S XII

De l’échelle harmonique.

Étant donnés la droite d’horizon 11, le point principal P, le point de distance 3 et le pied x'y' du tableau ;

Si l'on joint un point a de la droite xy' au point P, cl si l'on divise, à partir du point a, la droite x'y’ en parties égales, par les points 1 , 2 , 5, 4 , 5 ,.,. en unissant le point 3 à ces divers points de division , on aura des droites convergentes qui couperont la droite nP en des points l ' , 2’, 3', 4', 5'... (fig. A ).

Les divisions que détermineront sur la droite nP ces divers points ne seront point égales entre elles ; elles iront en décroissant de longueur depuis le point a jusqu'au point P.

On a donné le nom d’échelle harmonique à la droite nP ainsi divisée.

8 XIII

Abaissons du point de distance 3 une perpendiculaire 3b sur la droite x'y', nous aurons le point 6 ; abaissons du point P une perpendiculaire sur la droite x'y', nous aurons le point q.

Désignons 3b = Pq par h, aq par «f, JP par d, et (a, 4) par * ;

Dès lors ab = d — d 1 .

Cherchons les coordonnées du point intersection des droite* aP et («J, ï). L’équation de la droite aP sera :

Wi

L'équation de la droite (3, i) sera :

d — u — et

Des deux équations ( i ) et (2), l’on tire

et

ah

Les valeurs (3) et (i) sont celles des coordonnées du point i 1 .

Cela posé :

Si nous prenons , à partir du point a et sur la droite x'y, n distances égales i à , il suffit de remplacer a par na dans les valeurs de x et de y données (3) et (4). On aura donc :

et

nx .«f

r d+ül

flx . h d -}- *lx

(fl)

Si Ton désigne par l la distance du point a au point qui, situé sur la droite a», a pour coordonnées les valeurs (5) et.(G), on aura :

et pour le point suivant situé sur aP, on aura :

f-fr+Vy Vk'

De sorte que (f — /) sera la longueur de la division effectuée sur la droite «V par deux convergentes partant du point de distance 3 , pour aller passer par deti* points situés sur la droite x'y', et distants du point a, 1 up de na et 1 attiré 4® (« -f 1)«.

fcn «fïectuant le calcul, on taira :

'.éi/F+lP

et comme h’aaP, nous pourrons désigner la longueur de celte droite par

t, et nous aurons en définitive :

Nous pouvons nous donner les longueurs d, « et L, en centimètres et millimètres, par exemple, et ainsi mettre des nombre », dans la formule (8), à la place des longueurs linéaires; et dès lors, en faisant successivement n=i,n=:2, n = 3,... dans la formule (8), nous aurons les nombres N', N", N'",.- qui exprimeront, en centimètres et millimètres, la distanceau pointa des points 1', 2', 3'... de division successive de la droite aP.

On pourra donc, dans tous les cas, au lieu de construire graphiquement la division harmonique de la droite aP, déterminer celte division par le calcul, et cela au moyen de la formule (8) (*).

§ XIV

Toutes les figure* apparaissent sous leur véritable forme lorsqu’elles sont situées sur le tableau.

Si l’on a une suite de bande* verticales situées sur un plan P parallèle au tableau étayant toutes même largeur k, elles nous apparaîtront en perspective sous la forme de bandes de même largeur k 1 , largeur k‘ qui ne sera pas égale à la largeur réelle k.

Si l’on suppose une suite de plans P', P", P"'... parallèles au tableau et équidistants entre eux, de sorte qu’ils partagent en parties égales une droite D perpendiculaire au tableau ; et si l’on a une suite de bandes de même largeur * placées dans chacun de ces plans , la perspective des bandes du plan P' auront une largeur k\ celle des bandes du plau P" aura une largeur k", et ainsi do suite.

Il sera facile de déterminer le rapport qui existe entre la largeur réelle k et les largeurs!', k", des bandes en perspective; en elfet {fig. B) : supposons que l’on

prenne sur la droite par une longueur o6=! et les points q 1 , q", équidistants

(*) L’emploi do colle formule sera utile lorsque les points de distance seront hors du tableau , et qu’on ae pourra pas dès lors effectuer avec facilité , par le procédé graphique» la division de la droite «P.

entre eux, de manière à ce que atf —q‘q"—q‘'q"'= et que aq soit égal à la

dislance du premier plan P’ au tableau; les divergentes^', &/", bq"‘,... couperont la

droite b P en les points b', b", b'",... et Ion aura dés lors en bb', bb ", bb '" les distances dégradée» harmoniquement des plans P', P", P'",... au tableau.

Joignant les [joints net Pet menant par les points b', b", b'",... des parallèles à xy, on aura en u'b', a" b", u'"l > les largeurs dégradées harmoniquement des bandes placées sur les plans P', P”, P"',...

Ainsi ab=k, àb'— k', a" b" = k",...

Ce qui vient d’ôlre dit n’est pas sans intérêt lorsqu'il s’agit de faire une per spective au simple trait. Toutes les lignes tracées sur le tableau auront une certaine grosseur k, et toutes les lignes tracées sur les plans P', P", P'",... devront avoir respectivement les grosseurs k', k",k"',... Parce moyen, le trait contribuera par lui-même à l'effet de la perspective.

Ün devrait bien aussi avoir égard A la teinte du Irait, ainsi les traits représentant la perspective de figures placées dans les plans P’, P", P’",... ne devront pas avoir la même teinte; ils devront être d’autant moins teintés ou d’autant moins noirs que le plan considéré sera plus éloigné du tableau , et la gradation des teintes sera harmonique en prenant pour échelle de dégradation , ce que nous avons désigné ci-dessus par échelle harmonique. On pourrait donc construire un diapason harmonique des teintes , analogue à celui dont il a été parlé au livre des ombres (*).