S XVI

Méthode des points de concours.

Première construction. Soit donné un point m sur le plan horizontal (fig. p) par le point o et le point m , nous ferons passer deux plans P et Q, et sans construire la droite G, intersection de ces deux plans P et Q , nous allons construire le point m, en lequel le plan T coupe cette droite G.

Pour cela, nous tracerons sur le plan horizontal deux droites H’ et H* se coupant au point m , et nous construirons les droites A, et B. , suivant lesquelles le plan T coupe respectivement les deux plans P et Q , ces deux plans P et Q se trouvent déterminés l’un et l’autre par le point o, et respectivement par leur trace horizontale H' et H*. Pour déterminer les droites A, et B. , qui sont les traces des plans P cl Q sur le plan T (ou m tf autres termes les intersections du plan T avec chacun des plans P et Q), nous mènerons par le point o deux droites A' et B’, respectivement parallèles aux traces H’ et H*. Nous construirons les points a, b , a', b', en lesquelles chacune des quatre droites horizontales A ou H', B ou H*, A' et B’ perce le plan T.

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En uouMOt l<* pwpteafit «!,on aüca (adroite A. j ; . .

En unissant les points b et b', on aura !a droite B. ; >

Et les lignes droites A," et B,’ se couperont en un point m,‘, qui sera le point demandé.

Par celte méthode on construit le pqint «n, r demandé, sans avoir besoin de déterminer d’abord le point m*.

Montrons maintenant pourquoi cette méthode a reçu le nom de méthode des pointu de concourt.

Si , au lieu d’avoir un seul point m , on avait une série de points m, m, m",... situés sur le plan horizontal, on ferait passer, par chacun d’eux, deux droites parallèles respectivement aux droites A ou H', et B ou H*-, on aura donc, sur le plan horizontal, deux faisceaux de droites parallèles, .que je désignerai par (A) et (B).

L’on devra d’abord faire passer par le point o et par chacune <Jcs droites du faisceau (A) un plan , et l’on aura ainsi une série de plans P, P', P”,.,, qui se couperont suivant ta môme droite A', et dont les traces sur le plan T formeront un faisceau (A,) de droites concourant en le point a.

L’on devra ensuite faire passer par le point o et par chacune des droites dq faisceau (B) un plan , et l’on aura ainsi une série de plans Q , 0 , Q”,... qui se couperont suivant la même droite B', et dont les traces sur le plan T formeront un faisceau (B,) de droites concourant en le point b'.

Dès lors les droites A,*... concourront au point o!*, et les droites B."... concourront au point b'*.

Et les droites A.*,,, et B/... se couperont deux à deux cl respectivement en les points m', m/% m,"",... qui seront les points demandés.

On voit donc que les points a’ été’" étant déterminés pour les droites A,” et B,’ léseront pour toutes les autres droites du faisceau (A,*) et du faisceau (B,*) , et qu’il suffira dés lors de déterminer les divers points a’... et b’... appartenant aux diverses droites A,*... du faisceau (A,*) et aux diverses droites B,"... du faisceau (B/).

C’est ,à cause de l’emploi des pointa a' 1 ' et b’’ que cette méthode a reçu le nom de méthode des points de concours.

Deuxième construction. An lieu de mener |»r le point m deux droites horizontales de direction arbitraire , on ]>eut ne mener {jig. q) qu'une seule droite A de direction yrbi tr aire , l'autre droite D ayant une direction déterminée de la manière suivante.

Du point a comme centre et avec am pour rayon, ou décrira un cercle C coupant la trace H’ en un point d, et la droite D sera celle qui unit les points ni et d.

Dès lors , du point a’’ ( point de concours de la droite A,*) comme centre et avec un rayon égal à oV\ on tracera un* arc de cercle coupant la droite X ( menée par le point o" parallèlement è la ligne 4e terre LT) en un point (/'"qui sera le point de concours de la droite D,“. Le point m,‘ sera l'intersection des droites A,* et D,\

On voit donc que par celte méthode, qui n’est qu’un cas particulier de la méthode générale dite des points de concours, on n’a qu’à tracer, au moyen de la règle et de l’équerre , une droite A * parallèle à la droite A , et que le reste de h construction s’effectue au moyen du compas et de la règle seulement.

Celle méthode spéciale , que nous venons d’exposer, est dite : méthode par la corde de tare, parce que la droite D est la corde prolongée md de l’arc C.

Troisième construction. L’on peut , au lieu de mener par le point m deux droites de direction arbitraire B et A et dont il faut construire les points de concours, mener trois droites de direction spéciale et telle que l’on connaisse, d’avance cl en vertu des données , leurs points de concours.

Et en effet :

Nous savons 1° que si par le point m nous menons (Jig. r) une droite horizontale A perpendiculaire au tableau T, la droite A,' passera par le point o"; 2” que si par le point m nous menons deux droites horizontales et inclinées à 45” sur le plan T (l'inclinaison de l’une étant à gauche, et l'inclinaison de l’autre étant à droite) , les points de concours de ces deux droites B et D seront faciles à construire avec le compas seulement, puisque l'on n’aura qu’à porter sur fa droite X ,

ii i > ^ lit ' * |

la distance oV” = o’d l '’~z o*p = la distance du point o au plan T,

En sorte que les points b" et d” étant déterminés, les droites D,’, A,*, B," le seront, et il suffira de la règle pour les tracer.

