DEUXIEME PARTIE

Applications des méthode ■ do la géométrie descriptive 4 1a ptripectivi.

pans la première partie de ce mémoire, nous avons résolu le problème : Trouver, te point de rencontre d une droite ou d'un plan avec un plan vertical T, parallèle W plan vertical de pctijrctuM. .Nous avons employé , peur la solution de ce problème les ntélliQtlca de la géométrie descriptive fondées sur les projections or diagonales. Punirons maintenant que toutes les constructions que nous avons exécutées sont identiquement les mêmes que celles employées en perspective par les divers auteurs (et même les anciens) qui ont écrit sur ce sujet ; nous

(•) Voyez I© Court de géométrie descriptive, 4" partie, pag© 407, ot 2“ partie, page 200.

m * î'on jette ivi yeux sur lucodechun des épures gravées de l’Ecole polytechnique, l'on verra (avec un peu d'uUepliun) que l'épure de la pçr< petite du pieduueha qui B été exécutée per Muant . sou» b direction de Hachette, upc en pr^roseeur â l'Êc^lo polyloe.t)ipiqiie , eytçopslreitupet' le pwtAdtic du coordonner».

{***) L'on doil faire remarquer avec quelle f cüité l'on peut passer de la solution par la méthode de» coordonner» é lu solution analytique d'un problème de perspective, et ainsi trsduiru facdcnieal de la langue graphique en la langue algébrique.

aurons dès lors déraentré que la perspective est une des applications de la géométrie descriptive.

Étant donné ; V* un point m situé derrière un plan vertical auquel on donne le nom de tableau, et situé ii une hauteur z au-dessus d'un plan horizontal auquel on donne le nom de pion géométral , et 2° un |H>int o situé en avant du tableau et distant du tableau d’une quantité égale à /, et du plan géométral d’une quantité égale à h, on appelle perspective du point m la trace de la droite cm sur le tableau. Or si l’on recouchait le tableau sur le plan géométral , la perspective des divers pointa m... donnés dans l’espace se confondrait, so brouillerait avec les projections or- , thogonales de ces divers points m... sur le plan géométral. C’est pour éviter cette confusion, que l'on suppose que le tableau est transporté parallèlement à lui— oièmc et derrière la projection sur le plan géométral des divers points m..., de manière à ce qu'étant recouché sur ce plan gcomélrtll , la ligure qui se trouve tracée sur lui no s'embrouille pas avec la ligure tracée sur le plan jéométral.

Les données d'une perspective sont donc les projections m' 1 ... des divers points m... de l'espace sur le plan géométral (fig. x ). Cq donne à ccttc figure le nom de figure géométrale , et l'on dit : les points, les droites, les lignes du géométral ou qui sont au géomcfïaf.

La drujte arg, qui est tracée au jfiafuétra(, et en avant de tous les points du géométral, est le pied du tableau sur lequel doit être tracée la perspective des divers pointe Pli-s- Lu sprlé qu’en abaissant d'un point m k du gppwélral-une perpendiculaire m k p sur la droite xy, on a en m k p la distance du ppjnt m au tableau.

Le géamétral étant donné, ainsi que la position de liAlroile xy par rapport au géométral, on a la position du tableau par rapport aux^Jivcrs points m... de l'espace, qu’il faut mettre en perspective.

Qn transporte la droite xy en une droite xy qui lui est parallèle et qui se trouve derrière tous les points du géométral ; cela lait, on se donne la position du pied de la perpendiculaire abaissée du point o sur le tableau ; le point o prend le nom de point de vue, et le pied de la perpendiculaire prend le nom de point principal de la perspective.

Pour fixer le point principal P, on mène une droite H parallèle à xy et à une distance égale à h , hauteur du point de vue au-dessus du géométral , et l’on place un point P sur celle droite H , qui prend le nom de ligne d'/wrixon.

Cela fait, on porte, à partir du point P, à droite et à gauche de ce point et sur la droite U , une ouverture de coiu|xis égale à la distance / du point de vue nu tableau , et l'on fixe ainsi deux points 3 et 3', qui prennent le nom de points de dis-

lance. Cela fait , on a écrit graphiquement toutes les données de la perspective , et il s'agit de construire la perspective des divers points m....

§ ni.

Avant de construire la perspective des points m..., faisons remarquer que toutes les lignes que nous avons tracées et que tous les points que nous avons placés jusiju’ici sont identiquement les mêmes que ceux que nous avons employés lorsque nous résolvions le môme problème par les méLbodcs de la géométrie descriptive ; seulement, lorsque l'on fait une épure de perspective , ces lignes et ces points sont autrement désignés.

