PROBLÈME GÉNÉRAL

Lu direction des rayons parallèles de lumière étant donnée, trouver l'ombre (f un

corps quelconque, le corps et la surface étant donnés de dimensions et de positions.

On construira les projections, du corps opaque qui doit causer l'ombre et de la surface qui doit la recevoir, sur deux plans quelconques, qu'il est cependant plus commode de supposer perpendiculaires l’un à l’autre et tels que l'un soit horizontal et l'autre vertical. Quelquefois ces projections sont déjà construites et c’est sur elles qu’on se propose de déterminer les ombres. Ainsi soit GZD (fitj. 5), la projection horizontale et cbdb' l'élévaliqn du corps qui porte ombre, EFI et egf, les projections horizontale et verticale de la surface qui doit la recevoir, enfin YA et t/a, celles d'un rayon de lumière quelconque. Il n’est pas possible de donner une méthode générale pour la construction de ces projections , et l’on s’en assurera facilement en observant qu'un même corps se projette différemment suivant les dill'ércnles manières dont sa nature nous est connue. Par exemple, les projections du rayon de lumière ne peuvent se faire que conséquemment à la manière dont nous supposons que les dessins seront éclairés. Ainsi, si, comme c'est l'ordinaire, nous nous donnons sa direction YA ou sa projection horizontale

et l’angle RAY qu'il forme avec elle, on mènera RY perpendiculaire à YA, cl on imaginera le triangle YRA , élevé verticalement sur YA. On projettera les points A et Y en a et y ; et on fera la verticale ry égale à RY. 11 est clair, pour lors, que ya sera la projection verticale du rayon dont AY est la projection horizontale. Toute autre manière dont on lèverait la position du rayon de lumière exigerait peut-être une autre méthode pour en faire les projections. Il est d'usage de nommer YA la direction du rayon de lumière, et ya son incidence. C'est ce que les astronomes appellent l'asimudi et l’almieanlarath.

Cela posé dans l'une des projections (dans l’élévation, par exemple) et par tous les points do l’objet qui doivent spécialement porter ombre, on mènera des droites lit parallèles aux rayons du soleil, cl on considérera chacune d'elles, comme la projection d'un plan parallèle aux rayons do lumière et perpendiculaire au plan vertical de projection.

Chacun de scs plans contient une infinité de rayons dont une partie est interceptée par l'objet qui porte ombre , et dont deux enfin et un plus grand nombre, après avoir rasé la surface de ce corps déterminent par leurs prolongements deux ou plusieurs points du contour de l'ombre sur la surface qui doit la recevoir. Or ceux des rayons de lumière renfermés dans le plan lil, qui sont interrompus par le corps opaque, rencontrent toute sa surface dans la section HL faite par le plan Id, et ceux qui s’échappent en rasant la surface sont des tangentes à celle Section. Donc , si par les régies de lu Stéréotomie, on projette cette section en HMLA.ot si ou lui mène deux tangentes MO et AP parallèle à YA, elles seront les projections lioii/onules mais indéfinies dos rayons rasants, qui doivent par leur prolongement donner des points du contour de l’ombre. Mais puisque ces rayons sont contenus dans le plan hl , ils ne peuvent rencontrer la surface LFI que dans l’intersection do celte surface par le plan hl représenté dans l’élévation par Ai. Par conséquent, si l'on projette celte section en QK'L’’, les rencontres O et P de cette ligne avec les droites MO et N P seront deux points du contour de l'ombre demandée.

Les verticales élevées par les points O et P détermineront par leurs rencontres avec la droite Id les projections verticales des deux mêmes points. En répétant l’opération pour tant de plan lit qu’on voudra, on trouvera tous les & points qui seront nécessaires à la construction de la ligne du contour de l’ombre dans les deux projections. C. Q. F. D.

