TROISIÈME PARTIE

Se l'emploi de 1e perspective pour 1a reeterthe de certain es propriétés géométriques

Les anciens géomètres ont souvent fait usage de lu iterspeelive pour démontrer certaines propriétés géométriques , surtout pour les propriétés dites des transversales.

Supposons, par exemple, que je veuille démontrer le théorème suivant :

Etant données (fig. 3) deux droites A, et B, se coupant en un point p, et une droite X , cl sur cette droite un point d , si je mène par le point d deux droites D, et D,' cmtpanl les droites A, et B, en quatre points sommets d'un trapèze , .et si je construis les diagonales K, et K, de ce trapèze , ces diagonales iront couper la droite X en les points r et k.

Cela f ait : si j’unis le sommet a,’ et le point k , le sommet b/ et le point r, j'aurai les diagonales d’un natweau trapèze tel que les sommets a," et b," seront en ligne droite

{*) Voyez ce que jmmis emms dit dan* les Compléments de géométrie descriptive . au sujet dcS pr» jecliotts stérlograpÔiques.

avet le point <1 , et que le peau c en lequel te crotte ni ce» diagonale», sera sur la droite p.c..

4e prendrai un système analogue v mais aysez simple pour que la propriété que je veux démontrer y sait évidente.

Dès lors je supposerai , par exemple, (rois droites A , B , C (fig. 1), (elles que la droite C divise en deux parties égales l’angle(2«) que font entre elles les droites A et B; ensuite je mènerai une suite de droites D, D’, D"... parallèles entre elles et perpendiculaires à la droite C. Ces droites D couperont la droite Aenles points a, a', a",... et elles couperont la droite Ben les points b, b', b"..., et il est évident que les diagonales des trapèzes aa'bb’, a a" b' b"... se croisent en des points e, c', c"..., qui seront en ligne droite avec le point p concours des droites A et B , et que cette droite (c, c', c",... p) ne sera autre que la droite C.

Et il est évident que je puis toujours espacer entre elles les droites D, D’, D”,... de manière à ce que lus diagonales des trapèzes forment deux faisceaux de droites parallèles, ainsi que le montre la fig. 1.

Cela posé:

Concevons un point o dans l’espace et un plan vertical T, et supposons que la fig. \ soit tracée sur le plan horizontal. Nous considérerons le point o comme l’œil du spectateur, et le plan T comme un tableau sur lequel on doit faire la perspective de la fig. 1 située au géométral.

IS’est-il pas évident, pourrait-on dire, que le théorème énoncé ae trouvera vérifié par la figure-perspective que l’on obtiendra?

Cependant il ne faudrait point admettre de suite la démonstration ainsi faite, comme étant rigoureuse , car, pour que cette démonstration soit rigoureuse, il faut , quelle que soit la fig. 3 en perspective, pouvoir passer A la fig. 1 au géomélral.

Or, étant donne sur le tableau T trois droites A,, B, et C, concourant en un même point, mais arbitraires d’ailleurs, il faudrait chercher la position que l’on devrait donner à l’œil o et au plan horizontal , pour que l’on obtint sur ce plan horizontal (ou au géométral) trois droites A , B, C , toiles que la droite C divise l’angle (A, B) en deux parties égales ; et il faudrait pouvoir démontrer que cela est toujours possible. Or, c’est ce qui n’est pas; il y aura teMe relation de position entre les droites A„ B, et C, , pour laquelle évidemment on ne pourra pas trouver au géométral trois droites A , B , C , telles que (adroite C divise en deux parties égales l’angle des droites A et B. On voit donc que, pour démontrer le théorème énoncé, on ne peut pas partir de la fig. 1 , parce qu’elle ne conduirait qu’à un cas particulier du théorème général.

En sorte que ce qui précède nous apprend qu’H feu», tout en prenant une figure simple, sur le géométral , h choisir cependant de manière il ce que l’on puisse fe-

cilement , el dans tous lescas , et avec toutes les données possibles, y revenir en parlant de sa perspective.

Dès lors nous sommes conduit & supposer ( fig . 2) deux droites A, et B, et à les couper par deux droites D, el D', parallèles entre elles et de direction arbitraire, l.es diagonales K, et R, du trapèze a,a',bj>,' se croiseront en un point c,.

Cela posé :

Nous mènerons p3r le point a,' une droite K' parallèle à K,, et coupant B, au |>oiul b," , nous mènerons par le point b,' une droite R,' parallèle à R, et coupant A, au pointa,"; les droites K', et R,' se couperont en un point c/.