Ainsi : la ligne xÿ, pied du tableau , n'est autre que la droite H’ (fig. v ) ; la ligne x'y' n'est autre que la ligne de terre LT ; la droite H , ligne d'horizon , n’est autre que la droite X ; le point principal P n’est autre que o’ ;

et les points de distance i et 3' ne sont autres que tes points <f et b '.

| IV

Pour mettre un point m en perspective, l’on emploie, habituellement, deux méthodes, l’une dite : méthode des points de concours, et l’autre dite : méthode des échelles.

Nous allons exposer successivement ces deux méthodes, mais auparavant il faut dire ce qu’on entend par perspective d’une droite.

Étant donnée une droite^) dans l’espace, on appelle perspective de celte droite la trace , sur le tableau , du plan qui passe par cette droite D et le point de vue o.

Pour déterminer la perspective do la droite D , il suffit d avoir deux de ses points , l’un est la trace de la droite D sur le tableau , et l’autre le point en lequel le tableau est percé par une droite D' qui sera menée par le point de vue o parallèlement à la droite D ; ce second point prend le nom de point de concours de la droite D.

. Ainsi la perspective d’une droite D est déterminée par la trace d de cette droite et son point de concours c. W

On donne au point c le nom de point de concours, parce que si I on a un faisceau (D) de droites parallèles entre elles , les perspectives de ces diverses droites passent toutes par le même point c.

Le point de concours d’un faisceau de droites parallèles prend le nom de point de fuite , lorsque le faisceau est horizontal ; et il prend le nom de point accidentel, lorsque le faisceau est incliné à l’horizon.

le point de finie d’un faisceau horizontal est toujours placé sur la ligne d'horizon.

Le point accidentel d’un faisceau incliné est placé hors de la ligne d'horizon , audessus ou au-dessous de cette ligne, suivant la direction du faisceau.

On a donné le nom de point de fuite au point de concours des droites parallèles et horizontales, parce «pie ces droites ne se coupent qu’à l'infini sur le plan horizontal passant par le |>oinl de vue; elles tendent donc à se couper eu un point qui fuit toujours devant elles et jusqu'à Y horizon, qui est considéré comme une ligne située à l’infini par rapport au point de vue.

Le point de fuite d’un faisceau horizontal et perpendiculaire au tableau n’est autre que le point principal P.

Le point de fuite d’un faisceau horizontal et incliné de 45° sur le tableau n’est autre que l’un ou l’autre des points de distance i et ÿ, suivant que ce faisceau est incliné à droite ou incliné à gauche sur le tableau.

Pour mettre un point m en perspcclivc, on fait passer par ce point deux droites quelconques A et B , et l’on construit les perspectives A p et B p de ces deux droites, lesquelles se coupent en un point m’’, qui est la perspective du point m.

Pour construire les perspectives A' et B’’, on est obligé de construire le point de concours de chacune d’elles ; or, on ignore à priori la position que ce point de concours prendra au-dessus ou au-dessous de la ligne d'horizon. C’est pourquoi , au lieu de mener par le point m deux droites quelconques, on mène deux droites horizontales , parce que l’on sait que le point de concours de leurs perspectives est situé, pour chacune d’elles, sur la ligne d'horizon.

Mais, si l’on prend des droites quelconques, tout en tes assujettissant à être horizontales, il faudra toujours construire le point de concours de chacune de leurs perspectives. 11 serait donc préférable d’employer deux droites horizontales, de direction donnée et telle que l’on sache ri priori où sera situé le point de concours de leurs perspectives ; c’est ce qui arrive lorsque l’on fait passer par le point donné m trois droites horizontales , l’une perpendiculaire au tableau , et les deux autres inclinées à 45" sur le tableau ; car l’on sait que le point de concours des perspectives de ces droites est le point principal P pour la perspective de la première droite, et l’un et l’autre des points de distance ri et J 1 (Jig. a) pour les perspectives des deux droites inclinées à 45* sur le tableau.

D’a|>rés ce qui précède, pour construire la perspective d’un point m dont on

connaîtra la hauteur z au-d sS’is du p'an géométral et la projection m h au géométral, on exécutera ( fig . *) 'es coustruc’ inns suivantes.

Ou abaissera du point m* une perpendiculaire m*p sur lu droite xy , pied du tableau.