Or, remarquons que l’on peut se dispenser de tracer les droites B et D; car ce qu'il faut déterminer, ce sont les points b r et d”, pour pouvuir tracer les droites B,' et D,'; et il est évident que l’on a mas=ab=sa’b’ et ma — adr=a''d\

On voit donc qu’il suffit, le point m étant donné par scs deux projections m et m', de porter de a' en 6’ et en d* une ouverture de compas égale à la distance du point m nu plan T.

Par cette construction, il suffit du compas et de la règle pour construire le point m,*, et la construction est indiquée dans toute sa simplicité dans la fig. (t). : *

On doit encore remarquer que cette construction, qui est très-simple et trèsexpéditive, donne un moyen de vérification, puisque i’ofioonVtruil trois droites qui doivent se couper en un même point m,' ( qui est le point demandé).

Méthode de i coordonnées.

Soit donné un point m sur le plan horizontal de projection et un plan T parallèle au plan vertical LT, et un point o par ses projections o* et o*, on demande de construire la projection m,' du point m, en lequel le plan T coupe la droite G qui unit les deux points o et m.

Construisons un second plan vertical de projection LT perpendiculaire au premier plan vertical de projection LT ( fig . s).

Projetons sur ce nouveau plan les points o et m.

Imaginons deux droites passant par le point m , l’une verticale, l’autre parallèle à LT (ou, en d’autres termes, l’une perpendiculaire au plan horizontal de projection, cl l’autre perpendiculaire au second plan vertical de projection LT).

Si, par chacune de ces droites et le point o, nous faisons passer un plan , nous auront deux plans qui couperont le plan T, le premier suivant une perpendiculaire à H’, et le second suivant une parallèle à H' ; et ces deux droites se couperont en le point m, demandé ; et les projections , sur le plan vertical LT, de ces deux droites se couperont en le point m,’.

D’après ce qui précède , la construction à effectuer est donc la suivante :

1° Mener la droite mo*, laquelle coupera la droite II' en un point in,*, et mener par ce point m,* une perpendiculaire à LT ( laquelle perpendiculaire devra passer par le point m,').

2* Mener la droite o"'n»'' l laquelle coupera V' 1 (qui n’est autre que la trace U' prolongée) en un point m,*' ; porter rm, e ' de e en i sur LT, et mener par le point « une parallèle à LT (laquelle parallèle devra passer par le point m,’).

Le point m,* sera donc très-facilement déterminé.

Et si l’on examine de près celte construction , on verra pourquoi elle a reçu le nom de méthode des coordonnées. Et en effet, il suffit, pour déterminer le point m,’ ( que l’on cherche) , de regarder LT et L'T' comme les axes des coordonnées , le point e étant l’origine.

Et il est évident que es et ei sont les coordonnées du point m,’. Or, es est égal à : rm, h et ei est égal i : rm

11 suffit donc de tracer les droites G* (ou tno*) et G"' (ou o v 'm*') pour déterminer les points m/ et nf’\ et la construction s'achève avec le compas (*).

(*) il n'est pas difficile, maintenant , de reconnaître dans ce qui précède la méthode de psrsptctive «posée par Monge dans son mémoire inédit de (788.

§ XVIII

Application analytique de la méthode de s coordonnées, lorsque te point ni est situé sur le plan horizontal de projection.

Soit donnée sur le plan horizonlal une courbe C, lieu des points m; les équations de cette courbe seront : f(x, y) = 0 et i = 0, en prenant les droites H’ pour axe des x, et LT pour axe des y, et \ h pour axe des s, le point r étant l’origine des coordonnées (jîÿ. *).

Considérons le point o comme le sommet d’un cône 2 ayant la courbe C pour base , et proposons-nous de trouver l’équation de la courbe C, , lieu de* points m, ( ou en d autres termes , on demande l’équation de la section faite dans le cône 2 par le plan T ).

Comme la courbe C, se projettera sur le plan vertical LT suivant une courbe identique C,’ (qui sera le lieu des points m,*), il suffira de donner l’équation de cette courbe C,* pour que le problème soit résolu.

Désignons les trois coordonnées du point o par a, C, y-, ainsi l'on aura : 6= <jo*, a — rq, y = o"p‘. Il faut calculer rm,' 1 et m»,*.

Or les deux triangles semblables et nous donnent :

d'où :

m,"r : rm" :: o*y : p'm’ t».*v : y :: 7: (*+y) y y

Cela posé :

Les deux triangles semblables n»i,‘ et mgo h nous donnent :

ou :

d'où :

d'où enfin :

m, u : um :: go : mg ’mfr — x : y :: («—*): («+y) —r- «(*— x)

rrrr. *(« + y)+y(« -*)

fil, r ss

Désignant m’r par y, et m,*r par on aura les quatre équations

aquations de la courbe Ç.

leO

fi *. y) = 0

i(s + y) + y(« — i) a-S-fy*

Et en éliminant x, y, s entre ces quatre équation*, on aura l'équation y(x lt y, , <*, 6, y) — 0, qui sera celle de la courbe C,\

Nota. On voit de suite qu’il suffît d’éliminer x et y eut re les trois équations (2, 3, 4), puisque la première équation est i — 0, et que le6 troisautres ne sont fonctions que de x et de y.

Effectuons l'élimination.

D : l'équation (3) on tire;

Substituant la valeur y donnée par l’équation (5) dans l’équation (4), on obtient , après les réductions :

en sorte que l'équation :

ggra l'équation de la courbe C, r ; car il est évident qu’il sullira de substituer dans l>équation (2) , à la place de x cl de y, les valeurs données par les équations (6) et (5) , pour avoir l’équation de la courbe C,*.