Remarqi i:. Les points M et N séparent la partie éclairée MHN de la section, de la partie obscure Ml.. N ; par conséquent si ou fait passer une ligne par tous les points trouvés de la même manière pour les autres sections, on aura la sépara-

tion de la partie éclairéo do la surface de celle qui est dans l'ombre, ce qui est quelquefois très-utile dans le lavis. Les verticales élevées par les points N, M détermineront par leurs rencontres avec les lignes lil correspondantes dans l’élévation, les points m, n, par lesquels doit passer la projection verticale de cette séparation.

Corollaires. V L’ombre d'uno droite verticale projetée sur un plan horizontal est toujours une droite, ou plus généralement, la projection horizontale de l'ombre d’une verticale, reçue sur quelque surlare que ce soit, est toujours une droite; car les. rayons qui sont interrompus par la verticale composent un > plan vertical, qui par sa rencontre avec les surfaces voisines détermine i'owtye de la droite, et celte intersection no peut être vue sur le plan horizontal que sous \ une droite, puisque tout le plan vertical qui la contient est lui-mémo projeté

sous In forme d’une droite qui doit être parallèle à la projection horizontale d’un rayon de lumière.

‘2° Pour la môme raison la projection verticale de l’ombre d’une droite perpendiculaire au plan do projection verticale est toujours une droito parallèle à la projection verticale d’un rayon do lumière.

3* La projection de l’ombre d’une ligne droito ou d’un polygone quelconque reçue sur un plan qui lui est parallèle est toujours une ligure qui lui est égale et semblable.

La solution que nous venons do donner du problème général des ombres, peut s’employer quelle que soit la figure du corps qui porlu ombre, c’est-à-dire que la surface soit courbe ou composée de parties planes ou courbes. Mais lorsque le corps n’est pas terminé par une surface, mais par un système de plans joints par des arêtes rectilignes , on peut déterminer bien plus aisément la ligure de son ombre.

1*' Exemple. Déterminer l'ombre dun cube donne de position sur un plan horizontal.

Soient BCDE et IFGI1 les projections horizontales et verticales du cube {fitj. u), YA et celles du rayon de lumière, et KN la base do l’élévation (■*). Cela posé, remarquons que nous aurons l’ombre demandée si nous reconnaissons qu elles sont les arêtes du cube que rasent les rayons de lumière et si nous déterminons les ombres que portent ces arêtes. Or il est évident que l’arête verticale, représentée par le point B dans la projection horizontale et par IF à l’élévation , est rasée par les rayons de lumière; que de plus’son ombre doit être indéfiniment sur une droite BQ ]>arallèle à YA; mais si par les points E et 1, on mène des droites parallèles a tja les points où elles rencontreront l’horuoutalc EN , seront

(*) Monge désigne ici par base de l'élévation ce qu’il appelle plus tard ligne de terre. T. Cl.

1rs projections verticales des ombres des points F et 1. Donc , en abaissant les verticales MQ et KR, leur intersection avec RQ terminera l'ombre de l’aréle verticale représentée par le point B. Donc RQ sera une portion du contour de l'ombre demandée. Cela Tait, on observe que l'arélo horizontale exprimée par BC dans la projection horizontale et par FG dans l'élévation est aussi rasée par les rayons; qu'il eu est de même pour l'arèle horizontale supérieure projetée en CD par la verticale qui passe par le point G et pour les arêtes horizontales inférieures représentées par DE et EB, que par conséquent les ombres de toutes ces arêtes achèveront le contour de l'ombre du cube. Mais nous avons déjà l’ombre d’une dçs extrémités de l’arête horizontale BC ; il suliil d'avoir celle du l'autre extrémité C; or celte ombre doit se trouver sur la droite CP parallèle au rayon YA. De plus, si par le point G on mène la droite GN parallèle au rayon ya, le point N sera son élévation. Donc la verticale NP déterminera par sa rencontre avec CP l’ombre du point C, et par conséquent QP sera l’ombre de l’arête horizontale supérieure représentée par BC. On aurait pu trouver la droite QP, en faisant un autre raisonnement; car l’ombre d’une horizontale reçue sur un plan horizontal est une droite qui lui est égale et parallèle. Donc, eu menant par le point Q une droite égale et parallèle à BC on aurait eu l'ombre de celle arête. En faisant un pareil raisonnement pour toutes les autres lignes que nous venons du citer, on parviendra à achever le contour de l’ombre bien plus facilement qu’en employant la méthode du problème.