On tracera une droite x"ij" parallèle à la droite x'y' et distante d'elle d'une quantité x égale à la hauteur du point m au-dessus du plan géométral.

Sur la droite x’y", et à partir du point p' en lequel la perpendiculaire m*p prolongée vient couper cotte droite, on portera à gauche cl à droite une ouverture de compas égale à m*p, et l'on fixera les deux points o et a. .

Cela fait, les droites ao, è'i', p'P se couperont en un même point m r qui ser* la perspective du point m.

Si l’on compare la lig; ( 2 ) avec la fig- (c), ou voit de suite (pic les constructions que nous venons d'exécuter pour déterminer le point tuf sont identiquement le* mêmes que celles au moyen desquelles nous avions construit le point in/;

El qu'ainsi : le point p' {fig. *) n’est autre que le point m* {fig. v) ;

les points a et ë' ne sont autres que les points 0’ cl d* ;

le point m r n’est autre que le point m,” ;

et que la droite x" y" n’est autre que la droite V*.

Nous pouvons donc en conclure que ce que l’on désigne par perspective d’un système de points m... n’est autre chose que la projection verticale de la section faite dans lu pyramide (ayant pour lrase la figure formée par tous les points m...) par un plan vertical parallèle au plan vertical de projection, et vice versa.

8 vi.

Comme les corps dont on a à s’occuper en perspective , lorsque l’on applique la perspective à l’architecture, sont terminés par des surfaces qui ne sont autres que des cylindres, des cônes ou des sphères, et que la plupart de ces corps sont composés de faces planes, cylindriques ou coniques ou sphériques, s’entre-coupant suivant des ligues droites ou suivant des lignes courra qui se croisent elles-mêmes en des points qui sont des points remarquables du corps considéré , il s’ensuit que, sachant mettre en perspective un point, on sait tout ce qui est nécessaire. Ainsi , avec les principes exposés ci-dessus, nous pouvons affirmer que nous savons la perspective, puisque nous avons à notre disposition une méthode, celte des points de concours ou de fuite, qui nous permet de mettre en perspective un. point, et par suite une ligne droite ou courbe.

Dans ki première partie du Cours de Géométrie descriptive, nous avons donné, parla méthode des points de concours et de fuite, la perspective d'un polygone quelconque situé sur le plan géométral , et d'un prisme dont les arêtes étaient verticales , ainsi que d’une pyramide et d’un tronc de pyramide. Dans la deuxième partie du même cours, nous avons donné la perspective d’un cercle situé sur le plan horizontal ou dans un plan parallèle au plan horizontal , ainsi que d'un cène complet et d’un tronc conique. Mous savons donc déjà mettre en perspective tous les corps composés de prismes verticaux et de troncs < ylindriqucs cl coniques à bases horizontales, ainsi que de troncs pyramidaux à bases horizontales. Et comme la perspective ne doit (si l’on y réfléchit bien) n 'être-employée qu'à représenter , par son moyen, des constructions architecturales, on reconnaîtra sans peine que tout ce que nous avons donné dans la première et la deuxième partie du Cours de Géométrie descriptive , au sujet de la perspective , était sulüsnut aux architectes.

Mais il ne faut pas seulement avoir démoatré(t>\ je puis employer cette expression ) qu'en effet il sullit , pour les architectes, de savoir mettre en perspective des prismes , des troncs de pyramides ci des pyramides, des troncs cylindriques , des troncs coniques et des cènes ; il faut encore démontrer que la perspective ne doit être employée, par les ingénieurs, que lorsqu'il s’agit de constructions architecturales, et non de machines ou autres objets de constructions et d'industrie.

C’est ce que je vais faire en peu de mots.

La perspective déforme les objets, puisque des droites parallèles entre elles nous apparaissent comme des droites concourantes, rtqu’aiusi un parallélogramme nous apparaît comme étant un quadrilatère.

Si l’on veut donc avoir une idée neite et exacte d’un corps, de sa forme; de ses dimensions, il ne faut pas avoir recours à la perspective pour le représenter.

La méthode graphique à employer dans ce cas est b méthode des projections orthogonales. Deux projections du corps, l’une sur le plin horizontal, et l’autre sur le plan vertical , non-seulement sullisenl pour nous faire connaître parfaitement le corps donné et en toutes ses parties, mais seules clics permettent de bien connaître ce corps.

