligne de séparation d'ombre el de lumière.

Par la courbe E nous ferons passer un cylindre A ayant scs génératrices parallèles à la droite L, nous couperons cc cylindre A par le plan horizontal de projection, cl nous aurons l’ellipse E'.

Cela fait :

Mous mènerons aux deux courbes B et E' une tangente commune IP qui touchera la courbe B en i et la courbe E' en y.

Menant par le point y une parallèle au rayon L, elle viendra couper la courbe E en un point x, et joignant les points i clx, on aura la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur le tronc conique.

Il existe une seconde tangente commune II e qui donne une seconde ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Et l’on voit que par celte méthode on détermine en même temps l’ombre portée par le tronc conique sur le plan horizontal de projection.

déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un conoïde (*). •

Supposons que le conoïde soit donné: 1° par une directrice droite K perpendiculaire au plan vertical de projection, 2* par une directrice courbe B tracée sur le plan horizontal, et que le plan vertical de projection soit le plan directeur de ses diverses génératrices droites (fig. 1).

Cela posé :

Concevons un rayon lumineux L et cherchons la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface conoïde.

Menons par un point x de la droite K un rayon L de lumière cl la génératrice droite G de la surface conoïde.

Le rayon L percera le plan horizontal au point b et la génératrice G le percera en un point a de la courbe B.

Faisant passer un plan P par les droites L et G , ce plan touchera la surface conoïde en un point y situé sur la droite G cl qui appartiendra à la courbe de séparation d’ombre et de lumière demandée.

Pour déterminer ce point y, il faudra donc remplacer le conoïde par un paraboloïde de raccordement qui lui soit tangent tout le long de sa génératrice G ; or, le paraholoïde le plus simple à employer est évidemment, ici, celui qui sera engendré par la droite G se mouvant parallèlement au plan vertical de projection, en s’appuyant sur la droite K et sur la droite K, menée langentiellemeni au point o, à la courbe B.

La droite ab sera U p coupant la ligne de terre LT au point o.

La droite K, sera la trace horizontale du paraholoïde 1, et sa trace verticale sera la droite G, qui unit les points s et K'.

Le plan P coupera le paraholoïde 1 suivant une génératrice du second système ayant le plan horizontal pour plan directeur.

Cette génératrice K’ (du second système) étant déterminée, elle coupera la génératrice G (du premier système) en un point y qui sera le point demandé.

Or, pour déterminer K', il faut connaître V’ : construisons donc cette trace

(*) J'ai rédigé es petit mémoire , d'après mes notes et des croquis exécutés à Metz en 1 8Z0.

verticale du plan P. Pour cela, menons par le point x une droite D horizontale du plan P, et coupant le plan vertical- au point d, la droite od ne sera autre que V% et remarquons que V’ est parallèle â la droite G'.

La trace V' coupera la droite G, trace verticale du paraboloïdei en un point p; si donc on mène par ce point p une droite K' 1 parallèle à la ligne de terre, et si Pou unit les points p* et r (en lesquels les droites K* cl K, se coupent), on aura K'*.

Les droites G et K' sc couperont au point y demandé.

Nota. Comme la droite K'est b génératrice du second système du parai loloïdei, elle est horizontale; étant dans le plan P, elle est alors une horizontale de ce plan; il faudra donc, cl ce sera une vérification, que les droites K"‘ et II ' se trouvent parallèles.

On pourra donc se procurer autant de points y.,., que l’on voudra et appartenuntà la courbe de séparation d'ombre et de lumièrcct,cela, par une construction très-simple, car, en definitive, elle se réduira: t"à mener H' par les pointsa été; 2* à mener ia droite K* par le point r et parallèlement à la droite H'; à déterminer le point if interjection des droites K'* et G*, et par suite on aura y' sur G’.

Appliquons ce qui précède à un exemple particulier, le conoîde ordinaire, par exemple, et construisons complètement et en tous ses détails la ligne de séparation d’ombre et de lumière en considérant Tes deux nappes de cette surface conoîde, et discutons les diverses formes que celte courbe prendra, suivant l’inclinaison du rayon de lumière par rapport au plan horizontal.

Nous voyons , par ce qui a été dit au § I (ci-dessus) , que l’on pouvait déterminer la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur un conoîde éclairé par un rayon lumineux , sans avoir besoin de s'inquiéter de la projection verticale de cette ligne.