V Exemple. Déterminer f ombre d'un point sur un plan vertical.

Soient M et m les projections horizontale et verticale du point; TN la projection horizontale du plan vertical sur lequel doit être portée l’ombre demandée; soit MN parallèle à VA (Jig. 1), et regartlons cette droite comme la projection d'un plan vertical qui doit contenir le rayon de lumière interrompu par le point M;cela posé, Je rayon interrompu ne peut par son prolongement rencontrer le plan vertical , et par conséquent déterminer l'ombre demandée que dans l'intersection des deux plans verticaux ; or cette intersection est indéfiniment la verticale No. De plus , la droite mo, parallèle à ya, doit encore contenir la projection verticale du même point d'ombre dont son intersection avec la verticale No déterminera le point o demandé.

3" Exemple. Trouver sur un plan incliné l’ombre <fun cylindre vertical terminé par deux busex horizontales.

Soient Jkli et ZX (///. 8) les projections du cylindre, BCED et bced celles du plan incliné, soient menées les tangentes JG et lü parallèles à la projection horizontale du rayon de lumière, il est clair que ces deux droites seront les ombres des verticales représentées par les points/ et h, et termineront latéralement la projec-

tion de l’ombre du cylindre; il ne s’agit plus par conséquent que de trouver l’ombre du contour de la base supérieure ; pour cela on fera pour tant de points qu’on voudra l'opération que nous allons faire pour le point K, dont la projection verticale est le point à'. Par le point /b' soit mené la parallèle k'n à l'incidence solaire, et soit regardée celte ligne comme la projection verticale d’un plan parallèle aux rayons de lumière, dont l'intersection avec le plan bede doit contenir l'ombre du point K. Soit projetée cette intersection sur le plan horizontal en abaissant par les points» et m des verticales, qui par leur rencontre avec les droites BD et EC, détermineront deux points N et M. La droite MN contiendra donc la projection de l'ombre du point K, mais la parallèle à YA, menée par le point K, doit encore la contenir ; par conséquent leur point L d'intersection, sera la projection de l'ombre du point h. L’opération, répétée pour tant d'autres points qu'on voudra, achèvera de déterminer l’ombre du cylindre.

Dans tout ce que nous venons de dire, nous avons supposé que les rayons de lumière fussent émanés d'un point infiniment éloigné; voyons maintenant la manière de déterminer l’ombre d'un corps éclairé par un point lumineux placé à une distance sensiblement finie.

Lorsque le point lumineux ne sera pas infiniment éloigné de l'objet éclairé, les rayons de lumière qui en partiront ne seront pas parallèles, et les projections horizontales et verticales d'un de ces rayons ne suffisant pas pour déterminer la direction de tout autre, il faudra alors projeter le point lumineux lui-méine ; imaginer par ce point dans l'espace tant de plans qu’on voudra perpendiculaires à un des plans de projection , et qui feront , dans l'objet éclairé et dans la surface qui doit recevoir l’ombre, autant de sections qu'on en projettera sur l'autre plan; mener par le point lumineux toutes les tangentes possibles aux sections du premier corps et les prolonger jusqu'à ce qu'elles rencontrent quelque part, si cela est possible, les sections correspondantes faites dans le second corps.

Ce procédé graphique ue diffère de celui du premier problème, qu'en ce que dans ce cas-ci les tangentes aux sections sont menées par un point déterminé , au lieu qu’elles étaient parallèles entre elles dans le premier cas.

La solution du problème des ombres que nous venons de donner étant de la plus grande généralité , il serait inutile d’entrer dans quelques détails sur les particularités de certaines ombres, et de rapporter des méthodes abrégées plus ou moins élégantes qu’on [veut employer en certains cas. L usage et les occasions en fournissent assez, pour peu qu’on y réfléchisse. Cependant, nous ne passerons pas sous silence une difficulté qui peut souvent se présenter et qui a lieu dans l'exposé suivant.