C’est donc, lorsqu’il s’agit de construire en relie f, b seule méthode des projections orthogonales que l'on doive employer pour représenter un corps ; aussi les constructeurs ne se serveul-ils (et c’est qu’ils ne peuvent et ne doivent pas faire autrement , sous peine d'erreur ) que des plans, cou/ies et élévations du corps qu’ils veulent exécuter. Toutefois la perspective est une science utile aux architectes, et domt ils font sans cesse un emploi convenable et utile; car lorsqu'ils imaginent un nouvel édifice, il faut qu’il soit en harmonie avec les constructions

environnâmes ; et comme le spectateur ne verra pas les constructions anciennes et nouvelles autrement que par ses yeux, et dès lors sous la forme perspective, il est I on que l'architecte fasse une perspective, pour que l’on puisse tout d'abord juger de l 'effet, et aussi de la manière dont les détails architectoniques de la nouvelle construction s'Iuirmoniseront avec ceux des anciennes constructions qui doivent environner V édifice projeté.

§ VIII

Quoique nous puissions , à la rigueur , mettre .en perspective toutes les lignes droites ou courbes d’un édifice, en sachant mettre en perspective un point ; il ne sera pas cependant inutile d'indiquer comment on met en perspective une courbe située dans un plan vertical P, lequel est : 1* perpendiculaire au tableau, ou 2* incliné à 45" sur le tableau, ou 3° incliné d'un angle arbitraire sur le tableau.

Premier cas. Soit donné un plan P vertical et perpendiculaire au tableau et une courbe E tracée dans ce plan P ( fig . 6 }.

La trace 11’ sera perpendiculaire à la droite xy, pied du tableau.

Cette trace H’ sera en môme temps E*, ou la projection sur le plan géométral de la courbe E:

Les données étant telles , la courbe E ne pourra être connue qu’autant que l’on connaîtra la hauteur de chacun de ses points in... au-dessus du géométral, connaissant la projection m 4 ... (au géométral) de chacun de ces mêmes points m.... Or la manière la plus simple de sc donner la hauteur de chacun des points m... est de se donner le rabattement de la courbe E sur le tableau. Ainsi, faisant tourner le plan P autour de la droite Z, suivant laquelle il coupe le tableau, et recouchant dfc plan P sur le tableau , la courbe E viendra en E, , et après le transport de la droite xij en xy, on aura la courbe E,' identique et superposable à la courbe K, la droite Z étant venue se placer en Z'.

Cela fait :

Soit un point m* projection au géométral d'un point m de la courbe E, et proposons-nous de mettre en perspective ce point m.

Si du point Z* comme centre avec Z*m* pour rayon , nous décrivons un cercle y, le point m* viendra en m,' sur la droite x y ; et en transportant le tableau , et ainsi la droite xy en x'y, on aura en m/ sur E,’ le point m rabattu et transporté, et dès lors on aura en m, q la hauteur du point m au-dessus du plan géométral.

Et si l’on remarque que la corde m k m, k du cercle y est inclinée à 45" sur la droite xy, et que dès lors on a : ZVs= Z*m,\ on verra de suite qu'il sullit de faire les constructions suivantes :

Unir le point m,' avec le point de distance 3 ;

Mener par le point m/ une parallèle à la droite x'y' et coupant la droite Z' au point m" ;

Unir le point m" au point principal P.

Les droites m,'i et m'P se couperont en un point mf qui sera la perspective du point m.

Deuxième cas. Supposons toujours que le plan P est vertical , mais qu'il fasse avec le tuileau un angle de 45", alors sa trace H r fera un angle de 45* avec la droite xy, pied du tableau {fig. -/).

Concevons une courbe C dans le plan P, sa projection C* sur le plan géométral ne sera autre que la droite H", et sa projection orthogonale sur le tableau nous permettra de connaître la hauteur de chacun de ses points m... au-dessus du «. géométral.

Lorsque le tableau sera transporté parallèlement à lui-même , et qu’ainsi la droite xy sera transportée eD x'y', on aura en C' la projection verticale de la courbe C.

Cela fait :

Pour déterminer la perspective d’un point m de la courbe C il suffira d’exécuter les constructions suivantes :

Étant donné m\ élever par ce point m* une perpendiculaire à la droite xy, jusqu'à sa rencontre en m" avec la courbe C’.

Élever par le point Z* en lequel se coupent les droites H’ et xy une perpendiculaire Z’ à la droite x'y'.

Mener par le point m’ une parallèle à la droite x'y' et coupant la droite V en un point m,.