Dès lors (fi y. 2) , étant donné un conoîde dont la ligne de striction K est porpemliculaire au plan vertical , et dont la base sur le plan horizontal est un cercle B ayant son centre sur la droite K*, il sera facile, en appliquant la construction générale, de trouver les projections des branches 3, 3,, S', S ' de la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Dans la ftg. 2, nous supposons que le rayon de lumière glissant sur la droite K de striction , engendre un plan , dont 4es traces sont 44" et V\ 44 peut évidemment arrivw plusieurs cas.

— ne —

premier tas. La traça H* coupant le cercle B.

Si , comme dans la fig. 2, la trace 11° coupe le cercle B en les points b' et b‘, alors la ligne de séparation d'ombre et de lumière a la forme indiquée, en projection horizontale et verticale, par cette figure.

Discutons les particularités de cette forme de courbe.

Il est évident que la courbe passe par le point m , extrémité de la droite K, point m par lequel passe une génératrice G du conoïdc, laquelle génératrice G est verticale.

La construction graphique nous montre que la branche 3* coupe la droite K* en un point x' k qui est sur la projection G'* de la génératrice G' du conoïdc passant par le point b', en lequel le eercle B { hase horizontale du ooiroïde ) est coupé par II*, trace horizontale du plan lumineux passant par la droite Kde striction. '

La ligne de séparation d'ombre et de lumière se projette horizontalement suivant deux branches séparées , offrant chacune un point de rebroussement , savoir, l’une au point m\ et l’autre au point m*.

Le diamètre du cercle B parallèle à la ligne de terre LT, ou mieux, perpendiculaire à la droite K*, est une asymptote commune aux deux branches. En sorte que les projections de la courbe de séparation d’ombre et de lumière offrent les formes indiquées par la lig. 2, et qu'en projection verticale on obtient deux nœuds tangents en K“ ou ni" aux droites G' et G'° ; et que les branches infinies ont pour asymptotes les droilesG 1 ” etG'" r , dont les pieds ou traces horizontales sont en 6 S et b " sur le cercle B.

Si l'on suppose que l’on ne considère, en projection horizontale, que la nappe inférieure du conoïdc, la lig. 3 indique, dans le cas examiné ci-dessus, la forme de l’ombre. Et l’on doit remarquer que la courbe u 1 ne sera ligne de. séparation d’ombre et de lumière que pour la facr interne du conoïde, et non pour la face externe, puisifuc le c\ limbe lumineux tangent au conoïdc suivant l’arc de la courbe 3 projetée eu o' 1 , couperait le plan horizontal suivant une courbe intérieure au cercle B.

Cas particulier. La trace H* n étant autre que le diamètre K du cercle B.

Dans ce cas, le rayon lumineux est oblique au plan horizontal, et il est situé dans un plan vertical perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans ce cas, les fig. \ et 5 indiquent la forme, que prennent les projections horizontales de la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Les deux boucler disparaissent dans la projection verticale. Les branches 3' et 3, r sont superposables entre elles, ainsi que les branches 3,'° cl d'% et eela en pliant l’épure suivant la droite C°, car ces quatre courbes sont tangentes en m'à cette droite verticale G*.

Mais les branches J, 3, et 3', 3,' sont différentes entre elles , elles ne sont pas superposables ; cela n’aura lieu que lorsque le rayon lumineux sera vertical.

Deuxième cas. La trace II* étant tamjente au cercle B.

Si -l’on applique dans ce cas la construction graphique, on verra de suite que la ligne de séparation d’ombre cl de lumière se trouve composée d'une seule branche ayant pour asymptote les génératrices droites G"' et G’ du conoîde.

La fig. 0 indique la forme des projections horizontale et verticale de la courbe ; mais, dans ce cas tout particulier, il existe une seconde ligne de séparation d’ombre et de lumière, soit sur sa nappe inférieure, soit sur sa nappe supérieure, et qui est la génératrice G'" du conoîde.

Et en effet, le plan lumineux qui passe par la droite de striction K est tangent au conoîde suivant celle génératrice G"', parce que l’on sait que la surface conoîde est développable tout le long de cette génératrice G'", qui est toute particulière , puisque le paraboloide de raccordement, mené suivant cette génératrice, n’est autre qu’un plan, n’est autre que le plan (G"', K), c’csi-à-dirc le plan lumineux lui-même.