4' Exemple. Déterminer , sur la surface concave d'un puits fait en avant d'un relran-

cUement , T ombre portée par . ion bord , en apposant qu'il soit éclairé par un point lumineux placé à une distance déterminée.

On suit qu un puits de retranchement est un cône tronqué renversé, dont les bases parallèle* sont horizontales ; soient clone (fig. U) EtH'JGII et ecrjb, les projections horizontales et verticales du puits et A, a celles du point lumineux. Par le point A soient menées les projections AL de tant de plans verticaux qu'on voudra, et les projections verticales pnqk des sections qu'ils forment dans la surface du cône (il est inutile de donner le détail de celle construction); cela posé , il est clair que l'ombre du point M du bord ne peut se trouver sur la surface du puits que dans la section ML, et par conséquent en projection verticale sur la courbe pnqk. Donc, si par le point p projection verticale du point M , on mène le rayon ap , il coupera la courbe quelque part en un point q qui sera le point d'ombre ; cl en abaissant une verticale qii qui coupera ML en un point Q, on aura la projection horizontale du même point. On déterminera de lu même manière les ombres de tant de points du bord qu’on voudra, et on aura par conséquent la courbe formée par leur continuité, à l’exception des deux points T et T' où commence celte courbe, où elle coupe les bords du puits; alors la méthode générale est en défaut, elle n'enseigne pas à les trouver.

Pour les déterminer, remarquons que les points T et T' demandés ^appartiennent point à la couibe TQT', considérée comme ombre portée, mais qu’ils sont les limites de l'intérieur du puits qui sépare la partie TQT' obscure de la partie TET' éclairée, et qu en les considérant comme des éléments de la surface conique, leurs prolongements doivent passer par le poiut lumineux cl être tangents à lu surface. Ces prolongements, qui sont des plans , doivent donc se cou- ‘ per en une droite meuée par le sommet du côtie et par le point lumineux, et représentée par Alt en projeelion horizontale et par oS en projection verticale. l)e plus, ces prolongements doivent couper le prolongement de la base supérieur du cône en deux droites tangentes à sa circonférence, et ces droites doivent passer toutes deux par le point où aS coupe le même plan. Donc , si du point ron abaisse la verticale rit, et si du point R on mène deux tangentes à la circonférence EUC, les points de contact seront les points T et T' demandés.

Celle solntiun , quoique particulière au cas do l’exemple , se généralisera si Tou fait attention que les points T et T' appartiennent à la courbe qui sépare la partie éclairée de la surface du corps de la partie obscure , courbe dout nous avons donné lu construction dans la ligure 5, et dont ni, n, M, N dans cette même ligure soûl des points, ponç, on aura les extrémités du l'ombre portée par le bord d'un vase d'une ligure quelconque sur sa surface concave, en déterminant les itibirsectious de ce bord nvue la courbe (pii sépare la partie éclairée de la sur-

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face extérieure d'avec la partie obscure. On suppose ici l'épaisseur du vase infiniment wince, cl si elle ue l'était pas il faudrait regarder la surface intérieure comme extérieure.

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(mémoire ivédit. )

APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE DESCIUPTIVE Aü DESSIN DE LA VIS (*). Génération du filet par un triangle.

I. Chacune des faces du Ciel de la vis triangulaire fait partie d’one surface gauche et se termine à deux des hélices que décrivent les points de la génératrice de celte surface. Ces deux hélices, intersection des deux surfaces gauche*, forment sur la surface de la vis deux arêtes , l'une saillante et l'autre rentrante.

t K U r RO J ACTION.

Des liélices.

2. ST (fig. i) est la commune section (**); o la projection horizontale de l’axe; A le poiut où l'hélice saillante perce le plan horizontal ; par conséquent le cercle

ACBl), dont le centre est o et le rayon «A , est la proje/ction Iwrizoutale de celle hélice, et oA est celle d’une position de la génératrice de l’une et l’autre surlace

(*) Ce mémoire est île M. Tony, ancien professeur de sciences mathématiques k l'École U'applicaliOD de rurtillerio et du génie h Metz.