Les droites m r P et m,3 se couperont en un point m’ qui sera la perspective du point m.

Troisième cas. Le plan P étant toujours vertical fait avec le tableau un angle arbitraire >.

Dans ce cas (fig . 3) la courbe C est donnée comme dans le deuxième cas (cidessus), mais il ne faut plus unir le point m. avec le point de distance 3, il faut déterminer le point de 'Juste f des droites horizontales parallèles au plan P; pour cela on abaisse du point principal P jine perpendiculaire à la ligne d'horizon H et du point P comme centre , et avec P3 pour rayon on décrit un quart de cercle qui détermine le point p.

Cela fait, on mène par le point p une parallèle à IP qui coupe la ligne d'horizon 11 en un point /, qui est le point de fuite demandé.

nés lors les droites ni,/ et m'P se coupent en un point m', qui est la pnrspecfiit du point JW.

§ IX-

AjtpUcahoa de <e qui procède ù un exemple petrUciiier.

Prenons pour exemple une toùled’a rôle bam -longue et «iqiposaas que Je ph,n géante irai n'est au Ire que le plan de naissance des deux do u elles eylimli iques, faisant ainsi abstraction des pieds-droits qui souliennent ia voûte (fig. u ).

La courbe il arc «le tète du peut cylindre sera mi demi-cercle parallèle au tableau, on connaîtra sa projection au géométral , qui sera la droite 4l\ et sa protection verticale, qui sera le demi-cercle il” identique au demi-oercle B.

Dès lors la perspective du cercle b sera un cercle d'un rayon plus petit et qu il eat facile de déterminer.

La courbe L arc de tète du grand cylindre sera une demi-ellipse ayant son

grand axe en il et dont le demi-petit axe, qui sera vertical, sera égal au rayon du eercle 11.

La «ourle C intersection des «leux cylindres des douellcs sera une demi-ellipse ayant ab pour grand axe et ayant son demi-petit axe, vertical, égal au rayon du cercle B.

Pour mettre l'ellipse E en perspective on se donnera son rabattement fi*,-, pour mettre l'ellipse C en perspective on se donnera sa projection verticale C, qui ne sera autre que le demi-cercle B“.

Cela fait, ou exécutera les constructions indiquées ci-dessus (premier et troisième cas) pour mettre eu perspective une série de points de chaume de cos courbes E et C, et Ion aura pour résultat le dessin de pertptct ve (fig. p).

Mélhode des échelle».

Concevons un point ni dam l'espace (jîy. *) placé derrière le tableau , la pmjectiou de ce point m au gcomélral étant m*.

Traçons dans le plan gcomélral nue droite Y perpendiculaire au pied xy du tableau et désignons celte ligm* xij par X.

Coucevous par la droite Y un plan perpendiculaire O au plan géométral, il coopéra le tableau suivant une droite Z.

Lrl t,,slaneC8 d " !><>»'•« m*: l'espace au tableau et au pion 0, seront donc égales

à »n*p pour le tableau et A m *7 pour le plan Q.

Transportons le tnéfi™ parallèlement à lui-méme,' la droite xy ou X se traitspr.rlera en x'tj ou X’, cl fa droite Z se placera en T perpendiculaire à V.

Nous pourrons nous donner sur la droite Z' fa distance du point m au plan géométral, supposons qu’elle soit égale à a'a".

Nous connaissons donc les trois coordonnées rectangulaires du point m ou ses distances aux trois plans rectangulaires des coordonnées , ces plans étant : X Y ou le plan géomitral, YZ ou le plan Q, XZ ou le tableau.

Cela dit :

Donnons la ligne d'horizon fr , le point principal P et les points dé distance 3 el a , et construisons la perspective m’ du point m.

Ti ois droites passent par le point m : l'ordonnée x i|ui se projette au géomitral en m 7, I ordonnée y qui sc projette au géométral en m k p et l’ordonnée z qui est égale A a'a", et qui est verticale.

Cherchons les perspectives tic ces trois coordonnées x, y, s; ces perspectives se couperont au point m’ demandé.

El d’abord la droite X a pour perspective X'; la droite Z a pour perspective Z' principal P ^ * P ° Ur perS,)CCtive la d,üil ° dont point de fuite est le point’ Cela posé :

__Portant sur X l’ouverture de compas 7f'=7p, sur Z' l’ouverture de compas

e . fia ® à la ha , u,eur : l,a P°'«‘ "> au-dessus du géométral, on joindra le point principal P avec les points p ola”.