La fig. 7 donne l’ombre complète sur la projection horizontale du conoîde, en no considérant que sa nappe inférieure.

Troisième cas. La trace H* ne coupant pas le cercle B.

Lu lig. 8 indique la forme des projections horizontale et verticale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, et la fig. 9 donne l’ombre de la projection horizontale du conoîde , en ne considérant que sa nappe inférieure.

Cas particulier. La trace 11“ peut être située à l’infini.

Dans ce cas, le rayon lumineux est horizontal, et la fig. 10 nous donne la forme des projections horizontale et verticale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière. Celte courbe est composée de deux branches qui sont chacune symétriques par rapport au plan horizontal passant par la droite K destriction.cn sorte que les arcs 3 et 3, , 3' èt 3/ de chaque branche se projettent horizontalement suivant un arc d’une même courbe, arc qui s’arrête pour l’une des projections horizontales au point m*, et pour l’autre au point m'\

La fig. 11 est dans ce cas identique à la fig. 10.

§ III

Dans ce qui précède, nous avons donné la construction de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface conoîde; mais il nous reste à rechercher si cette surface ne peut pas , dans certains cas , porter ombre sur elle-même.

Il est évident que la ligne de striction K seule |>cul porter ombre sur la surface conoïde, lorsque l’on ne considère que la nappe inférieure de la surface (comme, par exemple , lorsque l'on aurait à considérer un toit de forme conoïde).

Ce n'est que dans les cas représentés par les fig. 3 et 7, que la droite K de striction pourra porter une ombre apparente sur la surface de la nappe inférieure du conoïde. Ce que je viens de dire sera évident, lorsque nous aurons démontré que la tangente aux |>oinls m* cl m' 1 ' de la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière est parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux.

Construction de la tangente au point de rebroussement de la projection horizontale de la ligne de séparation d ombre et de lumière.

'Si l’on considère le point m de la ligne de striction K (fig. 12), et que l’on prenne sur le cercle B, base du conoïde, un point g 1 infiniment voisin du point m* lequel est en même temps le point g, trace horizontale de la génératrice verticale G du conoïde, on voit que la génératrice G' successive de G, passera par le point m, parce que l’on sait que le cône qui a pour sommet le point m, et pour hase le cercle B, est osculaleur au conoïde tout le long de la génératrice droite G, suivant’ laquelle il est développable, suivant laquelle il a une courbure conique.

Il faudra donc, pour construire le point successif de m sur la ligne de séparation d’ombre et de lumière, faire la construction suivante : 1“ mener par le point m* One parallèle à 1/ et rencontrant la trace H“ au point a ; 2° unir le point g et le point a ; 3" mener en g une tangente au cercle B ; or, puisquo le point g est le point successif et infiniment voisin du point g, cette tangente ne sera autre que l’élément rectiligne gg du cercle B, lequel coupera la droite K* au point m* ou g. El enfin, 1* par le point m* ou g , il faudra mener une droite parallèle à la droite ga , cl coupant gg\ projection horizontale de la génératrice G', au point in* lui-même. En sorte que pour ce point m, que nous retrouvons sur la génératrice G’ successive de G, le plan tangent au conoïde, et qui est parallèle au rayon lumineux, aura (tour trace horizontale la droite ga, qui-n’esl autre que ga, puisque les points g et g 1 sont successifs et infiniment voisins. Le plan langent au conoïde et au cylindre lumineux est donc vertical pour ce point m; par conséquent la tangente au point m de la courbe de séparation d’ombre cl de lumière se projette horizontalement suivant une parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, v

D’après ce qui précède , il est évident que si , dans les fig. 3 et 7, on mène par le point m* une parallèle a L* projection du rayon de lumière, celte parallèle lais-

sera en entier, ù gauclie d efe, la oourhe <î* ; dès lors il est évident que, dans ces deux cas, la ligne de striction K portera une omltre apparente sur la nappe inférieure du conoïde.

Nuits allons limiter la forme de celle ombre portée, qui ne pourra être apparente , d'après ce qui précède , que dans le cas où la trace horizontale H* du plan lumineux, passant par la droite K, coupera ou touchera le cercle B, base du conoïde.