M. Persy tirait résolu h Metz le problème do l'ombre de la vis en méhio temps que Hachette le résolvait à Paris. Lorsque lu solution publiée par ILiehetUt duiis In CorrespouJnnru do 1 École polytechnique, 1 . 1 , n* I, jnnv. 1809, fui connue à Metz , M. Persy communiqua su solution à M. Français, proie, teur de fortification , et son collègue à l'École d'npplicnlion ; plus lard , M. Français adressa â Hachette une solution simple sarle mémo sujet . et qui a été publiée dai s la Correspondance de l'École polytechnique , t. Il , n* 2, jnnv. I SI 0 . J'ai tout lieu de croire que la solution donnée pur M. Français lui fut inspirer par relie de M. Persy, dont il avait eu connaissance. T. U.

Persy appelle commune section In ligne que t on appelle ordinairement ligne de terre. Celle dénomination do commune section fut introduite & l'École d'application de Metz par Ferry, qui avait vit au commencement de sa carmOrc adjointde Monge Al'École du géaie de Métière*. T. O.

gauche. Ne considérons que celle qui fait partie de la face supérieure du filet, et soit K'o la projection verticale do la position dont nous parlons , et que nous regardons comme la position primitive de la génératrice de la surface gauche supérieure. Si l’on conçoit un cône qui ait pour sommet le point (o,o'), et pour trace horizontale le cercle ABCP, toute arôle de ce cène sera parallèle & l’une des positions de la génératrice, et réciproquement toute position de la génératrice sera parallèle à l’une des arêtes du cène. Si l’on décrit ensuite une spirale ordinaire PARQ qui passe par A, qui ait pour pèle le point O, et pour rajon de son cercle générateur la hauteur du pas de vis, il est clair que de la position OA à la position quelconque OM, la génératrice se sera élevée delà quantité supérieure; d’où il suit que mêlant la projection horizontale d’un point de l'hélice, on aura la projection verticale de ce point en menant mm' perpendiculaire à ST cl prenant pm égal à la distance pm.

3. Il s'ensuit aussi que la projection verticale de la position OM de la génératrice est la parallèle à op tirée par le point m\

On l'obtiendrait encore en portant la distance pm en o'r, et si la construction est exacte , gp perpendiculaire à ST, coupera om en un point p de la spirale , car il est évident que celle courbe est en meme temps la trace de la surface gauche sur le plan horizontal.

4. S’il s’agissait de l’hélice engendrée par le point (/, /), on mènerait l’horizontale S’/T' au-dessus de laquelle on porterait les distances pm , alors les perpendiculaires mm' partiraient des points de rencontre des lignes om avec le cercle Jhg, projection horizontale de la nouvelle hélice.

De» courbe » qui terminent la projection verticale de la surface.

5. Par la génératrice considérée dans une position quelconque om, o’q, je mène un plan pqr perpendiculaire au plan vertical de projection. Ce plan touchera la surface gauche quelque part en un point situé sur la génératrice et qu’il s’agit de déterminer.

6. On sait que pour une même hélice la tangente fait un angle constant avec l’horizon. Considérant celle qui est projetée horizontalement dans le cercle ACBD, nous connaissons l’inclinaison de sa tangente. Soit (o, ») le sommet d’un cône qui ait pour trace horizontale ce même cercle et dont les arêtes fassent avec l’horizon le même angle que la tangente de l’hélice, toute arête de ce cône sera parallèle à quelqu’une des ttfngenles de l’hélice, et réciproquement toute tangente do l’hélice sera parallèle à quelqu'une des arêtes du cône. Concevons ainsi

une suite de cônes ayant chacun pour trace horizontale la projection d’une hélice et pour arêtes des droites qui fassent avec l’horizon le même angle que les tangentes de cette hélice. Je dis que tous ces cônes auront pour sommet commun le

point (o, s), il est aisé de s’en convaincre en vertu de l'équation x—^li, qui

est connue de tous. Actuellement si l’on mène parce point (o, s) un plan uts parallèle à pqr, ce plan coupera chacun des cônes suivant deux arêtes à chacune desquelles sera parallèle une des tangentes de l'hélice correspondante , et pour chaque hélice cette tangente sera parallèle au plan pqr.