Cela posé :

Je dis : t" les points p , , c, et c' sont en ligne droite C, ; 2* les points a," et b,” déterminent une droite D," parallèle aux droites 0, et D,'.

Et en effet , par construction :

1” Les deux triangles p,a,6, el p.’a'bj sont semblables ; on a donc :

2” Les deux triangles a,c,b, et a'c.'b,' sont semblables ; on a donc : a,c, : a,4, :: o,’c,' : o,’6,'. (*)

Des proportions (1) el (2) on déduit :

a,e, ; ajp, :: a,'e,' : a,'p,’. (3)

Or la proportion (3) démontre ijuc les trois points p,, c, et c,' sont en ligne droite (l’on voit de suite sur la (ig. (2) comment l’on déduirait, de ce qui précède , que la droite a, "b," est parallèle aux droites D, el D/).

Cela dit :

Si l’on place la figure (2) au géométral et qu’on en fasse la perspective, on aura la ligure (3), et si l’on prend la figure (3) on pourra toujours passer à la figure (2), et cela sans embarras ; et en cfTcl :

Traçons sur le tableau T deux droites A, et B, se coupant en un point p, {fig. 3), el menons une droite X qui soit la ligne d'horizon, cl prenons sur cette droite X un point d arbitraire.

Menons par le point d deux droites D, et D', coupant A, et B, en les points a, et b„ a\ et 6',; les droites ab\ (ou K,), a',6, (ou R.), couperont la droite X en les points k et r, et s’enlre-couperoni en un point c,.

Menons la droite U', qui unit les points r et 6', et coupant A, au point me-

nons la droite K', qui unit les points £et a', et coupant B, au point 6",; les droites R', et K', se couperont en un point c',.

Celte construction effectuée, il faut démontrer ce qui suit :

1* Les points p,, c,, c\ sont en ligne droite ;

2* Les points a"„ b", et d sont en ligne droite.

Pour effectuer la démonstration passons de la fig. (3) en perspective à la fig. (2) au géométral.

Le plan géométral sera perpendiculaire au tableau T et parallèle à la ligne d’horizon X; dès lors les droites qui divergent en perspective des points k , r et d, donneront au géométral des faisceaux de droites parallèles, et nous retombons évidemment au géomtUral sur la fig. (2), et complètement , avec toute sa construction indiquée ci-dessus; donc, etc.

Pour rendre encore plus sensible ce qui a été dit ci-dessus, § I (3* partie), prenons un autre exemple.

Je suppose que l’on veuille démontrer la propriété des quadrilatères inscrits et circonscrits à une section conique (*).

Il est évident que ce qu'il y aura de plus simple , et ce qui se présente en effet immédiatement à l’esprit, c’est de prendre un cercle C et des rectangles inscrits et circonscrits à ce cercle C ; en sorte que l’on aura une figure plane composée d’un certain nombre de faisceaux de droites parallèles.

Puis, l’on dira : ce cercle C peut être considéré comme la section droite ( ou la base) d’un cône 2 droit (ou de révolution); si dès lors on coupe tout le système par un plan P, on obtiendra suivant la direction donnée à ce plarr P une section conique E, qui sera ou une ellipse, ou une parabole , ou une hyperbole; et les rec-tangles inscrits et circonscrits au cercle C, deviendront, sur le plan P, des quadrilatères inscrits et circonscrits à la section conique E; dès lors l’on pourra énoncer les théorèmes dont jouissent les quadrilatères inscrits circonscrits à nne section conique. v *

Cependant, il ne faut pas beaucoup d’attention pour reconnaître que cette manière de raisonner ne sera admissible qu’autant qu’elle sera rigoureuse, et dès lors à l’abri de toute objection ; et die ne sera rigoureuse qu’autant que, partant de la figure en perspective située sur le plan P, on pourra revenir, et toujours, et

(*) Voyei le Cours de géométrie descriptif , ï* partie.

quelle que suit U forme des quadrilatère* inscrit* et circonscrits à la aeoiioa conique E donnée, et quelle que soit celte section conique E, ou pourra, dis-je, revenir à la ligure du géométral, et ainsi à celle du cercle G et de ses rectangles inscrits et circonscrits. •

Or : si l’on donne une section conique E et un quadrilatère inscrit à celle courbe et si l'on fait passer par celte courbe E un cène droit ( un cène de révolution), il faudra évidemment chercher parmi tous les sommets des cônes droit* qui passeul par cette courbe E, celui pour lequel le plan de section droite du cône , douncra un rectangle inscrit au cercle qui est celte section droite.

Il faudra donc nou-seulcmcnl connaître les propriétés des focale* des sections coniques, il faudra de plus savoir les construire tout eu les connaissant, mais eneorc il faudra forcément résoudre an préalable un problème assez difficile.