Portant sur X' l'ouverture de compas 77 = 7^ et. joignant le point r’ au point de distance S, cette droite 3’r’ coupera la droite Y’ en un point q.

. Cela fait on mènera par le point q' doux droites , l une parallèle à X' el coupant la droite p P au point m’, l’autre parallèle à Z’ et coupant la droite o"P au point On achèvera le rectangle qmq’m' el l’on aura en son sommet m’ opposé au sommet q „ la perspective du [>oinl donné ni.

S. par le point p' on menait une parallèle à Z’, el si par le point a" on menait une parallèle à X ,on au.ailen ( a'p'p"a"m'm r q"q' ) la perspective du parallélipipéde rectangle construit sur les trois coordonnées *, y, ,, du point ni (ce parailélipipode ayant une de ses laces dans le tableau et une autre face dans le plan Q)

Les perspectives des trois distances x, y, z, au tableau, au plan Q et au plan ycunictru/, seront donc «.respectivement, m.’p", m'q", mW.

<a>s perspectives ne sont point égales au*, coordonnées du point m, aussi leur

douiieut-on le nom de distance» dégradées du point n» aux trois plans, Q , tableau

et géométraL .

En examinant avec attention la fig. (n) on voit sans |>cine que le point p est la perspective de la projection du point m sur le «i 61 ea«, que le point g" est la perqieciive de la projection du point m sur le plan Q, et que le point m est la perspective de la projection du point m sur le géomélral.

On voit aussi :

r Que l’on a M = q"q', cl qu’ainsi la distance dégradée du point m au géométral est égale à la dislance dégradée de sa projection sur te plan Q, au même plan géométral.

■2» Q U e |’on a m’f" — m V et qu’ ainsi la distance dégradée du point m au plan Q est égale à la distance dégradée de sa projection sur le plan géométral au même

plan Q.

:t Que l’on n’a pas, en général, m r p" = m'p et qu’ainsi la distance dégradée du point m au tableau n’est pas égale, en général, à la distance dégradée de sa projection sur le géométral au tableau.

Si l’on a une suite do points m... situés dans un plan V parallèle au tableau, les distances dégradées de ces divers points au tableau seront, en général , inégales entre elles ; mais si ces points m... sont sur une horizontale B située dans le plan V, les distances dégradées de ces mêmes points m... au géométral seront égales entre elles, et si ces points m... sont sur une verticale A située dans le plan V, les distances dégradées de ces mêmes points m... au plan Q seront égalés entre elles.

Comme pour elTcctuer la perspective d’un point m on porte sur la droite X les distances x et y de ce point m , et que l’on porte sur la droite Z' la distance s de <•* même point m, on a donné à ces deux droites X' et Z' le nom d échelles.

Les peintres se servent principalement de la méthode des échelles pour mettre en perspective les divers groupes de personnages et d’objets de toute sorte qui entrent dans la composition de la scène qu’ils veulent représenter sur la iode.

Ayant disposé sur le plan géométral les diverses choses qui doivent être mises en • perspective, ayant fixé le pied xy du tableau par rapport à ces choses, la hauteur du point de vue au-dessus du géométral ou plan de la scène à représenter, la distance de ce point de vue au tableau , de manière à ce que l’arif de l’observateur embrasse d’un coup d’œl l’ensemble de la scène; et ayant, de plus, fixé la position du point principal et par conséquent la position que le spectateur doit avoir par rap-

porta la tcine , le peintre enveloppe chaque objet d'un parallélipipède rectangle dont les faces latérales sont telles que deux d’entre elles sont parallèles au tableau, et les deux autres perpendiculaires au tableau. Les deux dernières faces sont horizontales , l’une d'elles étant placée sur le plan géométral.

Il met ensuite en perspective ce parallélipipède (fig. 9 ), et il dessine, sur sa toile, l’objet qu'il veut représenter, de manière à ce qu'il soit renfermé dans la perspective ( q”r"m"n"q‘r'm'n' ) du parallélipipède rectangle.

C’est ainsi que le peintre place sur sa toile les divers personnages qui doivent . composer la scène.

Quant aux objets matériels et inanimés, composés de lignes droites ou de lignes courbes géométriques , en un mot, terminés par des lignes dont le tracé est rigoureux, il achève de les mettre exactement et complètement en perspective par la méthode des points de concours , après en avoir fixé préalablement la position sur sa toile par la méthode des échelles.