Soient ox, ox', ox", ox"'..., les projections horizontales des arêtes dont nous parlons. En menant aux cercles oxb, fx'g, Fx"G, Ax"'B des tangentes respectivement parallèles àox, ox', ox ", etc., on aura les projections horizontales des tangentes des hélices qui sont parallèles au planer. Or, il est facile de reconnaître que les points de contact y, y', y", y"', etc., sont sur une même droite aê perpendiculaire à ut et placée à même distance du point o , car pour mener au cercle du rayon ox une tangente parallèle à ox, il faut mener à ox le rayon perpendiculaire oi qui détermine le point de contact. De même pour les cercles ox'et ox" ... Donc les triangles xox et yoy' sont égaux, comme ayant un angle égal en o compris entre des côtés égaux , etc.

Le point de tangence du plan pqr aura donc pour projection horizontale l’intersection des deux droites «S et om.

7. On simplifiera la construction qui résulte'de là, si faisant attention qu’on n’a besoin que de la direction de la trace qr, on considère le cône dont tes arêtes sont parallèles aux différentes positions de la génératrice, et que l’on prenne pour son sommet le point (o, ») lui-même, car la projection horizontale d’une arête du cône sera celle d’une position de la génératrice et la projection verticale de cette arête sera immédiatement la parallèle à la trace qr, que l’on doit mener par le point ». Ayant donc tiré par ce point la parallèle sa à o A’, et si dans le cercle aebd décrit du. centre o avec le rayon oa 1 , cercle qui sera la trace du cône de même inclinaison que la génératrice, si , dis-je, l'on se donne la projection oZ d’une arête quelconque du cône, ou ce qui est la même chose, d'une position quelconque de la génératrice, toute la construction se réduira à abaisser du point Z la perpendiculaire Zu sur oA , à rabattre ou en ox , et à mener à oA la parallèle zy', qui coupera oZ au point y cherché.

8. Mais on peut atteindre à une simplicité plus grande encore : si |’on décrit le cercle /hqà, projection de l'hélice qui répond ou point de contact du plan pqr, et que l’on tire la droite df, il sera aisé de voir : 1“ que celle droite est parallèle à o'L ; 2* que la perpendiculaire ol abaissée du point o sur df est égale à os ou ou;

3* * enfin, que cette perpendiculaire prolongée passe par les points x, y, d’où l'on conclut d’abord les deux méthodes qui suivent.

0. Pour construire le point qui doit être sur une position donnée oZ de la gé nératrice, il faudra par le point d mener a oZ la parallèle dj qui rencontrera oK au point /; le cercle décrit du point o comme centre avec le rayon of, coupera oZ dans le point demandé y (voyez le n* 19).

10. On obtiendra le point qui se trouve sur une hélice dont la projection horizontale Jht/k est donnée en menant à df la parallèle oij. Celte ligne déterminera sur

"* le cercle Jliyk le point y' que l’on cherche ( voyez le n* 19).

1 1. Cette dernière méthode convient surtout dans le cas, ou comme dans celui de la vis on n'a à considérer qu’une zone de la surface comprise entre deux hé-

’ lices; elle ne fait point tomber dans des opérations inutiles et donne directement les points situés sur les hélices saillante et rentrante du filet.

.> 12. La projection horizontale d’un point de la courbe étant trouvée, on con-

struira sa projection verticale par le moyen de celle de la position correspondante de la génératrice.