Ne vaut-il pas mieux dès lors partir toujours d’une figure simple , mais autre que celle des rectangles inscrits cl circonscrits A un cercle, et ainsi des parallélogrammes inscrits et circonscrits à une ellipse ? car alors on pourra faire passer un cône droit 2 (et le premier venu ) par la section conique E donnée, et à laquelle se trouvent inscrits et circonscrits les quadrilatères, et l’on pourra toujours couper le cône 2 par un plan Q, de manière à ce que sur ce plan on ait une ellipse E. telle que les quadrilatères inscrits et circonscrits de la section conique donnée E se trouvent transformés en parallélogrammes inscrits et circonscrits à l’ellipse

Ajuaml on lit les anciens auteurs qui se soûl servis de la méthode de la perspective pour démontrer certaines propriétés des sections coniques (en cherchant évidemment à faire passer les propriétés du cercle sur les sections coniques), ou remarque assez souvent un défaut de rigueur géométrique dans leurs démonstrations. Ce qui précède montre pourquoi.

§ III

- La géométrie descriptive fait très-souvent usage de la méthode de la perspective; ainsi étant donnée une fig. (A) sur un plan P, les propriétés de cette fig. (A) étant connues , elle cherche A faire subir à celte fig. (A) toutes les transformations possibles pour lesquelles les mêmes propriétés subsisteront. Pourccla elle conçoit un point s dans l’espace (hors du plan P) cl elle fait passer par le point s et par oblique ligne droite de la fig. (A) des plant, par le point s et par chaque ligne courbe de la fig. (A) des cônes, par le point s et par chaque point de la tig. (A) des droites, et elle coupe tout le système conique et pyramidal par un plan Q, dont la direction est arbitraire ou déterminée par les conditions du problème A réscuire et ainsi par la particularité de la transformation que l’on veut obtenir relative»»!- à la fig. (A).

Nous avons fait un fréquent emploi de ce procédé dans nos ouvrages sur la géométrie descriptive , nous allons en donner encore un exemple ici, car c'est vraiment le lieu, puisque nous nous occupons d’une manière spéciale de ta perspective et de son utilité comme application à la recherche de certaines vérités géométrique*.

§ IV

Dans les Complément s de Géométrie descriptive , nous avons démontré le thé», rème suivant (*) :

Si l'on a une parabole I 1 ( iig. 4 ) ayant son sommet en pet pour axe injini la droite A , si ron prend plusieurs ordonnées ms , m'n', m"n",... fl si l'on consistât une suite de paraboles M , M\ M”,... ayant respectivement pour corde, non, m'n', mil',. .. et cha~ cune tanyente en p à la parabole P; toutes ces paraboles M , M', M". .. auront, entre elles , une osculation du second ordre au point p.

Si nous voulons faire passer celle propriété dont jouissent les paraboles, sur les autres sections coniques , et ainsi sur les ellipses et les hyperboles, il faudra concevoir dans l'ospace uu point » , et le regarder comme le sommet commun h divers cènes ayant respectivement pour buse les paraboles P et M, !tf, M",... et Couper tout le système par un plan Q , de manière à obtenir pour sections, dans oe» cènes , ou des ellipses , ou des hyperboles.

Or, si nous considérons le plau des paraboles comme étant le plan horizontal de projection , le plan It , mené par le sommet s parallèlement au plan horizontal, sera langent à tous les cènes paraboliques.

Cela posé :

Il est évident qu'un plan sécant Q coupera tous ces cènes paraboliques ou seulement suivant des ellipses , ou seulement suivant des hyperboles.

En sorte que le système plan , situé sur le plan O , ne sera composé que d’ei- « lipses, ou ne sera composé que d’hyperboles , tout comme le système donné sur le plan horizontal n'est composé que de paraboles.

El comme tous les cènes paraboliques ont une osculation du second ordre suivant la génératrice droite *p (Jig. 4 ) , puisque toutes les paraboles qui leur servent de bases respectives ont une osculation du seèond ordre au point p, il s’ensuit que les systèmes, soit d'ellipses , soit d'hyperboles, situés dans le plan sécant Q , auront aussi une osculation du second ordre en le point suivant lequel la génératrice droite sp m trouve coupée par le plan Q.

Nous pouvons donc , d'après ce qui précède , énoncer les théorèmes suivants :

<*> Vvyrt les Compléments à* Jtmftétcit ètseriptivt , § IX , p. ttf?.