13 (*). Les considérations suivantes conduisent directement aux résultats de ■* ' l’art. 8. Par le point (/,/') de la position primitive de la génératrice et qui décrirait l’hélice donnée par la projection horizontale/?iÿfc, je mène un plan tangent à la surface; pour cela je tire l’horizontale /’ e qui sera évidemment la soutangente du point (/,/') de l’hélice, de sorte qu’en portant / e' en /E, la droite AE sera la trace horizontale du plan tangent. Or, si ce plan suivait le mouvement de * la génératrice sans changer d’inclinaison par rapport à l’horizon il ne cesserait pas de toucher la surface, et quand la trace serait devenue perpendiculaire à al, le point de contact, dans la position qu it aurait prise serait sur la courbe cherchée. Mais puisqu'il sullil de connaître la projection horizontale de la génératrice considérée dans sa nouvelle position , on pourra fairo abstraction du mouvement le long dé l’axe. Ayant donc abaissé sur AE la perpendiculaire »1 .

' qui coupera la circonférence ACBD au point n, on prendra l’arc Am égal à Am , et le rayon om rencontrera le cercle fligk au point y' que l’on cherche. La projection verticale de ce point sera en f‘ sur l'horizontale f'e', si l’on fait abstraction du mou- *

veinent de la génératrice le long de l'axe, et en Y' si l'on a égard à ce mouvement. Actuellement, si l’on observe que les triangles A'/'e , o'sO et ee'f, e»0 sont semblables et donnent ^9 = ^ (qui esl la même chose que :^ = on verra que

(*) On peut commencer la solution n* 33 par celui-ci (t 3) ; joindre comme corollaire le parallélisme ds d/ et om ; puis placer le n* 1 4 aussi en corollaire. ( Nota de P. ) , dp

les triangles dof, A/E sont semblables aussi , et que par conséquent d/e st parallèle à om. *

44. Le triangle cof, qui est égal à dof, est semblable k A/E. Ainsi cf cl sa parallèle oV sont perpendiculaires sur AE; les points o,x, V, J, sont donc en ligne droite, et l’on voit de plus que/ étant la projection horizontale d'un point quelconque de la surface, la trace horizontale clu plan tangent en ce point, sera perpendiculaire à la lignée/ qui est donnée; on a donc tout de suite la direction de cette trace.

15. On remarquera que le plan mené par le point (*, o)parallèlement au plan/x/r coupe le cène qui a pour sommet ce point, et pour trace horizontale le cercle acM, suivant deux arêtes différentes et dont les projections horizontales sont o'L, ox. Ces lignes oZ, ox, sont en même temps les projections de doux positions différentes de la génératrice , mais dont les plans projetants et perpendiculaires au plan vertical, sont parallèles entre eux et au plan jw/r. De plus, les prolongements o;/ , «w, de ces lignes sont les projections du deux autres positions de la génératrice opposées aux premières, et dont les [dans projetants, parallèles aussi, font avec l’horizon le même angle que les plans projetant les premières positions. Enfin, dans toutes ses positions, la génératrice se prolonge au delà de l’axe de lu surface et se trouve sur une seconde nappe qu’elle produit en même temps que la première. Cela posé , si l'on trace les deux lignes aS, a o t qui sont en projection horizontale, l’une, la suite des contacts des tangentes parallèles au plan uta, l'autre, la suite des contacts des tangentes parallèles au plan ut s, on verra que lu droite «fi allant rencontrer oZ , le plan mené par la position oZ de la génératrice et perpendiculairement au pian vertical, touche la nappe inférieure dans un [joint y'. Que cette même ligne «S ne rencontrant que le prolongement de ox, le plan projetant de la position ox de la génératrice touche la nappe supérieure. De même , la droite a'S' allant rencontrer oY , le plan mené par la position oY de la génératrice perpendiculairement au plan vertical , touche la nappe inférieure daus un [joint Y, et celte même ligne a'S' ne rencontrant que le prolongement de ov, le plan projetant de la position ov ne louche que la nappe

supérieure; l’on reconnaît aisément que la suite des points y, Y forme

sur la nappe inférieüre une courbe dont la projection horizontale passe par le point o, et se compose de deux branches qui ont pour asymptote commune la droite AB. «

Comme on peut mener à un cercle deux tangentes parallèles à une droite donnée, on aura pour chaque cercle nebd, quatre tangentes différentes, deux parallèles à ol et deux autres parallèles à ox. Mais il faut remarquer que de ces quatre tangentes deux seulement donnent des tangentes de l’hélice qui soient inclinées

dans le infime sens que le plan pqr ou ut», et qui soient par conséquent parai* lèles à ce plan. Ces deux tangentes , dont l’uno est parallèle à ol et l’autre à ox, ont leur point de contact sur la même perpendiculaire «S à la trace ut. Ainsi, pour un même plan ut* on ne doit admettre qu’une des lignes de contact *3 et «'6'; savoir, celle pour laquelle l’inclinaison des tangentes des hélices est dans le même sens que l'inclinaison du plan, ce qu'on peut reconnaître en considérant le plan vertical qui passe par la tangente de l'hélice et qui doit couper le plan uu suivant une droite parallèle à cette tangente.

Maintenant les lignes oZ , ox sont les projections de deux positions différentes de la génératrice, mais dont les plans projetants perpendiculaires au plan vertical sont parallèles entre eux et au plan ut*. De plus , les prolongements o Y, oV de ces lignes sont les projections de deux autres positions de la génératrice opposée* aux premières, et dont les plans projetants pareillement parallèles entre eux , font avec l’horizon le infime angle que le plan uis. Enfin , dans toutes ses positions la génératrice prolongée au delà de l’axe de la surface , produit une deuxième nappe qui ne différera de la face inférieure du filet que par sa hauteur au-dessus du plan horizontal, en supposant toutefois que les génératrices des deux faces du lilet coupent sous le même angle l’axe de la vis. Dans cette hypothèse, si l’on trace les deux lignes *5, a' S', dont l’une est relative au plan uu, et l’autre au plan u't's', on verra que la première allant remonter oZ , le plan mené par la position oZ de la génératrice, perpendiculairement au plan vertical, touche la face supérieure du lilet dans un point y'-, que cette même ligne «S ne rencontrant que le prolongement de ox, le plan projetant de la position ox touche la face inférieure du lilet dans un point». De môme «'6' allant rencontrer o Y et ne rencontrant que le prolongement de or, les points Y et V appartiennent respectivement aux faces supérieure et inférieure du lilet. La meme construction donnera donc à la fois deux points de l’une et de l’autre face du (ilet, et l’on reconnaîtra aisément que la suite des points;/',... Y, appartenant à la face supérieure, forme une courbe qui passe par le point o et dont les deux branches ont pour asymptote commune la droite AR. Il en est de même des points V...» appartenant à la face inférieure. Dans l’espace la courbe coupe l’axe dans le point où il est rencontré par la position oc ou od de la génératrice, selon qu’il s’agit de la face supérieure ou inférieure, et en projection verticale les deux branches de chaque courbe ont pour asymptotes les projections des positions oA et ol) de la génératrice de la face sur laquelle celle courbe se trouve.

Puisque dans l'espace la courbe coupe Taxe en son point de rencontre avec la position oc ou oïl de lu génératrice, et qu'en projection verticale les deux branche* ont pour asymptotes les projections des positions dont oA cl oB sont les projcc-

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lions horizontales, l’on peut tirer, de là , la construction simultanée du point qui • * est sur la génératrice opposée dans la même nappe. *

16. Le n* 6 offre une démonstration géométrique de cette proposition : « Si l’on i mène à la série des hélices décrites par les points de la génératrice droite de » la vis, toutes les tangentes parallèles à un même plan donné, les points de • contact sont sur deux courbes planes dont les plans sont parallèles à l’axe » et perpendiculaires ati plan donné. •

De plus , la distance des plans des deux courbes à l’axe est égale au rayon d’une hélice multiplié par le rapport des tangentes des inclinaisons (avec l’hbrizon) et de l’hélice et du plan donné. Celte propriété n’est |ioinl particulière à la surface de la vis , clic appartient à la surface engendrée par une courbe quelconque qui tourne autour d’un axe et qui, en même temps, se meut dans le sens de cet axe d’une quantité proportionnelle à celle de la rotation; elle apoartient exclusivement à celle surface et peut servir à sa définition. La démonstration du n* 6 subsiste pour le cas général.