Si l'on a une ellipse P, (fi y. 4) rapportée à ses axes, l’ellipse M, tangente 4* au sommet p de l’ellipse P, , tangente 2* en un point à déterminer sur la tangente 9' au second sommet q de l’ellipse P,, et 3* passant par les extrémités d’une corde mjt, de l’ellipse P,, aura un conlael du premier ordre en p avec l’ellipse P,; et toutes les ellipses construites comme M, auront entre elles une osculation du second ordre au point p.

On aura un théorème anafogue pour les hyperboles ( fig . 6).

Si l’on a une ellipse P, (fiy. 7) et qu’on lui construise deux tangentes 9 et 9', l’une au point p et l’autre au point q (ces doux tangentes se coupant en un point d); si l’on mène la corde pq et du point d une divergente arbitraire, et que l’on construise une ellipse M, qui soit: I* tangente à 9' en un point à déterminer, 2* tangente en p à l’ellipse P. ,et 3* passant par les extrémités m.n. de la partie de la divergente interceptée par la corde pq et l’ellipse P,, cette ellipse M, aura un contact du premier ordre en p avec l’ellipse P,; et toutes les ellipses construites comme M. auront entre elles un contact du second ordre au point p.

On aura un théorème analogue pour les hyperboles.

Si l’on prend le système composé (fiy. t ) de la parabole P et des diverses paraboles M,... et qu’on le projette obliquement sur un plan Xau moyen de cylindres parallèles entre eux , on obtiendra un nouveau système dans lequel la parabole P’, projection oblique de la parabole P , n’aura plus pour sommet le point p' projection du sommet p de la parabole P.

La tangente 9' en p' à la parabole P', qui sera la projection de la tangente 9 au sommet p de la parabole P, ne sera plus perpendiculaire sur le diamètre A' de la parabole P' projection de Taxe A de la parabole P.

On aura donc sur le plan X un système (fig. 8 ) analogue à celui de la üg. 4 ,

mais ce système sera rapporté à des coordonnées obliques , au lieu d'étre rapporté, comme dans la fig. 4, à des coordonnées rectangulaires.

On pourra dès lors , au moyen d'un système de cônes ayant môme sommet dans l'espace et ayant pour base les paraboles (fig. 8) tracées sur le plan X, obtenir par des sections arbitraires , mais parallèles à la tangente 0' au point p de la parabole V'(fig.H), le théorème relatif a.ux ellipses (fig. 9) et aussi celui relatif aux hyperboles, l’ellipse P,' (ou l'hyperbole P/) étant rapportée à un système de diamètres conjugués, au lieu d'ètre rapportée à ses axes comme l'ellipse P, (fig. 5) (ou l’hyperbole P, ) (fig. 6).

§ VI

En menant un plan parallèle à la tangente 9' de la (ig. 8, on obtiendra la fig. 7 relative aux ellipses et celles relatives aux hyperboles, et cela, suivant la direction ou l’inclinaison du plan sécant.

Ainsi l’on voit que les paraboles nous donnent les fig. 4 et 8 , que les ellipses nous donnent les fig. 5 , 7 et 9, et que pour les hyperboles nous aurions aussi trois figures qui seraient les analogues de celles relatives aux ellipses.

D’après ce qui précède, I on doit tout naturellement se demander si l’on ne peut pas obtenir, pour les paraboles, une ligre analogues la fig. 7, laquelle existe pour les ellipses.

Pour reconnaître si lo théorème relatif aux ellipses et représenté par la fig. 7 peut subsister pour les paraboles, il sulllt de prendre la fig. 7 comme étant sur le plan horizontal la base d’un système conique ayant pour sommet un point s de l’espace situé hors du plan horizontal et de couper ce système de manière à avoir des paraboles.

Or : tous les cônes à base elliptique (s, P,) et (*, M,)... auront une génératrice droite commune sp. Toutes les cônes (s, M, )... auront entre eux un contact du second ordre tout le long de celte génératrice sp, et ils n’auront chacun, et suivant celte même génératrice sp , qu’un contact du premier ordre avec le cône (*, P,). Le plan (s, 8') sera tangent à tous les cônes (s, P,)et (*, M,)....

Donc, pour couper le système conique suivant des paraboles, il faudra mener un plan sécant Z parallèle au plan (s, il) ; or, il est bien évident que les courbés de sections ne pourront avoir qu’une seule tangente commune donnée par l'intersection du plan Z et du plan tangent (*, 9), puisque, pour qu’il y eût deux tangentes communes, il faudrait que le plan Z coupât le second plan tangent (M')-

Ainsi la propriété représentée par la fig. 7, et qui existe pour les ellipses, et aussi pour les hyperboles, ne peut exister pour les paraboles.